浅谈常微分方程教学的几点体会
常微分方程学习心得
常微分方程学习心得在大学的众多课程中，常微分方程这门课可真是让我又爱又恨。
记得刚开始接触常微分方程的时候，我满心欢喜，觉得这一定是一门充满神秘和乐趣的学科。
然而，现实很快就给了我一个“响亮的耳光”。
那些复杂的公式、符号，还有各种让人摸不着头脑的概念，就像一群调皮的小精灵，在我眼前蹦来蹦去，就是不让我抓住它们的规律。
老师在讲台上激情澎湃地讲解着，我在下面听得云里雾里。
什么变量分离法、常数变易法，听起来就像是外星语言。
特别是那个一阶线性常微分方程的通解公式，我背了一遍又一遍，可一到做题的时候，大脑就像短路了一样，怎么也想不起来。
有一次上课，老师在黑板上写了一道例题，让我们自己先思考一下。
我盯着那道题，眼睛都快瞪出来了，心里默默念叨着：“这到底是啥呀？”我拿起笔，试图在草稿纸上写点什么，可是写了几笔又觉得不对，狠狠地把那几笔划掉，结果草稿纸被我划得乱七八糟。
周围的同学有的已经开始动笔计算了，而我还在原地打转。
那一刻，我真的觉得自己好笨，怎么连这么简单的题都不会做。
为了学好常微分方程，我可真是下了一番苦功夫。
每天课后，我都会跑到图书馆，找一个安静的角落，把课本从头翻到尾，一个知识点一个知识点地琢磨。
有时候，为了搞清楚一个定理的证明过程，我会在图书馆呆上一整天。
记得有一次，我在图书馆看到一本关于常微分方程的辅导书，如获至宝。
我赶紧借了回来，回到宿舍就开始看。
那本书里的讲解非常详细，每一个步骤都解释得清清楚楚。
我一边看一边做笔记，不知不觉就到了晚上。
当我抬起头来，发现宿舍里的其他人都已经准备睡觉了。
除了看书，我还会找一些网上的课程视频来看。
有一个老师的讲解特别生动有趣，他会用一些生活中的例子来解释常微分方程的概念，让我一下子就明白了很多以前不懂的地方。
比如说，他用汽车的速度和行驶时间来解释变量之间的关系，让我对一阶常微分方程有了更直观的理解。
经过一段时间的努力，我终于慢慢摸到了一些门道。
我发现，常微分方程其实并没有那么可怕，只要掌握了方法，多做练习，还是能够学好的。
常微分方程学习心得
常微分方程学习心得在学习常微分方程这门课程的过程中，我深深感受到了它在数学和科学领域的重要性和广泛应用。
通过对常微分方程的学习，我不仅加深了对微分方程的理解，而且学会了运用不同的方法解决实际问题。
在下面的几个方面，我将分享我的学习经验和体会。
一、常微分方程的基础知识首先，常微分方程学习的第一步是掌握基础知识。
这包括了对微分方程的定义和分类，以及一些基本的解法技巧。
在我学习的过程中，我通过阅读教材和参考资料，逐渐掌握了这些基础知识。
我发现，理解微分方程的定义和分类对于后面的学习至关重要，因为这为我们选择合适的解法提供了指导。
二、常微分方程的解法解常微分方程是学习的重点和难点，也是应用常微分方程的基础。
在解常微分方程时，我们通常可以使用分离变量法、齐次方程法、一阶线性常微分方程法等等。
每一种解法都有其特定的适用范围和步骤。
在我的学习中，我不仅仅是死记硬背这些解法的公式，更重要的是理解它们背后的原理和思想。
通过大量的习题训练和实例分析，我逐渐熟悉了运用不同的解法来解决各种类型的常微分方程。
这使得我能够更加灵活地应用这些方法，并找到最优的解决方案。
三、常微分方程的应用常微分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用。
它可以用于描述物理、生物、经济等领域的过程和现象。
在学习过程中，我通过案例分析和实际问题求解，更深入地理解了常微分方程的应用。
例如，在生物学中，常微分方程可以用于描述人口的增长和传染病的传播。
在工程中，常微分方程可以用于模拟电路中的电流和电压变化。
