揭阳一中2012-2013高二下学期第一次阶段考试理数
精品解析：广东省揭阳第一中学2012届高三第一次阶段考试数学(理)试题
【试题总体说明】该卷是阶段性考试，考查内容是集合、简易逻辑、不等式、函数与导数，试卷难度中等偏上，难度系数大约0。
55～0.6，符合高考试卷难度要求，题型较为全面，同时关注能力以及应用考查,突出多题把关，通过考查能够发现学生学习情况以及存在的问题,便于在以后的教学中进行弥补;集合的相关知识考查有点偏少,试卷偏重于中档题,可能会对学生的学习积极性产生消极影响.总的来看,还是一份较为理想的试卷。
揭阳一中2011—2012学年度高三第一次段考理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题: 本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在答题卷的表格中.1.定义集合运算：},,log|{B y A x y z z B A x∈∈==⊗，且}3,2,1{=A ，}3,2,1{=B ，则集合B A ⊗中的元素个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．9 答案:A解析: 通过给出新的运算定义,考查集合的概念中元素的互异性和无序性以及元素与集合的关系， 是简单题.2、化简4216132332)b (a b b a ab ⋅⋅(a, b 为正数）的结果是( ）A ．ab B ．ab C ．ba D ．a 2b答案:C解析：考查根式与分数指数互化、指数运算及运算能力，是简单题。
12108323232333311127114436363322ab a ba b a bb (a b )(a b )a b a bb a b⋅===⋅⋅ 3。
下列命题中的真命题是 ( ）A ．x ∃∈R ,使得 sin cos 1.5x x += B.(0,),1x x e x ∀∈+∞>+C ．(,0),23xx x ∃∈-∞<D ．(0,),sin cos x x x π∀∈>答案:B解析: 在选项A 中考查三角函数的值域、因为，sin cos x x +=2sin()2 1.414 1.54x π+≤≈<在选项B 中考查指数函数、导数的运用，设'()1,()10,xx f x ex f x e =--∴=->所以,f(x ）在（0，+∞）上单调增,所以,()(0)0,1xf x f ex >=∴>+； C 、D 可以用图像排除。
广东省揭阳一中高二数学第一次阶段性测试题 文【会员独享】
广东省揭阳一中高二数学第一次阶段性测试题 文【会员独享】一、选择题。
（每小题5分，共8小题，共40分） 1、已知数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，则数列的第5项为（ ） A.110 B.16 C.15 D.122、在△ABC 中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边, ︒=︒=45,75C A ,2b ,则此三角形的最小边长为（ ）A ．46 B ．322 C ．362 D ． 423、设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝( )A ．310B. 13C. 18D. 194、在ABC ∆中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边，且22sin sin (sin sin )sin A C A B B -=-，则角C 等于( ) A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π5、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则8S 等于（ ）A ．72B ．54C ．36D ．186、设βα,是三角形ABC 的两个锐角，且,1tan tan <βα则△ABC 的形状是（ ）A 、 钝角三角形B 、 直角三角形C 、 锐角三角形D 、 任意三角形 7、在等差数列{}n a 中，20111-=a ，其前n 项的和为n S ．若20102008220102008S S -=，则=2011S ( ) A ．2010- B. 2010 C ．2011 D ．2011- 8、一直角三角形三边长a b c 、、成等比数列，且a b c <<，则( )A.三边长之比为3：4：5B.三边长之比为C.2c ab = 9、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）A.63B.45C.36D.2710、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -二、填空题。
广东省揭阳一中2011-2012学年高二下学期第一次段考题数学理
2011—2012学年度揭阳一中高二级第二学期阶段考试数学科试卷（理科）一．选择题(每小题5分，共50分)1．若函数()221f x x =+，图象上()1,3P 及邻近上点()1,3Q x y +∆+∆，则yx∆∆＝（ ） A ． 4 B ．4Δx C ．4+2Δx D ．2Δx2．设()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是( )3.定积分22sin xdx ππ-⎰的值为 （ ）A ．2 B.2πC ．0D ．2- 4．曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ） A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(-1,-4)或（1,0） D ．(-1,-4)5.若 的值为（ ） A ．-2 B. 2 C.-1 D. 16．若向量()1,,2a λ=，()2,1,2b =-，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或552D ．2或552-7．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的()()()0002,lim 2k f x k f x f x k→--'=则方程是（ ）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92=8．已知函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如图所示，且(2)1f -=，(3)1f =，则不等式2(6)1f x >－的解集为( )A ．()2,3(32)－，－B．(C ．()2,3D．((),2,-∞+∞二．填空题（每小题5分，共20分）9．函数sin ()xf x x=的导函数为_________. 10.设若0lg ,0,()8,0,ax x f x x tdt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a ＝_________. 11.函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是_________.12．从如图所示的长方形区域内任取一个点(),M x y ，则点M 取自图中非阴影部分的概率为_________.13．设双曲线22221x y a b-=（0a <,0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于_________. 14．已知函数()sin cos 4f x f x x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则()4f π=_________. 三．解答题：（本大题共6小题，共80分）15.（本小题满分12分）已知函数x x x f 3)(3-=，过点)6,2(-P 作曲线)(x f y =的切线的方程，求切线方程．16.（本小题满分12分）已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，其中1a >，讨论函数()f x 的单调性.17. （本小题满分14分）某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益．通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3(百万元)时，每投入x (百万元)广告费，增加的销售额可近似的用函数21214y x x =-+(百万元)来计算；每投入x (百万元)技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数3221253y x x x =-++(百万元)来计算．现该公司准备共投入3(百万元)，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司的销售额最大． (参考数据：2≈1.41，3≈1.73)18．（本小题满分14分）已知函数bx ax x x f ++=23)(在1x =处有极值2-． （1）求常数a 、b ；（2）求曲线()y f x =与x 轴所包围的面积。
广东省揭阳一中2012-2013学年高二下学期第一次阶段考理综试题.pdf
揭阳第一中学2012—2013学年高二级第二学期第一次段考 理科综合 可能用到的相对原子质量： H—1 C—12 N—14 O—16 Na—23 Cl—35.5 C．调整能量在生态系统中流动的方向 D．使物质能够尽快地循环流动 2．某生态系统中有ab、c、d四种生物，构成食物链a→b→c，d为分解者，下图是该生态系统中能量流入b处发生的一系列变化示意图，下列说法错误的是A．图中的甲表示b的同化能量，乙表示b用于生长．发育和繁殖的能量 B．蘑菇可参与丁过程 C．当生态系统处于相对稳定状态时，b的种群数量一般处于 值 D．图中d的能量不全部来自b生物 4． 如图是可持续发展战略中对森林的两种开发模式ⅠⅡ，其中叙述不正确的是A．完全砍伐后再种植的树通常具有一样的树龄和种类 B．选择性砍伐使森林变得更有层次和多样性 C．选择Ⅱ模式更有利于森林的可持续发展 D．进行大面积砍伐，让其自身恢复．基因工程与蛋白质工程的区别是A．基因工程需对基因进行分子水平操作，蛋白质工程不对基因进行操作 B．基因工程合成自然界已存在的蛋白质，蛋白质工程可以合成自然界不存在的蛋白质 C．基因工程是分子水平操作，蛋白质工程是细胞水平(或性状水平)的操作 D．基因工程完全不同于蛋白质工程 ．下图表示基因工程中获取水稻某目的基因的不同方法。
