不规则图形面积的求法九年级中考复习

不规则图形面积的求法 （九年级中考复习）
山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉 276411
求不规则图形面积的基本思路是通过分割、重叠、等积替换等方法把不规则图形转化为规则图形或规则图形面积的和差。

一、等积替换
（1）三角形等积替换
依据：等底等高的三角形面积相等或全等的三角形面积相等。

例1、如图1所示，半圆O 中,直径AB 长为4,C 、D 为半圆O 的三等分
点.,求阴影部分的面积.
解：连结OC 、OD ，
由C 、D 为半圆O 的三等分点知：∠COD=60°，且∠ADC=∠DAB=30°，
∴CD ∥AB ，所以ODC ADC S S ∆∆=（同底等高的三角形面积相等）
∴＝＝扇形阴影OCD S S ππ323602602=⨯⨯ 例2、如图2所示，在矩形ABCD 中,AB=1,以AD 为直径的
半圆与BC 切于M 点,求阴影部分面积.
解：由AB ＝1，半圆与BC 相切，得AD ＝2
取AD 的中点O ，则OD ＝BM ＝1。

连结OM 交
BD 于E; 则△OED ≌△MEB
∴MEB OED S S ∆∆= （全等三角形面积相等） ∴＝＝扇形阴影OMD S S 4
3601902ππ=⨯⨯ (２）弓形等积替换
依据：等弧所对的弓形面积相等。

例3、 在RT △ABC 中,∠B=90°,AB=BC=4,AB 为直径的⊙O
交AC 于点D, 求图中两个阴影部分的面积之和.
解：连结BD ，由AB 为⊙O 的直径得∠ADB ＝90°，
RT △ABC 中∠B ＝90°AB ＝BC ＝4，
得∠A ＝45°且AC ＝42，AD ＝BD ＝CD ＝22
∴A D BnD S S 弓形m 弓形＝
∴CDB 1
1S CD BD 2222422
S ∆⨯⨯⨯⨯阴影＝＝＝＝ 例4、点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是圆周上四点，且»
AB ＋»CD ＝»AC ＋»BD ， 弦ＡＢ＝８，ＣＤ＝４，求两个阴影部分的面积之和。

A 图2
图4
解：作⊙ O 的直径BE 连结AE ，则∠BAE ＝90°，»
»AB AE =＋半圆； 又∵»
AB ＋»CD ＝»AC ＋»BD ＝»»»»1AB CD AC BD 2（＋＋＋）＝半圆， ∴»AE ＝»CD ，所以A E C D S m n S 弓形弓形＝，AE=CD=4。

∴BE 2=AE 2+AB 2 ∴BE=228445＋＝ ∴ 2
RT ABE O 1451S S S 841016222
ππ∆⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭阴影半圆＝－＝－＝－ 二、整体思想（各部分的面积无法求得，但各部分面积的和或差可求得） 例5、如图5所示，一个同心圆环中，大圆的弦ＡＢ与小圆相切于Ｃ，
且ＡＢ＝６，求圆环的面积
分析：按照常规思路，圆环的面积等于大小圆的面积之差，而两圆的
半径大小未知，好像是无法求得；但()2222S S S R R r r πππ圆环大圆小圆＝－＝－＝－，这里我们需要的两圆半径
差的平方，而不是两圆的半径。

解：连结OC 、OB ，由AB 为小⊙O 的切线得∠OCB 为直角；
BC ＝12
AB ＝3，OB 2－OC 2＝BC 2＝9 ∴()
2222S S S OB OC OB OC 9ππππ圆环大圆小圆＝－＝－＝－＝
例6、如图:圆Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ相互外离，它们的半径都是１， 顺
次连结五个圆的圆心，得五边形ＡＢＣＤＥ，则图中五个扇形的面积之
和是＿＿。

( 2002年甘肃中考题)
分析：圆心角不知大小，所以每个扇形的面积无法求得，但是所有
的圆心角之和可求得∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝（5-2）×180°
=540°
例7、如图7所示，直角坐标系中，以原点为圆心的三个同心
圆，最大的圆为单位圆（即半径为1），
求图中阴影部分的面积之和。