这些实际应用使我对常微分方程的学习更加有动力，并能够将所学知识与实际问题相结合。
四、学习方法与技巧在学习常微分方程的过程中，我总结了一些学习方法和技巧，以提高学习效果和效率。
首先，我发现做大量的习题和实例是非常重要的。
通过解决不同类型的习题，我可以巩固所学的知识，并更好地理解解题的思路和方法。
其次，我经常与同学进行讨论和交流。
通过和他们的讨论，我可以更深入地理解一些概念和原理，并且可以学习到不同的解题思路和方法。
常微分学习心得v
常微分学习心得
通过这一学期的常微分方程的学习，在学习知识的同时，我也认识到自己的不足及感悟。
在此，我对自己学习常微分的心得总结如下：
一、基础不牢固
大一学习高等代数和数学分析的时候，老师告诉我们这些都是基础，而且会贯穿你整个大学四年的学习。
当时知道很重要，但是学的不扎实，学完就忘了，也不自己去好好复习，导致基础知识差。
而常微分大部分都跟数学分析和高等代数挂钩，这导致我很多知识点没有弄懂。
我也在此吸取教训，好好听老师的话，没事的时候就看看数学分析和高代，为了以后的学习，把它们学好。
二、学习不主动
龙老师的教学方式是只讲想法和点子，引导我们学习，而不是把过程一步步讲解出来。
而我们这么多年遇到的老师大多是讲解的很详细的那一种，所以导致我们大多是在被动的学习，跟着老师走，而没有主动的去想如何解决这个问题。
这也导致我不习惯龙老师的教学方式。
很多时候老师叫我们去想的时候，我并没有去想。
我知道这是我的错误。
学习是自己的事，不应该把希望寄托于别人身上。
主动的学习能让我更容易理解知识点，被动的学习只是让我单纯的记住知识点。
三、上课不认真
对于常微分方程这本书来说。
我学的最好的是第一、二章，可能是刚刚接触觉得很有意思，第一二章的题目也能自主的去完成。
到了
第三章文字概念性内容很多，自己感觉很枯燥，觉得不好理解。
而我们每一次上课也都是在大教室，觉得很嘈杂，每次想认真听得时候，静不下心去好好学习，容易开小差。
当然最主要打的原因是我对常微分的兴趣不浓厚，学习积极性不高。
常微分学习心得
常微分学习心得
这一学期我们学习了常微分方程，这门课程给我的感受就是：解方程，它以数学分析，和高等代数为基础，所以要求基础要牢固，才能学好这门课程，现在这门课程的学习已经接近尾声，但学习的效果并不理想，很多的理论知识不能理解，导致章节之间不连贯，学得很乱，而老师的教学又趋向于理论化，讲的知识深刻，有些知识点根本听不懂，常微分这门课程在考研中也占有较大的比重，大概涉及到10分的样子，而在考研的复试中，常微分是复试必考的科目，所以学习好这门课程是必须的，我想这门课程学得不好是有诸多原因的，1是要有好的数学基础，就我自己而言我的基础较差，学习起来吃力，2老师的教学方式不适应，太过于理论化，所以每到上课就听起来枯燥，不想听，导致对这门课程感到有些厌烦，就连一些最基础的东西也不愿意去记了，一个学期下来到现在，觉得自己什么都没学到，考试就发愁了，我知道这种情况，这种学习态度很不好，但这就是我现在在这门科目上的学习状态，请老师谅解。
12级应用数学2班：骆志波
学号 12404228。
常微分方程学习心得
常微分方程学习心得在大学学习数学的过程中，我有幸学习了常微分方程这门重要的数学分支。
通过学习，我深刻理解了常微分方程的基本概念和解题方法，也对其在现实生活和科学领域中的应用有了更深入的认识。
以下是我对常微分方程学习的心得和体会。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述变量间关系的数学方程，其中的未知函数是一个自变量的函数，并且方程中包含这个未知函数的导数。
常微分方程的一般形式可以表示为dy/dx = f(x, y)。
其中y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