下列相关叙述中正确的是 A．这三种方法都用到酶，都是在体外进行 B．①②③碱基对的排列顺序均相同 C．图示ab、c三种方法均属人工合成法 D．方法a不遵循中心法则 下列化合物沸点比较错误的是A．烷＞乙烷＞甲烷 B．1—氯戊烷＜1—氯丙烷 C．氯烷＞烷 D．正戊烷＞异戊烷＞新戊烷 A．C4H10和C20H42 B．邻二甲苯和对二甲苯 C．C4H8和C3H6 D．一溴乙烷和1,2—二溴乙烷 10．下列操作达不到预期目的的是 ① 石油分馏时把温度计插入受热的液体中 ② 用酸性高锰酸钾溶液除去乙炔中含有的H2S ③将苯和溴水混合后加入铁粉制取溴苯 ④苯 A．只有①② B．只有③④ C．只有①③ D．①②③④下列有机反应中，不属于取代反应的是A．＋Cl2＋HCl B．2CH3CH2OH＋O22CH3CHO＋2H2O C．ClCH2CH===CH2＋ NaOHHOCH2CH===CH2＋NaCl D．＋HO—NO2＋H2O关于物体的动量和动能下列说法中正确的是A．一物体的动量不变其动能一定不变B．一物体的动能不变其动量一定不变 C．两物体的动量相等,其动能一定相等D．两物体的动能相等,其动量一定相等一个阻值为2Ω的线圈在匀强磁场中转动产生的交变电动势为e=10sin20(tV），当该线圈与一阻值为8Ω的电阻组成闭合回路时，下列说法正确的是A．t=0时，线圈平面位于中性面 B．t=0时，穿过线圈的磁通量为0 C．电阻的热功率为16W D．用电压表测路端电压时读数为V 15．温度传感器广泛应用于空调．电冰箱等家用电器中，它是利用热敏电阻的阻值随着温度变化的特性来工作的。
广东省揭阳市2012-2013学年高二数学下学期第一次阶段考试试题 理 新人教A版
图1俯视图揭阳三中2012-2013学年高二下学期第一次阶段考试数学（理）试题一、选择题（共8小题，每题5分）1．已知函数x x f -=1)(定义域为M ，x x g ln )(=定义域为N ，则=N M A ．{}1|≤x x B ．{}10|≤<x x C ．{}10|<<x x D ．{}10|≤≤x x2．在等差数列{}n a 中，56789450a a a a a ++++=，则311a a +=（ ）.A ．180B ．75C ．45D ．3003. 在ABC ∆中，若π125=∠A ，π41=∠B ，26=AB ，则=AC A ．3 B ．32 C ．33 D ．344.若0>x 、0>y ，则1>+y x 是122>+y x 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B ．1 C.23 D. 136. 函数()()y x xx x sin cos sin cos =+-是A ．奇函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．奇函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．偶函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．偶函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 7．函数x x x f ln )(=，则 （ ）（A ） 在),0(∞上递增；（B ）在),0(∞上递减；(C)在)1,0(e上递增； （D ）在)1,0(e上递减8．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是 ( )二、填空题（共6小题，每小题5分）9．不等式1x x -≤的解集是 .10．函数y ＝lnx 在点A(1,0)处的切线方程为_______．11． 10x cos ⎰d x = .12. 已知数列{}n a 的首项11=a ，若*∈∀N n ，21-=⋅+n n a a ，则=n a ．13. 在平面直角坐标系Oxy 中，若双曲线14222=+-m y m x 的焦距为8，则=m ． 14. 在平面直角坐标系Oxy 中，直线a y =（0>a ）与抛物线2x y =所围成的封闭图形的面积为328，则=a ．三、解答题（共6小题、80分） 15．（本小题满分12分）已知函数)652sin()(π+=x A x f （0>A ，R x ∈）的最小值为2-． ⑴求)0(f ；⑵若函数)(x f 的图象向左平移ϕ（0>ϕ）个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称，求ϕ的最小值．16．（本小题满分12分） 已知函数3()3f x x x =-（1）求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值.（2）过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程.17. （14分）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-；数列{}n a 为等差数列，且514,a =720a =。
广东省揭阳一中高二数学下学期第一次段考试题文新人教A版
揭阳一中2012—2013学年度高二级第二学期第一次阶段考试文 科 数 学 试 卷（本试卷共20小题，满分150分，考试用时120分钟.）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.命题0,:≥∈∀x R x p ，则 p ⌝是A.00,0x R x ∃∈< B. 00,0x R x ∃∈≥C.00,0x R x ∀∈≥ D.,<∈∀x R x2. 函数x x x f 3)(3-=的递减区间是 A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-26,或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,26 B. ()1,1- C. ()1,-∞-或()+∞,1 D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-26,26 3. 把红，黄，蓝，白4张纸牌随机地分发给甲，乙，丙，丁四个人，每人一张，则事件＂甲分得红牌＂与事件＂丁分得红牌＂是 （ ） Ａ．不可能事件 Ｂ．互斥但不对立事件 Ｃ．对立事件 Ｄ．以上答案都不对4. 过抛物线24y x =的焦点的直线l 交抛物线于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，如果12x x +=6，则=PQ （ ）A ．8B ．9C ．10D ．115. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为3”的概率是（ ）A . 13 B. 14 C. 15 D. 166.曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为（ ）A. 430x y ++=B.450x y +-=C. 430x y -+=D. 430x y --=7．设实数x, y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥-+222022y x y y x ,则22y x +的取值范围是（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,54B. []22,1 C. []8,1 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,552 8.已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 3±=，则双曲线的离心率是（ ）A. 332B. 2C. 34D. 49. 已知21,,,a y x a 成等差数列, 21,,,b y x b 成等比数列.则()221221-+b b a a 的取值范围是（ ）A. (]2,0B. [)(]2,00,2⋃-C. (][)+∞⋃-∞-,22,D. (][)+∞⋃-∞-,11,10.设三次函数)(x f 的导函数为)(x f '，函数)(x f x y '⋅=的图象的一部分如图所示，则正确的是A.)(x f 的极大值为)3(f ，极小值为)3(-fB.)(x f 的极大值为)3(-f ，极小值为)3(fC.()f x 的极大值为(3)f ，极小值为(3)f -D.)(x f 的极大值为)3(-f ，极小值为)3(f二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）11.在一个小组中有5名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是 ．12．若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值，则a = ． 13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点在抛物线28y x =的准线上，则双曲线的方程为 ． 14. 过原点作曲线y=ex 的切线，则切点的坐标为 ， 切线的斜率为 .三、解答题（本题共6小题，第15—16题每小题12分，第17—20题每小题14分，满分80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.（12分）将A 、B 两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（I）共有多少种不同的结果？（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？(III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？16.（12分）设数列{}n a的前n项和为n S，点(,)()nSn n Nn*∈均在直线12y x=+上.（1）求数列{}na的通项公式；（2）设3n anb=，试证明数列{}nb为等比数列.17．（14分）已知倾斜角为60的直线L经过抛物线24y x=的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，其中O坐标原点．（1）求弦AB的长；（2）求三角形ABO的面积．18. （14分）已知函数daxbxxxf+++=23)(的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为76=+-yx.（Ⅰ）求函数)(xfy=的解析式；（Ⅱ）求函数)(xfy=的单调区间.19.（14分）设a为实数, 函数.)(23axxxxf+--=(Ⅰ)求)(xf的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线xxfy与)(=轴仅有一个交点.20. （14分）已知a 为实数，).)(4()(2a x x x f --= （1）若'(1)0f -=，求)(x f 在[]2,2-上最大值和最小值；（2）若)(x f 在(]2-∞-，和[)2+∞，上都是递增的，求a 的取值范围。
