自旋模型简述
从自旋模型到强关联系统的理论研究与实验验证
从自旋模型到强关联系统的理论研究与实验验证引言：自旋模型和强关联系统是凝聚态物理中两个重要的研究领域。
自旋模型是一种用来描述物质中自旋自由度的数学模型，而强关联系统则涉及多体系统中的强关联效应。
本文将探讨这两个领域的理论研究进展以及实验验证，以期加深对它们的理解。
1. 自旋模型的理论研究：自旋模型最早被引入是为了描述铁磁性材料中自旋有序的现象。
最简单的自旋模型是伊辛模型，其中自旋只能在正负两个方向上取值。
这一模型的理论研究主要集中在统计物理中，采用玻尔兹曼分布理论等方法，研究自旋系统的热力学性质。
随着理论的发展，自旋模型的种类也变得更加丰富。
海森堡模型考虑自旋之间的相互作用，能够描述更复杂的自旋系统。
而量子自旋涉及到自旋的量子化效应，需要用到量子力学的方法进行研究。
2. 强关联系统的理论研究：强关联系统是指多体系统中电子之间的相互作用很强的情况。
在这样的系统中，简单的微扰理论无法应用，就需要采用更加复杂的方法进行研究。
例如，研究Hubbard模型可以揭示强关联系统中的电子行为。
理论研究中，近似方法被广泛应用于处理强关联系统。
例如平均场理论、全局近似和重整化群方法等。
这些方法有效地帮助我们理解强关联系统中的各种现象，如金属-绝缘体转变、拓扑相变等。
3. 实验验证：理论的进展得到了实验的验证，从而加强了我们对自旋模型和强关联系统的理解和信心。
在自旋模型方面，实验上使用核磁共振、中子散射等技术对材料中自旋自由度进行直接观测。
通过对自旋的动力学和态密度等性质的测量，实验证明了自旋模型的正确性。
在量子自旋系统中，超导量子比特实验也给出了对自旋的量子化描述的实验证据。
在强关联系统方面，实验室中的角分辨光电子能谱和电子能损谱等技术，提供了对强关联系统中电子行为的直接观测。
通过这些实验手段，我们可以研究强关联系统的电子结构、能带重构以及电子-声子态耦合等现象。
同时，一些新型材料的发现也为实验验证提供了机会。
例如铁基超导体、拓扑绝缘体等材料，通过对它们的精确合成和表征，我们能够验证理论模型中提出的各种现象。
自旋涨落的理论模型与分析
自旋涨落的理论模型与分析引言自旋涨落是指自旋系统在热力学平衡态下产生的涨落现象。
自旋涨落广泛存在于自旋玻璃、自旋涨落液晶等体系中，并被广泛研究和应用。
本文将介绍自旋涨落的理论模型与分析方法。
自旋涨落的基本概念自旋涨落是指自旋系统中自旋的朝向产生微小的随机改变。
在温度为零的条件下，自旋涨落不存在；而在有限温度下，自旋系统由于热运动而呈现涨落现象。
自旋涨落的理论模型自旋涨落的理论模型通常是基于自旋系统的哈密顿量和热力学平衡态下的统计物理学。
常用的理论模型包括伊辛模型、海森堡模型等。
这些模型通常将自旋系统抽象为一个网格，每个网格点上的自旋可以取不同的值，通过哈密顿量来描述自旋之间的相互作用。
然后利用统计物理学的方法，可以得到自旋涨落的性质。
伊辛模型伊辛模型是描述自旋涨落的重要模型之一。
在伊辛模型中，自旋系统被描述为一个二维网络，每个网络节点上的自旋可以取向上或向下两个状态。
伊辛模型的哈密顿量可以写为：$$H = -\\sum_{\\langle i, j \\rangle}J_{ij}s_is_j - \\mu \\sum_is_iB$$其中，$\\langle i, j \\rangle$表示相邻节点对之间的求和，J ij表示自旋之间的相互作用强度，s i表示节点i上的自旋取向，B表示外部磁场强度，$\\mu$表示磁矩。
通过对伊辛模型进行统计物理学的分析，可以得到自旋涨落的各种性质。
海森堡模型海森堡模型是一种描述自旋系统的量子力学模型，常用于描述自旋涨落液晶等体系。
在海森堡模型中，自旋被描述为一个三维矢量，表示自旋的取向和大小。
