北京各区初三数学一模试题分类尺规作图与作图依据
2024北京人大附中初三一模数学试题及答案
2024北京人大附中学初三模拟数学一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）2022年5月18日是第46个国际博物馆日，今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”，在以下几幅古代纹样图案中，利用中心对称进行整体构图的是（）A．B．C．D．2．（2分）在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为（）A．1.4×105B．1.4×106C．14×105D．140×1043．（2分）下列各组角中，互为余角的是（）A．30°与150°B．35°与65°C．45°与45°D．25°与75°4．（2分）下列说法中错误的是（）A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B．关于某条直线对称的两个图形全等CD．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧5．（2分）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为x，则x＞3的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．a+b＞0D．＜07．（2分）李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如图统计表，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．1.6，1.5B．1.7，1.6C．1.7，1.7D．1.7，1.558．（2分）某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表：A．B．C．D．二、填空题9．（2分）若有意义，则x的取值范围是．10．（2分）把多项式a3﹣2a2b+ab2分解因式的结果是．11．（2分）若n为整数，且n＜＜n+1，则n的值为．12．（2分）分式方程的解x＝．13．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝．14．（2分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC 于点D．若AB：AC＝2：3，△ABD的面积为4，则△ACD的面积为．15．（2分）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则∠ABE＝°．16．（2分）以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要分钟．17．（5分）计算：（）0﹣2sin30°++（）﹣1．18．（5分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．19．（5分）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B；③作直线P A，PB；所以直线P A，PB为⊙O的切线．根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OP为OM的直径，∴∠OAP＝∠＝°（）（填推理的依据）．∴OA⊥AP，⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线（）（填推理的依据）．20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．21．（6分）已知双曲线y＝和直线y＝kx+2相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且+＝10，求k 的值．22．（6分）在△ABF中，C为AF AB＝AC．（1）尺规作图：作出以AB为直径的⊙O，⊙O分别交AC、BC于点D、E，在图上标出D、E，在图上标出D、E（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若∠BAF＝2∠CBF，求证：直线BF是⊙O的切线；（3）在（2）中，若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，2）．（1）求m的值；（2）过点A作x轴的平行线l，直线y＝2x+b与直线l交于点B，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C，与x轴交于点D．①当点C是线段BD的中点时，求b的值；②当BC＞BD时，直接写出b的取值范围．24．（6分）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．（2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为米（精确到0.1）；（3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．25．（6分）如图1，长度为6千米的国道AB两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道AB上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如表：（3）结合画出的函数图象，解决问题：①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）．（2）将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点M（x1，y1），N （x2，y2）为图形G上任意两点．①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范围．27．（6分）如图，△ABC是等边三角形，D，E两点分别在边AB，AC上，满足BD＝AE，BE与CD交于点F．（1）求∠BFD的度数；（2）以C为中心，将线段CA顺时针旋转60°得到线段CM，连接MF，点N为MF的中点，连接CN．①依题意补全图形；②若BF+CF＝k•CN，求k的值．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是（填字母）；（2）直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标；（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成n时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：140万＝1400000＝1.4×106．故选：B．【点评】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3．【分析】根据余角的定义判断即可．【解答】解：45°+45°＝90°，故选：C．【点评】本题主要考查了余角和补角的定义．余角：如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角．补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．4．【分析】根据轴对称图形的定义和性质及直角三角形的性质逐一判断即可得．【解答】解：A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴，此选项正确；B．关于某条直线对称的两个图形全等，此选项正确；C．两个全等三角形的对应高相等，此选项正确；D．两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，此选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的定义及其性质．5．【分析】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中x＞3的情况有4，5，6共3种情况，根据概率公式计算可得．【解答】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中x＞3的情况有4，5，6共3种情况，所以x＞3的概率是．故选：A．【点评】本题主要考查概率公式，掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．6．【分析】先由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，且|a|＞|b|，再判定即可．【解答】解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴a＜b，故A错误；|a|＞|b|，故B错误；a+b＜0，故C错误；＜0，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用数轴确定a，b的取值范围．利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．7．【分析】在这组数据中出现次数最多的是1.7万步，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数．【解答】解：在这组数据中出现次数最多的是1.7，即众数是1.7；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数的平均数是（1.6+1.6）÷2＝1.6，所以中位数是1.6．故选：B．【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．8．【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案．【解答】解：由表格中数据可得：0≤x＜8，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：y＝kx，则将（2，1.5）代入得：1.5＝2k，解得：k＝，故函数解析式为：y＝x（0≤x＜8），由表格中数据可得：8≤x，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：y＝，则将（12，4）代入得：a＝48，故函数解析式为：y＝（x≥8）．故函数图象D正确．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．二、填空题9．【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行判断即可．【解答】解：由题意得：x+1≠0，∴x≠﹣1；故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义，是解题的关键．10．【分析】直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：a3﹣2a2b+ab2＝a（a2﹣2ab+b2）＝a（a﹣b）2，故答案为：a（a﹣b）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用乘法公式是解题关键．11．【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．【解答】解：∵＜＜，即4＜＜5，且n为整数，n＜＜n+1，∴n＝4，故答案为：4．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提．12．【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．【解答】解：去分母得：2x＝3﹣2×2（x﹣1），去括号得：2x＝3﹣4x+4，移项，合并同类项得：6x＝7，∴x＝，经检验，x＝是原方程的解，∴x＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法的一般步骤是解题的关键．13．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD，进而得出答案．【解答】解：∵∠ABD＝50°，∴∠ACD＝50°，∵∠CAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣50°＝100°．故答案为：100°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．14．【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到点D到AB、AC的距离相等，然后根据三角形面积公式得到S△ABD：S△ACD＝AB：AC，从而可求出S△ACD．【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC的距离相等，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝2：3，∴S△ACD＝S△ABD＝×4＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．15．【分析】利用等腰三角形的性质先求出∠C、∠BEC，再利用三角形的外角与内角的关系得结论．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝70°．∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BC＝BE，∴∠C＝∠BEC＝70°．∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠ABE＝∠BEC﹣∠A＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”及“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”等知识点是解决本题的关键．16．【分析】由题意可知，煮饭准备时间需3分钟，煮饭需要30钟，妈妈可在等待饭熟的这30分钟内先完成煲汤和炒菜，所以妈妈做这顿饭至少需要3+30＝33分钟．【解答】解：3+30＝33（分钟），答：妈妈做晚饭最少要用33分钟，故答案为：33．【点评】本题考查了学生在生活中利用统筹方法解决实际问题的能力．三、解答题：本大题有12个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019年北京市初三一模-数学尺规作图分类整理(教师版)
