高二上学期数学月考文科试卷
人教版高二上学期数学第一次月考文试题(解析版)
因为 ，所以解得 ，
所以 的方程为 ，
（2）由题意可得直线方程为 ，设直线与椭圆交于 ，
将 代入椭圆方程得， ，即 ，
所以 ，
所以
【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式的应用，考查计算能力，属于基础题
22.已知椭圆的焦点是F1(0，－1)，F2(0，1)，离心率e＝ .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P在这个椭圆上且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
【答案】（1） ，（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得： ，解得 ，从而可得椭圆的方程；
（2）由椭圆 定义得： ，结合题意可得： ，再根据余弦定理可求得结果
【详解】解：（1）由已知设椭圆方程为 ，
【详解】由不等式 的解集为 ，得 无解，即对 , 恒成立，①当 时，显然满足题意，②当 时，有 ，解得： ，综上，
故答案为：
【点睛】本题结合二次函数得性质，考查命题的真假，属于容易题.
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17.当c<0时，若ac>bc，则a<b.请写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假．
考点：本小题主要考查椭圆的标准方程，考查学生的推理能力.
点评：解决本小题时，不要忘记 ，否则就表示圆了.
15.若椭圆 的离心率为 ，则 的短轴长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
判断出椭圆的焦点在 轴上，得出 的值，根据离心率的概念可得 ，解出 的值可得短轴长.
【详解】由椭圆 得焦点在 轴上， ， ， ，
10.已知△ABC的顶点B、C在椭圆 ＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
高中高二数学上学期第二次月考试卷 文(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市安吉县上墅私立高中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＞x，则下列说法中正确的是（） A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题 D．命题p∧（￢q）是真命题3．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．4．若直线（m+2）x+3y+3=0与直线x+（2m﹣1）y+m=0平行，则实数m=（） A．﹣或1 B． 1 C． 1或2 D．﹣5．直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，则它们之间的距离为（） A． 4 B． C． D．6．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面（）A．若l⊥α，l⊥m，则m∥α B．若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥mC．若l∥α，m⊥α，则l⊥m D．若α∩β=l，l⊥γ，m⊥β，则m∥γ7．过P（2，0）的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9截得的线段长为2时，直线l的斜率为（）A． B． C．±1 D．8．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A． y=±2x B． C． D．9．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心 B．相交不过圆心 C．相切 D．相离10．下列结论正确的是（）A．命题“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题是假命题B．若函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题是真命题C．向量，的夹角为钝角的充要条件是•＜0D．“x2＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的充分不必要条件二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分.）11．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值X围为．12．已知命题p：m＜0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m 的取值X围是．13．两直线l1：ax+2y﹣1=0，l2：（a﹣1）x+ay+1=0垂直，则a=．14．两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为．15．已知动圆M与圆C1：（x+3）2+y2=9外切且与圆C2：（x﹣3）2+y2=1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是．16．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．17．下列四个命题：①“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定；②“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件④“函数f（x）=tan（x+φ）为奇函数”的充要条件是“φ=kπ．（k∈Z）”，其中真命题的序号是．三、解答题：（本大题共5小题，共49分.）18．设p：实数x满足x2+2ax﹣3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x﹣8＜0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值X围．19．求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．20．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小．21．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．22．已知圆C：x2+y2=4和直线l：3x+4y+12=0，点P是圆C上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A、B，（1）求与圆C相切且平行直线l的直线方程；（2）求△PAB面积的最大值．2014-2015学年某某省某某市安吉县上墅私立高中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义结合三角形的性质，分别证明充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：在△ABC中，若A=，则cosA=，是充分条件，在△ABC中，若cosA=，则A=或A=，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了三角形中的三角函数值问题，是一道基础题．2．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＞x，则下列说法中正确的是（） A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题 D．命题p∧（￢q）是真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：容易判断命题p是真命题，q是假命题，所以根据p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q的关系即可找出正确选项．解答：解：∃x∈R，x﹣2＞0，即不等式x﹣2＞0有解，∴命题p是真命题；x＜0时，无解，∴命题q是假命题；∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢q是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；∴D正确．故选D．点评：考查真命题，假命题的概念，以及p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q真假的关系．3．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），依题意得．解答：直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；故．故选A．点评：本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．4．若直线（m+2）x+3y+3=0与直线x+（2m﹣1）y+m=0平行，则实数m=（） A．﹣或1 B． 1 C． 1或2 D．﹣考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由直线的平行可得m的方程，解得m代回验证可得．解答：解：∵直线（m+2）x+3y+3=0与直线x+（2m﹣1）y+m=0平行，∴（m+2）（2m﹣1）﹣3×1=0，解得m=﹣或1经验证当m=1时，两直线重合，应舍去，故选：D点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．5．直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，则它们之间的距离为（） A． 4 B． C． D．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：通过直线的平行求出m，然后利用平行线之间的距离求解即可．解答：解：直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，所以m=6，直线4x+my+7=0化为直线4x+6y+7=0即2x+3y+3.5=0，它们之间的距离为：d==．故选：C．点评：本题考查两条平行线之间是距离的求法，基本知识的考查．6．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面（）A．若l⊥α，l⊥m，则m∥α B．若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥mC．若l∥α，m⊥α，则l⊥m D．若α∩β=l，l⊥γ，m⊥β，则m∥γ考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若l⊥α，l⊥m，则m∥α或m⊂α，故A错误；若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l与m平行或异面，故B错误；若l∥α，m⊥α，则由直线与平面平行的性质得l⊥m，故C正确；若α∩β=l，l⊥γ，m⊥β，则m∥γ或m⊂γ，故D错误．故选：C．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．7．过P（2，0）的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9截得的线段长为2时，直线l的斜率为（） A． B． C．±1 D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设直线l的方程为：y=kx﹣2k，由已知条件结合圆的性质和点到直线的距离公式推导出=2，由此能求出直线的斜率．解答：解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx﹣2k，（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的圆心C（2，3），半径r=3，∵过P（2，0）的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9截得的线段长为2，∴圆心C（2，3）到直线AB的距离d==2，∵点C（2，3）到直线y=kx﹣2k的距离d==2，∴•2=3，解得k=±．故选：A．点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．8．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A． y=±2x B． C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．解答：解：由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．故选B．