51-子空间直和的判定与证明

子空间直和的判定与证明
一、直和的定义：
设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式
α=α1+α2，α1?V1，α2?V2，
是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.
二、判定定理：
1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式
α1+α2=0，αi?Vi （i=1,2）
只有在αi全为零向量时才成立.
证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。

必要性：显然成立；
充分性：设α?V1+V2，它有两个分解式
α=α1+α2=β1+β2，αi,βi?Vi （i=1,2）
于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.
其中αi-βi?Vi （i=1,2）.由定理的条件，应有
α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.
这就是说，向量α的分解式是唯一的。

2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是 V1∩V2={0}.
证明：充分性：假设α1+α2=0，αi?Vi （i=1,2）
那么α1=-α2? V1∩V2.
由假设α1=α2=0.
这就是证明了V1+V2是直和。

必要性：任取向量α?V1∩V2，于是零向量可以表成
0=α+（-α），α?V1，—α?V2.
因为是直和，所以α=-α=0，
这就证明了V1∩V2={0}.
3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必
要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.
证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，
维（V1∩V2）=0，则 V1∩V2={0}，
由定理2得，V1+V2是直和。

必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），
由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是
V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，
则维（W）=维（V1）+维（V2）.
4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W.
证明：取U得一组基α1，……，αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。

三、（1）直和的定义1：
设V1，V2, ……Vs都是线性空间V的子空间，如果和V1+V2+……+Vs中每个向量α的分解式α=α1+α2+……+αs，αi?Vi （i=1,2, ……,s）是唯一的，这个和就是直和，记为V1⊕V2⊕……⊕Vs.
（2）直和的定义2：
W=ΣVi是直和的充分必要条件是：1> 零向量的表法不唯一；
2> Vi∩ΣVj={0} (i=1,2, ……，s)；
3> 维（W）=Σ维（Vi）（i=1,2, ……，s）.
四、例题：
1．已知P n*n的两个子空间
S1={A|A’=A,A?P n*n}, S2={A|A’=-A,A?P n*n},
证明：P n*n=S1⊕S2.
证明：先证P n*n=S1+S2.
对任意的A?P n*n，有A=(A+A’)/2+(A-A’)/2=B+C,
其中，B=(A+A’)/2, C=(A-A’)/2,
容易验证B’=B, C’=-C.
所以 B?S1， C?S2，即有P n*n=S1+S2.
再证S1∩S2={0}.
若D? S1∩S2,则 D’=D, D’=-D,
所以D=0,即S1∩S2={0}.
综上得，P n*n=S1⊕S2.
2.设V1，V2分别是齐次方程组x1+x2+……+xn=0和x1=x2=……=xn的解空间，
证明P n= V1⊕V2.
证明：齐次方程组x1+x2+……+xn=0解空间的一组基α1=（-1,1,0，……，0），α2=（-1,0,1,0，……，0），……，αn-1=（-1,0，……，0，1）.因此， V1=L（α1，α2，……，αn-1）.齐次方程组x1=x2=……=xn的一般解为
从而它的解空间的一组基为β=（1,1，……，1），因此 V2=L(β).
取向量α1，α2，……，αn-1，β，由于，
det=(-1)n-1*n≠0，
从而α1，α2，……，αn-1，β线性无关，因此它是P n的一组基，于是， P n =L（α1，α2，……，αn-1，β）.
因为V1+V2= L（α1，α2，……，αn-1）+L(β)
=L（α1，α2，……，αn-1，β）=P n.
维（V1）+维（V2）=(n-1)+1=n=维（P n）.所以 P n= V1⊕V2.
3.证明每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。

证明：设V的一组基为α1，α2，……，αn，
则V=L(α1)+L(α2)+……+L(αn)，其中L(αi)为一维空间，i=1,2，……，n.
又因为维（L(α1)）+维（L(α2)）+……+维（L(αn)）=维（V）=n
所以 V=L(α1) ⊕ L(α2)+……⊕L(αn).
482贾迪迪。