揭阳市2012届高中毕业班高考第一次模拟考(理数)
揭阳市2012年高中毕业班第一次高考模拟考试题数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回， 参考公式：如果事件A 存一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k k n n p P C k P --=)1()(锥体的体积公式：Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1|1||{≤-=x x A ，}{m B =，若B B A = ，则m 的取值范围是A ．（-∞，1]B ．[2，+∞）C ．[0，2]D ．（-∞，0]∪[2，+∞) 2．设复数z 满足i z i 22)1)(1(+=+-（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是i A 21.+- i B 21.-- i C 2. i D 2.-3．设n S 为等比数列，}{n a 的前n 项和，若11=a ，公比3=q ，9722=-+k k S S ，则k 的值为A. 3B. 4C. 5D. 64．在点)3,2(),2,1(),1,1(M Q P ，)41,21(N 中，能成为函数xa y =的图象与其反函数的图象的公共点的是A ．点P 和点MB ．点P 和点NC ．点MD ．点N 5．已知)cos ,1(x =，)sin 4,(cos y x x b +=，])2,0[(π∈x ，若b a //，则y 的最大值为A. -4B. 1C. 4D. 56．从一个正方体中截去部分几何体，得到的几何体的三视图及尺 寸(单位：cm)如图1所示，则此几何体的体积是3323.cm A 36.cm B 3647.cm C 3322.cm D7．若曲线02:2,21=-+y y x C 与曲线0)1(:2=--y kx x C 有4 个不同的交点，则实数k 的取值范围是)3,3(-⋅A )3,0()0,3( -⋅B )3,3.[-C ),3()3,(+∞--∞⋅ D8．设集合},,,,{43210a a a a a A =．在A 上定义运算“⊙”为：i a ⊙k j a a =，其中|,|j i k -=,4,3,2,1,0,4,3,2,1,0==j i 那么满足i a (⊙)j a ⊙),(12A a A a a a j i ∈∈=的有序数对),(j i 的组数共有A. 4B. 6C. 8D. 12二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题(9-13题)9．运行图2所示的程序，若输入的n 值为3，则输出的结果sum=_________．（用分数表示）10．设曲线x y cos =])2,2[(ππ-∈x 与x 轴围成的封闭区域为M 依次连结曲线与坐标轴的交点得到的封闭区域为N ，向区域M 内随机投 一点（该点落在区域M 内任何一点是等可能的），则所投的点落在区 域N 内的概率是________．11.△ABC 中，M 为BC 上任意一点，N 为AM 中点，若AC AB AN μλ+=， 则μλ+的值为_______12.设二项式6)1(xx a -的展开式中2x 项的系数为A ，若)180,210(--∈A ，且*N a ∈，则a 的值是_______ 13．设11)(+-=x x x f ，记),()(1x f x f =若))(()(1x f f x f n n =+，则=)(2012x f _______ （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图3所示，AB 与⊙O 切于点B ， AO 交⊙O 于点C 、D ，且AO=5，AB=4，则△ABD 的面积 是___________．15.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧=-=θθsin 22cos 2y x （θ是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程可写为_______三．解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别B C A a c b a 2,1,=+=、、，△ABC 的面积433=S(1)求b 的长； (2)求)22sin(C -π的值．17.（本小题满分13分）目前，空气中的“PM2.5”（直径小于等于2.5微米的颗粒物）对人体健康的危害程度越来越受到人们的关注．世界卫生组织(WHO)在2005年就制定了“PM2.5”的准则值，某地区空气中“PM2.5”的浓度高于这个准则值，生活在该地区的居民死亡风险就会显著上升，WHO 同时还设定了三个过渡期目标值，为目前还无法一步到位的地区提供阶段性目标（见下表，表中各数据均是相应标准的最高限值）．某市一年（365天）对空气中的“PM2.5”的含量进行监测，获得“PM2.5”每日24小时平均浓度值（单位：微克／立方米）按照区间[0，25]，(25，50]，(50，75]，(75，100]进行分组，得到频率分布直方图如图4示．(1)计算该市一年中“PM2.5”每日24小时平均浓度值分别达到(WHO)过渡期目标-1和 (WHO)准则值的天数；(2)若将频率视为概率，记该市某一周空气中“PM2.5”日24小时平均浓度值达到(WHO) 准则值的天数为X ，求X 的数学期望；(3)若将频率视为概率，求该市某一周至少有2天空气中“PM2.5”日24小时平均浓度值达到(WHO)准则值的概率．(结果精确到0.01)（参考数据：26.0)54(6≈） 18．（本小题满分13分）如图5，已知四棱锥P-ABCD 中90=∠=∠ABC DAB ，2,1====AD PA BC AB ，PA⊥平面ABCD ．(1)求PC 与平面PAB 所成角的正切值； (2)求证：平面PAC⊥平面PCD.19.（本小题满分14分）如图6，已知点),0(a A ，A a a a B '>),0)(2,(是点A 关于直线x y =的对称点，P 为x 轴上的动点．(1)求||||PB PA +的最小值；(2)已知抛物线C 的顶点为原点O ，焦点在x 轴，且过点B ，⊙M 的圆心M 在抛物线C 上运动，且过点A'，D ，E 为⊙M 与y 轴的两个交点，试探究三角形A'DE 的面积是否随圆心M 的变化而变化？若没有变化，求出三角形A'DE 的面积． 20．（本小题满分14分） 已知函数3x y =在点))(,(*3N n n n ∈处的切线与x 轴的交点为)0,(n a (1)用n 表示n a(2)设23741-++++=n n a a a a p ，82141210+++++=n n a a a a Q ，其中 ,2,1=n 试比较n p 与n Q 的大小，并证明你的结论； (3)设数列}1{na 的前n 项和为n T ，求证：对*N n ∈∀，n T n 6<21.（本小题满分14分）已知函数).(ln )(R a x a x x f ∈+= (1)当1-=a 时，证明;1)(≥x f(2)设221)2()()(x x a x f x F ++-=，试讨论函数)(x F y =的零点个数； (3)设),,2,1(0,0n k b a k k =>>，证明：若0)1(1≤-∑=i ini b a，则.12121≤n b n b b a a a参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则， 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半：如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数， 一、选择题：CBCD BADD1．}20|{≤≤=x x A ，]2,0[∈⇒=m B B A 选C ． 2．i ii z 2111)1(2+-=--+=，则i z 21--=，故选B ． 3．由9722=-+k k S S ，得597234972)33(1112=⇒=⋅⇒=+=++++k a a a k k k k k ，选C ． 4．函数xa y =的反函数为x y a log =，因1,0=/>a a 可排除点P ，故先排除A 、B ，若点M 在函数x a y =的图象上，则3=a ，但32l o g3≠，即点M 不在函数x y 3log -=的图象上，排除C ，故答案D ．5．由//，得x x y sin 4cos 2-=x x sin 4sin 12--=5)2(sin 2++-=x ，因1sin 0≤≤x 故选B ．6．该几何体的直观图如右图示：其体积33323111213122cm V =⨯⨯⨯⨯⨯-=，故选A ． 7．曲线1)1(:221=-+y x C 是以(0，1)为圆心，以1为半径的圆： 曲线0)1(:2=--y kx x C 即0=x 或01=--y kx ，直线01=--y kx 恒过定点(0，-1)，即曲线2C 为y 轴与恒过定点(0，-1)的两条直线，如图易得：,3,321=-=k k 以直线1l （或 直线2l )、y 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知3>k 或3-<k ，故选D ．8．i a (⊙)j a ⊙12a a =，得k a ⊙11|2|12=⇒=-⇒=k k a a 或3=k ，即1||=-j i 或3||=-j i ，若1||=-j i ，则),(j i 有(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)共8组，若3||=-j i ，则),(j i 有(1，4)，(4，1)，(0，3)，(3，0)共4组，故合共12组，选D ．二．填空题：9．.629 10.4π11．21 12.2： 13.x 14.548 15．θρcos 4-=解析：9．该程序即求和n n 134232+++++ ，当n=3时，输出结果为62934232=++10.如图易得区域M 的面积2|sin cos 2222===--⎰ππππx xdx S M ，区域N 的面积2π=N S ，由几何概型的概率公式可得所求的概率为4π11.