点评：本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．9．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心 B．相交不过圆心 C．相切 D．相离考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离d正好等于半径，可得直线和圆相切．解答：解：由于圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离为d==2=r（半径），故直线和圆相切，故选：C．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．10．下列结论正确的是（）A．命题“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题是假命题B．若函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题是真命题C．向量，的夹角为钝角的充要条件是•＜0D．“x2＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析： A．“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题为“若a2＞b2，则a＞b＞0”是假命题；B．函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题为“函数f（x）为周期函数，则f （x）=sinx”，显然不正确；C．向量，的夹角为钝角⇒•＜0，反之不成立，由于非零向量反向共线时，满足＜0；D．“x2＞2”⇒或x，而x2﹣3x+2=﹣≥﹣，反之也不成立．解答：解：A．“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题为“若a2＞b2，则a＞b＞0”是假命题，正确；B．函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题为“函数f（x）为周期函数，则f （x）=sinx”是假命题，不正确；C．向量，的夹角为钝角⇒•＜0，反之不成立，由于向量反向共线时，其＜0，因此不正确；D．“x2＞2”⇒或x，此时x2﹣3x+2=﹣≥﹣，反之也不成立，因此“x2＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的既不充分也不必要条件，不正确．综上可得：只有A．故选：A．点评：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定、向量的数量积及其夹角公式，考查了推理能力，属于基础题．二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分.）11．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值X围为（1，+∞）．考点：特称命题．专题：计算题．分析：原命题为假命题，则其否命题为真命题，得出∀x∈R，都有x2+2x+m＞0，再由△＜0，求得m．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”，∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m＞0”，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1．∴m的取值X围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）点评：本题考查了存在命题的否定，不等式恒成立问题．考查转化、计算能力．12．已知命题p：m＜0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m 的取值X围是﹣2＜m＜0 ．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据复合命题的真假性判断出命题p、q都是真命题，再逐一求出m的X围，最后求它们的交集．解答：解：因为“p∧q”为真命题，所以命题p、q都是真命题，若命题q是真命题，则∀x∈R，x2+mx+1＞0横成立，所以△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，又命题p：m＜0，也是真命题，所以实数m的取值X围是：﹣2＜m＜0，故答案为：﹣2＜m＜0．点评：本题考查了复合命题的真假性，以及二次函数的性质，属于基础题．13．两直线l1：ax+2y﹣1=0，l2：（a﹣1）x+ay+1=0垂直，则a= 0或﹣1 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由已知得a（a﹣1）+2a=0，由此能求出a．解答：解：∵两直线l1：ax+2y﹣1=0，l2：（a﹣1）x+ay+1=0垂直，∴a（a﹣1）+2a=0，解得a=0或a=﹣1．故答案为：0或﹣1．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．14．两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为3x﹣y﹣9=0 ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心坐标，利用点斜式，可得方程．解答：解：两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的圆心坐标分别为（2，﹣3），（3，0），∴连心线方程为y﹣0=（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0．故答案为：3x﹣y﹣9=0．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定，考查直线方程，比较基础．15．已知动圆M与圆C1：（x+3）2+y2=9外切且与圆C2：（x﹣3）2+y2=1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是﹣=1（x≥2）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：找出两圆圆心坐标与半径，设设动圆圆心M（x，y），半径为r，根据动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，即可确定出M轨迹方程．解答：解：由圆C1：（x+3）2+y2=9，圆心C1（﹣3，0），半径r1=3，圆C2：（x﹣3）2+y2=1，圆心C2（3，0），r2=1，设动圆圆心M（x，y），半径为r，根据题意得：，整理得：|MC1|﹣|MC2|=4，则动点M轨迹为双曲线，a=2，b=，c=3，其方程为﹣=1（x≥2）．故答案为：﹣=1（x≥2）点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及动点轨迹方程，熟练掌握双曲线定义是解本题的关键．16．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．17．下列四个命题：①“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定；②“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件④“函数f（x）=tan（x+φ）为奇函数”的充要条件是“φ=kπ．（k∈Z）”，其中真命题的序号是①②．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①按照特称命题的否定要求改写，然后判断真假；②先写出原命题，然后再按照否条件、否结论进行改写；③双向推理，然后进行判断，此例可以举反例；④结合奇函数的性质进行推导，从左推右，然后反推化简．解答：解：①原命题的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1＞0；因为，故①为真命题；②原命题的否命题是：若x2+x﹣6＜0，则x≤2．由x2+x﹣6＜0，得（x+3）（x﹣2）＜0，所以﹣3＜x＜2，故②为真命题；③当A=150°时，．所以故在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的不充分条件．故③是假命题；④若函数f（x）为奇函数，则f（0）=tanφ=0，或y轴为图象的渐近线，所以φ=kπ（k∈Z）；或tanφ不存在，则φ=，（k∈Z）所以前者是后者的不充分条件．故④为假命题．故答案为：①，②点评：本题以简易逻辑为载体，考查了命题的否定及否命题的写法以及真假判断，充分必要性的判断方法，属于基础题，难度不大．三、解答题：（本大题共5小题，共49分.）18．设p：实数x满足x2+2ax﹣3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x﹣8＜0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值X围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：先分别化简两个不等式，再利用q是p的必要不充分条件，转化为，然后某某数a的取值X围．解答：解：由x2+2ax﹣3a2＜0得（x+3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以﹣3a＜x＜a，（2分）x2+2x﹣8＜0，∴﹣4＜x＜2，p为真时，实数x的取值X围是：﹣3a＜x＜a；q为真时，实数x的取值X围是：﹣4＜x＜2（6分）因为q是p的必要不充分条件，所以有（10分）所以实数a的取值X围是≤a≤2．（14分）点评：本题考查一元二次不等式的解法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查计算能力，转化思想，是中档题．19．求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣6，0）和（0，8），解方程即可得到椭圆方程；（3）讨论椭圆的焦点的位置，由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解方程可得a，c，再由a，b，c 的关系解得b，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得，2a=12，e=，即有a=6，=，即有c=4，b===2，即有椭圆方程为+=1；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣6，0）和（0，8），可得36m+0=1，且0+64n=1，解得m=，n=，即有椭圆方程为+=1；（3）当焦点在x轴上时，可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解得a=7，c=3，b==2，即有椭圆方程为+=1；同理，当焦点在y轴上时，可得椭圆方程为+=1．即有椭圆方程为+=1或+=1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的方程的正确设法，以及椭圆性质的运用，属于基础题．20．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）建立空间直角坐标，利用向量法证明线面垂直．（2）利用向量法求线面角的大小．解答：解：∵四边形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC，∵平面ACDE⊥平ABC，∴EA⊥平面ABC，∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M（0，1，1） (3)=（0，1，1），=（0，2，0）﹣（0，0，2）=（0，2，﹣2），=（2，2，0）﹣（0，2，0）=（2，0，0），∴，，∴AM⊥EC，AM⊥CB，∴AM⊥平面EBC．…（5分）（2）∵AM⊥平面EBC，∴为平面EBC的一个法向量，∵=（0，1，1），=（2，2，0），∴cos．∴=60°．∴直线AB与平面EBC所成的角为30°．…（12分）点评：本题主要考查向量法证明线面垂直以及利用向量法求线面角的大小，运算量较大．21．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．考点：轨迹方程；椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆方程为，根据题意可得a=2且c=，从而b==1，得到椭圆的标准方程；（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0，y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．解答：解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为，∴a=2，，可得b==1因此，椭圆的标准方程为．