海森堡模型的哈密顿量可以写为：$$H = -J\\sum_{\\langle i, j \\rangle}\\mathbf{S}_i \\cdot \\mathbf{S}_j - \\mu \\sum_i\\mathbf{S}_i\\cdot\\mathbf{B}$$其中，$\\mathbf{S}_i$表示自旋矢量，$\\langle i, j \\rangle$表示相邻节点对之间的求和，J表示自旋之间的相互作用强度，$\\mathbf{B}$表示外部磁场矢量，$\\mu$表示磁矩。
理论计算物理中的自旋模型及其应用
理论计算物理中的自旋模型及其应用自旋模型是理论物理中最常见的一种模型，它是用来描述相互作用的无质量自旋单元之间的相互作用的。
自旋模型在物理学的许多领域中都有重要的应用，如凝聚态物理、高能物理、量子信息和量子场论等领域。
自旋模型涉及到一些基本的物理概念，如自旋、相互作用、哈密顿量和能量等。
自旋是指粒子固有的旋转量子数，它可以是整数或半整数，如电子的自旋就是1/2。
相互作用是指粒子之间的相互作用力，可以是吸引或排斥力。
哈密顿量是描述系统总能量的函数，可以通过求解哈密顿量的本征值来确定系统的能量。
自旋模型中最简单的是伊辛模型，它是一个描述磁性的模型，用于模拟材料中的自旋构成的磁簇团。
在伊辛模型中，每个自旋可以处于上或下的两个离散状态。
自旋之间的相互作用可以通过定义简单的能量函数来实现。
另一个常见的自旋模型是海森堡模型，它是一个描述自旋为半整数的模型，用于研究量子自旋系统的性质。
在海森堡模型中，自旋之间通过交换相互作用，这种交换相互作用与量子力学中的泡利不相容原理有关。
虽然自旋模型有诸多的理论，但是它们在实际的物理研究中仍然被广泛应用。
例如，在凝聚态物理中，自旋模型可以用于研究磁性体、铁磁性体、反铁磁性体、自旋玻璃和自旋输运等问题。
在高能物理中，自旋模型可以用于描述粒子的自旋、考虑自旋的横向动量分布、提高强子阵列探测器探测的灵敏度和精度等。
在量子信息和量子场论中，自旋模型可以用于研究量子计算、量子通信、量子纠缠和拓扑序等问题。
总之，自旋模型可以描述多种自旋系统，有着广泛的应用，对物理学的发展起着重要的作用。
通过不断发展和完善自旋模型的理论，可以更全面地理解自旋系统，加深我们对自然规律的理解。
稀土材料的磁性质研究
稀土材料的磁性质研究引言稀土材料是一类具有特殊性质的磁性材料，在磁学领域具有广泛的应用。
稀土材料的磁性质研究对于深入了解其结构和性能具有重要意义。
本文将对稀土材料的磁性质研究进行探讨，包括稀土材料的基本特性、磁性的产生机制以及磁性质的研究方法。
稀土材料的基本特性稀土材料是由一系列稀土元素组成的合金，在周期表中位于镧系元素之后的一组元素。
稀土元素具有丰富的电子结构和特殊的磁性质，使得稀土材料在磁学领域具有独特的性能。
稀土材料的基本特性包括以下几个方面： 1. 稀土材料具有较大的磁矩：由于稀土元素的特殊电子结构，稀土材料的磁矩比一般的磁性材料要大。
这使得稀土材料在电磁领域具有更强的磁化能力和更高的磁导率。
2. 稀土材料具有较高的磁滞回线：磁滞回线是指材料在磁化过程中的磁化和去磁化过程之间的差异。
稀土材料由于其特殊的结构，具有较高的磁滞回线，这使得稀土材料在磁性传感器和磁记录领域有着重要的应用。
3. 稀土材料具有较高的磁共振频率：磁共振频率是指材料在外加磁场作用下的共振频率。
稀土材料由于其特殊的结构和电子配置，具有较高的磁共振频率，使得稀土材料在核磁共振成像等领域具有重要的应用。
稀土材料磁性的产生机制稀土材料的磁性是由其特殊的电子结构和磁矩相互作用而产生的。
稀土元素的电子结构具有特殊的规律，使得稀土材料具有较大的磁矩。
稀土材料的磁性主要通过以下几种机制产生： 1. 自旋磁矩：稀土材料中的电子自旋与核自旋相互作用，形成了自旋磁矩。
自旋磁矩是稀土材料磁性的主要来源。
2. 轨道磁矩：稀土材料中的电子在外加磁场作用下，轨道运动状态发生改变，形成了轨道磁矩。