设M 为BC 的中点，则)(21AC AB AM +=，AC AB AM AN 414121+==，则21=+μλ 或)(2121BM AM +==)]([21)(21a a -+=+=a a 221+-=，故21=+μλ12.r xx a C T rrrr )1()()1(661-+-=rr r x a C ---=366)1(，令,23=-r 得1=r ，因此56a A -=，由,3530180621055<<⇒-<-<-a a 又.2*=⇒∈a N a13．由题目可预知)(x f n 具有周期性，因 11)()(1+-==x x x f x f x x f x f x f f x f 11)(1)())(()(1112-=+-==，111)(1)())(()(2223-+-=+-=⋅=x x x f x f x f f x f x x f x f x f =+-=1)(1)()(334，)()(15x f x f =……，可知)(x f n 周期为4，所以x x f x f ==)()(4201214.解法一：过点B 作AD 的垂线，垂足为E ，由AO=5，AB=4得OB=OD=3． 由512=⇒⋅=⋅BE AB BO BE AO 54821=⋅=∴∆BE AD S ABD解法二：过点D 作DE⊥AE 于E ，由DE B //0，得524583=⨯=⇒=DE AD AO DE OB 54821=⋅=∴∆DE AB S ABD15.在直角坐标系xoy 中，曲线C 是以点(-2，0)为圆心，以2为半径的圆，如图设),(θρP 是曲线C 上任意一点，在Rt△OPA 中，易得θθπρcos 4)cos(-=-=OA ，即曲线C 的极坐标方程为.cos 4θρ-=三，解答题：16.解：(1)π=++=+C B A B C A ,2 3π=∴B ………………1分433sin 21==B ac S ………………3分 32314332sin 2=⨯⨯==∴B a S c ………………5分 由余弦定理得721691cos 22=⨯-+=-+=B ac c a b 7=∴b ………………7分 (2)由正弦定理知：C c B b sin sin =142137233sin sin =⨯==∴b B c C ………………9分 C C C 2sin 212cos )22sin(-==-∴π………………11分1413)14213(212-=⨯-=………………12分 17．解：(1)该市一年中“PM2.5”日24小时平均浓度值达到世界卫生组织(WHO)过渡期-1的天数为：314365)25125225182519251251(=⨯⨯+⨯+⨯………………3分 一年中“PM2.5”日24小时平均浓度值达到（WHO ）准则值的天数为：1251×25×365=73………………5分 (2)依题意知，该市一年中一天空气中“PM2.5”臼24小时平均浓度值达到(WHO)准则值的概率5136573==p 或51251251=⨯=………………7分 因X 服从二项分布，即),7(~p X ，所以577==p EX ………………8分 (3)因该市一年中一天空气中“PM2.5”日24小时平均浓度值达到(WHO)准则值的概率5136573==p 则一天空气中“PM2.5”日24小时平均浓度值达不到(WHO)准则值的概率为：54511=-………………10分 故一周至少有2天空气中“PM2.5”日24小时平均浓度值达到（WHO ）准则值的概率为：)51()54()54(1667777C C --67)54(57)54(1⨯--=.43.0572.0126.02.21≈-=⨯-≈…13分18.解：(1)解法一：∵PA⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ∴BC ⊥PA …………………1分又∵BC⊥AB，PA∩AB=A ∴BC⊥平面PAB……………3分 ∴∠CPB 为PC 与平面PAB 所成的角………………4分 在Rt△PAB ,51,222=+=∴==AB PA PB AB PA ………………5分在Rt△CBP 中，5551tan ===∠PB BC CPB 即PC 与平面PAB 所成角的正切值为55………7分解法二：∵PA⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ∴AD⊥PA …………………1分 又∵DA⊥AB，PA∩AB=A ∴AD⊥平面PAB ………………2分 ∵BC⊥AB ∴BC∥AD ∴BC⊥平面PAB ………………3分 ∴∠CPB 为PC 与平面PAB 所成的角 ………………4分 在Rt△PAB 1,2==AB PA,522=+=∴AB PA PB …………5分在Rt△CBP 中，5551tan ===∠PB BC CPB即PC 与平面PAB 所成角的正切值为55………………7分解法三：∵PA⊥平面ABCD DA⊥AB∴以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系如图示：易得B(1，0，0)，C(1，1，0)， D(0，2，0)，P(0，0，2)， ………………2分则)2,1,1(),2,0,0()0,2,0(,.-=== ………………3分设PC 与平面PAB 所成角的大小为θ， 则6641122||||sin )2cos(=++⨯=⋅==-PC AD PC AD θθπ………………5分 20πθ≤< 630sin 1cos 2=-=∴θθ………………6分 5530666tan =⋅=∴θ，即PC 与平面PAB 所成角的正切值为55………………7分(2)证法一：过点C 作CE∥AB 交AD 于点E ，∵DA⊥AB ∴DA⊥EC，且AE =BC =1．………………8分∵AD =2，∴E 为AD 的中点，∴EC 为AD 的垂直平分线，∴CD=AC，………………9分∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠BAC=450…………………10分∴∠DAC =∠ADC=450．∴∠DCA=900，即DC⊥AC，………………11分 又∵PA⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ∴CD⊥PA，且PA∩AC=A ∴CD⊥平面PAC ， ∵CD ⊂面PDC ．∴平面PAC⊥平面PCD………………13分证法二：∵PA⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ∴CD⊥PA，………8分 又)()(+⋅+=⋅ ⋅+⋅+⋅+⋅= 00cos 21135cos 210135cos 21=⨯+⨯++⨯⨯= …………10分 CD AC ⊥∴即AC⊥DC，………11分 ∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC ，…………12分 ∵CD ⊂面PDC ，∴平面PAC⊥平面PCD.………………13分证法三：∵PA⊥平面ABCD ．CD ⊂平面ABCD ∴CD⊥PA………………8分 ∵DA⊥AB ∴以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系如图示：易得B(1，0，0)，C(1，1，0)， D(0，2，0)，P(0，0，2)，………………10分则)0,1,1(),0,1,1(=-=CD AC ⊥∴=⨯+⨯+⨯-=⋅,0001111 ……11分∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC ，………………12分 ∵CD ⊂面PDC ．∴平面PAC⊥平面PCD………………13分19．解：(1)设点),0.(a A 关于x 轴的对称点为A 1，则A 1的坐标为),0(a -………1分于是||||||||||11B A PB PA PB PA ≥+=+ 当且仅当A 、P 、B 三点共线是取等号，……3分 这时|PA|+|PB|取得最小值………………4分a a a a B A PB PA 224)2(|||)||(|221min +=++==+∴（2）解法一：依题意知点),0,(a A '………7分 设抛物线C 的方程为)0(22>=p px y 由抛物线C 过点B 得,222a p pa a =⇒= 即抛物线C 的方程为ax y 22=………8分 过点M 作y 轴的垂线，垂足为G ，则点G 平分DE ， 设圆心为M(m ，n)，则,2)(||||||22222222a am n m n a m MG A M DG +-=-+-=-'=………10分,2||,||,22a DE a DG am n ==∴= ………………12分即当M 运动时，弦DE 的长不随圆心M 的变化而变化，又∵点A'到y 轴的距离不变，∴三角形A'DE 的面积不随圆心M 的变化而变化，……13分2||21a a DE S DE A =='∆………14分 解法二：依题意知点),0,(a A '………7分 设抛物线C 的方程为)0(22>=p px y 由抛物线C 过点B 得,222a p pa a =⇒= 即抛物线C 的方程为ax y 22=………8分 设圆的圆心为),(n m M ∵圆M 过点)0,(a A '∴圆的方程为2222)()()(n a m n y m x +-=-+-………9分 令0=x 得，,02222=-+-a am ny y∵点),(n m M 在抛物线ax y 22=上，am n 22=∴0))((02222=+---⇒=-+-∴a n y a n y a n ny y设2121),,0(),,0(y y y E y D > 则a n y a n y -=+=21,a y y 221=-∴，即a DE 2||=即当M 运动时，弦DE 的长不随圆心M 的变化而变化，……………12分又∵点A'到y 轴的距离不变，∴三角形A'DE 的面积不随圆心M 的变化而变化；………………13分2||21a a DE S DE A =='∆………14分 解法三：依题意知点)0,(a A '………7分设抛物线C 的方程为)0(22>=p px y由抛物线C 过点B 得,222a p pa a =⇒=即抛物线C 的方程为ax y 22=………8分设圆的圆心为),(n m M ∵圆M 过点)0,(a A '∴圆的方程为2222)()()(n a m n y m x +-=-+-………9分令0=x 得：,02222=-+-a am ny y 22484a am n +-=∆∵点),(n m M 在抛物线ax y 22=上， am n 22=∴24a =∆∴设2121),,0(),,0(y y y E y D > 由求根公式得a n y a n a n y -=+=+=221,242 a y y 221=-∴ 即a DE 2||=∴当M 运动时，弦长|DE|为定值，…………………12分又∵点A'到y 轴的距离不变，∴三角形A'DE 的面积不随圆心M 的变化而变化，……13分 2||21a a DE S DE A =='∆………14分 解法四：依题意知点)0,(a A '………7分设抛物线C 的方程为)0(22>=p px y由抛物线C 过点B 得,222a p pa a =⇒=即抛物线C 的方程为ax y 22=………8分设圆的圆心为),(n m M ∵圆M 过点)0,(a A '∴圆的方程为2222)()()(n a m n y m x +-=-+-………9分令0=x 得，,02222=-+-a am ny y设),0(),,0(21y E y D则n y y 221=+，,2.221a am y y -=212212214)()(y y y y y y ⋅-+=-∴2222484)2(4)2(a am n a am n +-=--=又∵点),(n m M 在抛物线ax y 22=上，,22am n =∴,4)y (2221a y =-∴.2||21a y y =-………12分∴当M 运动时，弦长|DE|为定值，又∵点A'到y 轴的距离不变，………………13分 ∴三角形A'DE 的面积不随圆心M 的变化而变化，2||21a a DE S DE A =='∆………14分 20.