（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），由根据中点坐标公式，可得，整理得，∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴可得，化简整理得，由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．22．已知圆C：x2+y2=4和直线l：3x+4y+12=0，点P是圆C上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A、B，（1）求与圆C相切且平行直线l的直线方程；（2）求△PAB面积的最大值．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）根据题意设所求方程为3x+4y+a=0，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离d=r求出a的值，即可确定出所求直线方程；（2）当直线与AB平行，且与圆相切时，△PAB面积的最大值，如图所示，求出|AB|与|MN|的长，即可确定出△PAB面积的最大值．解答：解：（1）设所求直线方程为3x+4y+a=0，由题意得：圆心（0，0）到直线的距离d=r，即=2，解得：a=±10，则所求直线方程为3x+4y±10=0；（2）当直线与AB平行，且与圆相切时，△PAB面积的最大值，此时直线方程为3x+4y﹣10=0，∵点C到直线AB的距离||=，CM=2，∴|MN|=+2=，∵A（﹣4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，∴|AB|=5，则△PAB面积最大值为×5×=11．点评：此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两直线平行时斜率的关系，以及直线与圆相切的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．。
吉林省八校2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题
2024-2025学年度上学期高二年级11月考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上并在规定位置粘贴考试用条形码.2.请以真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷､草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效不得在答题卡上做任何标记.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮接干净后，再选涂其他答案标号.4.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存.第I 卷（选择题，共58分）一､单选题：本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.直线20240y ++=的倾斜角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π62.已知在等差数列{}n a 中，48720,12a a a +==，则5a =（）A.10B.8C.6D.43.已知椭圆2212:1,,82x y C F F +=1F 的直线与椭圆交于AB 两点，则2ABF 的周长为（）A. B. C. D.4.在递增等比数列{}n a 中，364464,10a a a a a =+=，则公比q 为（）A.2B.3C.12D.325.直线:3460l x y +-=被圆22:(1)(2)9C x y -+-=所截得的弦长为（）A. B.4C. D.6.德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，10岁时，他在进行123100++++L 的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列298299n n a n -=-，则1298a a a +++=L （）A.96B.97C.98D.997.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4,M 是抛物线C 上一点，若()2,3A ，则MF MA +的最小值为（）A.4B.5C.6D.88.已知M N ､为双曲线()222210.0x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，点M 与点Q 关于x 轴对称，2ME MQ =，直线NE 交双曲线的右支于点P ，若PM MN ⊥，到双曲线的离心率e 为（）B.2C.二､多选题：本题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求，全进对的得6分.部分选对得部分分，选辑的得0分.9.下列说法正确的是（）A.()23y ax a a =-+∈R 直线必过定点()2,3B.直线12y x +=在y 轴上的裁距为1-C.过点()1,1P ，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为20x y +-=D.过点()2,3-且垂直于直钱230x y -+=的直线方程为210x y ++=10.已知数{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（）A.若点(),n n a 在函数y kx b =+（k ，b 均为常数）的图象上，则{}n a 为等差数列B.若{}n a 是等差数列，10a >，110S =，则当10n =时，n S 最大C.若{}n a 是等差数列，则{}2na 是等比数列D.若23nn S =-，则{}n a 为等比数列11.经过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则下列说法中正确的是（）A.当AB 与x 轴垂直时，AB 最小B.以弦AB 为直径的圆与直线2p x =-相离C.112AF BF p+=D.212y y p=-第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三､填空题：本题包括3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且81212,15S S ==，则16S =__________.13.已知直线1:21l x ay +=与直线2:210l x y +-=，若1l ∥2l ，则1l 与2l 之间距离是__________.14.已知数列{}n a ，满足()*112,2nn n a a a n +==+∈N ，则na=__________；若数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1121,(1)log nn n n b b b a +=+-=，则66S =__________.四､解答题：本题包括5大题，其中15题13分，16题､17题每题15分，18题､19题每题17分，共77分.15.已知数列{}n a 是首项为2，各项均为正数的等比数列，且4a 是26a 和3a 的等差中项.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2211log log n n n b a a +=⋅，求{}n b 的前2024项和2024T .16.已知圆C 经过()3,0A 和()2,1B 两点，且圆心在直线240x y +-=上（1）求圆C 的方程；（2）从点()3,2向圆C 作切线，求切线方程.17.已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点.（1）若椭圆的离心率为3，焦距为2，求椭圆的方程：（2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为1F ，求线段AE 的长及1ABF 的面积.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34n n S a +=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T .求n T .（3）在（2）条件下若*n ∀∈N 都有不等式169n n T a λ+恒成立，求λ的取值范围.19.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为()-（1）求双曲线C 的方程：（2）记双曲线C 的右顶点为A ，过点A 作直线MA ，NA 与C 的左支分别交于,M N 两点，且,MA NA AD MN ⊥⊥，D 为垂足.（i ）证明：直线MN 恒过定点P ，并求出点P 坐标（ii ）判断是否存在定点Q ，使得DQ 为定值，若存在说明理由并求出Q 点坐标.2024-2025学年度上学期高二年级11月考试数学答案及解析1.【答案】C【解析】由题设2024y =-，令其倾斜角为[),0,πθθ∈，则tan θ=，所以2π3θ=.故选：C 2.【答案】B【解析】由等差数列{}n a 中，因为4820a a +=，可得648220a a a =+=，所以610a =，又由712a =，且5762a a a +=，可得567220128a a a =-=-=.故选：B.3.【答案】C【解析】由题意，11AB AF BF =+，而12122AF AF BF BF a +=+==，故2ABF的周长为22AB AF BF ++=.故选：C 4.【答案】A【解析】.364464,10a a a a a =+=，故可得()432114,110a q a q q=+=，两式相比可得：2215q q =+，即22520q q --=，解得2q =或12q =，又414a q =，故10a >；又{}n a 为递增数列，故2q =.故选：A.5.【答案】D【解析】由圆22:(1)(2)9C x y -+-=可得：圆心坐标为()1,2C ，半径为3.因为圆心()1,2C 到直线:3460l x y +-=的距离为：1=，所以，直线被圆截得的弦长为=.故选：D.6.【答案】C【解析】令1297989694969897959597S a a a a =++++=++++，9897219896949697959597S a a a a =++++=++++，两式相加969496989896949629795959797959597S ⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9698949696949896982,989797959595959797S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++=⨯∴= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C.7.【答案】A【解析】由焦点F 到其准线的距离为4，得4p =；设,M A 在准线:2l x =-上的射影为11,M A如图，则11224MA MF MA MM AA +=+≥=+=，当且仅当1,,A M A 共线时取得等号.所以所求最小值是4.故选：A.8.【答案】D【解析】设()()1122,,,M x y P x y ，则()()1111,,,N x y Q x y ---，由2ME MQ =，则点Q 为线段ME的中点，则()11,3E x y -，从而有111111113,MN PN EN y y y y k k k x x x x -+====---，又PM MN ⊥，所以11MP x k y =-，又由()()()()22112212121212222222221111x y a b x x x x y y y y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⇒+-=+-⎨⎪-=⎪⎩，则()()()()2121221212y y y y b x x x x a +-=+-，即22PM PN b k k a ⋅=，所以2112111PM PNx y b k k y x a ⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪⎝⎭，所以e ==.故选：D.9.【答案】ABD【解析】对于A ：()23y a x =-+得直线过定点()2,3，故A 项正确，符合题意；对于B ：令0x =，得1y =-，故在y 轴上的截距为1-，故B 项正确，符合题意；对于C ：y x =过点()1,1P ，且与坐标轴截距相等，故C 项错误，不符合题意；对于D ：由210,230x y x y ++=-+=的斜率分别为12,2-，则有1212-⨯=-，故两直线互相垂直，将()2,3-代入直线方程210x y ++=得()22310⨯-++=，故()2,3-在直线上，故D 项正确，符合题意；故选：ABD.10.