在学习过程中，我明确了常微分方程的解是由这个函数和它的导数组成的，而解的形式可以是显式的或者隐式的。
二、解常微分方程的方法在解常微分方程时，我们可以使用不同的方法，如分离变量法、线性方程和齐次方程法、恰当方程法等。
这些方法都是通过数学推导和变换，将常微分方程转化为更容易求解的形式，然后再进行求解。
这些方法都有其适用范围和特点，我们应根据具体情况选择合适的方法。
三、常微分方程的应用常微分方程在科学和工程中有广泛的应用，涉及到物理、化学、生物等多个领域。
在物理学中，常微分方程被用于描述运动物体的轨迹、电路中电流和电压的变化等；在化学反应动力学中，常微分方程用于描述化学反应的速率和物质的转化过程；在生物学中，常微分方程则可以用来研究生物种群的动态变化等。
这些应用都展示了常微分方程在解释和预测自然现象中的重要性。
四、常微分方程学习的困难和应对策略在学习常微分方程的过程中，我也遇到了一些困难。
其中，最主要的困难之一是理论和实际的结合。
解常微分方程不仅要掌握理论知识，还需要通过实际问题的拟设和分析来建立方程模型。
为了克服这一困难，我充分利用课堂上的例题和习题，积极参与讨论和实践，在提高理论理解的同时，也增强了应用能力。
此外，解常微分方程需要良好的数学基础，尤其是对导数和积分的理解和运用要熟练。
因此，我在学习常微分方程之前，注重巩固和加强了高等数学中的相关知识，为进一步学习打下了坚实的基础。
浅谈常微分方程教学的几点体会
浅谈常微分方程教学的几点体会一、教材分析常微分方程是高等院校理工科学生的一门重要的基础课程，是数学专业的专业基础课之一。
随着微电子技术、光纤通讯、计算机技术及其他应用技术的飞速发展，对该课程也提出了更新更高的要求，因此要不断地进行改革。
但本节内容较多，系统性强，要求学生必须掌握其内容，所以在教学中必须处理好“广度与深度”、“精度与难度”、“继承与创新”三者之间的关系。
针对这一特点，在教学中应注意突出本课程的重点和难点，正确把握本课程教学的深度和广度，使学生具备扎实的基本理论、基本方法、基本技能，能够运用所学知识去解决实际问题。
二、教法、学法在教学过程中我主要采取了以下几种教学方法：（一）启发式讲授（二）习题演练（三）鼓励思考在教学过程中主要通过做一些例题和适当安排一些习题来加深学生对知识的掌握。
同时要抓住重点、突破难点，积极引导学生利用网络资源去学习。
三、作业、考核方法通过课后作业可以检查学生对本节课所讲内容的掌握情况。
为了巩固本节课的内容，让学生在课堂上动手，在课后必须有布置相应的课外作业，同时考试应注重考察学生运用所学知识解决实际问题的能力。
（一）提问法在讲授第一节《常微分方程》课时，为了消除课堂的沉闷气氛，增加师生间的互动，可采用以下方法。
1、向学生提问。
这种方法不仅能活跃课堂气氛，而且可以激发学生的积极性和主动性。
2、提问题要符合实际。
问题太偏、太细，会给学生造成思维负担，产生畏惧感；太难、太偏则达不到预期效果。
所以提出的问题一定要具体，具有启发性，难易适中，面向全体学生，让每个学生都能够回答，从而真正达到预期的目的。
（二）学生小组讨论法在讲授常微分方程的第二节时，由于第一节课所讲的内容比较抽象，学生听起来觉得无味，教学效果不理想。
那么怎样才能吸引学生注意力呢？我认为首先应调动学生的学习兴趣，让学生尽快进入状态，然后再开始讲课。
可将学生分成若干小组，以讨论的形式进行。
首先要组织学生预习，让学生明白本节课所要讲的内容和知识结构，以便在课堂上集中注意力。
关于常微分方程教学改革的几点思考
关于常微分方程教学改革的几点思考近年来，随着科技的飞跃发展和社会的快速变革，越来越多的高校开始进行常微分方程教学改革，大力推进教学模式创新，希望通过改革，提高学生的学习效果和能力水平。
