1马井堂能被7-(11)-13整除的数
五年级下册习题——五升六讲义第9讲数的整除性奥数板块北师大版
第九讲数的整除性常数字的整除判断方法能被2整除的数：个位上是0,2,4,6,8；能被5整除的数：个位上是0，5；能被3（9）整除的数：各位数字和是3（9）的倍数；能被4（25）整除的数：末两位数能被4（25）整除；能被8（125）整除的数：末两位数能被8（125）整除；能被7（11,13）整除的数：末三位数与前几位数字和之差（大减小）能被7（11,13）整除；能被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和之差（大减小）能被11整除；能被11整除的数：每三位数隔成一段，奇数段之和与偶数段之和之差（大减小）能被11整除。
因1001=7×11×13，因此凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。
判断一个数可否被27或37整除的方法：于任何一个自然数，从个位开始，每三位一将其分红若干，而后将每一上的数加，假如所得的和能被27（或37）整除，那么个数必定能被27（或37）整除；否，个数就不可以被27（或37）整除。
例1在□里填上适合的数字，使得七位数□7358□□能分被9，25和8整除。
稳固、已知10□8971能被13整除，求□中的数。
例2由2000个1成的数111⋯11可否被41和271两个数整除？例3在全部五位数中，各位数字之和等于43且能被11整除的数有哪些？稳固、.假如两个数的和是64，两个数的能够整除4875，那么两个数的差是多少？例4 abcabc可否被7,11,13 整除？1稳固、说明12位数abbaabbaabba必定是3,7,13 的倍数。
例5假如41位数55□999能被7整除，那么中间方格内的数字是几？52 0个520个9稳固、一个201位数，111□222能被13整除，□中填。
100个1100个2例5判断以下各数可否被27或37整除：1）2673135；（2）8990615496。
稳固、（1）判断18937可否被29整除；（2）判断296416与37289可否被59整除。
最全的能被特殊数7、11、13等整除的数的判别法
一、特殊数字的整除。
1、能被3、9整除的数：数位之和能被3、9整除（注意消倍）。
例：76935、3165493能否被3整除?例：1349982、367594737能否被9整除？2、能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
3、能被7整除的数：1）割尾法。
故133可以被7整除。
2）将它三位三位截断后，奇数段之和减去偶数段之和的差的绝对值能被7整除。
例如判断1798638345能否被7整除？3）末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差绝对值能被7整除。
例如判断69272、13275能否被7整除？4、能被11整除的数：1）割尾法。
若将一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的1倍，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。
如果差太大或心算不易看出是否为11的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如判断6259能否被11整除？2）将它三位三位截断后，奇数段之和减去偶数段之和的差的绝对值能被11整除。
例如判断55138028、44142405能否被11整除？3）该数的奇数位数字和减去偶数位数字和所得的差的绝对值能被11整除。
例如判断55138028、44142405能否被11整除？4）注意：奇数位数首位单独为一节。
5）末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差绝对值能被11整除。
例如判断44528能否被11整除？5、能被13整除的数：1）末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
例如判断5005、73853能否被13整除？2）将它三位三位截断后，奇数段之和减去偶数段之和的差的绝对值能被13整除。
例如判断106736097、57157059能否被13整除？3）逐次去掉最后一位数字并加上末位数字的4倍后能被13整除。
能被4、7、8、11、13整除的数的特征及习题
能被4、7、8、11、13整除的数的特征及其它一、被4或25整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除,它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除,100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除,它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．二、被7整除的数的特征方法1、（适用于数字位数少时)一个数割去末位数字,再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数(包括0）,那么,原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613－9×2＝595 , 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
方法2、(适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差,如果能被7整除,那么,这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280,679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除.此法也适用于判断能否被11或13整除的问题.如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283,679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除,因此,383357也一定能被13整除．方法3、首位缩小法,在首位或前几位,减于7的倍数.例如，判断456669能不能被7整除,456669-420000=36669,只要32669能被7整除即可。
被7、11、13、17整除数的特征
被7、11、13、17整除数的特征作者 | 刘瑞祥来源 | 说短论长（ID：ShuoDuanLunChang）我在写完“我愿意这样讲被3整除数的特征”一文并把草稿给网友看完之后，对方提议可以讲一讲被7、11等整除数的特征。
这里我就讲一讲，但我不想就事论事地把所有细节都说到，而是根据我的理解，说说重点。