轨道磁矩与自旋磁矩相互作用，共同确定了稀土材料的磁性质。
3. 交换相互作用：稀土材料中的磁矩之间通过交换相互作用相互影响，形成了磁性。
交换相互作用是稀土材料磁性的重要机制之一。
稀土材料磁性质的研究方法稀土材料磁性质的研究方法主要包括实验方法和理论方法两大类。
多体物理学中的格林函数和自旋模型
多体物理学中的格林函数和自旋模型在多体物理学中，格林函数和自旋模型是两个重要的概念。
格林函数是用来描述粒子的行为和相互作用的数学工具，而自旋模型则是描述自旋在晶体中的行为的模型。
本文将探讨格林函数和自旋模型在多体物理学中的应用和重要性。
一、格林函数的概念和应用1. 格林函数的定义格林函数是描述量子力学体系中粒子性质和相互作用的函数。
它可以用来计算系统的各种物理量，比如能谱、传输性质等。
格林函数的定义如下：G(x, t) = -i〈T [Ψ(x, t)Ψ†(0, 0)]〉其中，G(x, t)是格林函数，Ψ(x, t)是场算符，Ψ†(0, 0)是场算符的厄米共轭，T表示时间序列算符，〈...〉表示对量子态求平均。
2. 格林函数的物理意义格林函数的物理意义在于它能够描述系统中的激发态和相互作用过程。
通过计算格林函数，我们可以了解到系统中激发态的分布和传播情况，从而揭示出系统的微观性质和宏观行为。
3. 格林函数的应用格林函数在固体物理、凝聚态物理和量子场论等领域有着广泛的应用。
例如，在凝聚态物理中，我们可以利用格林函数来研究电子在晶体中的传导行为，进而揭示材料的导电性质和磁性行为。
在量子场论中，格林函数则可以用来计算粒子的散射截面和衰变率等物理量。
二、自旋模型的概念和应用1. 自旋模型的定义自旋模型是一种用自旋来描述自旋系统行为的模型。
自旋是一种量子力学概念，用来描述粒子自身固有的角动量。
自旋模型通常采用哈密顿量来描述系统的能量和相互作用关系。
2. 自旋模型的物理意义自旋模型的物理意义在于它能够揭示出自旋系统的量子行为和相互作用。
自旋模型可以用来研究磁性材料中的自旋构型和磁矩的行为，进而揭示出材料的磁性性质和相变行为。
3. 自旋模型的应用自旋模型在凝聚态物理和量子信息学等领域有着广泛的应用。
例如，在磁性材料中，我们可以利用自旋模型来研究磁性相变和磁矩的行为，从而揭示材料的自旋动力学和磁性行为。
在量子信息学中，自旋模型则可以用来构建量子比特和实现量子计算等。
introduction on ising model -回复
introduction on ising model -回复是的，“Ising模型”是一个用于研究统计物理系统中自旋的理论模型。
这个模型最早由德国物理学家Ernst Ising在1925年提出，在描述铁磁性材料中的自旋相互作用时具有重要的应用。
Ising模型是一个简化的模型，它使我们能够更好地理解和预测铁磁性材料中自旋的行为。
第一部分：自旋的概念和重要性（300-400字）在介绍Ising模型之前，我们先来了解一下什么是自旋。
自旋是一种微观粒子的固有属性，它类似于物体的旋转，但与传统的旋转不同，自旋是量子性质，它描述了粒子的角动量和磁矩取向。
自旋在统计物理学中是一个十分重要的概念，因为它对于理解和解释许多物理现象具有关键作用。
铁磁性材料就是一个很好的例子。
在这些材料中，自旋之间存在作用力，导致了宏观上我们所观察到的磁性行为。
因此，研究自旋的相互作用和行为对于我们理解铁磁性材料的性质至关重要。
第二部分：Ising模型的基本原理（600-800字）Ising模型是描述自旋相互作用的一种理论模型。
它假设了一个离散的空间，其中包含了N个自旋，每个自旋只能取向上（+1）或向下（-1）。
这个模型可以用一个N位的序列来表示，比如“+1 -1 +1 -1 +1....”。
Ising模型基于以下两个假设：1. 自旋之间的相互作用仅影响相邻自旋。