2019年各区一模尺规作图分类类型1：作已知直线的平行线（2019东城一模）17．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线BC及直线BC外一点P．求作：直线PE，使得PE∥BC．作法：如图，①在直线BC上取一点A，连接P A；②作∠P AC的平分线AD；③以点P为圆心，P A长为半径画弧，交射线AD于点E；④作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AD平分∠P AC，∴∠P AD=∠CAD．∵P A=PE，∴∠P AD=________．∴∠PEA=________．∴PE∥BC．（____________________________________________________）（填推理的依据）答案：17.（1）；-----------------2分（2）∠PEA，∠CAD，内错角相等，两直线平行-----------------5分（2019海淀一模）19．下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使PQ ∥l ． 作法：如图，① 在直线l 上取一点O ，以点O 为圆心，OP 长为半径画半圆，交直线l 于A ，B 两点； ② 连接P A ，以B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点Q ； ③ 作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：连接PB ，QB ，∵ PA =QB ， ∴ »PA=_____， ∴ ∠PBA =∠QPB （____________________）（填推理的依据）， ∴ PQ ∥l （____________________）（填推理的依据）．答案：19． （1）补全的图形如图所示：（2）»QB ， 等弧所对的圆周角相等， 内错角相等，两直线平行．（2019通州一模）19．已知：如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°.求作：射线CG ，使得CG ∥AB ．图1 图2下面是小东设计的尺规作图过程．lPll作法：如,2，①以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC ，AB 于D ，E 两点； ②以点C 为圆心，AD 长为半径作弧，交AC 的延长线于点F ； ③以点F 为圆心，DE 长为半径作弧，两弧在∠FCB 内部交于点G ； ④作射线CG ．所以射线CG 就是所求作的射线． 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：连接FG 、DE .∵△ADE ≌ △_________， ∴∠DAE = ∠_________．∴CG ∥AB （__________________________）（填推理的依据）．答案：19． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）∵△ADE ≌ △CFG ，∴∠DAE = ∠FCG ． ∴CG ∥AB （同位角相等，两直线平行）（填推理的依据）．（2019石景山一模）17．下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A ． 求作：直线AD ，使得AD ∥l ．作法：如图2，①在直线l 上任取一点B ，连接AB ； ②以点B 为圆心，AB 长为半径画弧， 交直线l 于点C ；③分别以点A ，C 为圆心，AB 长为半径 画弧，两弧交于点D （不与点B 重合）； ④作直线AD ．所以直线AD 就是所求作的直线． 根据小立设计的尺规作图过程，lA图1图2l（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接CD ．∵AD=CD=BC=AB ，∴四边形ABCD 是 （ ）．∴AD ∥l （ ）．答案：17．解：（1）补全的图形如图所示：（2）菱形；四条边都相等的四边形是菱形； 菱形的对边平行．（2019朝阳一模）19．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得PQ ∥l ． 作法：如图，①在直线l 上取两点A ，B ；②以点P 为圆心，AB 为半径画弧，以点B 为圆心，AP 为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点Q ；③作直线PQ ．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：∵ P A =_____，AB =_____，∴ 四边形P ABQ 是平行四边形．∴ PQ ∥l （_____）．（填写推理的依据）答案：19．（1）图略． （2）QB ，PQ ，平行四边形对边平行．类型2：作已知直线的垂线或三角形高线（2019房山一模）17. 下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程.已知：△ABC ．求作：BC 边上的高线． 作法：如图，① 以点C 为圆心，CA 为半径画弧；② 以点B 为圆心，BA 为半径画弧，两弧相交于点D ； ③ 连接AD ，交BC 的延长线于点E ．所以线段AE 就是所求作的BC 边上的高线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面证明. 证明：∵CA =CD ，∴点C 在线段AD 的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）． ∵ = ， ∴点B 在线段AD 的垂直平分线上． ∴ BC 是线段AD 的垂直平分线. ∴AD ⊥BC ．∴AE 就是BC 边上的高线．答案：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 BA =BD .（2019丰台一模）17. 下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 上一点A ． 求作：直线AB ，使得AB ⊥l ．作法：①以点A 为圆心，任意长为半径画弧，交直线l 于C ，D两点；B②分别以点C 和点D 为圆心，大于21CD 长为半径画弧， 两弧在直线l 一侧相交于点B ； ③作直线AB ．所以直线AB 就是所求作的垂线． 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：∵AC = ，BC = ，∴AB ⊥l （ ）．（填推理的依据）．答案：17. （1）略； ..............…........2分 （2）AD ，BD ；依据：“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上” 或“三线合一”.（2019燕山一模）19．下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得PQ ⊥l ，垂足为Q ． 作法：如图，①在直线l 上任取一点A ；②以点P 为圆心，PA 为半径作圆，交直线l 于点B ； ③分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点C ； ④连接PC 交直线l 于点Q ． 则直线PQ 就是所求作的垂线．根据上述尺规作图过程，(1) 使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹) (2) 完成下面的证明：证明：∵PA ＝ ，AC ＝ ，∴PQ ⊥l ．（ ）（填推理的依据）答案：19．(1)补全的图形如图所示：lPlP l(2) PB ，BC ，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．（2019顺义一模）19.下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.已知：直线l 及直线l 外一点P .求作：直线PQ ,使得PQ ⊥l .作法：如图，① 在直线l 上取一点A ，以点P 为圆心，PA 长为半径画弧，与直线l 交于另一点B ；② 分别以A ，B 为圆心，PA 长为半径在直线l 下方画弧，两弧交于点Q ； ③ 作直线PQ .所以直线PQ 为所求作的直线.根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明.证明：连接PA ，PB ，QA ，QB . ∵PA =PB =QA =QB ，∴四边形APBQ 是菱形（ ）（填推理的依据）． ∴PQ ⊥AB （ ）（填推理的依据）． 即PQ ⊥l ．答案：19.（1）………………………………………………………………2分（2）四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直类型3：作圆的内接特殊四边形（2019西城一模）19．下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程． 已知：⊙O ．求作：矩形ABCD ，使得矩形ABCD 内接于⊙O ，且其对角线AC ，BD 的夹角为60°． 作法：如图，PlBAPl①作⊙O 的直径AC ；②以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交直线AC 上方的圆弧于点B ；③连接BO 并延长交⊙O 于点D ； ④连接AB ，BC ，CD ，DA ．所以四边形ABCD 就是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．证明：∵点A ，C 都在⊙O 上， ∴OA = OC ．同理OB =OD ．∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC =90°（__________）（填推理的依据）．∴四边形ABCD 是矩形．∵AB =______ =BO ， ∴∠AOB =60°．∴四边形ABCD 是所求作的矩形． 答案：19．解：（1）补全的图形如图所示： ……………………………3分（2）直径所对的圆周角是直角，AO ． …………………………………………………5分（2019门头沟一模）19．下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙O ．求作：正方形ABCD ，使正方形ABCD 内接于⊙O ． 作法：如图2，① 过点O 作直线AC ，交⊙O 于点A 和C ；② 作线段AC 的垂直平分线MN ，交⊙O 于点B 和D ； ③ 顺次连接AB ，BC ，CD 和DA ； 则正方形ABCD 就是所求作的图形．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明：证明： ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠ABC =∠ADC =°，图1又∵点B 在线段AC 的垂直平分线上， ∴ AB = BC ，∴ ∠BAC = ∠BCA = °． 同理 ∠DAC = 45°．∴ ∠BAD = ∠BAC +∠DAC = 45° + 45° = 90°． ∴ ∠DAB = ∠ABC = ∠ADC = 90°，∴ 四边形ABCD 是矩形（ ）（填依据）， 又∵ AB = BC ，∴ 四边形ABCD 是正方形．答案：解：（1）尺规作图正确；（2）填空正确．类型4：作特殊的三角形（2019密云一模）17.下面是小明设计的“已知底和底边上的高作等腰三角形”的尺规作图过程.已知：如图1，已知线段a 和线段b.求作：等腰三角形ABC ，使得AC=BC ，AB=a ，CD ⊥AB 于D ，CD=b.作法：①如图2，作射线AM ，在AM 上截取AB=a ； ②分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径作弧，两弧交于E 、F 两点； ③连结EF ，EF 交AB 与点D ；④以点D 为圆心，以b 为半径作弧交射线DE 于点C. ⑤连结AC ，BC.所以，ABC ∆为所求作三角形. 根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留痕迹）； （2）完成下面的证明. AE=BE=AF=BF ，∴四边形AEBF 为______________. AB 与EF 交于点D ，图2图1ba图2abMD B∴EF ⊥AB ，AD=________.点C 在EF 上，∴BC=AC （填写理由:______________________________________） 答案： （1）..................................2分 AE=BE=AF=BF ，四边形AEBF 为菱形. ..................................3分 AB 与EF 交于点D ， EF ⊥AB ，AD=DB. ..................................4分点C 在EF 上， BC=AC（填写理由:线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）..................................5分（2019延庆一模）17．下面是小东设计的“已知两线段，求作直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段a 及线段b （a b <）．求作：Rt △ABC ，使得a ，b 分别为它的直角边和斜边． 作法：如图，①作射线CM ，在CM 上顺次截取CB BD a ==；②分别以点C ，D 为圆心，以b 的长为半径画弧，两弧交于点A ； ③连接AB ，AC ．则△ABC 就是所求作的直角三角形． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）补全图形，保留作图痕迹；（2）完成下面的证明． 证明：连接AD∵ =AD ，CB = ，∴90ABC ∠=︒（ ）（填推理的依据）．答案：17．画图 ……2分 AC ，DB ， ……4分 等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合……5分∴∴∴BA （或：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的处置平分线上）（2019怀柔一模）19.下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程. 已知：线段AB.求作：一个直角三角形ABC,使线段AB 为斜边.作法：如图，①过A 任意作一条射线l ；②在射线l 上任取两点D ，E ；③分别以点D ，E 为圆心，DB ，EB 长为半径作弧,两弧相交于点P ；④作射线BP 交射线l 于点C.所以△ABC 就是所求作的直角三角形.思考：（1）按上述方法，以线段AB 为斜边还可以作 个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点C 所形成的的图形是 ，理由是 .答案：19.（1）无数.（2）圆，到定点的距离等于定长的所有点组成的集合是圆.类型4：作已知角的角平分线（2019平谷一模）17．下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图，∠AOB ．求作：∠AOB 的角平分线OP ．作法：如图，①在射线OA 上任取点C ；②作∠ACD =∠AOB ；③以点C 为圆心CO 长为半径画圆，交射线CD 于点P ；④作射线OP ；所以射线OP 即为所求． 根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：∵ ∠ACD =∠AOB ，∴ CD ∥OB （____________）（填推理的依据）．A B∴∠BOP =∠CPO ．又∵ OC=CP ，∴∠COP =∠CPO （∴∠COP =∠BOP ．∴ OP 平分∠AOB ．答案：17．（1）如图；（2）同位角相等，两直线平行；等边对等角．。
北京市房山区中考数学一模试卷(含解析)
2017年北京市房山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示,在这四个数中，绝对值最小的数是（）A．a B．b C．c D．d2．下列图案是轴对称图形的是( ）A．B．C．D．3．北京地铁燕房线，是北京地铁房山线的西延线，现正在紧张施工，通车后将是中国大陆第二条全自动无人驾驶线路,预测初期客流量日均132300人次，将132300用科学记数法表示为( ）A．1。
323×105B．1。
323×104C．1.3×105 D．1.323×1064．如图，直线a∥b，三角板的直角顶点放在直线b上,两直角边与直线a相交，如果∠1=55°,那么∠2等于（）A．65°B．55°C．45°D．35°5．如图，A，B，C,D是四位同学画出的一个空心圆柱的主视图和俯视图,正确的一组是（）A．A B．B C．C D．D6．一个不透明的盒子中装有2个白球,5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为( ）A．B．C．D．7．雷达二维平面定位的主要原理是：测量目标的两个信息﹣﹣距离和角度，目标的表示方法为（γ，α）,其中，γ表示目标与探测器的距离；α表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度．如图，雷达探测器显示在点A，B,C处有目标出现,其中，目标A的位置表示为A （5,30°)，目标B的位置表示为F(4，150°）．用这种方法表示目标C的位置，正确的是( ）A．(﹣3，300°）B．(3，60°)C．（3，300°）D．（﹣3,60°）8．2022年将在北京﹣﹣张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市,某校开设了冰球选修课,12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位:cm）如表所示：队员1队员2队员3队员4队员5队员6甲组176177175176177175乙组178175170174183176设两队队员身高的平均数依次为甲，乙，方差依次为S甲2，S乙2，下列关系中正确的是（）A．甲=乙，S甲2＜S乙2B．甲=乙,S甲2＞S乙2C．甲＜乙，S甲2＜S乙2D．甲＞乙，S甲2＞S乙29．在同一平面直角坐标系中，正确表示函数y=kx+k(k≠0）与y=(k≠0）的图象的是（）A．B．C．D．10．如图1，已知点E，F,G，H是矩形ABCD各边的中点,AB=6，BC=8,动点M从点E出发，沿E→F→G→H→E匀速运动，设点M运动的路程x，点M到矩形的某一个顶点的距离为y，如果表示y关于x函数关系的图象如图2所示，那么这个顶点是矩形的（)A．点A B．点B C．点C D．点D二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，共18分）11．二次根式有意义，则x的取值范围是．12．分解因式：2m2﹣18= ．13．如图中的四边形均为矩形,根据图形，利用图中的字母,写出一个正确的等式: ．14．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章，记载了一道“折竹抵地"问题，叙述为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何?”翻译成数学问题是：在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，可列出的方程为．15．中国国家邮政局公布的数据显示,2016年中国快递业务量突破313.5亿件，同比增长51。
2019年5月北京市初三数学一模全市各区全部试卷的分类整理——尺规作图(含答案)