自然，我这里说的都是我个人水平之内能说明白而且认为对于这个主题来说重要的。
小学只讲怎样判断被2、3、5整除，而且好像也没有讲其中的道理。
于是很多人最终也不知道道理，特别是被3整除的问题。
关于这一问题我已经在上文讲过就不再重复，本文重点讲一下被11整除的判断方法。
判断能否整除，其实是数论里“同余”概念的应用。
这里总的思想是用一个比较好判断的数代替原来的不好判断的数，基本的理论依据是：两个数a、b都能被c整除，则a、b的和与差都能被c整除；如果a和b有且只有一个能被c整除，则其和、差都不能被c整除。
当然，如果a、b都不能被c整除，则其和、差是否能被c整除是不确定的。
在研究过程中我们可以先观察若干数据，初步归纳出“猜想”，然后进行证明。
这里提到的“归纳”，是从个别到一般的推理方法。
很多数论问题，包括很多复杂、深入的问题，都是从归纳现象开始研究的。
对推理方法感兴趣的读者可以自己找逻辑入门教材来学习“归纳法”。
这里只说一点：观察和归纳给出了研究方向，但这是不严格的，所以必须要进行证明——能够通过证明的就成为定理，被否定了的猜想无论看上去多么美丽都要放弃，暂时证明不了的就只能成为“悬案”。
下面我们给出判断能否被11整除数的方法，观察和归纳的步骤就略去了，但不代表不重要：方法一：去掉数字的最后一位，用剩下的数减去所去掉的数字，剩余部分如果能被11整除，原来的数就能被11整除，反之则不能。
例如836，用83减去6得到77，易判断77是11的倍数，所以836亦是11的倍数。
证明：以三位数为例，设原来的数为abc，即100a+10b+c，去掉最后一位并减去后得到10a+b-c。
被7、11、13、17、19整除的数的特征之欧阳文创编
被7、11、13、17、19整除的数的特征这个问题从不同的视角观察，可能会得到不同的答案。
也就是说，判断一个数能否被7、11、13整除，有很多方法，但最基础最常用的是：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7、11、13整除，那么，这个多位数就一定能被7、11、13整除．比如，能被13整除的数的特征是，一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被13整除，那么，这个多位数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．这个方法也同样适用于判断一个数能不能被7或11整除．如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．仍以原数为例，末三位数字与前两数字的差是396，396不能被7整除，因此，283697就一定不能被7整除．还有一个方法是比较常用的：因为7×11×13＝1001，因此，能被1001整除的数，能够同时被7、11、和13整除。
第二讲例8就用到这个结论。
其余的方法都没那么常用，但很多，比如：能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数(包括0)，那么，原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
奇位数字的和9+6+8=23 ；偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11，因此，491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
1马井堂能被11整除的数(三)
能被11整除的数（三）
能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。
例1判断七位数1839673能否被11整除。
例2 求下列各数除以11的余数：
（1）41873；（2）296738185。
例3求除以11的余数。
例4用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？
例5用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。
例6 六位数能被99整除，求A和B。
练习
1．为使五位数6□295能被11整除，□内应当填几？
2．用1，2，3，4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数？3．求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。
4．求下列各数除以11的余数：
（1）2485；（2）63582；（3）987654321。
5．求除以11的余数。
6．六位数能被33整除，求A+B。
7．七位数是88的倍数，求A和B。
能被7-11-13整除的数规律
若一个整数得个位数字截去，再从余下得数中,减去个位数得2倍，如果差就是7得倍数，则原数能被7整除•如果差太大或心算不易瞧出就是否7得倍数，就需要继续上述r截尾、倍大、相减、验差J得过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133就是否7得倍数得过程如下:13—3x2=7，所以1 33就是7得倍数;又例如判断6 1 3 9就是否7得倍数得过程如下:61 3 —9x2=5 9 5,59- 5x2 = 49,所以6139就是7得倍数，余类推。
能被9整除得数得规律规律:能被9整除得数，这个数得所有位上得数字得与一定能被9 整除。
能被1 1整除得数得规律若一个整数得奇位数字之与与偶位数字之与得差能被11整除，则这个数能被11整除.11得倍数检验法：去掉个位数，再从余下得数中, 减去个位数，如果差就是1 1得倍数，则原数能被11整除。
如果差太大或心算不易瞧出就是否1 1得倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减.验差J得过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断13 2就是否1 1得倍数得过程如下:13—2=11,所以I 32就是11得倍数;又例如判断1 09 0 1就是否1 1得倍数得过程如下：1 090- 1 =1 0 8 9 ,1 08 -9=9 9,所以10901就是11得倍数，余类推.相当于1000除以1 3余一1,那么1000 ^2除以13余1 （即—1得平方），1 000人3除以13余,所以对一个位数很多得数（比如：51 578 953 2 7 0）,从右向左每3位隔开从右向左依次加、减，27 0 -9 5 3+578-51=-156能被13整除，则原数能被13整除什么样得数能被7与1 1与1 3整除？？？有什么规律就是分开来得三个问题还就是同时被这三个整除?若一个整数得个位数字截去，再从余下得数中，减去个位数得2倍，如果差就是7得倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易瞧岀就是否7得倍数，就需要继续上述「截尾、倍大.相减.验差J得过程，直到能清楚判断为止。