解：(1)23x y ='∴函数3x y =在点),(3n n 处的切线方程为)(323n x n n y -=-………2分令0=y ，得323n n n x =+-= *,32N n n a n ∈=∴………3分 (2)设数列}{n a 的公差为,d 则23741,,,,-n a a a a 组成以1a 为首项，以d 3为公差的等差数列………4分82141210,,,,+n a a a a 组成以10a 为首项，以2d 为公差的等差数列，…………………5分 n n n n n d n n na P n 313232)1(221-=-+=⋅-+=∴………6分 d n n na Q n 22)1(10⋅-+=n n n n n 632323232022+=-+=………7分 )19(31)632(3122-=+--=-n n n n n n Q P n n ………8分 ∴对于正整数n ，当20≥n 时，n n Q P >当n=19时，n n Q P =当181≤≤n 时，n n Q P <………………9分(3)证明：na 261== ),131211(26nT n ++++=∴ 要证n T n 6<，只须证(*)2131211 n n <++++………10分 证法一：)1(21221--=-+<+=n n n n n n n………12分 n 131211++++∴ )1(2)23(2)12(21--++-+-+<n n.212n n <-=∴原命题得证．………14分 证法二：令n nn f 2131211)(-++++= n n n n f n f 21211)()1(++-+=-+∴1122++-=n n n 011444422<+++-+=n n n n n ………12分 ∴函数)(n f 单调递减，当*N n ∈时，021)1()(max <-==f n f 0)(<∴n f 对*N n ∈∀恒成立，即n n 2131211<++++∴原命题得证………14分 证法三：na n 261= ),131211(26nT n ++++=∴ 要证n T n 6<只须证(*)2131211 n n<++++………10分 以下用数学归纳法证明①当n=1时，121<不等式（*）成立；-一一 (11)②假设*,1(N k k k n ∈≥=）不等式（*）成立，即,2131211k k<++++ 则11131211++++++k k 112++<k k 1)1(212112++⇔+<++k k k k k 10)12()1(4)1(22<⇔+<+⇔+<k k k k 12112+<++∴k k k ………13分 ∴当1+=k n 时，不等式（*）成立，根据①②可知列*N n ∈∀原不等式成立．………………14分21.解：(1)当1-=a 时，x x x f ln )(.-=令0)(='x f ，得0111=-=-xx x ，得1=x ………2分 当)1,0(∈x 时，0)(<'x f当0)()),,1(>'+∞∈x f x∴当1=x 时，函数x x x f ln )(-=有最小值，()()11min ==f x f1)(≥∴x f ………3分(2)解法一：函数)(x F y =的零点，即方程0)(=x F 的实根，将方程0)(=x F 化为x x x x a -=-221).ln (，显然),0(+∞∈x 当0=a 时，方程为0212=-x x 解得0=x 或2=x ，但,2),,0(=∴+∞∈x x即当0=a 时，函数)(x F y =有一个零点；………4分当0=/a 时，由(1)知.0ln =/-x xx x x x a ln 212--=∴，令xx x x x g ln 21)(2--= 则22)ln ()11)(21()ln )(1()(x x x x x x x x x g ------='2)ln ()1ln 21)(1(x x x x x -+--=………5分 令1ln 21)(+-=x x x h ，则xx x x h 22121)(-=-='，由0)(='x h ，得,2=x 当)2,0(∈x 时，0)(<'x h ，当),2(+∞∈x 时，0)(>'x h∴当2=x 时，函数()x h =y 有最小值，()02ln 2)2(min >-==h x h即对),0(+∞∀x ，都有01ln 21>+-x x ………6分 ∵当)1,0(∈x 时，0)(<'x g当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g∴函数)(x g 在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，∴当1=x 时，函数)(x g y =有最小值，21)1()(min -==g x g ………8分 ∴当21-=a ，方程0)(=x F 有唯一实根，即函数)(x F y =有一个零点； 当021<<-a 时，方程0)(=x F 有两个实根，即函数)(x F y =有两个零点： 当0>a 时，方程0)(=x F 有一个实根，即函数)(x F y =有一个零点； 当21-<a 时，方程0)(=x F 没有实根，即函数)(x F y =没有零点； 综上得：当21-<a 时，函数)(x F y =没有零点： 当021<<-a 时，函数)(x F y =有两个零点； 当0≥a 或21-=a 时，函数)(x F y =有一个零点．………10分 解法二：x a x a x x F )1(ln 21)(2+-+=xa x x a x a x x F ))(1(1)(.--=--+='∴………4分 当0=a 时，由0)(=x F ，解得0=x 或2=x ，但2)),,0(=∴∝+∈x x ………5分 当0<a 时，函数在(0，1)单调递减，在（1,+∞）单调递增，a F x F --==∴21)1()(min ，且当0→x 时，+∞→+∞→x x F ,)(时，+∞→)(x F ∴若021<<-a ，函数)(x F y =有2个零点，若21-=a ．函数)(x F y =有1个零点， 若21-<a ，函数)(x F y =无零点………7分 当0>a 时，由0)(='x F ，得1=x 或,a x =∴当10<<a 时,函数)(x F y =在),0(a 单调递增,在)1,(a 单调递减，在(1，+∞)单调递增， 当1>a 时，函数)(x F y =在(0，1)单调递增，在),1(a 单调递减，在),(+∞a 单调递增， 当1=a 时，函数)(x F y =在(0，+∞)单调递增，又.021)1(<--=a F ),ln 12(ln 21)(2a a a a a a a a F +--=+--= 令a a a g ln 12)(+--= 211)(-='a a g ∴函数)(a g 在(0，2)单调递增，在(2，+∞)单调递减，,022ln )2()(max <-==∴g a g.0)(<∴a g ,从而,0)(<a F∴当0>a 时，函数)(x F y =有1个零点．………9分 综上得：当21-<a 时，函数)(x F y =没有零点； 当021<<-a 时，函数)(x F y =有两个零点; 当0≥a 或21-=a 时，函数)(x F y =有一个零点．………10分 (3)由(1)知对),0(+∞∈∀x ，有1ln ≥-x x ．即1ln -≤x x ………11分),,2,1(0,0n k b a k k =>>111111)1(ln 1ln b a a b a a -≤⇒-≤∴⋅⋅⋅-≤⇒-≤ ,)1(ln 1ln 222222b a a b a a n n n n n b a a b a a )1(ln 1ln 1-≤⇒-≤ i i ni b n b b b a a a a n )1(ln ln ln 12121-≤+++∴∑= ………12分 0)1(11≤-∑=i i i b a 0ln ln ln 2121≤+⋅⋅⋅++∴n bn bba a a即12121≤⋅⋅⋅n bn bb a a a ………14分。
广东省揭阳一中高二数学下学期第一次段考试卷 文(含解