2019年各区一模尺规作图分类类型1：作已知直线的平行线1．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．（2019东城一模）已知：如图，直线BC及直线BC外一点P．求作：直线PE，使得PE∥BC．作法：如图，①在直线BC上取一点A，连接P A；②作∠P AC的平分线AD；③以点P为圆心，P A长为半径画弧，交射线AD于点E；④作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AD平分∠P AC，∴∠P AD=∠CAD．∵P A=PE，∴∠P AD=________．∴∠PEA=________．∴PE∥BC．（____________________________________________________）（填推理的依据）答案：17.（1）；-----------------2分（2）∠PEA，∠CAD，内错角相等，两直线平行-----------------5分2．下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使PQ ∥l ． 作法：如图，① 在直线l 上取一点O ，以点O 为圆心，OP 长为半径画半圆，交直线l 于A ，B 两点； ② 连接P A ，以B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点Q ； ③ 作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（2019海淀一模） （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：连接PB ，QB ，∵ PA =QB ， ∴ »PA=_____， ∴ ∠PBA =∠QPB （____________________）（填推理的依据）， ∴ PQ ∥l （____________________）（填推理的依据）．答案：（1）补全的图形如图所示：（2）»QB ， 等弧所对的圆周角相等， 内错角相等，两直线平行．3．已知：如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°.求作：射线CG ，使得CG ∥AB ．（2019通州一模）图1 图2下面是小东设计的尺规作图过程．lPll作法：如,2，①以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC ，AB 于D ，E 两点； ②以点C 为圆心，AD 长为半径作弧，交AC 的延长线于点F ； ③以点F 为圆心，DE 长为半径作弧，两弧在∠FCB 内部交于点G ； ④作射线CG ．所以射线CG 就是所求作的射线． 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：连接FG 、DE .∵△ADE ≌ △_________， ∴∠DAE = ∠_________．∴CG ∥AB （__________________________）（填推理的依据）．答案： 1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）∵△ADE ≌ △CFG ，∴∠DAE = ∠FCG ． ∴CG ∥AB （同位角相等，两直线平行）（填推理的依据）．4．下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A ． 求作：直线AD ，使得AD ∥l ． （2019石景山一模）作法：如图2，①在直线l 上任取一点B ，连接AB ； ②以点B 为圆心，AB 长为半径画弧， 交直线l 于点C ；③分别以点A ，C 为圆心，AB 长为半径 画弧，两弧交于点D （不与点B 重合）； ④作直线AD ．所以直线AD 就是所求作的直线． 根据小立设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）lA图1图2l（2）完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接CD ．∵AD=CD=BC=AB ，∴四边形ABCD 是 （ ）．∴AD ∥l （ ）．答案：解：（1）补全的图形如图所示：（2）菱形；四条边都相等的四边形是菱形； 菱形的对边平行．5．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．（2019朝阳一模）求作：直线PQ ，使得PQ ∥l ． 作法：如图，①在直线l 上取两点A ，B ；②以点P 为圆心，AB 为半径画弧，以点B 为圆心，AP 为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点Q ；③作直线PQ ．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：∵ P A =_____，AB =_____， ∴ 四边形P ABQ 是平行四边形．∴ PQ ∥l （_____）．（填写推理的依据）答案：（1）图略． （2）QB ，PQ ，平行四边形对边平行．类型2：作已知直线的垂线或三角形高线6. 下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程.已知：△ABC ．求作：BC 边上的高线． 作法：如图，（2019房山一模）① 以点C 为圆心，CA 为半径画弧；② 以点B 为圆心，BA 为半径画弧，两弧相交于点D ； ③ 连接AD ，交BC 的延长线于点E ．所以线段AE 就是所求作的BC 边上的高线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面证明. 证明：∵CA =CD ，∴点C 在线段AD 的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）． ∵ = ， ∴点B 在线段AD 的垂直平分线上． ∴ BC 是线段AD 的垂直平分线. ∴AD ⊥BC ．∴AE 就是BC 边上的高线．答案：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 BA =BD .7. 下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 上一点A ． 求作：直线AB ，使得AB ⊥l ．作法：①以点A 为圆心，任意长为半径画弧，交直线l 于C ，D 两点；②分别以点C 和点D 为圆心，大于21CD 长为半径画弧， 两弧在直线l 一侧相交于点B ；（2019丰台一模） ③作直线AB ．B所以直线AB 就是所求作的垂线． 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：∵AC = ，BC = ，∴AB ⊥l （ ）．（填推理的依据）．答案： （1）略； ..............…........2分 （2）AD ，BD ；依据：“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上” 或“三线合一”.8．下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ． （2019燕山一模）求作：直线PQ ，使得PQ ⊥l ，垂足为Q ． 作法：如图，①在直线l 上任取一点A ；②以点P 为圆心，PA 为半径作圆，交直线l 于点B ； ③分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点C ； ④连接PC 交直线l 于点Q ． 则直线PQ 就是所求作的垂线．根据上述尺规作图过程，(1) 使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹) (2) 完成下面的证明：证明：∵PA ＝ ，AC ＝ ，∴PQ ⊥l ．（ ）（填推理的依据）答案：(1)补全的图形如图所示：(2) PB ，BC ，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．lPlP l9.下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知：直线l 及直线l 外一点P .求作：直线PQ ,使得PQ ⊥l .作法：如图，① 在直线l 上取一点A ，以点P 为圆心，PA 长为半径画弧，与直线l 交于另一点B ；② 分别以A ，B 为圆心，PA 长为半径在直线l 下方画弧，两弧交于点Q ； ③ 作直线PQ .所以直线PQ 为所求作的直线.（2019顺义一模）根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明.证明：连接PA ，PB ，QA ，QB . ∵PA =PB =QA =QB ，∴四边形APBQ 是菱形（ ）（填推理的依据）． ∴PQ ⊥AB （ ）（填推理的依据）． 即PQ ⊥l ．答案：（1）………………………………………………………………2分（2）四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直类型3：作圆的内接特殊四边形10．下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程．已知：⊙O ．求作：矩形ABCD ，使得矩形ABCD 内接于⊙O ，且其对角线AC ，BD 的夹角为60°． 作法：如图，（2019西城一模） ①作⊙O 的直径AC ；②以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交直线AC 上方的圆弧于点B ；③连接BO 并延长交⊙O 于点D ； ④连接AB ，BC ，CD ，DA ．PlBAPl所以四边形ABCD 就是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．证明：∵点A ，C 都在⊙O 上， ∴OA = OC ．同理OB =OD ．∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC =90°（__________）（填推理的依据）．∴四边形ABCD 是矩形．∵AB =______ =BO ， ∴∠AOB =60°．∴四边形ABCD 是所求作的矩形． 答案：解：（1）补全的图形如图所示： ……………………………3分（2）直径所对的圆周角是直角，AO ． …………………………………………………5分11．下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙O ．求作：正方形ABCD ，使正方形ABCD 内接于⊙O ． 作法：如图2，（2019门头沟一模）① 过点O 作直线AC ，交⊙O 于点A 和C ；② 作线段AC 的垂直平分线MN ，交⊙O 于点B 和D ； ③ 顺次连接AB ，BC ，CD 和DA ； 则正方形ABCD 就是所求作的图形．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明：证明： ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠ABC =∠ADC = °， 又∵点B 在线段AC 的垂直平分线上， ∴ AB = BC ，∴ ∠BAC = ∠BCA = °． 同理 ∠DAC = 45°．图2图1∴ ∠BAD = ∠BAC +∠DAC = 45° + 45° = 90°． ∴ ∠DAB = ∠ABC = ∠ADC = 90°，∴ 四边形ABCD 是矩形（ ）（填依据）， 又∵ AB = BC ，∴ 四边形ABCD 是正方形．答案：解：（1）尺规作图正确；（2）填空正确．类型4：作特殊的三角形12.下面是小明设计的“已知底和底边上的高作等腰三角形”的尺规作图过程. 已知：如图1，已知线段a 和线段b.求作：等腰三角形ABC ，使得AC=BC ，AB=a ，CD ⊥AB 于D ，CD=b.作法：（2019密云一模）①如图2，作射线AM ，在AM 上截取AB=a ； ②分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径作弧，两弧交于E 、F 两点； ③连结EF ，EF 交AB 与点D ；④以点D 为圆心，以b 为半径作弧交射线DE 于点C. ⑤连结AC ，BC.所以，ABC ∆为所求作三角形. 根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留痕迹）； （2）完成下面的证明. AE=BE=AF=BF ，∴四边形AEBF 为______________. AB 与EF 交于点D ， ∴EF ⊥AB ，AD=________. 点C 在EF 上，∴BC=AC （填写理由:______________________________________） 答案：（1）..................................2分 图2图1baabBBAAE=BE=AF=BF ，四边形AEBF 为菱形. ..................................3分 AB 与EF 交于点D ， EF ⊥AB ，AD=DB. ..................................4分点C 在EF 上， BC=AC（填写理由:线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）..................................5分13．下面是小东设计的“已知两线段，求作直角三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a 及线段b （a b <）．求作：Rt △ABC ，使得a ，b 分别为它的直角边和斜边． 作法：如图，（2019延庆一模）①作射线CM ，在CM 上顺次截取CB BD a ==；②分别以点C ，D 为圆心，以b 的长为半径画弧，两弧交于点A ； ③连接AB ，AC ．则△ABC 就是所求作的直角三角形． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）补全图形，保留作图痕迹；（2）完成下面的证明． 证明：连接AD∵ =AD ，CB = ，∴90ABC ∠=︒（ ）（填推理的依据）．答案：画图 ……2分 AC ，DB ， ……4分 等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合 ……5分 （或：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的处置平分线上）14.下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程. 已知：线段AB.求作：一个直角三角形ABC,使线段AB 为斜边.∴∴∴作法：如图，（2019怀柔一模）①过A 任意作一条射线l ； ②在射线l 上任取两点D ，E ；③分别以点D ，E 为圆心，DB ，EB 长为半径作弧,两弧相交于点P ； ④作射线BP 交射线l 于点C. 所以△ABC 就是所求作的直角三角形.思考：（1）按上述方法，以线段AB 为斜边还可以作 个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点C 所形成的的图形是 ，理由是 .答案：（1）无数.（2）圆，到定点的距离等于定长的所有点组成的集合是圆.15. 下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程.已知：线段AB. （2019大兴一模）求作：等边三角形△ABC .作法：如图，①以点A 为圆心，以的长为半径作⊙A ；②以点 B 为圆心，以的长为半径作⊙B ，交于⊙A 于C ，D 两点； ③连接AC ，BC ．所以△ABC 就是所求作的三角形.根据小方设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵点B,C 在⊙A 上,∴AC ( )（填推理的依据）．同理∵点A,C 在⊙B 上, ABAB AB∴BC.∴ = = .∴△ABC 是等边三角形. ( )（填推理的依据）．答案：解：（1）………………………………………………………2分(2) 同圆的半径相等 …………………………………………………………………………3分 AB =AC =BC ……………………………………………………………………………………………4分 三边都相等的三角形是等边三角形………………………………………………………5分类型4：作已知角的角平分线16．下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图，∠AOB ．求作：∠AOB 的角平分线OP ．作法：如图，（2019平谷一模）①在射线OA 上任取点C ；②作∠ACD =∠AOB ；③以点C 为圆心CO 长为半径画圆，交射线CD 于点P ；④作射线OP ；所以射线OP 即为所求． 根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：∵ ∠ACD =∠AOB ，∴ CD ∥OB （____________）（填推理的依据）．∴∠BOP =∠CPO ．又∵ OC=CP ，∴∠COP =∠CPO （∴∠COP =∠BOP ．∴ OP 平分∠AOB ．答案：（1）如图；（2）同位角相等，两直线平行；等边对等角．。