2. 自旋在一个磁场中感受到一个外部场的影响。
Ising模型的Hamiltonian（能量函数）可以写成以下形式：H = -JΣ(si * sj) - μBΣhi * si其中J是自旋之间的相互作用常数，si和sj表示第i个和第j个自旋的取向，μB是玻尔磁子，hi表示第i个自旋在外加磁场中的大小。
通过求解这个Hamiltonian，我们可以得到系统的能量和自旋的平均取向。
第三部分：Ising模型的应用（500-700字）Ising模型在统计物理和材料科学中具有广泛的应用。
原子核的磁矩与自旋的理论模型及其在核物理研究中的作用
原子核的磁矩与自旋的理论模型及其在核物理研究中的作用自旋是微观粒子的一个内禀性质，它是描述粒子围绕自身轴心旋转的角动量。
原子核是由质子和中子组成的，它们都具有自旋。
自旋给原子核带来了磁矩，磁矩是描述粒子在外磁场中的相互作用的重要物理量。
原子核的磁矩与自旋之间的关系在核物理研究中发挥着重要的作用，本文将介绍原子核的磁矩与自旋的理论模型，并探讨它们在核物理研究中的应用。
第一部分：原子核的磁矩与自旋的理论模型1. 自旋和磁矩的概念自旋是描述粒子内禀旋转的角动量，它与粒子的自旋量子数相关。
粒子的自旋量子数可以是整数或半整数。
磁矩是描述原子核在外磁场中的相互作用的物理量，它与自旋有着密切的关系。
2. 磁矩的表达式原子核的磁矩可以通过自旋磁矩与轨道磁矩之和来计算。
自旋磁矩由自旋量子数和朗德因子决定，而轨道磁矩则与粒子的轨道运动有关。
原子核的总磁矩由这两部分磁矩的叠加决定。
3. 自旋-磁矩耦合模型自旋-磁矩耦合模型是描述原子核磁矩与自旋之间关系的重要模型。
该模型将自旋磁矩与轨道磁矩进行耦合，考虑了它们在磁场中的相互作用。
通过自旋-磁矩耦合模型，可以对原子核的磁矩与自旋进行较为准确的描述。
第二部分：原子核磁矩与自旋在核物理研究中的作用1. 核磁共振技术核磁共振技术是利用原子核的磁矩与自旋之间的相互作用来研究物质结构和性质的一种重要方法。
通过核磁共振技术，可以获得物质的分子结构信息、动力学性质等。
核磁共振技术在化学、生物学、医学等领域有着广泛的应用。
2. 磁共振成像磁共振成像是一种利用核磁共振原理对人体进行断层扫描的成像技术。
它通过检测原子核的磁矩与自旋之间的相互作用，生成人体内部的高分辨率图像，从而实现对疾病的早期诊断和治疗。
磁共振成像在医学影像学中扮演着重要角色，对提高诊断准确性和治疗效果起到关键作用。
3. 原子核结构研究原子核的磁矩与自旋在研究原子核结构方面具有重要作用。
通过对原子核的磁矩和自旋进行测量，可以获得原子核的一些基本性质，如核自旋、核磁矩以及能级结构等。
原子核的磁矩与自旋的理论模型及其在核物理研究中的作用
原子核的磁矩与自旋的理论模型及其在核物理研究中的作用随着科学技术的发展，人们对于原子核的研究日益深入。
而原子核的磁矩与自旋是原子核物理研究中的重要概念，其理论模型为我们解释了原子核的磁性行为以及原子核的内部结构。
本文将介绍原子核的磁矩与自旋的理论模型，并探讨其在核物理研究中的作用。
1. 原子核的磁矩原子核的磁矩是指原子核在外磁场下所表现出的磁性行为。
它是通过原子核中带电粒子的运动而产生的。
根据电荷和质量的量子化，原子核的磁矩由质子和中子的磁矩所决定。
质子和中子都带有自旋和轨道角动量，从而具有磁矩。
原子核的总磁矩是由质子和中子的磁矩相互作用而形成的。
2. 原子核的自旋原子核的自旋是指原子核内部核子的自旋所表现出的性质。
它是核子自身的内禀性质，不受外界因素影响。
原子核的自旋可以通过核磁共振实验等方法进行测量。
在核物理研究中，原子核的自旋是一个重要的物理量，它与原子核的磁矩密切相关。
3. 原子核的理论模型在研究原子核的磁矩与自旋时，我们可以运用不同的理论模型来描述原子核的内部结构和性质。
其中，Shell模型和液滴模型是最为常用的两种模型。