【答案】AC【解析】对于A ，由点(),n n a 在函数y kx b =+（,k b 均为常数）的图象上，可得n a kn b =+，因为()()11n n a a k n b kn b k +-=++-+=为常数，所以{}n a 为等差数列.A 正确；对于B ，()11161161111211022a a a S a +⨯====，所以60a =，又因为10a >，所以公差0d <，所以当5n =或6n =时，n S 最大，B 错误；对于C ，因为{}n a 为等差数列，所以1n n a a d +-=为常数，所以112222n n n na a a d a ++-==为常数，所以{}2n a是等比数列，故C 正确；对于D ，()()211221231,2312a S a S S ==-=-=-=---=，()()3223321323234,a S S a a a =-=---=≠，所以{}n a 不是等比数列，D 错误.故选：AC 11.【答案】ACD【解析】如图，设直线AB 为2p x my =+，对于()121212,222p pA AB x x p my my p m y y p =++=++++=++，将122y y pm +=代入得222AB m p p =+，故当0m =时，AB 取得最小值2p ，此时直线AB 与x 轴垂直，故A 正确，对于B ，设AB 的中点为M ，则以弦AB 为直径的圆的圆心为M ，半径为2AB 分别过,,A B M 作抛物线的垂线，垂足分别为,,P Q S ，由抛物线的定义知,AP AF BF BS ==，则()()111222MQ AP BS AF BF AB =+=+=，故以弦AB 为直径的圆与直线2px =-相切，故B 错误，对于C ，()()122212121212211111122m y y p p p AF BF my p my p m y y mp y y p x x +++=+=+=+++++++，代入212122,y y pm y y p +==-，得222211222m p p AF BF m p p p++==+，故C 正确，对于D ，联立22y px =，得222p y p my ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即2220y pmy p --=，所以212122,y y pm y y p +==-，故D 正确，故选：ACD 12.【答案】16【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列，所以()8441282S S S S S -=+-，即()442123S S -=+解得47S =，所以8442S S S --=-，所以1612321S S -=-=，解得1616S =，故答案为：1613.【答案】10【解析】直线1:21l x ay +=过点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，由1l ∥21,l l 与2l 之间距离等于点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭到直线的2:210l x y +-=距离，故距离1210d ===.故答案为：510.14.【答案】①.2n ②.1123【解析】第一个填空：2nn a =（累加法）第二个空：由12(1)log nn n n b b a n ++-==，因为11b =，所以211b b -=，解得22b =当2n k =时，2122k k b b k ++=当21n k =-时，22121k k b b k --=-当21n k =+时，222121k k b b k ++-=+所以()*222212141,1k k k k b b k b b k +-++=++=∈N所以()()661356524666s b b b b b b b b =+++⋯+++++⋯+()169129116211232+=+++=故答案为：2n ；1123.15.【解析】（1）设数列{}n a 的公比为0q >，则12n n a q-=.4a 是26a 和3a 的等差中项，42326a a a ∴=+即3222622q q q ⨯=⨯+，解得2q =或32q =-（舍弃）或0q =（舍去）1222n n n a -∴=⨯=.（2）由（1）知()12211112,log 2log 211nn n n n a b n n n n +=∴===-⋅++111111111122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+++=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.202420242025T ∴=故{}n b 的前2024项和202420242025T =.16.【解析】（1）由题可知10123AB k -==--，所以线段AB 的中垂线的斜率等于1，..又因为AB 的中点为51,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以线段AB 的中垂线的直线方程为1522y x -=-，即20x y --=，联立24020x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得2x y =⎧⎨=⎩，所以圆心()2,0C 又因为半径等于1AC =，所以圆C 的方程为22(2)1x y -+=.（2）设圆C 的半径为r ，则1r =，若直线的斜率不存在，因为直线过点()3,2，所以直线方程为3x =，此时圆心()2,0C 到直线3x =的距离1d r ==，满足题意；若直线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为()23y k x -=-，即230kx y k -+-=，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离1d ==，解得34k =，所以切线方程为392044x y -+-=，即3410x y --=所以切线方程为3x =或3410x y --=.17.【解析】（1）因为椭圆的离心率为3，焦距为2，所以,223c c a ==得1a c ==，所以2222b a c =-=，所求椭圆的方程为22132x y +=；（2）联立方程组221,1,32y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得25630x x --=，设()()1122,,,A x y B x y 则121263,55x x x x +==-，所以5AB ==由（1）知左焦点为()11,0F -，直线AB 方程为10x y +-=所以点1F 到直线AB的距离为d ==则1ABF的面积为1183462255S AB d =⋅=⨯18.【解析】因为34n n S a +=①，当1n =时可得1134a a +=，即110a =≠.当2n 时，1134n n S a --+=②由①-②得()1402n n a a n --= ，即()1124n n a n a -= ，即{}n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1111144n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为114n n n b na n -⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以012111111234444n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，()1211111112144444n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，两式相得，0121311111444444n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，即1111314414414n n n T n -⎛⎫-⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭=- ⎪⎝⎭-，则34414334n n T n ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故164419334n n T n ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（3）由（2）知169n n T a λ+ ，所以有116441161933494n n n λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即439n λ-- ，依题意，*n ∀∈N 不等式439n λ-- 恒成立，因为439n y =--随着n 增大而减小，所以79λ- ，即λ的取值范围为7,9⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.19.【解析】（1）由题意，双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为()-可得222c c e a b c a ⎧=⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩，解得2,4a b ==，所以双曲线方程221416x y -=.（2）证明：（i ）由（1）知()2,0A ，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 方程为y kx m =+，联立方程组221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()22242160k x kmx m ----=，()()2222444160k m k m ∆=+-+>，即22416k m -<，设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理可得122212224,164km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩.因为MA NA ⊥，所以1212122y y x x ⋅=---，可得()()1212220y y x x +--=，即()121212240y y x x x x +-++=，即()()()121212240kx m kx m x x x x +++-++=，整理得()()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=，即()()22222162124044m km k mk m k k +++-++=--，即2234200m km k --=，可得()()23100m k m k +-=，解得1023k m km =-=，将2m k =-代入直线()2y kx m y k x =+⇒=-，此时直线MN 过定点()2,0A ，不合题意；将103k m =代入直线103y kx m y k x ⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭，此时直线MN 过定点10,03P ⎛⎫-⎪⎝⎭，当直线MN 的斜率不存在时，不妨设直线方程为x t =，因为MA NA ⊥，所以AMN 为等腰直角三角形，此时M点坐标为(,t ，所以22342002t t t t =-⇒+-=⇒=（舍）或103t =-，此时MN过定点10,03P⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上可知，直线MN恒过定点10,0,3P⎛⎫- ⎪⎝⎭（ii）因为AD MN⊥，此时存在以AP为斜边的直角三角形，所以存在定点Q为AP中点满足1823DQ AP==，此时2,03Q⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
陕西省西安市第一中学2022-2021学年高二上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案