2021北京中考数学一模分类汇编《几何综合》含答案解析
2021北京市中考数学一模分类汇编——几何综合1．（2021•海淀区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM ＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）判断AB与DF的数量关系并证明；（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．2．（2021•西城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，D是△ABC内一点，∠ADC＝∠BAC．过点B作BE∥CD交AD的延长线于点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠ABE；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD相等的线段并加以证明．3．（2021•东城区一模）已知∠MAN＝30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A 关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．（1）如图1，若点P为线段AB的中点；①直接写出∠AQB的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；（2）如图2，若线段CP与BQ交于点D．①设∠BQP＝α，求∠CPQ的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段DC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．4．（2021•朝阳区一模）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜60°，AB＝AC，D为BC 边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BE交AD于点F．（1）依题意补全图形（2）求∠AFE的度数；（3）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系，并证明．5．（2021•丰台区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°），将射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．6．（2021•石景山区一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°）．点E是△ABC内动点，连接AE，CE，将△AEC绕点A顺时针旋转α，使AC边与AB重合，得到△ADB，延长CE与射线BD交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1；（2）探究∠ADM与∠AEM的数量关系为；（3）如图2，若DE平分∠ADB，用等式表示线段MC，AE，BD之间的数量关系，并证明．7．（2021•通州区一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD 中点M，连接BM，CM．（1）如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM∥BD；（2）如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．8．（2021•房山区一模）已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰Rt△BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E．（1）如图1，当α＝20°时，①求∠CDE的度数；②判断线段AE与BE的数量关系；（2）若45°＜α＜90°，线段AE与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．9．（2021•平谷区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D 不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．10．（2021•顺义区一模）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，∠A＝α．（1）求出∠DCB的大小（用含α的式子表示）；（2）延长CD至点E，使CE＝AC，连接AE并延长交CB的延长线于点F．①依题意补全图形；②用等式表示线段EF与BC之间的数量关系，并证明．11．（2021•延庆区一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．（1）如图1，点E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．12．（2021•大兴区一模）如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；（1）若∠P AC＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；（2）如图2，若∠P AC＝α（0°＜α＜30°），①求证：∠BCD＝∠BAE；②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系并加以证明．13．（2021•门头沟区一模）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE．（1）如图1，求证：∠BGC＝2∠AEB；（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．2021北京市中考数学一模分类汇编——几何综合1．（2021•海淀区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM ＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）判断AB与DF的数量关系并证明；（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．【分析】（1）由题意画出图形，如图所示；（2）由“SAS”可证△AEC≌△DEF，可得AC＝DF＝AB；（3）由题意可得点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，点G在以点F为圆心，FB 为半径的圆上，则两圆的交点为G，由“SSS”可证△ABF≌△DFG，可得∠BAF＝∠FDG ＝140°，即可求解．【解答】解：（1）如图所示：（2）AB＝DF，理由如下：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵C关于点E的对称点为F，∴CE＝EF，又∵∠AEC＝∠FED，∴△AEC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF，∵AB＝AC，∴AB＝DF；（3）如图2，连接AF，∵AE＝DE，CE＝EF，∴四边形ACDF是平行四边形，∴∠ACM+∠CAF＝180°，AF＝CD，DF＝AC＝AB，∴∠CAF＝100°＝∠CDF，∴∠BAF＝140°，∵DG＝DC，∴点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，∵FG＝FB，∴点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，∴两圆的交点为G，∵AB＝DF，AF＝DG，FB＝FG，∴△ABF≌△DFG（SSS），∴∠BAF＝∠FDG＝140°，∴∠CDG＝40°，同理可证△ABF≌△DFG'，∴∠BAF＝∠G'DF＝140°，∴∠CDG'＝360°﹣100°﹣140°＝120°，综上所述：∠CDG＝40°或120°．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，确定点G的位置是本题的关键．2．（2021•西城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，D是△ABC内一点，∠ADC＝∠BAC．过点B作BE∥CD交AD的延长线于点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠ABE；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD相等的线段并加以证明．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可．（3）结论：CD＝AE，证明△ABE≌△CAT（AAS），即可解决问题．【解答】（1）解：图形如图所示．（2）证明：∵CD∥BE，∴∠CDE＝∠AEB，∵∠ADC＝∠BAC，∴∠ABC+∠ACB＝∠DAC+∠ACD＝∠CDE＝∠AEB，∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，∠BAE+∠DAC+2∠ABC＝180°，∴∠BAE+∠ABE+2∠ABC＝180°，∴∠CAD＝∠ABE．（3）解：结论：CD＝AE．理由：在AE的延长线上取一点T，使得CD＝CT，∵CD＝CT，∴∠T＝∠CDT，∵CD∥BE，∴∠AEB＝∠T，∵AB＝AC，∠ABE＝∠CAT，∴△ABE≌△CAT（AAS），∴AE＝CT，∴CD＝AE．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（2021•东城区一模）已知∠MAN＝30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A 关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．（1）如图1，若点P为线段AB的中点；①直接写出∠AQB的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；（2）如图2，若线段CP与BQ交于点D．①设∠BQP＝α，求∠CPQ的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段DC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①证明PQ＝P A＝PB，可得结论．②图形如图所示：结论：PC＝P A．证明∠APC＝90°，可得结论．（2）①如图2中，连接BC，CQ．证明B，P，Q，C四点共圆，推出∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，由∠APC+∠CPB＝180°，推出∠P AQ+∠PDQ＝180°，推出∠PDQ＝120°，推出∠DQP+∠DPQ＝60°，可得结论．②如图2﹣1中，结论：CD＝DP+DQ．连接AD，在AD上取一点T，使得DT＝DP．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）①∵P，Q关于AN对称，∴AP＝AQ，∠P AN＝∠QAN＝30°，∴△APQ是等边三角形，∴PQ＝P A，∵点P为线段AB的中点，∴PB＝P A，∴PQ＝P A＝PB，∴∠AQB＝90°．②图形如图所示：结论：PC＝P A．理由：∵∠AQB＝90°，A，C关于BQ对称，∴AQ＝QC，∴PQ＝QC＝AQ，∴∠CP A＝60°，∴＝tan60°，∴PC＝P A．（2）①如图2中，连接BC，CQ．∵A，C关于BQ对称，∴BC＝BA，CQ＝AQ，∵BQ＝BQ，∴△BQC≌BQA（SSS），∴∠BCQ＝∠BAQ＝60°，∠BQC＝∠BQA，∵∠APQ＝60°，∴∠BPQ＝120°，∴∠BPQ+∠BCQ＝180°，∴B，P，Q，C四点共圆，∴∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，∵∠APC+∠CPB＝180°，∴∠P AQ+∠PDQ＝180°，∴∠PDQ＝120°，∴∠DQP+∠DPQ＝60°，∴∠CPQ＝60°﹣α．②如图2﹣1中，结论：CD＝DP+DQ．理由：连接AD，在AD上取一点T，使得DT＝DP．∵∠P AQ+∠PDQ＝180°，∴A，P，D，Q四点共圆，∴∠PDT＝∠PQA＝60°，∵DT＝DP，∴△PDT是等边三角形，∴PD＝PT，∠DPT＝∠QP A＝60°，∴∠DPQ＝∠TP A，∵PD＝PT，PQ＝P A，∴△DPQ≌△TP A（SAS），∴DQ＝TA，∴AD＝DT+AT＝PD+DQ，∵A，C关于BQ对称，∴DC＝AD，∴CD＝DP+DQ．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．4．（2021•朝阳区一模）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜60°，AB＝AC，D为BC 边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BE交AD于点F．（1）依题意补全图形（2）求∠AFE的度数；（3）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用圆周角定理解决问题即可．（3）结论：EF＝AF+BF．如图，连接CF，EC，在EF上取一点T，使得FT＝FC，连接CT．证明△FCA≌△TCE（SAS），推出AF＝ET，可得结论．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）∵AB＝AC＝AE，∴点A是△BCE的外心，∵∠CAE＝60°，∠CBE＝∠CAE，∴∠CBE＝30°，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDF＝90°，∴∠AFE＝∠BFD＝90°﹣30°＝60°．（3）结论：EF＝AF+BF．理由：如图，连接CF，EC，在EF上取一点T，使得FT＝FC，连接CT．∵AD垂直平分线段BC，∴FB＝FC，∴∠BFD＝∠CFD＝∠AFE＝60°，∴∠CFE＝60°，∵FT＝FC，∴△CFT是等边三角形，∴CF＝CT，∠FCT＝60°，∵AC＝AE，∠CAE＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴CA＝CE，∠ACE＝∠FCT＝60°，∴∠FCA＝∠TCE，∴△FCA≌△TCE（SAS），∴AF＝ET，∴EF＝FT+ET＝BF+AF．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．5．（2021•丰台区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°），将射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）结论：AD+BE＝DE．延长DA至F，使DF＝DE，连接CF．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）结论：AD+BE＝DE．理由：延长DA至F，使DF＝DE，连接CF．∵AD⊥CP，DF＝DE，∴CE＝CF，∴∠DCF＝∠DCE＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝45°，∵∠DCA+∠ACF＝∠DCF＝45°，∴∠FCA＝∠ECB，在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF＝BE，∴AD+BE＝DE．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2021•石景山区一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°）．点E是△ABC内动点，连接AE，CE，将△AEC绕点A顺时针旋转α，使AC边与AB重合，得到△ADB，延长CE与射线BD交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1；（2）探究∠ADM与∠AEM的数量关系为∠ADM＝∠AEM或∠ADM+∠AEM＝180°；（3）如图2，若DE平分∠ADB，用等式表示线段MC，AE，BD之间的数量关系，并证明．【分析】（1）按要求作图即可；（2）△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB可得∠AEC＝∠ADB，即可得到答案；（3）由∠ADM＝∠AEM可得A、M、D、E共圆，证明△AMD≌△EDM得AD＝ME，从而可得MC＝AE+BD．