7、11、13的整除判定法则
7、11、13的整除判定法则华图教育邹维丽在公务员考试数学运算这部分中，不少题目通过适当运用数的整除性质就可快速选出答案，这就要求考生对数的整除判断法则要熟练掌握。
下面我们先给出一些特殊数的整除判定基本法则：一、能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或 5）整除的数，末位数字能被2（或 5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；一个数被2（或5）除得的余数，就是其末位数字被2（或5）除得的余数一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数二、能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。
一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。
三、能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。
能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。
四、能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。
能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。
五、能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。
从上述表述中，我们发现7、11、13有一个相同的整除判断法则，就是判断其末三位与剩下的数之差，那么，为什么7、11、13有相同的整除判断法则呢？事实上，这一规律源自经典分解1001=7×11×13。
下面我们利用1001=7×11×13来证明能被7整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7整除。
设abcd为超过三位的数，其中b, c, d分别为百位数、十位数、个位数，则1000=+，abcd a bcd-，于是我们有为了凑出1001，我们将1000a写成1001a a=+=-+=+-abcd a bcd a a bcd a bcd a100010011001()-能被7 整除，则上式右边能被7整除，因此左边因为1001能被7整除，所以，若bcd a-不能被7 整除，则上式右边不能被7整除，也能被7整除，即abcd能被7整除；若bcd a因此左边也不能被7整除，即abcd不能被7整除。
能被7、11、13、4、25、8、125、整除的数的特征
能被13整除的数的特征一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被13整除，那么，这个多位数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．这个方法也同样适用于判断一个数能不能被7或11整除．如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．仍以原数为例，末三位数字与前两数字的差是396，396不能被7整除，因此，283697就一定不能被7整除．能被4或25整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如：832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．能被8或125整除的数的特征如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8或125整除．例如： 9864＝9×1000+86472375＝72×1000+375由于8与125相乘的积是1000，1000能被8或125整除，那么，1000的倍数也必然能被8或125整除．因此，如果一个数末三位数能被8或125整除，这个数就一定能被8或125整除．9864的末三位数是864，864能被8整除，9864就一定能被8整除．72375的末三位数是375，375能被125整除，72375就一定能被125整除。
能被71113整除的数规律
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被9整除的数的规律规律：能被9整除的数,这个数的所有位上的数字的和一定能被9整除。
能被11整除的数的规律若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法:去掉个位数，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。
如果差太大或心算不易看出是否11的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断132是否11的倍数的过程如下：13－2＝11，所以132是11的倍数；又例如判断10901是否11的倍数的过程如下：1090－1＝1089 ，108－9＝99，所以10901是11的倍数，余类推。
相当于1000除以13余-1，那么1000^2除以13余1（即-1的平方）,1000^3除以13余-1,……所以对一个位数很多的数（比如：51 578 953 270），从右向左每3位隔开从右向左依次加、减，270-953+578-51=-156能被13整除，则原数能被13整除什么样的数能被7和11和13整除？？？有什么规律是分开来的三个问题还是同时被这三个整除？若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
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能被7，11，13整除的数（四）
例1
练习
1. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是多少。
2. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是多少。
3. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是
多少。
4. 下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已知这
991个 991个
个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是多少。
5. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号。