本文将从如下几个方面进行浅谈：一、教学目标的转变现如今，在不断发展的知识经济时代，人才需求日益增加。
我们的目标应该转变，从单纯地让学生掌握公式和解题技巧的传统常微分方程教学到培养学生综合思维能力的常微分方程教学。
帮助学生从被动地接受、运用知识的“记忆型”学习，向能够随时随地获取、整合、运用知识和信息的“思维型”学习转变。
在具体教学中，应把学生主动学习作为常微分方程教学的指导思想。
让学生主动参与，从实践中体现学习过程的积极性和对自己的掌握情况的感知。
教师应该以发展学生主动思维能力为核心，引导和贡献学生的思想和想象力。
使学生能在处理常微分方程的实际问题时能灵活运用所学知识和复杂思维方法。
同时，教师对学生的思维方式和思维习惯的养成应该乐于倾听，积极地借鉴并反馈。
从而培养学生的主动探究精神、创新能力和解决问题的能力。
二、教学内容的整合教学的内容应紧密地结合实际应用和社会科技进步的要求。
教师应该根据新的社会信息、知识和经验，把教科书讲授的内容结合常微分方程的应用领域，结合实践应用，选取更切实、更有实际意义的例题，帮助学生在应用中理解和掌握理论知识，激发学生的学习兴趣和创造潜力。
同时，需要教师引导学生多加认识和尊重常微分方程的发展历程和发展规律，从发展历程的宏观角度和应用体验的微观角度，让学生真正了解常微分方程的内涵和现实应用。
例如，在物理、生物、天文、工程等领域中，常微分方程都是必须掌握的基础技能。
三、教学方法的多元化在常微分方程教学中，教师应该根据学生的实际情况和能力进行个性化教学，注重灵活运用教学方法，提供多元化的教学方式，从而激发学生的学习兴趣和创新潜力。
教师可以采用互动式讲授、课堂授课、实验教学、案例分析、模拟演练等多种教学方法，根据教学目标和情境设置情境课，让学生在具体的实践活动中掌握理论知识，培养实际应用能力。
关于常微分方程教学内容的几点思考
关于常微分方程教学内容的几点思考目前有关非线性科学的研究方兴未艾，这极大地促進了力学、物理、生物、地学、机械工程、通讯工程、电力工程和航空航天技术的发展。
为了培养这方面的人才，这对非线性科学起奠基性作用的“常微分方程”的教学提出了新的要求。
而另一方面，“常微分方程”更是后续课程“泛函”“偏微”“微分几何”等的基础。
如何做到二者兼顾，新知识、新方法怎样注入教学之中，如何用新的思路去改进教学方法，怎样才能把时代的新要求贯穿于教学始终，这成了现代“常微分方程”课程教学面临的新课题。
由此，结合所在学校关于常微分方程的教学特点及自身经验，本文对“常微分方程”课程教学的内容选择上进行了一些思考。
一结合数学建模当前，大学生数学建模竞赛越来越普及，研究生数学建模竞赛也已开展，数学建模已成为高等院校提高素质教育及教学改革的重要手段。
常微分方程模型是数学建模的重要方法之一。
因此，这门课程的地位和作用将越来越重要。
在教学中，通过大量、富有趣味性的实际例子突出数学的应用，让学生学会运用“常微分方程”建模并分析实际问题是我们的目标。
因此，在教学过程中应有目的地将社会经济生活和现代科学技术的热点问题引进来，体现用常微分方程知识求解实际问题的全过程，即“实际问题—数学模型—模型解答—结果分析—模型改进—实际应用”。
在教学过程中可采用以下几个典型的微分方程模型（如人口增长模型；传染病SIS模型；捕食-被捕食模型等）和现实热点问题（如碳定年法；核废料的处理问题等）。
将常微分方程的理论、方法与解决实际问题有机地结合起来。
其原则是既注重理论性强、方法多样及技巧性强等特点，又要体现利用常微分方程进行数学建模思想等特点，力争实现理论严密性、方法多样性和应用广泛性相结合。
二结合历史背景数学理论大都是从现实具体问题中抽象出来的。
如果直接将抽象理论灌输给学生，容易使学生不知所云，很难激发学习热情，很难营造一个良好的教学氛围。