【解答】解：（1）补全图1如下：（2）当M在线段BD延长线上时，如上图1，∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，∴∠AEC＝∠ADB，∴∠ADM＝∠AEM，当M在线段BD上时，如上图2，∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，∴∠AEC＝∠ADB，∵∠AEC+∠AEM＝180°，∴∠ADM+∠AEM＝180°，故答案为：∠ADM＝∠AEM或∠ADM+∠AEM＝180°；（3）MC＝AE+BD，理由如下：连接AM，△AMD和△AME公共边为AM，且∠ADM＝∠AEM，∴A、M、D、E共圆，如图：∵A、M、D、E共圆，∴∠MAD＝∠MED，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠EDB，∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，∴AD＝AE，BD＝EC，∴∠ADE＝∠AED，∴∠EDB＝∠AED，∴BM∥AE，∴∠DME＝∠AEM，∵∠ADM＝∠AEM，∴∠DME＝∠ADM，在△AMD和△EDM中，，∴△AMD≌△EDM（AAS），∴AD＝ME，∴AE＝ME，∵MC＝ME+EC，∴MC＝AE+BD．【点评】本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是利用A、M、D、E共圆，证明△AMD ≌△EDM．7．（2021•通州区一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．（1）如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM∥BD；（2）如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．【分析】（1）由旋转可得，△APC是等边三角形，∠PBD＝120°，则∠BPM+∠PBD＝180°，所以PM∥BD．（2）延长BM至点G，使得MG＝MB，连接AG，BC，GC，PC，可证△CBG是等边三角形且点M是BG的中点，则有CM⊥BM，CM＝MB．【解答】解：（1）有题意可得，∠CAP＝60°，且AP＝AC，∴△APC是等边三角形，∴∠APC＝60°，∴∠BPM＝60°，又∵∠PBD＝120°，∴∠BPM+∠PBD＝180°，∴PM∥BD．（2）猜想，CM⊥MB，CM＝MB，理由如下：如图2，延长BM至点G，使得MG＝MB，连接AG，BC，GC，PC，GD，∵AM＝MD，GM＝BM，∴四边形AGDB是平行四边形，∴AG＝BD，AG∥BD，∴∠BAG＝180°﹣∠ABD＝60°，∴∠CAG＝120°，∵△APC是等边三角形，∴AC＝CP，∠CPB＝120°，∵PB＝DB＝AG，∴△CAG≌△CPB（SAS），∴CG＝CB，∠ACG＝∠PCB，∴∠GCB＝60°，∴△CBG是等边三角形，∵GM＝BM，∴CM⊥BM，CM＝MB．【点评】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质与判定等；构造合适辅助线是解题关键．8．（2021•房山区一模）已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰Rt△BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E．（1）如图1，当α＝20°时，①求∠CDE的度数；②判断线段AE与BE的数量关系；（2）若45°＜α＜90°，线段AE与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．【分析】（1）①由余角的性质可求∠CDE＝∠DBE＝25°；②通过证明点A，点C，点B，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE；（2）通过证明点A，点B，点C，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE．【解答】解：（1）①∵∠CDB＝90°，CD＝DB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴∠DBE＝∠DBC﹣∠ABC＝25°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠CDB，∴∠CDE+∠EDB＝∠EDB+∠ABD＝90°，∴∠CDE＝∠DBE＝25°；②AE＝BE，理由如下：如图1，延长BD至H，使BD＝DH，连接CH，∵BD＝DH，CD⊥BD，∴CH＝BC，∴∠CHB＝∠CBH＝45°，∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°，∴点A，点C，点B，点H四点共圆，∵∠HCB＝90°，∴BH是直径，D是圆心，∵DE⊥AB，∴AE＝BE；（2）不变，理由如下：如图2，延长BD至H，使BD＝DH，连接CH，∵BD＝DH，CD⊥BD，∴CH＝BC，∴∠CHB＝∠CBH＝45°，∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°，∴点A，点B，点C，点H四点共圆，∵∠HCB＝90°，∴BH是直径，D是圆心，∵DE⊥AB，∴AE＝BE．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，四点共圆，垂径定理等知识，证明点A，点B，点C，点H四点共圆是本题的关键．9．（2021•平谷区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D 不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论；（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．【解答】解：（1）结论：AC＝EF+FC，理由如下：过D作DH⊥CB于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，，∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，∴DH＝HB＝EF，∴AC＝BC＝CH+BH＝FC+EF；（2）依题意补全图形，结论：EF＝FC+AC，理由如下：过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，，∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，∴DH＝HB＝EF，∴EF＝CH+BC＝FC+AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10．（2021•顺义区一模）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，∠A＝α．（1）求出∠DCB的大小（用含α的式子表示）；（2）延长CD至点E，使CE＝AC，连接AE并延长交CB的延长线于点F．①依题意补全图形；②用等式表示线段EF与BC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得出结论；（2）①根据题意即可补全的图形；②过点E作EH⊥FC于点H，过点A作AG⊥FC于点G，结合（1）证明△AGC≌△CHE 可得CG＝EH，设EH＝FH＝x，则EF＝x，进而可得结论．【解答】解：（1）∵等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝α，∴∠ACB＝∠B＝＝90°﹣，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣α，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣﹣90°+α＝；（2）①如图即为补全的图形；②＝，证明：∵∠ACE＝∠ACB﹣∠DCB＝90°﹣﹣＝90°﹣α，∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠CEA＝＝45°+，∵∠AEC＝∠F+∠ECF，∴45°+＝∠F+，∴∠F＝45°，过点E作EH⊥FC于点H，过点A作AG⊥FC于点G，∴∠BAG＝∠CAG＝，在△AGC和△CHE中，，∴△AGC≌△CHE（AAS），∴CG＝EH，∵∠F＝45°，∴FH＝EH，设EH＝FH＝x，则EF＝x，∴BC＝2CG＝2x，∴＝＝．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．11．（2021•延庆区一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．（1）如图1，点E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H．证明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解决问题即可；（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可【解答】解（1）图形如图所示．过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，∵∠DEF＝∠C＝90°，∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DEC≌△EFH（AAS），∴EC＝FH＝2，CD＝BC＝EH＝6，∴HB＝EC＝2，∴Rt△FHB中，BF＝＝＝2．（2）结论：BF+BD＝BE．理由：过点F作FH⊥CB，交CB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，∵∠DEF＝∠DCE＝90°，∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DEC≌△EFH（AAS），∴EC＝FH，CD＝BC＝EH，∴HB＝EC＝HF，∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，∴BD＝BC＝HE，BF＝BH，∵HE+BH＝BE，∴BF+BD＝BE．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．（2021•大兴区一模）如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；（1）若∠P AC＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；（2）如图2，若∠P AC＝α（0°＜α＜30°），①求证：∠BCD＝∠BAE；②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系并加以证明．【分析】（1）由题意画出图形；根据三角形内角和定理求出∠ABD，由∠BCD＝∠ACD ﹣∠ACB即可得到结论；（2）①由轴对称的性质可得AP垂直平分BD，可得AB＝AD＝AC，∠BAP＝∠P AD＝α，由等腰三角形的性质可求解；②在AE上截取AF＝CD，根据全等三角形判定的SAS定理证得△BAF≌△BCD，由全等三角形的性质得到∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，可得∠FBE＝∠ABC＝60°，由三角函数的定义求得EF＝BD，进而得到AE＝CD+BD．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵C关于直线AP的对称是D，∴AP⊥CD，AC＝AD，∴∠ACD＝90﹣∠P AC＝90°﹣10°＝80°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝20°；（2）①证明：如图，连接AD，根据题意得，AO⊥CD∵∠P AC＝α，∴∠ACD＝90°﹣α，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，∵C关于直线AP的对称是D，∴AP⊥CD，AC＝AD，∴∠P AD＝∠P AC＝α，∵AB＝AC＝AD，AE⊥BD，∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝（∠BAC﹣∠CAD）＝（60°﹣2α）＝30°﹣α，∴∠BCD＝∠BAE；②解：用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系是AE＝CD+BD．证明：在AE上截取AF＝CD，连接BF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵∠BCD＝∠BAE，∴△BAF≌△BCD（SAS），∴∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，∴∠FBE＝∠ABC＝60°，∴EF＝BF•sin60°＝BF＝BD，∴AE＝AF+EF＝CD+BD．【点评】本题考查了几何变换综合题，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．（2021•门头沟区一模）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE．（1）如图1，求证：∠BGC＝2∠AEB；（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据BG∥AF，得到∠GBE＝∠AEB，由AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，得到AE＝AB，∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，由正方形性质得到CD∥AB，得到∠BGC ＝2∠AEB；（2）按照题意补全图形即可，在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，利用△ADN≌△BAH、△ABP≌△MBP、△ABH≌△MBH证明A、H、M、B共圆，从而可得∠DNA＝∠GMN，GN＝GM，再证明EF＝GM，即可得到EF＝AH+DG．【解答】解：（1）证明：∵边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，∴AD＝AE，∵正方形ABCD，∴AB＝AD＝AE，∴∠AEB＝∠ABE，∵BG∥AF，∴∠AEB＝∠GBE，∴∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，∴∠ABG＝2∠AEB，∵正方形ABCD，∴AB∥CD，∴∠BGC＝∠ABG，∴∠BGC＝2∠AEB；（2）补全图2如下：线段AH，EF，DG之间的数量关系为：EF＝AH+DG，理由如下：在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，如图：∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ADN＝∠BAH＝90°，又DN＝AH，∴△ADN≌△BAH（SAS），∴∠DNA＝∠AHB，∠DAN＝∠ABH，∵∠DNA+∠DAN＝90°，∴∠DAN+∠AHB＝90°，∴∠APH＝90°，∴∠BPM＝∠BP A＝90°，由（1）知∠ABE＝∠GBE，且BP＝BP，∴△ABP≌△MBP（ASA），∴AB＝MB，而BH＝BH，∠ABE＝∠GBE，∴△ABH≌△MBH（SAS），∴∠HAB＝∠HMB＝90°，∴A、H、M、B共圆，∴∠AHB＝∠AMB＝∠GMN，∴∠DNA＝∠GMN，∴GN＝GM，∵CF∥AB，BG∥AF，∴四边形ABGF是平行四边形，∴BG＝AF，∵AE＝AD＝AB＝MB，∴EF＝GM，∴EF＝GN，∵GN＝DG+DN，∴EF＝DG+AH．【点评】本题考查正方形性质应用及全等三角形的性质和判定，难度较大，解题的关键是构造辅助线，将AH+DG转化为GN．。
2021北京东城初三一模数学含答案