Shell模型认为原子核中的质子和中子占据不同的能级壳层，类似于电子在原子中的排布。
这种模型可以很好地解释一些原子核性质，如原子核的稳定性和奇偶性等，从而为核物理研究提供了重要参考。
液滴模型则将原子核看作一个液滴，通过描述原子核内部粒子的排列和运动规律，解释了一些原子核性质，如核的形状、核的振动和旋转等现象。
液滴模型可以帮助我们理解原子核的形状变化以及核的动力学行为。
4. 原子核磁矩与自旋的应用原子核的磁矩与自旋在核物理研究中有着广泛的应用。
首先，通过测量原子核的磁矩和自旋，可以获得原子核的内部结构和性质，从而揭示原子核的物理本质。
其次，在核磁共振技术中，原子核的磁矩与自旋被广泛应用于医学诊断、材料科学、化学分析等领域，为人们提供了强大的工具和手段。
此外，原子核的磁矩与自旋还可以用于核能量级结构的研究、核反应的分析和预测等方面。
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自旋模型简述1、自旋的基本概念与表述自旋是电子的基本性质之一，是电子内禀运动量子数的简称。
电子自旋的概念是由Uhlenbeck 和Goudsmit 为了解释碱金属原子光谱的精细结构以及反常Zeeman 效应而提出的。
他们认为电子的运动与地球绕太阳运动相似，电子一方面绕原子核运动，从而产生了相应的轨道角动量；而另一方面它又有着自转，其自转的角动量为ħ/2，并且它在空间任何方向的投影都只能取两个值，即±ħ/2(也就是自旋向上和向下两个状态↑↓)，与自旋相对应的磁矩则是eħ/2mc 。
当然，这样带有机械性质的概念是不正确的，而自旋作为电子的内禀属性，是标志电子等各种粒子(如质子、中子等)的一个重要的物理量。
对于自旋这个自由度，我们一般用算符ŝ表示(这里的记号^表示算符，在下文中为了简便我们将略去这一记号)。
因为自旋角动量与轨道角动量有着相同的特征，所以一般也认为它们具有相同的对易关系，即s ⨯s =iħs 。
在这里我们引入泡利算符s =σħ/2。
由于s 沿任何表象的投影都只能取±ħ/2两个值，即σ沿任何方向的投影只能取±1这两个值，所以泡利算符σ的每个分量都可以用2⨯2的矩阵来表示。
我们一般采用σz 分量对角化的表象，得到其矩阵表示：i i z y x ,1001,00,0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σσσ (1-1)这样的表示就是著名的Pauli 矩阵。
2、自旋模型的形式2.1 物质的磁性与自旋模型由于原子核的磁矩很小，物质的磁矩可以看成其轨道磁矩和自旋磁矩之和。
电子的总磁矩(轨道磁矩+自旋磁矩)，直接体现为物质的宏观磁性。
而对于过渡金属的原子或离子，因为轨道角动量的冻结，其磁性主要来源于未配对电子的自旋磁矩。
对于物质的磁性，很早以来就有着广泛的研究，比如Langevin的顺磁理论，Wiess的分子场理论，Bloch的自旋波理论。
这些理论中，原子(离子)都具有磁矩，而磁矩之间存在着一定的相互作用。
在绝对零度以上，每个原子都在做热振动，磁矩的方向也在作同样的振动，而磁矩间的相互作用又使得每个磁矩趋向于某种有序的排列，这就是物质宏观磁性的来源。
磁矩之间的相互作用有很多种：1、经典的磁偶极子之间相互作用。
2、交换相互作用(也称直接交换相互作用)。
氢分子模型、海森堡交换模型就是采用这一类的相互作用。
交换相互作用没有相应的经典对应，它来自于电子间的库伦作用以及量子力学的全同粒子系特性。
下面所说的其它种类的交换相互作用也是基于这样的原理。
3、超交换相互作用(也称间接交换相互作用)。
这种相互作用由Kramers于1934首先提出，用于解释反铁磁性的自发磁化的起源。
它是阳离子的电子以氧离子的p电子为媒介进行间接的相互作用。
4、RKKY相互作用。