广东省揭阳一中2014-2015学年高二下学期第一次段考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设全集U是实数集R，集合A={y|y=3x，x＞0}，B={x|y=}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x≤1}C．{x|1＜x＜2} D．{x|1＜x≤2}2．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥13．如图所示的框图输出结果为（）A．1023 B．1024 C．511 D．20474．函数f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C．D．5．设M=（其中0＜x＜y），则M，N，P的大小关系为（）A．M＜N＜P B．N＜P＜M C．P＜M＜N D．P＜N＜M6．观察下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n ﹣1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=（2n ﹣1）27．在平面直角坐标系中，不等式（a为常数）表示平面区域的面积为9，则的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．﹣8．已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P是双曲线C上一点，且|PF1|+|PF2|=6a，△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率e为（）A．B．2C．D．9．若方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[0，2] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）10．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）（）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）.11．已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=．12．若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=．13．已知双曲线x2﹣=1与抛物线y2=2px（p＞0）有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为M，若|MF|=5，则点M的横坐标为．14．记等差数列{a n}的前n项的和为S n，利用倒序求和的方法得：；类似地，记等比数列{b n}的前n项的积为T n，且，试类比等差数列求和的方法，将T n表示成首项b1，末项b n与项数n的一个关系式，即T n=．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x﹣4cosx．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（1）证明：PC⊥BD；（2）若E为PA的中点，求三棱锥E﹣ABC的体积．17．研究某新药的疗效，利用简单随机抽样法给100个患者服用此药，跟踪调查后得如下表的数据．无效有效合计男性患者15 35 50女性患者4 46 50合计19 81 100请问：（1）请分别估计服用该药品男患者和女患者中有效者所占的百分比？（2）是否有99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关？（写出必要过程）（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来更准确估计服用该药的患者中有效者所占的比例？说明理由．参考附表：K2=，期中n﹣a+b+c+dP（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706P（K2≥k0）0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82818．已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1．1）求{a n}、{b n}的通项公式；2）若c n=a n b n，{c n}的前n项和为T n，求T n．19．已知椭圆的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点（）．20．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）广东省揭阳一中2014-2015学年高二下学期第一次段考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设全集U是实数集R，集合A={y|y=3x，x＞0}，B={x|y=}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x≤1}C．{x|1＜x＜2} D．{x|1＜x≤2}考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：欲求出图中阴影部分所表示的集合，先要弄清楚它表示的集合是什么，由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合B中的元素但不在集合A中的元素组成的，即B∩C R A．解答：解：由图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩C R A，∵A={y|y=3x，x＞0}=（1，+∞），∴C R A=（﹣∞，1]，B={x|y=}，∴2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2，即B=[0，2]，∴B∩C R A=[0，1]故选：B．点评：本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识，属于基础题．2．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1考点：四种命题．分析：根据逆否命题的定义，直接写出答案即可，要注意“且”形式的命题的否定．解答：解：原命题的条件是““若x2＜1”，结论为“﹣1＜x＜1”，则其逆否命题是：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．故选D．点评：解题时，要注意原命题的结论“﹣1＜x＜1”，是复合命题“且”的形式，否定时，要用“或”形式的符合命题．3．如图所示的框图输出结果为（）A．1023 B．1024 C．511 D．2047考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=1，i=1；当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=3，i=2；当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=7，i=3；当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=15，i=4；当i=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=31，i=5；当i=5时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=63，i=6；当i=6时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=127，i=7；当i=7时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=255，i=8；当i=8时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=511，i=9；当i=9时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=1023，i=10；当i=10时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为：1023，故选：A点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．函数f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）=0可知图象经过原点，以及根据导函数大于0时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定．解答：解：因为f（0）=（02﹣2×0）e0=0，排除C；因为f'（x）=（x2﹣2）e x，解f'（x）＞0，所以或时f（x）单调递增，排除B，D．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的图象等基础知识，考查了排除法，属于基础题．5．设M=（其中0＜x＜y），则M，N，P的大小关系为（）A．M＜N＜P B．N＜P＜M C．P＜M＜N D．P＜N＜M考点：基本不等式．分析：由基本不等式可得N＞P且M＞N，可得答案．解答：解：由基本不等式可得≥，∵0＜x＜y，∴＞，∴N＞P，再由基本不等式可得M=＞====N，∴P＜N＜M，故选：D．点评：本题考查基本不等式比较式子的大小，属基础题．6．观察下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n ﹣1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=（2n ﹣1）2考点：归纳推理．专题：规律型．分析：分析已知中1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，各式子左右两边的形式，包括项数，每一个式子第一数的值等，归纳分析后，即可得到结论．解答：解：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n﹣1项，且第一项为n，则最后一项为3n﹣2右边均为2n﹣1的平方点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．7．在平面直角坐标系中，不等式（a为常数）表示平面区域的面积为9，则的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．﹣考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域的面积求出a，的几何意义为区域内的点到定点D（﹣4，2）的斜率，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则a＞0，由，解得，即C（a，﹣a），由，解得，即A（a，a），则对应的平面区域的面积S=，解得a=3，即A（3，3），C（3，﹣3），则的几何意义为区域内的点到定点D（﹣4，2）的斜率，由图象知，CD的斜率最小，此时=，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用以及斜率的求解，根据面积公式求出a的取值是解决本题的关键．8．已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P是双曲线C上一点，且|PF1|+|PF2|=6a，△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率e为（）A．