东城区2021届初三年级一模考试数学试卷2021．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.某几何体的三视图如图所示，该几何体是A．三棱柱B．正方体C．圆锥D．圆柱2.在平面直角坐标系x O y中，下列函数的图象不过点（1，1）的是A．B．C．D．3.2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射.2021年2月10日，在经过长达七个月，475000000公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨道.将475000000用科学记数法表示应为A．B．C．D．4.一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上.在图中所标记的角中，与∠1相等的角是A．∠2B．∠3C．∠4D．∠55.如图，△A B C经过旋转或轴对称得到△A B′C′，其中△A B C绕点A逆时针旋转60°的是6.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示.下列式子正确的是A．B．C．D．7.如图，P A，P B是⊙O的切线，切点分别为A，B，P O的延长线交⊙O于点C，连接O A，O B，B C.若A O=2，O P＝4，则∠C等于A．B．C．D．8.一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30c m，40c m.现要做一个与其相似的三角形木架，如果以60c m长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到A．60c m B．75c m C．100c m D．120c m二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若分式的值为0，则x的值等于．10.分解因式：=．11.用一组a，b的值说明“若，则”是假命题，这组值可以是a=，b=．12.4月23日是世界读书日.甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量.设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，则可列方程组为.13.有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为1”的概率为.（精确到0.001）14.若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．15.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的最小值是．16.小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择的交通方式有地铁、公交车、出租车、共享单车等.小青的家到地铁站（或公交）有一段距离，地铁站（或公交站）到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车.共享单车的计价规则为：每30分钟1.5元，不足30分钟的按30分钟计算.出行方式的相关信息如下表（√表示某种出行方式选择的交通工具）：根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断:①如果使费用尽可能少，可以选择方式2，3，4；②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式1；③如果选择公交和地铁混合的出行方式，平均用时约57分钟；④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”，那么，除方式2外，其它出行方式的费用均会超过8元.其中推断合理的是.三、解答题（本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21-23题，每小题5分，第24-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：18.已知，求代数式的值．19.尺规作图：如图，已知线段a，线段b及其中点．求作：菱形A B C D，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长．作法：①作直线m，在m上任意截取线段A C=a；②作线段A C的垂直平分线E F交线段A C于点O；③以点O为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线E F于点B，D；④分别连接A B，B C，C D，D A；则四边形A B C D就是所求作的菱形.(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵O A=O C，O B=O D，∴四边形A B C D是．∵A C⊥B D，∴四边形A B C D是菱形.()(填推理的依据)．20.解不等式组：并写出其中的正整数解．21.解分式方程：．22.如图，在平行四边形A B C D中，过点D作D E⊥A C于点E，D E的延长线交A B于点F.过点B作B G∥D F交D C于点G，交A C于点M.过点G作G N⊥D F于点N．(1)求证：四边形N E M G为矩形；（2）若A B=26，G N=8，，求线段A C的长．23.在平面直角坐标系x O y中，直线：y=k x+b与直线y=3x平行，且过点A（2，7）．(1)求直线的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点.直线与直线关于y轴对称，直线y=m与直线，围成的区域W 内(不包含边界)恰有6个整点，求m的取值范围．24.如图，△A B C是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交A B的延长线于点D，O E⊥B C于点E，交C D于点F．（1）求证：∠A+∠O F C=90°；（2）若，求线段C F的长.25.第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行.为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析.下面给出了相关信息：a.30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：b.30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100)：c.测试成绩在70≤x＜80这一组的是：7073747475757778d.小明的冬奥知识测试成绩为85分．根据以上信息，回答下列问题：（1）小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第；（2）抽取的30名同学的成绩的中位数为________；（3）序号为1-10的学生是七年级的，他们的成绩的方差为记；序号为11-20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为，序号为21-30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为，直接写出，，的大小关系；（4）成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为人．26.在平面直角坐标系x O y中，点,在抛物线上，其中.（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）①当时，求的值；②若，求的值（用含a的式子表示）；（3）若对于，都有，求的取值范围.27.已知∠M A N=30 ，点B为边A M上一个定点，点P为线段A B上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线A N的对称点为点Q，连接A Q,B Q．点A关于直线B Q的对称点为点C，连接P Q，C P．(1)如图1，若点P为线段A B的中点.①直接写出∠A Q B的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段C P与A P的数量关系；(2)如图2，若线段C P与B Q交于点D．①设∠B Q P=α，求∠C P Q的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段D C，D Q，D P之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系x O y中，已知正方形，其中，，，．为该正方形外两点，．给出如下定义：记线段的中点为，平移线段M N得到线段，使点分别落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合（分别为点的对应点），线段长度的最小值称为线段到正方形的“平移距离”．（1）如图1，平移线段，得到正方形内两条长度为1的线段，则这两条线段的位置关系是________；若分别为的中点，在点中，连接点与点________的线段的长度等于线段到正方形的“平移距离”；（2）如图2，已知点，若都在直线B E上，记线段到正方形的“平移距离”为，求的最小值；（3）若线段M N的中点的坐标为(2，2)，记线段到正方形的“平移距离”为，直接写出的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案D C B A D C B C二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.010.11.0,-1（答案不唯一）13.0.16714.615.016.①②③三.解答题（本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21-23题，每小题5分，第24-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解：=………………………………………………………………4分=.……………………………………………………………………5分18.解：………………………………………………………3分.……………………………………………………………4分∵，∴.∴原式=.……………………………………………………………5分19.解：(1)尺规作图如图；……………………………………………………………………………………3分（2）平行四边形；……………………………………………………………………4分对角线互相垂直的平行四边形是菱形.……………………………………………5分20.解：由①去分母，得.去括号，得.移项，得.合并同类项，得.系数化为1，得.∴不等式①的解集为.………………………………………………2分由②移项，得.合并同类项，得.∴不等式②的解集为.………………………………………………4分所以，不等式组的解集为，………………………………………………5分其中正整数解为x=1.…………………………………………………6分21.解：去分母，得.……………………………………………………1分移项，得.………………………………………………………2分合并同类项，得.…………………………………………………………3分系数化为1，得.…………………………………………………………4分经检验，是原方程的解.所以，原方程的解为.…………………………………………………………5分22.(1)证明：∵D E⊥A C,∴∠D E C=90°.∵B G∥D F,∴∠G M E+∠D E C=180°.∴∠G M E=90°.……………………………………………………………1分∵G N⊥D F,∴∠E N G=90°.∴四边形N E M G为矩形.………………………………………………………2分(2)解：∵四边形N E M G为矩形，∴E M=N G=8.在R t△A M B中，∠A M B=90°.∵s i n∠C A B=,A B=26，∴B M=10.…………………………………………………………………3分根据勾股定理，得A M=24.∴A E=A M-E M=16.∵四边形A B C D是平行四边形，∴A D∥B C,A D=B C.∴∠D A E=∠B C M.∵∠A E D=∠C M B=90°，∴△A D E≌△C B M(A A S).∴A E=C M.∴A C=2A E+E M=40.……………………………………………………………………5分23.解：（1）∵直线与直线y=3平行，∴.…………………………………………………………………1分∵直线过点（2，7），∴.∴直线的表达式为.…………………………………………………2分（2）①当时，∵把代入，得,∴直线与直线的交点为.由图形的对称性，可知直线与直线的交点为.结合图象，可知当时，区域W内（不包含边界）整点个数小于6，不符合题意.当时，区域W内（不包含边界）恰有6个整点：（0，2），（0,3），（0，4），（-1,5），（0,5），（1,5）.当时，区域W内（不包含边界）整点个数大于6，不符合题意.∴.……………………………………………………………………4分②当时，由图形的对称性，得.综上所述，，或.…………………………………………5分24.方法1：（1）证明：如图，作直径C G，连接B G，则∠G B C=90°.∵O E⊥B C，∴∠1=90°=∠G B C.∴O F∥B G.∴∠G=∠2.∵∠G=∠A，∴∠A=∠2.∵C D是⊙O的切线，∴C G⊥C D.∴∠O C F=90°.∴∠2+∠O F C=90°.∴∠A+∠O F C=90°.……………………………………………………3分（2）∵∠G=∠A=∠2，∴在R t△B C G中，B C=6，，∴B G=4.根据勾股定理，得C G=.∴O C=.在R t△O C F中，，∴.……………………………………………………………6分方法2（1）证明：如图，连接O C，O B，∵O E⊥B C,O B=O C,∴∠2=∠B O C.∴∠A=∠B O C.∴∠A=∠2.∵C D是⊙O的切线，∴C O⊥C D.∴∠2+∠O F C=90°.∴∠A+∠O F C=90°.……………………………………………………3分(2)解：∵O E⊥B C,∴C E=B C=3.∵∠3+∠O F C=90°，∠A+∠O F C=90°.∴∠A=∠3.∴在R t△C E F中，C E=3，，∴E F=.根据勾股定理，得C F=.…………………………………………6分25.解:（1）5；…………………………………………………………………………1分（2）74；…………………………………………………………………………3分（3）；…………………………………………5分（4）140.…………………………………………………………………………6分26.解：（1）抛物线的对称轴为直线.………………………2分（2）①当时，；………………………3分②.……………………………………………4分（3）①当时，∵，，∴，只需讨论的情况.若，∵时，y随着x的增大而增大，∴，符合题意；若，∵，∴.∵，∴.∴.∵时，，时，y随着x的增大而增大，∴，符合题意.②当时，令，，此时，但，不符合题意；综上所述，的取值范围是.……………………………………6分27.（1）解：①∠A Q B=90°；②补全图形，如图1，.………………………………………………………………3分（2）①解：如图2，连接C Q，∵点P，点Q关于直线A N对称，点A，点C关于直线B Q对称，∴△A P Q为等边三角形.P Q=A Q.∴C Q=P Q.∴∠C=∠C P Q.…………………………………………………………5分②结论：证明：在D C 上截取D E =D Q ，连接E Q ，∴△D E Q 为等边三角形.∴Q E =Q D .∴……………………………………………7分28.解：(1)平行，；……………………………………………………2分(2)如图，连接．∵，∴C E =1，即B C =C E ．∵∠A C B =45°，∴∠C B E =∠C E B =22.5°．∵，∴．∵点为的中点，∴．∴.∴过点P 1作P 1H ⊥B E 于点H ,则为等腰直角三角形.∵，∴．∵，∴．∴的最小值是.……………………………………………………5分(3)……………………………………………………7分。
2023-2024学年北京市海淀区中国人民大学附属中学本部中考模拟数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区中国人民大学附属中学本部中考模拟数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2022年5月18日是第46个国际博物馆日，今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”，在以下几幅古代纹样图案中，利用中心对称进行整体构图的是()A. B.C. D.2.在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为()A. B. C. D.3.下列各组角中，互为余角的是()A.与B.与C.与D.与4.下列说法中错误的是()A.成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B.关于某条直线对称的两个图形全等C.两个全等三角形的对应高相等D.两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧5.有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为x，则的概率是()A. B. C. D.6.实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是()A. B. C. D.7.李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月天每天所走的步数，并绘制成如右统计表：在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是()A.，B.，C.，D.，8.某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表：时间分钟0246810121620含药量毫克03643则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是()A. B.C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若有意义，则x的取值范围是__________.10.把多项式分解因式的结果是__________.11.若n为整数，且，则n的值为__________.12.分式方程的解__________.13.如图，点A，B，C，D在上，，，则__________.14.如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点若，的面积为4，则的面积为__________.15.如图，已知等腰三角形ABC，，，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，则__________16.以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要__________分钟．用时种类准备时间分钟加工时间分钟米饭330炒菜156炒菜258汤56三、计算题：本大题共1小题，共6分。