西安市第一中学2022-2021学年度其次次月考考试高二数学（文科）试题一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题3分，共36分）1.命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题是( )A.若4πα≠，则1tan ≠α B.若4πα=，则1tan ≠αC.若1tan ≠α，则4πα≠ D.若1tan ≠α，则4πα=2.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（）A ．2B ．3C ．5D ．73.命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，4. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=5.抛物y ＝4x 2的焦点坐标是( )．A ．(0，1)B ．(0，116)C ．(1，0)D ．(116，0)6.已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为（ ） A.224515x y -= B.22154x y -= C.22154y x -= D.225514x y -=7.曲线2-=x xy 在点（1，-1）处的切线方程为（ ）A. 32+-=x yB. 32--=x yC. 12+-=x yD.12+=x y8．下列结论正确的是个数为（ ） ①y=ln2 则y ′=； ②y=则y ′=③y=e ﹣x 则y ′=﹣e ﹣x ； ④y=cosx 则y ′=sinx ．A ．1B ．2C ．3D ．49. 已知椭圆E ：的右焦点为F （3，0），过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．10. 已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足关系式f （x ）=x 2+3xf ′（1），则f ′（1）的值等于（ ） A ．B ．C ．1D ．﹣1 11.已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ） A ．D ．+=1B ．+=1 C ．+=1 D ．+=112.函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣1）=1，对任意x ∈R ，f ′（x ）＞3，则f （x ）＞3x+4的解集为（ ）A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，+∞）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13.焦点在y 轴的椭圆x 2+ky 2=1的长轴长是短轴长的2倍，那么k 等于_______________ 14. 函数1()ln 2xf x xx-=+的导函数是()f x '，则(1)f '-=__________ 15. 椭圆的左右焦点为F 1，F 2，b=4，离心率为，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 ．16函数f （x ）=xlnx 的递减区间是__________。
四川省南充2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4.考试结束后将答题卡交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“2sin 2θ=”是“π4θ=”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】判断“sin 2θ=”和“π4θ=”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】当2sin 2θ=时，π2π,Z 4k k θ=+∈或3π2π,Z 4k k θ=+∈，推不出π4θ=；当π4θ=时，必有2sin 2θ=，故“sin 2θ=”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：C2.设l ，m 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若//l α，//l β，则//αβC.若l α⊥，m α⊥，则//l mD.若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.【详解】对选项A ，若//l α，//m α，则l 与m 的位置关系是平行，相交和异面，故A 错误.对选项B ，若//l α，//l β，则α与β的位置关系是平行和相交，故B 错误.对选项C ，若l α⊥，m α⊥，则根据线面垂直的性质得l 与m 的位置关系是平行，故C 正确.对选项D ，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β的位置关系是平行和相交，故D 错误.故选：C3.若sin 2αα-+=，则tan(π)α-=（）A. B.C.3D.3-【答案】C 【解析】【分析】由sin 2αα-+=两边同时平方，从而利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化，【详解】由sin 2αα-+=两边同时平方，可得22sin cos 3cos 4αααα-+=，∴222222sin cos 3cos tan 34sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++，解得tan 3α=-.()tan tan 3παα∴-=-=.故选：C.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB A C 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A.23B.33C.23D.13【解析】【分析】以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()1(2,0,2),(1,1,0),(2,2,0),1,1,2A M B N ，所以()1(1,1,2),1,1,2MA BN =-=--设向量1MA 与BN的夹角为θ，则1142cos 63MA BN MA BNθ⋅===⋅，所以直线1A M 和BN 夹角的余弦值为23，故选：C ．5.在三棱锥S ABC -中，()()20SC SA BS SC SA ++⋅-=，则ABC V 是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由向量的线性运算得到2,SC SA BS BC BA SC SA BC BA ++=+-=- ，从而说明22BC BA = ，即可求解.【详解】()()22,SC SA BS SC SA SB SC SB SA SB BC BA SC SA AC BC BA ++=+-=-+-=+-==- ，()()()()2220SC SA SB SC SA BC BA BC BA BC BA ∴+-⋅-=+⋅-=-= ，BC BA ∴=，即BC BA =，所以ABC V 是等腰三角形.故选：C6.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）A.38B.29C.59D.34【答案】B 【解析】【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，用列举法即可求解.【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，(),x y 代表依次摸出的卡片，{},,,x y A B C ∈，则基本事件分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C B A B B B C C A C B C C ，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：()(),,,A B B A ，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是29.故选：B.7.已知函数()3f x x =，若正实数a ，b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为（）A.1B.3C.6D.9【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得49a b +=，再结合基本不等式“1”的代换可得解.【详解】由已知()3f x x =，定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，则()f x 是R 上的奇函数，且函数()3f x x =在R 上单调递增，又()()490f a f b +-=，即()()()499f a f b f b =--=-，则49a b =-，即49a b +=，且0a >，0b >，所以()1111114144415999a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又44a b b a +≥=，即()11141554199a b a b b a ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即32a =，3b =时，等号成立，即11a b+的最小值为1.故选：A.8.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈=，则集合T 所表示的曲线长度为（）A.5πB.2πC.3D.π【答案】B 【解析】【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后即可求解.【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且23632BO =⨯⨯=，故PO ==因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，集合T 所表示的曲线长度为2π故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分分，有选错的得0分.）9.函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π6ϕ=C.()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数的图象，先求得ω，然后求得ϕ，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】()()5ππ2ππ,π,2,sin 22632T T f x x ωϕω=-=∴==∴==+，π2sin π133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ2π7π,22636ϕϕ-<<<+<，所以2πππ,326ϕϕ+==-，所以A 选项正确，B 选项错误.()ππππsin 2,2π,,66122k f x x x k x k ⎛⎫=--==+∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k =时，得π12x =，所以()f x 关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 选项正确，11111πππππ2π22π,ππ,26263k x k k x k k -+<-<+-+<<+∈Z ，当11k =时，得()f x 在54π,π63⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，则()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以D 选项正确.故选：ACD10.对于随机事件A 和事件B ，()0.3P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.3P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B ⋃=C.若A 与B 相互独立，则()0.12P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.7P A B ⋃=【答案】BC 【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】对于A ：若A 与B 互斥，则()0P AB =，故A 错误；对于B ：若A 与B 互斥，则()()()0.7P A B P A P B =+= ，故B 正确；对于C ：若A 与B 相互独立，则()()()0.12P AB P A P B ==，故C 正确；对于D ：若A 与B 相互独立，则()()()()0.30.40.30.40.58P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-⨯=，故D 错误.故选：BC11.如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列结论中正确的有（）A.(a ∃∈，使12MN CE=B.线段MN 存在最小值，最小值为23C.直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D.(a ∀∈，都存在过MN 且与平面BEC 平行的平面【分析】利用向量的线性运算可得()1MN a BC aBE =-+，结合向量的模的计算可判断B 的正误，结合向量夹角的计算可判断C 的正误，结合共面向量可判断D 的正误.【详解】因为四边形ABCD 正方形，故CB AB ⊥，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB BE ⊥.