B．2C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．解答：解：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c×，∴，解得e=．故选：C．点评：熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键．9．若方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[0，2] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）考点：函数在某点取得极值的条件；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题；数形结合．分析：因为是方程有解，转化为函数在[0，2]的函数值，利用导数求解即可．解答：解：由题意方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上有解，则﹣m=x3﹣3x，x∈[0，2]求函数的值域即得实数m的取值范围令y=x3﹣3x，x∈[0，2]y'=3x2﹣3令y'＞0，解得x＞1，故此函数在[0，1]上减，在[1，2]上增，又x=1，y=﹣2；x=2，y=2；x=0，y=0∴函数y=x3﹣3x，x∈[0，2]的值域是[﹣2，2]故﹣m∈[﹣2，2]，∴m∈[﹣2，2]，故选A点评：本题考查学生对一元三次方程的图象的认识，以及对函数值正负与图象关系的利用10．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）（）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0求出x的值，可得g（1﹣x）+g（x）=2，从而得到g（）+g（）+…+g（）的值．解答：解：∵g（x）=，∴g′（x）=x2﹣x﹣3，由g″（x）=2x﹣1=0，得x=．∴g（）=1∴g（x）的对称中心为（，1），∴g（1﹣x）+g（x）=2，∴g（）+g（）=g（）+g（）=…=2g（）=2g（）=2．∴g（）+g（）+…+g（）=2013故选C．点评：本题是新定义题，考查了函数导函数的零点的求法，考查了函数的性质，解答的关键是寻找函数值所满足的规律，是中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）.11．已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=1+2i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果．解答：解：因为（a+i）（1+i）=bi，所以a﹣1+（a+1）i=bi，所以，解得a=1，b=2，所以a+bi=1+2i．故答案为：1+2i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数相等条件的应用，考查计算能力．12．若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=3．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；压轴题．分析：先求出f′（x），因为x=1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，代入求出a即可．解答：解：f′（x）==．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力．13．已知双曲线x2﹣=1与抛物线y2=2px（p＞0）有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为M，若|MF|=5，则点M的横坐标为3．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和考查抛物线的性质，求出p，再根据抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，得到x0+=5，解得即可．解答：解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0）．双曲线x2﹣=1的焦点为（2，0）或（﹣2，0），∴=2，∵两曲线的一个交点为M，设点M的横坐标x0，|MF|=5，∴x0+=5，∴x0=5﹣=3，故答案为：3．点评：本题考查双曲线和考查抛物线的焦点，以及抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，考查学生的计算能力，比较基础．14．记等差数列{a n}的前n项的和为S n，利用倒序求和的方法得：；类似地，记等比数列{b n}的前n项的积为T n，且，试类比等差数列求和的方法，将T n表示成首项b1，末项b n与项数n的一个关系式，即T n=．考点：类比推理．专题：探究型．分析：等差数列与等比数列的定义的区别在于差与比，故类比倒序相加求和，可知倒序相乘求积，再利用等比数列的性质，即可得到结论．解答：解：由题意，T n=b1b2…b n①，倒序为T n=b n b n﹣1…b1②，①×②可得=（b1b2…b n）（b n b n﹣1…b1）=∵∴故答案为：点评：本题考查类比推理，解题的关键是类比解题的方法，类比倒序相加求和，可知倒序相乘求积．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x﹣4cosx．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．考点：三角函数的最值；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值求出即可；（Ⅱ）利用同角三角函数间的基本关系把sin2x变为1﹣cos2x，然后利用二倍角的余弦函数公式把cos2x变为2cos2x﹣1，得到f（x）是关于cosx的二次函数，利用配方法把f（x）变成二次函数的顶点式，根据cosx的值域，利用二次函数求最值的方法求出f（x）的最大值和最小值即可．解答：解：（Ⅰ）=；（Ⅱ）f（x）=2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cosx=3cos2x﹣4cosx﹣1=，因为cosx∈[﹣1，1]，所以当cosx=﹣1时，f（x）取最大值6；当时，取最小值﹣．点评：考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化间求值，此题以三角函数为平台，考查二次函数求最值的方法．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（1）证明：PC⊥BD；（2）若E为PA的中点，求三棱锥E﹣ABC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接BD，AC交于O点，由已知得PO⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥面PAC，由此能证明BD⊥PC．（2）由V E﹣ABC=V B﹣AEC，利用等积法能求出三棱锥E﹣ABC的体积．解答：（1）证明：连接BD，AC交于O点，∵PB=PD，∴PO⊥BD，又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，而AC∩PO=O，∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC．（2）解：由（1）知BD⊥面PAC，==3，∴V E﹣ABC=V B﹣AEC===．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．17．研究某新药的疗效，利用简单随机抽样法给100个患者服用此药，跟踪调查后得如下表的数据．无效有效合计男性患者15 35 50女性患者4 46 50合计19 81 100请问：（1）请分别估计服用该药品男患者和女患者中有效者所占的百分比？（2）是否有99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关？（写出必要过程）（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来更准确估计服用该药的患者中有效者所占的比例？说明理由．参考附表：K2=，期中n﹣a+b+c+dP（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706P（K2≥k0）0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828考点：独立性检验的应用．专题：应用题．分析：（1）根据列联表可求得服用该药品男患者和女患者中有效者所占的人数，再求比例；（2）计算K2，同临界值表进行比较，得到有多大把把握认为服用此药的效果与患者的性别有关；（3）计算服用该药的患者中有效者无效者的比例，来判断分层抽样是否更切合实际．解答：解：（1）利用简单随机抽样法给50个患者服用此药，男性有35位有效，因此服用该药品男患者中有效者所占的百分比==70%．给50个患者服用此药，女性有46位有效，因此服用该药品男患者中有效者所占的百分比=92%．（2）根据所给的数据代入求观测值的公式得到K2=≈7.86由于93967＞6.635，所以有99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关．（3）由（2）得结论知，服用此药的效果与患者的性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性比女性有效的比例有明显差异，因此在调查时，先确定此病的患者中男、女的比例，再把患者分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好．点评：本题考查独立性检验的应用及分层抽样．本题解题的关键是正确代入所给的数据，求出观测值，这里不需要把观测值同临界值进行比较，是一个基础题．18．已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1．