分析：各部分的面积之和无法求得，但将第二、三象限的阴
影绕点O 旋转至第一象限后得扇形OAB 。

解：2OAB 901S 3604S ππ⨯⨯阴影扇形为＝＝＝
()22222
22A 1B 1C 1D 1E 1S 360360360360360
A B C D E 1540133603602
ππππππππ∠⨯⨯∠⨯⨯∠⨯⨯∠⨯⨯∠⨯⨯∠∠∠∠∠⨯⨯⨯⨯扇形的面积和解：＝＋＋＋＋＋＋＋＋＝＝＝
三、求重叠部分的面积 （重叠部分的面积等于组成图形的各部分的面积之和减去组合成的新图形的面积之差。

）
例8、如图8所示，正方形ABCD 的边长为a ，
以各边为直径在正方形内画半圆， 求阴影部分的面积
之和。

（1997年广东中考题）
分析：图中阴影部分是四个半圆重叠部分，阴影部分之和等于四个半圆
面积之和减去正方形的面积。

解：
222221802S 4S S 4136022a a a a a πππ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭⨯-=⨯-=- ⎪⎝⎭
阴影正方形半圆＝－＝ 例9、如图9所示，国际奥委会会旗上的图案是由代表五
大洲的五个圆环组成，每个圆环的内、外径分别是8和10，图
中两两相交成的小曲边四边形（黑色部分）的面积相等，已知
五个圆环覆盖的面积为122.5平方单位，计算每个小曲边四边
形的面积为＿＿平方单位。

分析：图中黑色部分是五个圆环的重叠部分，所以这8个
曲边四边形的面积之和等于五个圆环的面积之和减去图中五个
圆环覆盖的面积。

()()()()22111S 5S S 554122.5888145122.58
S ππ⎡⎤⨯⨯⎣⎦圆环阴影和曲四边形覆盖解：＝＝－＝－－＝－平方单位 四、分割转化 （把不规则图形分割为规则图形的面积的和或差。

）
例10、 如图10所示，:正方形ABCD 的边长为a,以相邻的两边为直径分
别画两个半圆. 求阴影部分的面积.
分析：将不规则的阴影部分分割成几个规则的部分的面积之和。

解：取两半圆弧的交点O ，作OE ⊥AB 于E ， 作OF ⊥BC 于F ，
则得到小正方形OEBF 、扇形EOB 、扇形FOB 。

S
阴影＝S 扇形OEA ＋S 扇形OFC ＋S 正方形OEBF ＝()2222290902a 222360360488a a a a a ππππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭++=+= ⎪⎝⎭
例11、如图：四边形ABCD 为某住宅区的示意图，其周
长为800米，为美化环境，计划在住宅区周围5米以外作
为绿化带（虚线以内，四边形以外）；求此绿化带的面积。

分析：要求该不规则图形的面积，将阴影分割为四个
矩形和四个扇形，进而求得这个阴影部分的面积。

解：如图分割成四个矩形和四个扇形；
图9
=+++ADQE CNPD BHMC ABGF S S S S 矩形矩形矩形5（AB ＋BC ＋CD ＋DA ）=5×800＝4000 （m 2） ∠EAF=360°－2 ×90°－ ∠A=180°－∠A
（即∠EAF 等于∠A 的外角），同理可得∠GBH 、∠MCN 、∠QDP 分别等于∠B 、∠C 、∠D 的外角。

由多边形的外角和是360°；所以∠EAF ＋∠GBH ＋∠MCN ＋∠QDP ＝360°()253602536036025AEF BGH CMN DPQ
EAF GBH MCN PDQ S S S S πππ
∠+∠+∠+∠⨯⨯⨯+++===扇形扇形扇形扇形()2
254000m S π+=阴影 ∴S 绿化带＝（4000＋25π ） 平方米
例12、（2007年，滨洲）如图所示，分别以n 边形
的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影
部分的面积之和为_________个平方单位。

分析：图中各扇形的圆心角无法求，但是所有
扇形的圆心角这和恰好是n 边形的外角和，显然等
于360°。

即∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠n ＝360°
解：2222
1121+31++1360
n S ππππ∠⨯⨯+∠⨯⨯∠⨯⨯∠⨯⨯L 阴影＝ ＝()21231360360360n πππ∠∠∠∠⨯⨯L
＋＋＋＝＝。