设MC AC λ=，则= BN BF λ，其中()0,1λ=，由题设可得MN MC CB BN AC CB BF λλ=++=++，()()()1BC BA CB BA BE BC BE λλλλ=-+++=-+，对于A ，当12λ=即2a =时，111222MN BC BE CE =-+= ，故A 正确；对于B ，()22222111221222MN λλλλλ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，故22MN ≥，当且仅当12λ=即2a =时等号成立，故min 22MN =，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+，而平面ABEF 的法向量为BC 且()211MN BC BC λλ⋅=-=-，故cos ,MN BC =，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+ ，故,,MN BC BE为共面向量，而MN ⊄平面BCE ，故//MN 平面BCE ，故D 正确；故选：AD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.复数2i12iz +=-的共轭复数z =______．【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念可求解.【详解】因为2i 12i z +=-()()()()2i 12i 12i 12i ++=-+5i i 5==，所以z =i -.故答案为：i-13.已知向量()2,1,1a =- ，()1,,1b x = ，()1,2,1c =-- ，当a b ⊥ 时，向量b 在向量c上的投影向量为________．（用坐标表示）【答案】()1,2,1-【解析】【分析】先根据向量垂直得到方程，求出3x =，再利用投影向量公式求出答案.【详解】因为a b ⊥ ，所以210a b x ⋅=-+=，所以3x =．因为()1,3,1b = ，所以b 在c 上的投影向量为()1,2,1||||b c cc c c ⋅⋅=-=-．故答案为：()1,2,1-14.已知在ABC V 中，满足)34AB AC AB ACAB AC AB AC++=+,点M 为线段AB 上的一个动点，若MA MC ⋅ 取最小值3-时，则BC 边的中线长为______．【答案】1112【解析】【分析】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，根据题意可推得||3,||4AD AN == ，2π3ADE ∠=，进一步根据MA MC ⋅ 取最小值3-时，求得对应的AC =AB =，由此即可得解.【详解】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，则//,//AD EN AN DE ，四边形ADEN为平行四边形，||||3||3,||4,||4||||AB AD AD AN AE AC AN =====，22343712πcos 23423ADE ADE +-∴∠==-⇒∠=⨯⨯，又四边形ADEN 为平行四边形，3πBAC ∴∠=，设,,0,0MA AD AC AN λμλμ==≤≥，()()296MA MC MA MA AC AD AD AN λλμλλμ⋅=⋅+=⋅+=+，由题意2963λλμ+≥-即29630λλμ++≥恒成立，且存在,R λμ∈使得29630λλμ++=成立，其次29630λλμ++=当且仅当2296303Δ361080λλλμμμ⎧⎧=-++=⎪⇔⎨⎨=-=⎩⎪=⎩，此时AC ==AB ==所以BC边的中线长为122AB AC +===.故答案为：2.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图,四边形ABCD 为矩形,且2AD =,1AB =,PA ⊥平面ABCD ,1PA =,E 为BC 的中点．（1）求证：PE DE ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的外接球体积．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接AE ，由线面垂直得到PA DE ⊥，再由线面垂直的判定定理得到DE ⊥平面PAE ，即可证明；（2）由底面为矩形利用长方体的性质可得四棱锥外接球的半径，再由体积公式计算体积.【小问1详解】连结,AE E 为BC 的中点,1EC CD ==，∴DCE △为等腰直角三角形,则45DEC ∠=︒，同理可得45AEB ∠=︒，∴90AED ∠=︒，∴DE AE ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥，又∵AE PA A = ，,AE PA ⊂平面PAE ，∴DE ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴DE PE ⊥．【小问2详解】∵PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，∴P ABCD -的外接球直径2R =∴2R =，故：3344ππ332V R ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，∴四棱锥P ABCD -．16.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos a B b A b c -=+.（1）求角A 的值；（2）若a ABC = ，求,b c .【答案】（1）2π3（2）2，2【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.【小问1详解】cos cos a B b A b c -=+ ，由正弦定理可得：sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B ∴-=++，即2sin cos sin B A B -=，sin 0B ≠ ，1cos 2A ∴=-，(0,π)A ∈ ，2π3A ∴=.【小问2详解】由题意，1sin 24ABC S bc A bc ===△，所以4bc =，由222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，得()2216b c a bc +=+=，所以4b c +=，解得：2b c ==.17.全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实践技能考试中“合格”的概率依次为12，23，23，所有考试是否合格互不影响.（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.【答案】（1）35（2）13【解析】【分析】（1）先根据对立事件的概率公式结合独立事件概率乘积公式计算；（2）先应用对立事件的概率公式及独立事件概率乘积公式应用互斥事件求和计算；【小问1详解】记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件1A ，1B ，1C ，在实践考试中合格依次为2A ，2B ，2C ，设甲没有获得执业医师证书的概率为P124131()1525P P A A =-=-⨯=.【小问2详解】甲、乙、丙获得执业医师证书依次为12A A ，12B B ，12C C ，并且1A 与2A ，1B 与2B ，1C 与2C 相互独立，则()12412525P A A =⨯=，()12321432P B B =⨯=，()12224339P C C =⨯=,由于事件12A A ，12B B ，12C C 彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：()()()()()()()()()121212121212121212A A B B C C A A B B C C A A B B C C ++，概率为212142141(1)(1)(1)52952952934P =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=.18.为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在50,60的平均成绩是56，方差是7，落在60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s ．【答案】（1）0.030（2）84（3）平均数为62；方差为23【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）根据百分位数的计算公式即可求解，（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；再由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差，即可求解.【小问1详解】由每组小矩形的面积之和为1得，0.050.10.2100.250.11a +++++=，解得0.030a =．【小问2详解】成绩落在[)40,80内的频率为0.050.10.20.30.65+++=，落在[)40,90内的频率为0.050.10.20.30.250.9++++=，显然第75百分位数[)80,90m ∈，由()0.65800.0250.75m +-⨯=，解得84m =，所以第75百分位数为84；【小问3详解】由频率分布直方图知，成绩在[)50,60的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[)60,70的市民人数为1000.220⨯=，所以10562065621020z ⨯+⨯==+；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为()(){}222110756622046562231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，且ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB AA B ∠=∠=．（1）若1A BC 为等边三角形，证明：平面1AAB ⊥平面ABC ；（2）若二面角1A AB C --的平面角为π3，求以下各值：①求点1B 到平面1A CB 的距离；②求平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）①2217，②277【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形及等边三角形的性质可得各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，根据线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直；（2）根据二面角的定义可值1CEA 为等边三角形，①利用等体积转化法可得点到平面距离；②根据二面角的定义可得两平面夹角.【小问1详解】设AB 的中点为E ，连接CE ，1A E ，如图所示，因为ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB A AB ∠=∠=，故1cos 452BC A B AB ==⋅︒=CE AB ⊥，且112CE AB ==，1112A E AB ==，因为1A BC 为等边三角形，故12==AC BC ，故22211A C CE A E =+，即1CE A E ⊥，又AB ，1A E ⊂平面1AA B ，1A E AB E ⋂=，故CE ⊥平面1AA B ，且CE ⊂平面ABC ，故平面1AA B ⊥平面ABC ；【小问2详解】①由（1）知，CE AB ⊥，1A E AB ⊥，且平面1AA B ⋂平面ABC AB =，故1CEA ∠即二面角1A AB C --的平面角，即1π3CEA ∠=，故1CEA 为等边三角形，则111CA CE A E ===，因为CE AB ⊥，1A E AB ⊥，1A E CE E ⋂=，且CE ，1A E ⊂平面1CEA ，所以AB ⊥平面1CEA ，设线段1A E 中点为F ，则1CF A E ⊥，AB CF ⊥，又AB ，1A E ⊂平面11ABB A ，1AB A E E = ，CF ∴⊥平面11ABB A ，又在三角形1CEA中易知：2CF =，∴11111112133226C A BB A BB V CF S -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，又在三角形1A BC 中，由11AC =，1BC A B ==则22211113cos 24BC A B A CA BC BC AB +-∠==⋅，1sin 4A BC ∠=，则11117sin 24A BC S AB BC A BC =⋅⋅∠= ，设点1B 到平面1A CB 的距离为d ，又由1111113C A BB B A BC A BC V V S d --==⋅⋅△，可得7d =，即求点1B 到平面1A CB 的距离为2217；②由①知，AB ⊥平面1CEA ，而11//AB A B ，故11A B ⊥平面1CEA ，且1A C ⊂平面1CEA ，故111A B AC ⊥，则2211115B C A B AC =+=，设1AC 和1B C 的中点分别为M ，N ，连接MN ，BN ，BM，则11//MN A B ，11112MN A B ==，1MN AC ⊥，又因为12BC A B ==1BM A C ⊥，且MN ⊂平面11A B C ，BM ⊂平面1A BC ，故BMN ∠即二面角11B A C B --的平面角，且222211722BM BC CM BC A C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，因为112BB AA BC ===，故1BN B C ⊥，则222211322BN BC CN BC B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以222731744cos 277212BM MN BN BMN BM MN +-+-∠==⋅⨯⨯，故平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值为277．。