本人在教学过程中，往往结合数学史，从而引出每个阶段的授课内容，即为什么研究这个问题，在这个过程中有什么有趣的故事可以介绍给同学，从而提高学生的学习兴趣。
常微分方程教学的一点体会
常微分方程教学的一点体会常微分方程是Blythe数学课堂教学中一门很重要的内容，我就从以下几个方面来说一下我在教学中的体会。
一、讲授之前，让学生明确常微分方程解法与高等代数中的不同点。
通过比较后使学生明白，常微分方程的解是唯一的，而高等代数中的解则没有唯一性。
二、在讲授时必须与图形结合起来。
由于常微分方程的图形形象直观，所以教师必须利用多媒体进行教学。
二、培养兴趣，建立自信。
小学生由于基础差，刚接触这种抽象的学科很难掌握好，甚至产生恐惧心理，再加上不懂概念，学习起来更是无从下手。
如果能够在课堂教学中把直观教学和概念教学结合起来，那么一定可以调动学生的积极性，培养他们对数学的兴趣，为将来打下良好的基础。
三、在课堂教学中认真写板书，布置好作业。
板书既是一门艺术，也是一门科学。
好的板书能让学生清楚地看到定理、法则、公式及解题的思路，便于记忆。
同时，写好板书还能给人一种整洁的感觉。
三、课堂提问，启发诱导。
一个成功的课堂，其主体应该是学生。
课堂中学生是主角，学生是知识的探索者和创造者。
我们教师要想方设法吸引学生的注意力，激发他们的学习热情，让学生带着渴求新知识的目标进入每一节课，让学生的积极思维得到充分发挥。
为了达到这一效果，我在教学中运用多种教学手段，采取了师生互动的方法，引导学生从不同角度去看待和思考问题，鼓励学生大胆提出疑问，教师深入浅出地讲解、归纳、总结，引导学生把新旧知识联系起来，引导学生根据已学过的知识解决新问题，并强调在问题的解决过程中学会创造性思维。
四、认真做题，熟能生巧。
俗话说“熟能生巧”，只有熟练了才能在遇到类似的题型时快速找到解题的方法。
所以每次做完题后，我都会要求学生自己检查，并且在每周固定时间集中批改。
这样做既能规范答题格式，又能让学生养成自觉检查的习惯。
五、总结收获，自我评价。
五、总结收获，自我评价。
俗话说“台上十分钟，台下十年功”，这句话放在教学工作中也十分适合。
老师站在讲台上侃侃而谈，能让学生信服你；但学生却坐在下面“沉默寡言”，因为他们没听明白。
常微分方程学习心得
常微分方程学习心得常微分方程是数学中的重要分支之一，它研究的是描述物理系统或现象中变量随时间变化的规律的方程。
在我学习常微分方程的过程中，我深深地感受到了它的重要性和应用价值。
下面是我对常微分方程学习的一些心得和总结。
首先，学习常微分方程需要具备扎实的数学基础。
掌握微积分和线性代数等数学知识对于理解常微分方程的概念和解题方法至关重要。
在我学习常微分方程之前，我对微积分和线性代数有一定的了解和掌握，这为我学习常微分方程提供了很大的帮助。
因此，我建议学习常微分方程之前先夯实数学基础，这样能够更加轻松地理解和应用其中的概念和方法。
其次，学习常微分方程需要理解其基本概念和分类。
常微分方程可以分为一阶常微分方程、二阶常微分方程以及高阶常微分方程等不同类型。
每种类型的常微分方程都有其特定的求解方法和应用领域。
在学习过程中，我通过阅读教材和参考资料，系统地学习了不同类型的常微分方程以及它们的特点和求解方法。
我逐渐理解了常微分方程的基本概念，如初值问题、解的存在唯一性和稳定性等，并通过大量的习题巩固了所学的知识。
第三，学习常微分方程需要灵活运用解题方法。
解常微分方程的方法有很多，如变量可分离、齐次方程、一阶线性方程、常系数齐次二阶线性方程等。
在解题过程中，我学会了根据方程的形式选择合适的解题方法，并灵活运用这些方法求解方程。
