二次函数最值知识点总结典型例题及习题

二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。

一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。

例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。

分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。

c - b^2/4a)。

因此，对称轴为x = -b/2a。

当a。

0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。

结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。

2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。

当a < 0时，情况类似。

二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。

t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。

对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，以上为一些常见的例题分类和解决方法。

2.格式错误改正。

3.改写每段话。

二次函数在闭区间上的最值专题演练1.函数 $y=x^2+x+1$ 在 $[-1,1]$ 上的最小值和最大值分别是（）。

A) $1$，$3$。

(B) $\frac{3}{11}$，$3$。

C) $-\frac{3}{4}$，$3$。

(D) $-\frac{3}{4}$，$3$2.函数$y=-x^2+4x-2$ 在区间$[1,4]$ 上的最小值是（）。

A) $-7$。

(B) $-4$。

(C) $-2$。

(D) $2$3.函数 $y=\frac{8}{x^2-4x+5}$ 的最值为（）。

A) 最大值为 $8$，最小值为 $\frac{1}{8}$。

B) 不存在最小值，最大值为 $8$。

C) 最小值为 $0$，不存在最大值。

D) 不存在最小值，也不存在最大值4.若函数 $y=2-\frac{x^2}{x-4}$，$x\in[0,4]$ 的取值范围是 $(-\infty。

m]\cup[n,+\infty)$，则 $m=$_____________，$n=$_____________。

5.已知函数 $f(x)=ax+(2a-1)x-3$，$a\neq 0$ 在区间 $[-2,2]$ 上的最大值为 $3$，求实数 $a$ 的值。

6.已知函数 $y=x^2-2x+3$ 在闭区间 $[a,m]$ 上有最大值$3$，最小值 $2$，则 $m$ 的取值范围是 $[1,2]$。

7.设 $f(x)=x^2-4x-4$，$x\in[t,t+1]$，$t\in\mathbb{R}$，求函数 $f(x)$ 的最小值。

8.已知函数 $f(x)=4x-kx-8$ 在 $[5,20]$ 上具有单调性，求实数 $k$ 的取值范围。

9.若函数 $f(x)=(a-2)x+2(a-2)x-4$ 对一切$x\in\mathbb{R}$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,2]$。

10.已知函数$f(x)=4x+4ax+2$ 在$(-\infty,0]$ 内单调递减，则 $a$ 取 $a\leq -3$。

11.已知函数 $f(x)=-x+kx$ 在 $[2,4]$ 上是单调函数，求$k$ 的取值范围。

12.已知函数$f(x)=x^2-2x+3$ 在$[0,m]$ 上有最大值$3$，最小值 $2$，求 $m$ 的取值范围是 $[1,2]$。

13.已知函数 $f(x)=3-x^2+4$ 的最大值为 $M$，最小值为$m$，则 $M+m=7$。

14.已知函数 $f(x)=4x-4ax+a-2a+2$ 在 $[0,2]$ 上的最小值为 $3$，求 $a$ 的值为 $1$。

15.求函数 $f(x)=-x+2x+3$ 的单调区间为 $(-\infty,1]$。

16.已知函数 $f(x)=-2x+6x$ 在下列定义域上的值域：1）定义域为 $\{x\in\mathbb{Z}| -2\leq x\leq 3\}$，值域为$[-6,6]$；2）定义域为 $[-2,1]$，值域为 $[-4,2]$。

17.已知函数 $f(x)=x+ax+3-a$，若 $x\in[-2,2]$，有$f(x)\geq 2$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是 $[-1,1]$。

18.已知函数 $f(x)=x$，$-2\leq x\leq a$，其中 $a\geq 2$，则该函数的最大值为 $a$，最小值为 $-2$。

19.已知二次函数 $f(x)=-x^2+6x+a$ 的函数值总为负数，则 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,0)$。

20.已知二次函数 $f(x)=(m+6)x+2(m-1)x+m+1$ 的图像与$x$ 轴总有交点，则 $m$ 的取值范围是$(-\infty,-1)\cup(-1,5]$。

21.已知二次函数 $f(x)=x+(m-1)x+m+3$ 的顶点在 $y$ 轴上，则 $m$ 的值为 $-2$。

22.已知函数 $f(x)=mx+(m-m)x+2$ 的图像关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的值为 $1$。

23.已知函数 $f(x)=(a-2)x+2(a-2)x-4$ 对一切 $x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,2]$。