江西省宜春市上高二数学中2022高二数学上学期第二次月考试题 文(含解析)
江西省宜春市上高二数学中2022高二数学上学期第二次月考试题文（含解析）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 B．（x+1）2+（y﹣1）2＝4C．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝42．已知抛物线的焦点坐标是（0，﹣3），则抛物线的标准方程是（）A．x2＝﹣12y B．x2＝12y C．y2＝﹣12x D．y2＝12x3．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O ′＝，那么原△ABC的面积是（）A ．B ．C ．D ．4．椭圆+y2＝1的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．5．已知A（﹣4，2，3）关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于（）A．8 B．12 C．16 D．196．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D．8 7．P 是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|•|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．如图，正方体AC1中，E、F分别是DD1、BD的中点，则直线AD1与EF所成的角余弦值是（）A ．B ．C ．D ．9．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A（4，5），则|PA|+d的最小值为（）A ．B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣410．如图，过抛物线y2＝3x的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|AB|＝（）A．4 B．6 C．8 D．1011．已知椭圆E ：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A ．B ．C ．D ．12．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BCA是等边三角形；③三棱锥DABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC．其中正确的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线y＝kx+1与焦点在x 轴上的椭圆总有公共点，则实数m 的取值范围为．14．过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为．15．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B 两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若＝2，则椭圆的离心率为．16．已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA＝PB＝PC＝2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为．三、解答题．（共70分）17．已知圆心为C的圆经过点A（﹣1，1）和B（﹣2，﹣2），且圆心在直线l：x+y﹣1＝0上（1）求圆C的标准方程；（2）若直线kx﹣y+5＝0被圆C截得的弦长为8，求k的取值．18．如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB＝2，AD＝4．（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG（2）若F是线段AB 的中点，求三棱锥B﹣EFC的体积．19．已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：+＝1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C1分别相交于A、B两点．（Ⅰ）写出抛物线C1的标准方程；（Ⅱ）求△ABO面积的最小值．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C是矩形，侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B，且AB＝4AA1＝4，∠BAA1＝60°，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求证：DA1⊥平面AA1C1C．21．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．（1）证明：BE⊥平面D1AE；（2）设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．过点M（2，0）的直线l与椭圆C 相交于A、B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求•的取值范围；（Ⅲ）若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点．2022江西省宜春市上高二中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 B．（x+1）2+（y﹣1）2＝4C．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝4【解答】解：根据题意得：圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝4．故选：D．2．已知抛物线的焦点坐标是（0，﹣3），则抛物线的标准方程是（）A．x2＝﹣12y B．x2＝12y C．y2＝﹣12x D．y2＝12x【解答】解：依题意可知焦点在y轴，设抛物线方程为x2＝2py∵焦点坐标是F（0，﹣3），∴p＝﹣3，p＝﹣6，故抛物线方程为x2＝﹣12y．故选：A．3．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O ′＝，那么原△ABC的面积是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为，且若△A′B′C′的面积为×2××＝，那么△ABC的面积为故选：A．4．椭圆+y2＝1的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由抛物线y2＝4x的方程得准线方程为x＝﹣1，又椭圆+y2＝1的焦点为（±c，0）．∵椭圆+y2＝1的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，∴﹣c＝﹣1，得到c＝1．∴a2＝b2+c2＝1+1＝2，解得．∴．故选：B．5．已知A（﹣4，2，3）关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于（）A．8 B．12 C．16 D．19【解答】解：A（﹣4，2，3）关于xOz平面的对称点为A1（﹣4，﹣2，3）．A1关于z轴的对称点为A2（4，2，3）．则|AA2|＝＝8．故选：A．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D．8【解答】解：根据三视图可知几何体是四棱锥，且底面是边长为2和4的长方形，由侧视图是等腰直角三角形，直角边长为2，∴该几何体的体积V ＝＝，故选：B．7．P 是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|•|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：∵P 是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，∴|PF1|+|PF2|＝8，|F1F2|＝2∵|PF1|•|PF2|＝12，∴（|PF1|+|PF2|）2＝64，∴|PF1|2+|PF2|2＝40，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝，∴∠F1PF2＝60°，故选：B．8．如图，正方体AC1中，E、F分别是DD1、BD的中点，则直线AD1与EF所成的角余弦值是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，取AD的中点G，连接EG，GF，∠GEF为直线AD1与EF所成的角设棱长为2，则EG ＝，GF＝1，EF ＝cos∠GEF ＝，故选：C．9．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A（4，5），则|PA|+d的最小值为（）A ．B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣4【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线l：x＝﹣1．如图所示，过点P作PN⊥l交y轴于点M，垂足为N，则|PF|＝|PN|，∴d＝|PF|﹣1，∴|PA|+d≥|AF|﹣1＝﹣1＝﹣1．故选：B．10．如图，过抛物线y2＝3x的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|AB|＝（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：过B向准线做垂线垂足为D，过A点做准线的垂线垂足为E，准线与x轴交点为G，根据抛物线性质可知|BD|＝|BF|∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠C＝30°，∠EAC＝60°又∵|AF|＝|AE|，∴∠FEA＝60°∴|AF|＝|AE|＝|CF|＝3，∵|CF|＝2|GF|＝3，|BF|＝1，∴|AB|＝|AF|+|BF|＝4．故选：A．11．已知椭圆E ：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，＝＝．∴，化为a2＝2b2，又c＝3＝，解得a2＝18，b2＝9．∴椭圆E 的方程为．故选：D．12．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BCA是等边三角形；③三棱锥DABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC．其中正确的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④【解答】解：根据直二面角的定义知，BD⊥面ACD，所以BD⊥AC，①正确；因为三角形ABC为等腰直角三角形，设AD＝1，则可求出AB＝BC＝AC ＝，所以△BCA是等边三角形，所以②正确；由上可知AB＝BC＝AC，且AD＝BD＝CD，根据正三棱锥的定义可知，三棱锥DABC是正三棱锥，所以③正确，④不正确．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线y＝kx+1与焦点在x 轴上的椭圆总有公共点，则实数m 的取值范围为[1，9）．【解答】解：直线y＝kx+1恒过定点P（0，1），焦点在x轴上的椭圆，可得0＜m＜9，①由直线y＝kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，可得P在椭圆上或椭圆内，即有+≤1，解得m≥1，②由①②可得1≤m＜9．故答案为：[1，9）．14．过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为x +y﹣2＝0 ．【解答】解：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．又已知点P（1，1），则k OP＝1，故所求直线的斜率为﹣1．又所求直线过点P（1，1），故由点斜式得，所求直线的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即x+y﹣2＝0．故答案为：x+y﹣2＝0．15．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B 两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若＝2，则椭圆的离心率为．