同时，我还学会了使用常微分方程的数值解方法，如欧拉法和四阶龙格-库塔法等，来近似求解一些无法用解析方法求解的方程。
最后，学习常微分方程需要进行实际应用和拓展。
常微分方程在物理学、工程学、生物学等领域都有重要的应用。
通过解实际问题的常微分方程，可以加深对理论知识的理解，并且能够将所学的知识应用到实际生活中。
在学习过程中，我通过习题和课后作业来进行实际应用，并且主动寻找一些相关的拓展资料，了解常微分方程的更多应用领域和前沿研究。
总之，学习常微分方程是一项艰巨而有趣的任务。
通过系统学习常微分方程的基本概念、分类和解题方法，以及进行实际应用和拓展，我对常微分方程有了更深入的理解和掌握。
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程更容易理解。 通过一题多解，既让学生对所学的知识融会贯通，又培
养了他们综合分析的能力。
5 另外，需要一提的是，常微分方程定性理论和稳定性理论
作为相对抽象的一部分内容， 在讲授时要注意结合研究一些 实际问题
要介绍一些需要用定性理论和稳定性理论解决的具有实际背景 的问题。 例如考虑捕鱼业的持续收获问题，在捕捞量稳定的条件下，如 何控制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量， 渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。 考虑种群的相互竞争、相互依 存。 通过研究实际事例，使学生掌握建立稳定性模型的方法和步骤，明 确微分方程定性理论和稳定性理论在解决此类问题中的作用，激发学 生学习微分方程定性理论和稳定性理论的热情，提高学生利用微分方 程定性理论和稳定性理论解决实际问题的能力。
革命带来的数学繁荣促进了常微分方程的成长，先探讨解的存在性与
唯一性而不是一味求解。 奇点理论，边值解，形式级数解等先后出现，
使常微分方程成长为一个数学分支，步入了复数域解析阶段。 从 19 世
纪后半叶开始，不解方程而确定解的性质的定性理论开始建立，数学
思想方法再次实现了大的进步，朝着解析方法、几何方法、数值方法 3
科技信息
○本刊重稿○
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
2010 年 第 29 期
浅谈常微分方程教学的几点体会
王言芹 (常州大学数理学院应数系 江苏 常州 213164)
【摘 要】根据应用型本科院校的教学特点，结合实际，主要从教学内容、教学方法和培养学生的创新能力等方面，对数学与应用数学专业 “常微分方程”课程教学谈了几点体会。
3 在熟悉教材的基础上挖掘高深的知识，用简单的例子阐明 深刻的道理
如在一阶微分方程的初等解法中，有些例题解法繁琐，不容易懂，
而事实上，阐明的道理很简单，可替换成其它简单的让学生感兴趣的
例子。 对于课后习题中的一些题目，可当作例题来讲，让学生学以致
用，从中体会学习的乐趣。 如：
例 2 解方程 dy =2xy。 dx
微分方程，采用哪一种方法，要看具体形式，力求采用最简便最容易懂
的方法求解。 如
例 3 解方程 dy = y + x2 。 dx 2x y
解法一：这是 n=-1 的贝努里方程。 令 z=y2，得 dz =2y dy ， dx dx
代入原方程，得 dz = z +2x2 dx x
这是一个线性方程。 由常数变易公式，得通解为
传染病 （瘟疫） 经常在世界各地流行， 如霍乱、 天花、 艾滋病、
SARS、甲型 H1N1 流感病毒等。建立传染病的数学模型，分析其变化规
律，防止其蔓延是一项艰巨的任务。 这里仅就一般的传染规律讨论传
染病的数学模型。
假设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数 n。 开始时染病