北京市2021年中考数学一模试卷含答案解析
中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）风和日丽春光好，又是一年舞筝时．放风筝是我国人民非常喜爱的一项户外娱乐活动．下列风筝剪纸作品中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）下面四幅图中，用量角器测得∠AOB度数是40°的图是（）A．B．C．D．3．（2分）如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A，B互为相反数，则点C表示的数可能是（）A．0 B．1 C．3 D．54．（2分）如图可以折叠成的几何体是（）A．三棱柱B．圆柱C．四棱柱D．圆锥5．（2分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（）A．B．C．D．6．（2分）一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是（）A．3 B．4 C．6 D．127．（2分）“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是（）A．赛跑中，兔子共休息了50分钟B．乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟C．兔子比乌龟早到达终点10分钟D．乌龟追上兔子用了20分钟8．（2分）中小学时期是学生身心变化最为明显的时期，这个时期孩子们的身高变化呈现一定的趋势，7～15岁期间生子们会经历一个身高发育较迅速的阶段，我们把这个年龄阶段叫做生长速度峰值段，小明通过上网查阅《2021年某市儿童体格发育调查表》，了解某市男女生7～15岁身高平均值记录情况，并绘制了如下统计图，并得出以下结论：①10岁之前，同龄的女生的平均身高一般会略高于男生的平均身高；②10～12岁之间，女生达到生长速度峰值段，身高可能超过同龄男生；③7～15岁期间，男生的平均身高始终高于女生的平均身高；④13～15岁男生身高出现生长速度峰值段，男女生身高差距可能逐渐加大．以上结论正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．10．（2分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，如图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为（结果精确到0.01）．11．（2分）计算：=．12．（2分）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是毫米．13．（2分）已知：a2+a=4，则代数式a（2a+1）﹣（a+2）（a﹣2）的值是．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=8，则BE=．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCD可以看作是△ABO经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABO得到△OCD 的过程：．16．（2分）下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图1，∠MON．求作：射线OP，使它平分∠MON．作法：如图2，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（2）连结AB；（3）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P；（4）作射线OP．所以，射线OP即为所求作的射线．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23题7分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：（）﹣1﹣（π﹣）0+|1﹣|﹣2sin60°．18．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解．19．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：DE∥AB．20．（5分）关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数时，求此时方程的根．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=的图象与直线y=x+1交于点A（1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y=上一点，且满足OP=OA，直接写出点P 的坐标（点A除外）．22．（5分）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CF，若∠ABC=60°，AB=4，AF=2DF，求CF的长．23．（7分）为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．收集数据：随机抽取甲乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析：甲91897786713197937291 81928585958888904491乙84936669768777828588 90886788919668975988整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据分段学校30≤x≤3940≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲1100378乙分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：统计量学校平均数中位数众数方差甲81.858891268.43乙81.9586m115.25经统计，表格中m的值是．得出结论：a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为．b可以推断出学校学生的数学水平较高，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）24．（6分）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证：∠AEB=2∠C；（2）若AB=6，cosB=，求DE的长．25．（5分）如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=3厘米，AC=4厘米，点P从点B 出发，沿B→C→A以每秒1厘米的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x 秒，B、P两点间的距离为y厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x（s）01234567y（cm）0 1.0 2.0 3.0 2.7 2.7m 3.6经测量m的值是（保留一位小数）．（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在△ABC中画出点P所在的位置．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x=2．（1）求b的值；（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2．①当x2﹣x1=3时，结合函数图象，求出m的值；②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，﹣4≤y≤4，求m的取值范围．27．（7分）在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于点C，交∠ABC的平分线于点D，AE 平分∠BAC交BD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF．（1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC=90°时，①求证：BE=DE；②写出判断DF与AB的位置关系的思路（不用写出证明过程）；（3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF，AE的关系．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，2），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）风和日丽春光好，又是一年舞筝时．放风筝是我国人民非常喜爱的一项户外娱乐活动．下列风筝剪纸作品中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误．故选：B．2．（2分）下面四幅图中，用量角器测得∠AOB度数是40°的图是（）A．B．C．D．【解答】解：A、正确．∠AOB=40°；B、错误．点O，边OA的位置错误；C、错误．缺少字母A；D、错误．点O的位置错误；故选：A．3．（2分）如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A，B互为相反数，则点C表示的数可能是（）A．0 B．1 C．3 D．5【解答】解：∵如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A，B互为相反数，∴线段AB的中点为原点，即A、B对应的数分别为﹣2、2，则点C表示的数可能是3，故选：C．4．（2分）如图可以折叠成的几何体是（）A．三棱柱B．圆柱C．四棱柱D．圆锥【解答】解：两个三角形和三个矩形可围成一个三棱柱．故选：A．5．（2分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（）A．B．C．D．【解答】解：∵各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，∴2022用算筹可表示为故选：C．6．（2分）一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是（）A．3 B．4 C．6 D．12【解答】解：由题意，得外角+相邻的内角=180°且外角=相邻的内角，∴外角=90°，360÷90=4，正多边形是正方形，故选：B．7．（2分）“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是（）A．赛跑中，兔子共休息了50分钟B．乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟C．兔子比乌龟早到达终点10分钟D．乌龟追上兔子用了20分钟【解答】解：由图象可得，赛跑中，兔子共休息了50﹣10=40分钟，故选项A错误，乌龟在这次比赛中的平均速度是500÷50=10米/分钟，故选项B错误，乌龟比兔子先到达60﹣50=10分钟，故选项C错误，乌龟追上兔子用了20分钟，故选项D正确，故选：D．8．（2分）中小学时期是学生身心变化最为明显的时期，这个时期孩子们的身高变化呈现一定的趋势，7～15岁期间生子们会经历一个身高发育较迅速的阶段，我们把这个年龄阶段叫做生长速度峰值段，小明通过上网查阅《2021年某市儿童体格发育调查表》，了解某市男女生7～15岁身高平均值记录情况，并绘制了如下统计图，并得出以下结论：①10岁之前，同龄的女生的平均身高一般会略高于男生的平均身高；②10～12岁之间，女生达到生长速度峰值段，身高可能超过同龄男生；③7～15岁期间，男生的平均身高始终高于女生的平均身高；④13～15岁男生身高出现生长速度峰值段，男女生身高差距可能逐渐加大．以上结论正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④【解答】解：①10岁之前，同龄的女生的平均身高与男生的平均身高基本相同，故该说法错误；②10～12岁之间，女生达到生长速度峰值段，身高可能超过同龄男生，故该说法正确；③7～15岁期间，男生的平均身高不一定高于女生的平均身高，如11岁的男生的平均身高低于女生的平均身高，故该说法错误；④13～15岁男生身高出现生长速度峰值段，男女生身高差距可能逐渐加大，故该说法正确．故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2．【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2；故答案为：x≥2．10．（2分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，如图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.88（结果精确到0.01）．【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率∴这种幼树移植成活率的概率约为0.88．故答案为：0.88．11．（2分）计算：=2m+3n．【解答】解：=2m+3n．故答案为：2m+3n12．（2分）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是毫米．【解答】解：∵DE∥AB∴△CDE∽△CAB∴CD：CA=DE：AB∴20：60=DE：10∴DE=毫米∴小管口径DE的长是毫米．故答案为：13．（2分）已知：a2+a=4，则代数式a（2a+1）﹣（a+2）（a﹣2）的值是8．【解答】解：原式=2a2+a﹣（a2﹣4）=2a2+a﹣a2+4=a2+a+4，当a2+a=4时，原式=4+4=8，故答案为：8．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=8，则BE=2．【解答】解：连接OC，如图，∵弦CD⊥AB，∴CE=DE=CD=4，在Rt△OCE中，∵OC=5，CE=4，∴OE==3，∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2．故答案为2．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCD可以看作是△ABO经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABO得到△OCD 的过程：将△ABO沿x轴向下翻折，在沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD．．【解答】解：将△ABO沿x轴向下翻折，在沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD，故答案为：将△ABO沿x轴向下翻折，在沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD．16．（2分）下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图1，∠MON．求作：射线OP，使它平分∠MON．作法：如图2，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（2）连结AB；（3）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P；（4）作射线OP．所以，射线OP即为所求作的射线．请回答：该尺规作图的依据是等腰三角形三线合一．【解答】解：利用作图可得到OA=OB，PA=PB，利用等腰三角形的性质可判定OP平分∠AOB．故答案为：等腰三角形的三线合一．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23题7分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：（）﹣1﹣（π﹣）0+|1﹣|﹣2sin60°．【解答】解：原式=3﹣1+﹣1﹣2×=1．18．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解．