1）求{a n}、{b n}的通项公式；2）若c n=a n b n，{c n}的前n项和为T n，求T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式能求出首项和公差，由此能求出a n=2n ﹣1（n∈N*）；由S n=2b n﹣1，能推导出{b n}是首项为1公比为2的等比数列，由此求出（n∈N*）．（2）由，利用错位相减法能求出{c n}的前n项和为T n．解答：解：（1）∵{a n}是等差数列，且a3=5，a7=13，设公差为d．∴，解得∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n∈N*）在{b n}中，∵S n=2b n﹣1当n=1时，b1=2b1﹣1，∴b1=1当n≥2时，由S n=2b n﹣1及S n﹣1=2b n﹣1﹣1，得b n=2b n﹣2b n﹣1，∴b n=2b n﹣1∴{b n}是首项为1公比为2的等比数列∴（n∈N*）（2）∵，∴①②①﹣②得==1+4（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）•2n=﹣3﹣（2n﹣3）•2n∴（n∈N*）点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19．已知椭圆的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点（）．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由△MOF是等腰直角三角形，得c2=b2=4，再根据a2=b2+c2可求得a；（Ⅱ）分情况讨论：（1）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为：y=kx+m，联立直线AB 方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及k1+k2=8可得关于k，m的关系式，消m代入直线AB方程可求得定点坐标；（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，由已知可求得AB方程，易验证其过定点；解答：（Ⅰ）解：由△MOF是等腰直角三角形，得c2=b2=4，a2=8，故椭圆方程为：=1．（Ⅱ）证明：（1）若直线AB的斜率存在，设AB的方程为：y=kx+m，依题意得m≠±2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则．由已知 k1+k2=8，可得，所以，即．所以，整理得．故直线AB的方程为，即y=k（）﹣2．所以直线AB过定点（）．（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知，得．此时AB方程为，显然过点（）．综上，直线AB过定点（）．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆标准方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．20．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（），由此能确定实数k的取值范围．（Ⅲ）由（2）知，当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x﹣1在x∈[2，+∞）上恒成立，由此能够证明+++…+＜（n∈N*且n＞1）解答：解：（Ⅰ）易知f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）=当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．（Ⅱ）当k≤0时，f（1）=1﹣k＞0，不成立，故只考虑k＞0的情况又f′（x）=当k＞0时，当0＜x＜时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0在上是增函数，在时减函数，此时要使f（x）≤0恒成立，只要﹣lnk≤0 即可解得：k≥1．（Ⅲ）当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x﹣1在x∈（1，+∞）上恒成立，令x=n2，则lnn2＜n2﹣1，即2lnn＜（n﹣1）（n+1），∴（n∈N*且n＞1）∴+++…+＜=即：+++…+＜（n∈N*且n＞1）成立．点评：本题考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，不等式的证明．考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．。
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揭阳一中2012-2013高二下学期第一次阶段考试
理科数学
一．选择题(每小题5分，共40分) 1．定积分
2sin xdx π
π-⎰的值为 （ ）
A ．2 B. 2
π
C ．0
D ．2- 2．设函数
()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函
数()y xf x '=的图象可能是( )
3. 曲线23
-+=x x
y 在点0P 处的切线平行于直线x y 4=，则点0P 的坐标是（ ）
A ．(0,1)
B ．(1,0)
C ．(-1,-4)或（1,0）
D ．(-1,-4) 4．函数x x y
ln 2
12
-=
的单调递减区间为( ) A.（-1,1] B.（0,1] C. [1，+∞） D. （0，+∞） 5. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的
方程是（ ）
A ．2
3x y =或2
3x y -= B ．2
3x y =
C ．x y
92
-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92=
6．已知向量()0,1,1=a
，()2,0,1-=b ，且b a k +与b a -2互相垂直，则k 的值是（ ）
A ． 1
B ．
51 C ． 53 D ． 5
7
7．观察式子：232112<+，353121122<++，4
74131211222<+++，…，则可归纳出式子为（ ）
A ．121131211-<++++
n n B.121131211+<++++n n C. n n n 12131211222-<++++ D. 1
22131211222+<++++n n n
8．设0>a ，0>b ，e 是自然对数的底数( )
A. 若b e a e b a
32+=+，则b a > B. 若b e a e b a 32+=+，则b a < C. 若b e a e
b a
32-=-，则b a > D. 若b e a e b a 32-=-，则b a < 二．填空题（每小题5分，共30分） 9．函数
sin ()x
f x x
=
的导函数为_________. 10. 由曲线x y =与直线2-=x y 及y 轴所围成的图形的面积______.
11. 设P 是△ABC 内一点，△ABC 三边上的高分别为h A 、h B 、h C ，P 到三边的距离依次为l a 、l b 、l c ，则有l a h A ＋l b h B ＋l c
h C ＝1；类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离
分别是h A 、h B 、h C 、h D ，P 到这四个面的距离依次是l a 、l b 、l c 、l d ，则有________． 12．已知函数
()x x f x f sin cos 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛'=π，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛6πf 的值为________． 13．设双曲线22221x y a b
-=（0a <,0b >）的渐近线与抛物线2
1y x =+相切，则该双曲线
的离心率等于_________. 14．已知二次函数
()c bx ax x f ++=2的导数为()x f ',且()00>'f ，对于任意实数x 都有()0≥x f ，则
()()
01f f '的最小值为_______. 三．解答题：（本大题共6小题，共80分） 15.（本小题满分12分）已知函数x x x f 3)(3-=，过点()6,2-P 作曲线)(x f y =的切线，
求切线方程．
16.（本小题满分12分）若21
()ln(2)2
f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，求b 的取值范
围.
17. (本小题满分14分）某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件。
若售价降低，销售量可以增加，且售价降低(08)x x ≤≤元时，每天多卖出的件数与2
x x +成正比。
已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件。
（1）试将该商品一天的销售利润表示成x 的函数； （2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？
18．（本小题满分14分）已知函数bx ax x x f ++=23)(在1x =处有极值2-．
（1）求常数a 、b ； （2）求曲线()y f x =与x 轴所包围的面积。
19．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x ax x =+- ，a R ∈
（1）令()()2g
x f x x =-，是否存在实数a ，当(0,]x e ∈（e 是自然常数）时，函数)
(x g 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由； （2）求证：当(0,]x e ∈时，2
5ln ln 2x
e
x x x
->+
20．（本小题满分14分）设函数
()3233f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且
12[10],[1,2].x x ∈-∈，（1）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这
些条件的点(),b c 的区域；
(2)证明： ()21
102
f x -≤≤-
参考答案。