人数为 x0，在时刻 t 的健康人数为 y(t)，染病人数为 x(t)。 由于总人数为 常数，有
此特解不包含在通解中。
4 在讲授章节内容时，注意各自的特点，突出每一章节的重 点，抓住难点、疑点, 引导学生作深入研究，以培养学生的创新 能力；同时注意章节间的前后联系，及时归纳总结，使知识系 统化，注意问题与问题间的相互转化，一题多解，以培养学生 的综合能力
29
2010 年 第 29 期
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
z=y2=x(c+x2)。
解法二（积分因子法）：原方程可改写为(y2+2x3)dx-2xydy=0， （1）
此方程存在积分因子
μ(x)=
1 x2
，将
1 x2
乘以方程（1）两边，并重新 分
项组合，得
y2dx-2xydy x2
+2xdx=0，即 d(- y2 x
)+dx2=0，
所以，得通解 x2- y2 =c，即 y2=x(c+x2)。 显然，用积分因子法解此方 x
作 者 简 介 ：王 言 芹(1976.1—)，女 ，山 东 人 ，硕 士 ，讲 师 ，研 究 方 向 为 应 用 数 学。
※基金项目：常州大学数理基金资助，项目编号 JS200801。
［责任编辑：汤静］
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（上接第 41 页）应该进一步研究坏死的过程以及如何运用它使肿瘤退 化。 科
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○本刊重稿○
科技信息
不同的章节间都是相互联系的，每一小节又都是相对独立的一部
分内容。 比如新授一阶线性方程 dy =P(x)y+Q(x)的初等解法时，要重点 dx
引导学生掌握常数变易法求解一阶线性微分方程，也要记住常数变易
公式。
可是有些一阶微分方程，如方程 dy dx
=
y3 xy2-1
，原方程不是关于 y
问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源。 ”通过引用名
人的话，让学生在思想上引起重视，在介绍起源时，可穿插介绍常微分
方程诞生于运用数学分析方法解决物理与力学问题的过程中，它的发
生发展史就是一部数学建模史。 数学建模思想是常微分方程发展史所
反映出的最重要的数学思想，这一点从以下例子可见一斑。
例 1 传染病模型。
以求解上面提到的几种类型的一阶显式微分方程 y′=f(x，y)，前提 是 先
将给定的一阶显式微分方程写成对称形式：M(x，y)dx+N(x，y)dy=0。 它
的基础是全微分方程。 而之前讨论的齐次方程，一阶线性方程，和贝努
里方程的基础是分离变量方程， 这些方程都有自己的不同的解法，但
是积分因子法是解 y′=f(x，y)的一种通用的方法，对于具体的一阶显 式
个主要方向扩展，随着伯克霍夫(美)提出拓扑动力系统(1927 年)，将一
般定性理论进行了抽象和升华， 逐渐发展成微分动力系统。 塞蒙斯
曾如此评价微分方程在数学中的地位，“三百年来，分析是数学里首要
的分支，而微分方程又是分析的心脏。 这是初等微积分的天然后继课，
又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的
的 线 性 方 程 ， 如 果 把 x 看 成 是 y 的 函 数 ， 原 方 程 可 以 改 写 为 dx = dy
xy2-1 y3
，这是关于 x 的线性方程，一般的学生想不到。
还有贝努里方
程，齐次方程的初等解法对学生来讲，也是个难点。 可是等学习了全微
分方程和积分因子法之后，这些问题就会迎刃而解。 用积分因子法可