【解答】解：，解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x＞﹣1，∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，∴适合原不等式组的整数解为0，1，2．19．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：DE∥AB．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵EF垂直平分CD，∴ED=EC．∴∠EDC=∠C．∴∠EDC=∠B．∴DE∥AB．20．（5分）关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数时，求此时方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即22﹣4（k﹣1）＞0，∴k＜2；（2）∵k为正整数，∴k=1，此时方程为x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣2．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=的图象与直线y=x+1交于点A（1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y=上一点，且满足OP=OA，直接写出点P 的坐标（点A除外）．【解答】解：（1）∵直线y=x+1经过点A（1，a），∴a=1+1=2，∴A（1，2）．∵函数y=的图象经过点A（1，2），∴k=1×2=2；（2）设点P的坐标为（x，），∵OP=OA，∴x2+（）2=12+22，化简整理，得x4﹣5x2+4=0，解得x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2，经检验，x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2都是原方程的根，∵点P与点A不重合，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2），（2，1），（﹣2，﹣1）．22．（5分）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CF，若∠ABC=60°，AB=4，AF=2DF，求CF的长．【解答】（1）证明：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠AFB=∠CBF．∴∠ABF=∠AFB．∴AB=AF．∵AE⊥BF，∴∠BAO=∠FAE∵∠FAE=∠BEO∴∠BAO=∠BEO．∴AB=BE．∴AF=BE．∴四边形ABEF是平行四边形．∴□ABEF是菱形．（2）解：∵AD=BC，AF=BE，∴DF=CE．∵AF=2DF∴BE=2CE．∵AB=BE=4，∴CE=2．过点A作AG⊥BC于点G．∵∠ABC=60°，AB=BE，∴△ABE是等边三角形．∴BG=GE=2．∴AF=CG=4．∴四边形AGCF是平行四边形．∴□AGCF是矩形．∴AG=CF．在△ABG中，∠ABC=60°，AB=4，∴AG=．∴CF=．23．（7分）为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．收集数据：随机抽取甲乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析：甲91897786713197937291 81928585958888904491乙84936669768777828588 90886788919668975988整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据分段学校30≤x≤3940≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲1100378乙0014285分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：统计量学校平均数中位数众数方差甲81.858891268.43乙81.9586m115.25经统计，表格中m的值是88．得出结论：a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为300．b可以推断出甲学校学生的数学水平较高，理由为两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）【解答】解：整理、描述数据：分段学校30≤x≤3940≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲1100378乙0014285故答案为：0，0，1，4，2，8，5；分析数据：经统计，乙校的数据中88出现的次数最多，故表格中m的值是88．故答案为：88；得出结论：a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为400×=300（人）．故答案为：300；b （答案不唯一）可以推断出甲学校学生的数学水平较高，理由为两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．故答案为：甲，两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．24．（6分）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证：∠AEB=2∠C；（2）若AB=6，cosB=，求DE的长．【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC=90°．∵点E是BC边的中点，∴AE=EC．∴∠C=∠EAC，∵∠AEB=∠C+∠EAC，∴∠AEB=2∠C．（2）连结AD．∵AB为直径作⊙O，∴∠ABD=90°．∵AB=6，，∴BD=．在Rt△ABC中，AB=6，，∴BC=10．∵点E是BC边的中点，∴BE=5．∴．25．（5分）如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=3厘米，AC=4厘米，点P从点B 出发，沿B→C→A以每秒1厘米的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x（s）01234567y（cm）0 1.0 2.0 3.0 2.7 2.7m 3.6经测量m的值是 3.0（保留一位小数）．（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在△ABC中画出点P所在的位置．【解答】解：（1）经测量，当t=6时，BP=3.0．（当t=6时，CP=6﹣BC=3，∴BC=CP．∵∠C=60°，∴当t=6时，△BCP为等边三角形．）故答案为：3.0．（2）描点、连线，画出图象，如图1所示．（3）在曲线部分的最低点时，BP⊥AC，如图2所示．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x=2．（1）求b的值；（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2．①当x2﹣x1=3时，结合函数图象，求出m的值；②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，﹣4≤y≤4，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x=2，∴﹣=2，即﹣=2∴b=2．（2）①∴抛物线的表达式为y=﹣x2+4x﹣3．∵A（x1，y），B（x2，y），∴直线AB平行x轴．∵x2﹣x1=3，∴AB=3．∵对称轴为x=2，∴A（，m）．∴当时，m=﹣（）2+4×﹣3=﹣．②当y=m=﹣4时，0≤x≤5时，﹣4≤y≤1；当y=m=﹣2时，0≤x≤5时，﹣2≤y≤4；∴m的取值范围为﹣4≤m≤﹣2．27．（7分）在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于点C，交∠ABC的平分线于点D，AE 平分∠BAC交BD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF．（1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC=90°时，①求证：BE=DE；②写出判断DF与AB的位置关系的思路（不用写出证明过程）；（3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF，AE的关系．【解答】解：（1）补全图如图1；（2）①延长AE，交BC于点H．∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AH⊥BC，BH=HC．∵CD⊥BC于，∴EH∥CD．∴BE=DE；②延长FE，交AB于点M．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵EF∥BC，∴∠AMF=∠AFM．∴AM=AF．∴ME=EF．∵∠MBE=∠FED，在△BEM和△DEF中，，∴△BEM≌△DEF．∴∠ABE=∠FDE．∴DF∥AB；（3）．证明：∵DF∥AB，∴∠EDF=∠ABD，∵EF∥BC，∴∠DEF=∠DBC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴∠EDF=∠DEF，∴DF=EF，∵tan=，∴．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，2），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（2，0），B（0，2），∴OA=2，OB=2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==4，∴∠ABO=30°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°，∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°，故答案为：60°；（2）如图2，∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E．∴D（4，5）或（﹣2，5）．∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，∵⊙O的半径为，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1，∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，∵⊙O的半径为，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=OQ'=2，∴BD=3﹣2=1，∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述，m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．精品Word 可修改欢迎下载。
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尺规作图与作图依据
1．（18延庆一模1）利用尺规作图，作△ABC 边上的高AD ，正确的是（ ）
2.（18延庆一模20）已知：∠AOB 及边OB 上一点C ．
求作：∠OCD ，使得∠OCD=∠AOB ．
要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写做法；
（说明：作出一个．．
即可） 2．请你写出作图的依据．
3.（18西城一模16）阅读下面材料：
在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理． 已知：直线和直线外的一点P ．
求作：过点P 且与直线l 垂直的直线PQ ，垂足为点Q P 某同学的作图步骤如下：
∵PA PB =，APQ ∠=∠__________， ∴PQ l ⊥．（依据：__________）．
4.（18石景山一模16）小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的做法是这样的：如图， （1）利用刻度尺在AOB ∠的两边OA ，OB 上分别取OM ON =； （2）利用两个三角板，分别过点M ，N 画OM ，ON 的垂线，
交点为P ； （3）画射线OP ．
则射线OP 为AOB ∠的平分线．
请写出小林的画法的依据 ．
5.（18平谷一模16）下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图1，∠MON ． 求作：射线OP ，使它平分∠MON ． 作法：如图2，
（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ； （2）连结AB ；
（3）分别以点A ，B 为圆心，大于1
2AB 的长为半径作弧，两弧相交于点P ； （4）作射线OP ．
所以，射线OP 即为所求作的射线．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
6.（18东城一模16）已知正方形ABCD .
求作：正方形ABCD 的外接圆. 作法：如图，
（1）分别连接AC ，BD ，交于点O ；
（2）以点O 为圆心，OA 长为半径作⊙O .
⊙O 即为所求作的圆.
请回答：该作图的依据是___________________ ________________________________________.
O
N
M
图1
A
A
P
N
B
O
B
M
图2 P
B
O
N
M
A
7.（18怀柔一模16）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
小明的作法如下：
请回答：该尺规作图的依据是_______________________________________________.
8.（18海淀一模16）下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.
请回答：该尺规作图的依据是．
9.（18朝阳一模16）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.
已知：直线a 和直线外一点P . 求作：直线a 的垂线，使它经过P .
作法：如图，
（1）在直线a 上取一点A , 连接PA ；
（2）分别以点A 和点P 为圆心，大于AP 的长为半径作弧， 两弧相交于B ，C 两点，连接BC 交PA 于点D ； （3）以点D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线a 于 点E ，作直线PE .
所以直线PE 就是所求作的垂线. 请回答：该尺规作图的依据是 ．
10.已知：∠A . 求作：一个角，使它等于∠A .
作法：如图，
（1）以点A 为圆心，任意长为半径作⊙A ，
交∠A 的两边于B ，C 两点；
（2）以点C 为圆心，BC 长为半径作弧，
与⊙A 交于点D ，作射线AD ．
所以∠CAD 就是所求作的角．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
11.（18大兴一模16）下面是“求作∠AOB 的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角∠AOB. 求作：∠AOB 的角平分线.
作法：
①在OA 和OB 上，分别截取OD 、OE ，使OD ＝OE ；
②分别以D 、E 为圆心，大于1
2DE
的长为半径作弧, 在∠AOB 内，两弧交于点C ；
③作射线OC. 所以射线OC 就是所求作的∠AOB 的角平分线.
请回答：该尺规作图的依据是 ．
A D
C B A
12.（18顺义一模16）
在数学课上，老师提出一个问题“用直尺和圆规作一个矩形”． 小华的做法如下：
老师说：“小华的作法正确” ．
请回答：小华的作图依据是 ．
13.（18通州一模16）
尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
作法如下：
请回答：PM 平行与l 的依据是 ．
（1）在直线l 上任取两点A ，B ，连接AP ，BP ；
（2）以点B 为圆心，AP 长为半径作弧；以点P 为圆心，AB 长为半径作弧；如图所示，两弧交于点
M .
（3）过点P ，M 作直线． （4）直线PM 即为所求.
已知：如图，直线l 与直线l 外一点P . 求作：过点P 与直线l 平行的直线．
14.（18燕山一模16）在数学课上，老师提出如下问题：
老师说：“曈曈的作法正确．”
请你回答：曈曈的作图依据是_______________________________________________．
15.（18门头沟一模16）
下图是“已知一条直角边和斜边做直角三角形”的尺规作图过程．
请回答：该尺规作图的依据是______________________________________________．。