24.已知单调增函数$f(x)=x-4ax$，求$a$的取值范围。

25.已知函数$f(x)=x-ax+1$有负值，求$a$的取值范围。

26.已知函数$f(x)=(m-2)x-3-2m$在$x$轴下方，求$m$的值。

27.已知函数$f(x)=x+ax+1\geq$对于一切$x\in(0,]$成立，求$a$的取值范围。

28.已知函数$f(x)=2x-mx+3$，当$x\in(-\infty,-1]$时是减函数，求$m$的取值范围。

29.题目不完整，无法处理。

30.已知函数$f(x)=x-4ax+2a+6$的值域为$[0,+\infty]$，求$a$的值。

31.已知函数$f(x)=x-4x\geq m$对于$x\in(0,1]$恒成立，求$m$的取值范围。

32.已知函数$f(x)=x+bx+c$在$[0,+\infty)$上是单调函数，则$b$的取值范围。

33.已知函数$f(x)=2x-(2+a)x+2a(a>2)$，求在$[0,2]$上的最小值。

34.已知函数$f(x)=2x-(2+a)x+2a$，在$[0,2]$上是单调函数，求$a$的取值范围。

35.已知函数$f(x)=2x-(2+a)x+2a$，在$[t,t+2]$上是偶函数，求$a$的取值范围。

36.当$a=-2$时，求函数$f(x)=2x-(2+a)x+2a$在$[t,t+2]$上的最小值。

37.题目不完整，无法处理。

38.已知函数$f(x)=x+2ax+1$，求$x\in[-2,1]$上的最值。

39.已知函数$f(x)=x+2x-1$，求$x\in[m,m+1]$上的最值。

40.已知函数$f(x)=-x+2ax+1-a$，$x\in[0,1]$上的最值为2，求$a$的值。

41.已知函数$f(x)=x+2x^2$：42.已知函数$f(x)=-x+2kx+3$，求$x\in[-1,2]$上的最大值。

43.已知函数$f(x)=kx+2kx+1$，求$x\in[-3,2]$上的最值。

44.已知函数$f(x)=-3x-3x^2+$，题目不完整，无法处理。

45.已知函数$f(x)=-x(x-t)+1$，求$x\in[-1,1]$上的最值。

46.已知函数$f(x)=ax+(2a-1)x-3$，求$x\in[-2,2]$上的最大值。

47.已知函数$f(x)=2x^2-(2+a)x+2a$的定义域为$R$，求$a$的取值范围。

1）若$x\in R$，求$f(x)$的最小值。

2）若$x\in[1,3]$，求$f(x)$的最小值。

3）若$x\in[a,a+2]$，$a\in R$，求$f(x)$的最小值。

47.已知函数f(x)=x+ax+3，求x∈[0,1]上的最值。

48.已知函数f(x)=−x(x−a)，求x∈[−1,a]上的最大值。

49.已知函数f(x)=x+2ax+1，在x∈[−1,2]上的最大值为4，求a的值。

50.若不等式9x−6ax+a−2a−6≥0在区间[0,1]上恒成立，求a 的取值范围。

51.已知函数f(x)=x+2x+3，求x∈[t,t+1]上的最值。

52.已知函数f(x)=ax−2ax+5，求x∈[0,3]上的最值。

53.已知函数f(x)=−2x−ax+3，求x∈[−3,1]上的最值。

54.已知函数f(x)=ax−3x+8，求x∈[−2,+∞)上的最值。

55.已知函数f(x)=(4−3a)x−2x+a，求x∈[0,1]上的最值。

56.已知函数f(x)=x+(2t+1)x+t−1，当t取何值时，函数的最小值为0.57.已知函数f(x)=x−2tx+1，求x∈[−1,1]上的最大值。

58.已知函数f(x)=x−4x+a，在x∈[0,6]上的最大值为13，求a的值。

59.已知函数f(x)=x−2ax+4，在x∈[0,3]上的最小值为1，求a的值。

60.已知函数f(x)=x−2ax+4，在x∈[1,3]上的最大值为13，求a的值。

61.已知函数f(x)=x−2ax+4，在x∈[1,3]上的值域。

62.已知函数f(x)=x−10x+30，在x∈[a,a+3]上的最小值为6，求a的值。

63.已知函数f(x)=x−10x+30，求在x∈[a,a+3]上的最小值。

64.已知f(x)=x−ax+2，当9x−6ax+a−2a−6≥0在区间[1,∞)上恒成立，求a的取值范围。