这种相互作用由Ruderman、Kittel、Kasuya以及Yosida 提出的，是一种以巡游电子为媒介，使得磁性原子(或离子)中的局域电子自旋与其邻近的磁性原子(或离子)中的局域电子自旋产生的交换相互作用。
5、双交换相互作用。
以氧离子为媒介，两个不同价态的过渡族粒子间之交换相互作用。
在锰氧化物中，这种相互作用就起到了十分重要的作用。
以上的几种相互作用中，除了偶极间的相互作用是一种经典的相互作用，而其余的几种交换相互作用却是基于体系的量子特性，即全同粒子的特征。
这样的相互作用，在我们研究物质的磁性以及其它以磁性相关的性质，或者以磁性变化为主导的相变时，起着至关重要的作用。
对于这类的磁性原子体系，我们认为它们位于某种晶格格点位置上，通过磁矩进行相互作用，我们可以建立一种自旋模型来进行描述，其最基本的形式可以写成如下的哈密顿量：()∑∑-+-=⊥j i z j z i z j i j i y j y i x j x i j i s s J s s s s J H ,,,,，(1-2)这里的s i 是自旋算符，上标x ，y 以及z 为s i 在三个方向的投影，可以分别对应泡利矩阵的三个分量。
J ij ⊥和J ij z 代表着位于格点i 和格点j 上原子磁矩之间的相互作用，这样的相互作用可以是我们之前所说的几种交换相互作用中的任意一种。
对于自旋算符s i ，我们可以做如下的变换：s ±=s x ±is y ，这里s +算符将自旋向上的状态转换为自旋向下的状态，而s -算符则是将自旋向下的状态转换为自旋向上的状态。
哈密顿量(1-2)可以重新表达为如下的形式:()∑∑-+-=+--+⊥j i z j z i z j i j i j i j i j i s s J s s s s J H ,,,,2。
(1-3)对于哈密顿量(1-2)和(1-3)，当我们取J ⊥ij =J z ij 时，就成了Heisenberg 模型；取J ij ⊥=0时，这个哈密顿量是对角化的，自旋只有向上和向下两种取向，即±ħ/2，这样的模型就是著名的Ising 模型；而如果J z ij =0时，得到的则是XY 模型。
2.2 Heisenberg 模型简述在Weiss 提出分子场假说20年后，Heisenberg 提出了电子间的交换相互作用导致了自发磁化的产生，并且按这一模型，也就是Heisenberg 模型计算了自发磁化随温度变化的性质，为铁磁性量子理论的发展奠定了基础[1]。
假设系统是均匀的，只考虑最近邻相互作用，Heisenberg 模型的哈密顿量可以写成如下形式：∑∑-⋅-=i i B j i j i s h s s J H μ,，(1-4)其中s i 表示位于格点i 处的自旋，是矢量(s x , s y , s z )，J 是交换相互作用常数，这里我们取J >0代表铁磁相互作用，而J <0代表反铁磁相互作用，μB 为Bohr 磁矩，h 是外磁场。
图1.1 氢分子电子云分布示意图。
我们知道交换相互作用和任何一种经典的相互作用都没有对应，它是一种量子行为，是由粒子的全同性产生的相互作用。
为了理解这种特殊的相互作用，通常以氢分子这种最简单的模型为例来说明。
如图1.1所示，一个氢分子的系统，由两个原子核a ，b ，以及两个电子1，2组成。
r mn 代表粒子m 与粒子n 之间的距离，其中m ，n =a ，b ，1，2，且m ≠n 。
氢分子的哈密顿量可以写为： ()ab b b a a r e r e r e r e r e r e m H 212222122212222122++----∇+∇-=η， (1-5)设 ()()()122212222222122122,12221b a b b a a r e r e r e V r e m H r e m H --=-∇-=-∇-=ηη， (1-6)其中H a (1)与H b (2)是两个孤立氢原子的哈密顿量， V (1, 2)是两原子间的相互作用，而哈密顿量(1-5)中的最后一项是常数，对本征态没有影响。
我们用ϕa (1)与ϕb (2)分别代表H a (1)与H b (2)两个本征态，则ϕa (1)⋅ϕb (2)是下列Schrödinger 方程的本征态：()()[]00021Φ=Φ+E H H b a ， (1-7)有粒子的全同性可知ϕa (2)⋅ϕb (1)也是Schrödinger 方程(1-7)的本征态(相当于将电子1与电子2互换)。
考虑到电子自旋的波函数，以及对Fermi 子波函数反对称的要求，我们可以写出氢分子基态波函数的近似形式：()()()()[]()()()()()[]()2,121212,12121S a b b a II A a b b a I φϕϕϕϕψφϕϕϕϕψ-=+=， (1-8) 这里φA (1,2)与φS (1,2)分别是电子波函数的单态和三重态。
所以，ψI 态两电子反平行，而ψII 态两电子平行。
从哈密顿量(1-5)出发，这两个波函数所对应的能量为：2202201212∆--++=∆++++=J U r e E E J U r e E E ab II ab I ， (1-9)其中U 是库伦排斥能，而J 是交换相互作用能，∆为a ，b 原子波函数的重叠积分：()()()()()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==∆**==212121222211122,12122,11τϕϕτϕϕττϕϕϕϕττϕϕd d d d V J d d V U b a b a b a b a b a ，(1-10)这里⎰d τ1，⎰d τ2为电子1，2的全空间积分，而∆显然是在0和1之间的。
因此对于能量E I 和E II 我们，当J <0时，E I <E II ，两电子趋向反平行排列；而当J >0时，E II <E I ，两电子趋向平行排列。
这和我们之前对于Heisenberg 模型的描述是一致的。
从以上对于氢分子模型的计算，交换相互作用能是量子力学的结果，虽然它和库伦势同样和电子间的库伦相互作用有关，但我们并不能找到其经典的对应。
从直观上看，交换相互作用能来源于电子波函数的交叠，在交叠区域电子是不可识别的，如果我们仍然按照处理宏观粒子的方式对其标识，则不可避免的会引入交换相互作用能。
从Heisenberg 模型我们知道了Weiss 的‘分子场’实际上是交换相互作用的‘平均场’。
而Heisenberg 模型作为一种量子磁性最基本的相互作用模型已经被运用于极为广泛的领域。
在某一些物质中，部分未配对电子会被局域在离子实周围。
当这部分局域电子数目较多(一般来说大于3)的时候，我们可以在一定程度上忽略其量子效应，即电子的自旋s 可以不再被看成是算符而是一个经典的磁矩。
比如在锰氧化物中，Mn 离子的3d 轨道上的电子可分为两类，一种叫e g 电子，另一种叫t 2g 电子。
其中e g 电子是可以通过双交换相互作用在Mn 离子之间移动的，而t 2g 电子则是局域在Mn 离子周围的。
这一体系的哈密顿量可以简单的写成[2]：∑∑∑+++⋅-⋅--=ia a i i AF i i i H ia a i i a S S J S s J d d t H αβσβσασαβ，(1-11)其中s i 代表e g 电子，用Pauli 算符；而S i 代表t 2g 电子，由于有三个t 2g 电子局域在Mn 离子周围，所以S i 可以看作是自旋为3/2的磁矩。
哈密顿量的第一项代表双交换相互作用；第二项是Mn 离子内部的Hund 相互作用，也就是e g 电子(s i )与t 2g 电子(S i )的相互作用；第三项不同格点t 2g 电子间的Heisenberg 相互作用。
Heisenberg 模型的许多拓展也在物理学各个领域中得到运用。