【解答】解：如图，由题意，A（﹣c，），∵＝2，∴，且x C﹣c＝c，得x C＝2c．∴C（2c，），代入椭圆，得，即5c2＝a2，解得e＝．故答案为：．16．已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA＝PB＝PC＝2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为12π．【解答】解：由题意三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大，三棱锥P﹣ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长：2所以球的直径是2，半径为，球的表面积：4π×＝12π．故答案为：12π．三、解答题．（共70分）17．已知圆心为C的圆经过点A（﹣1，1）和B（﹣2，﹣2），且圆心在直线l：x+y﹣1＝0上（1）求圆C的标准方程；（2）若直线kx﹣y+5＝0被圆C截得的弦长为8，求k的取值．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，1）和B（﹣2，﹣2），∴k直线AB＝＝3，线段AB的中点坐标为（﹣，﹣），∴线段AB垂直平分线方程为y+＝﹣（x+），即x+3y+3＝0，与直线l 联立得：，解得：，∴圆心C坐标为（3，﹣2），∴半径|AC|＝＝5，则圆C方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝25；（2）∵圆C半径为5，弦长为8，∴圆心到直线kx﹣y+5＝0的距离d ＝＝3，即＝3，解得：k ＝﹣．18．如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB＝2，AD＝4．（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG（2）若F是线段AB的中点，求三棱锥B﹣EFC的体积．【解答】解：如图，（1）证明：设CE∩BD＝O，连接OG，由三角形的中位线定理可得：OG∥AC，∵AC⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AC∥平面BDG．（2）∵平面ABC⊥平面BCDE，DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥AC ，∴；又∵F是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CF⊥AB，∴，又平面ABC⊥平面BCDE，EB⊥BC，∴EB⊥平面BCF，∴．19．已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：+＝1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C1分别相交于A、B两点．（Ⅰ）写出抛物线C1的标准方程；（Ⅱ）求△ABO面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C2：+＝1的右焦点为（1，0），设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），即有＝1，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x；（Ⅱ）设直线AB的方程为x＝my+4，代入抛物线方程可得，y2﹣4my﹣16＝0，判别式为16m2+64＞0恒成立，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣16，则△ABO面积为S＝S△OAM+S△OBM ＝•|OM|•|y1﹣y2|＝2|y1﹣y2|＝2＝2≥2＝16，当且仅当m＝0时，△ABO的面积取得最小值16．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C是矩形，侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B，且AB＝4AA1＝4，∠BAA1＝60°，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求证：DA1⊥平面AA1C1C．【解答】证明：（1）连结A1C交AC1于F，取B1C中点E，连结DE，EF．∵四边形AA1C1C是矩形，∴F是A1C的中点，∴EF∥A1B1，EF ＝A1B1，∵四边形ABB1A1是平行四边形，D是AB的中点，∴AD∥A1B1，AD ＝A1B1，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥DE，即AC1∥DE．又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．（2）∵AB＝4AA1＝4，D是AB中点，∴AA1＝1，AD＝2，∵∠BAA1＝60°，∴A1D ＝＝．∴AA12+A1D2＝AD2，∴A1D⊥AA1，∵侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B，侧面AA1C1C∩侧面AA1B1B＝AA1，AC⊥AA1，AC⊂平面AA1C1C，∴AC⊥平面AA1B1B，∵A1D⊂平面AA1B1B，∴AC⊥A1D，又∵AA1⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，AC∩AA1＝A，∴DA1⊥平面AA1C1C．21．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．（1）证明：BE⊥平面D1AE；（2）设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：连接BE，∵ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝2，∴AE＝BE＝2，AB＝4，∴AE2+BE2＝AB2，∴BE⊥AE，又D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE．（2）＝．取D1E中点N，连接AN，FN，∵FN∥EC，EC∥AB，∴FN∥AB，且FN ＝＝AB，∴M，F，N，A共面，若MF∥平面AD1E，则MF∥AN．∴AMFN为平行四边形，∴AM＝FN ＝．∴＝．22．已知椭圆C ：＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．过点M（2，0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求•的取值范围；（Ⅲ）若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题意b＝1，得a2＝2c2＝2a2﹣2b2，故a2＝2．故方程为．（Ⅱ）解：设l：y＝k（x﹣2），与椭圆C的方程联立，消去y得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0．由△＞0得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．∴＝＝．∵，∴，故所求范围是．（Ⅲ）证明：由对称性可知N（x2，﹣y2），定点在x轴上．直线AN：，令y＝0得：，∴直线l过定点（1，0）．。
吉林省四校联考2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含解析)
2024~2025（上）高二年级第一次月考数 学全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角为（ ）A．B ．C ．D ．2．若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线l 的一个方向向量，且直线l 经过和两点，则（ ）A ．B ．C ．1D ．24．已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）A ．平行于同一个平面的向量叫做共面向量B ．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底C ．直线可以由其上一点和它的方向向量确定D ．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量6．在平行六面体中，点P 是线段BD 上的一点，且，设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，直线交x 轴于点A ，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O ，另两个顶点M 、N 恰好落在直线上．若点N 在第二象限内，则的值为（ ）20x +-=π6π4π35π61:10l x my --=2:(2)310l m x y --+=1m =-12//l l (3,2,1)m =-(,2,1)A a -(2,3,)B b -a b +=2-1-(2,3,1)a =(1,2,2)b =-- a b 2b 2b - 23b 23b- 1111ABCD A B C D -3PD PB =1A A a =11A B b = 11A D c = 1PC =1324a b c++ 113444a b c-+1344a b c-++ 131444a b c-+ 334y x =+334y x =+tan AON ∠A．B ．C ．D ．8．在棱长为2的正方体中，EF 是正方体外接球的直径，点P 是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．给出下列命题，其中正确的命题是（）A ．若空间向量，满足，则B ．空间任意两个单位向量必相等C ．在正方体中，必有D ．空间向量10．已知两条平行直线和，则实数m 的值可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．11．如图，在棱长为2的正方体中，E 为的中点，F 为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（）A ．171615181111ABCD A B C D -1111ABCD A B C D -1111ABCD A B C D -PE PF ⋅[2,0]-[1,0]-[0,1][0,2]a b a b =a b= 1111ABCD A B C D -11BD B D =(1,1,0)a =1:10l x y -+=2:0l x y m -+=1-1111ABCD A B C D -1BB 11A D 1DB =B ．向量与C ．平面AEF 的一个法向量是D ．点D 到平面AEF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线，的斜率，是关于k 的方程的两根，若，则实数__________．13．在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题．如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为A 、B 、C ，，，．现移动边AC ，使得点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，则（点O 为坐标原点）的最大值为__________．14．已知空间向量，，则最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知直线，，．（1）若这三条直线交于一点，求实数m 的值；（2）若三条直线能构成三角形，求实数m 满足的条件．16．（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，，，，，点d 是棱AB 的中点AE 1AC (4,1,2)-1l 2l 1k 2k 2280k k n ++=12l l ⊥n =||2AC =||AB =||4BC =OB (1,1,1)a =(0,,1)(01)b y y =≤≤ cos ,a b 1:10l x my ++=2:240l x y --=3:310l x y +-=111ABC A B C -AC BC ⊥1AC =2BC =13CC =（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17．（本小题满分15分）已知直线．（1）m 为何值时，点到直线l 的距离最大，并求出最大值；（2）若直线l 分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求（O 为坐标原点）面积的最小值及此时直线l 的方程．18．（本小题满分17分）如图，在棱长为3的正方体中，点E 是棱上的一点，且，点F 是棱上的一点，且．（1）求异面直线与CF 所成角的余弦值；（2）求直线BD 到平面CEF 的距离．19．（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，平面ABCD ，，点E 是棱PB 的中点，点F 是棱PC 上的一点，且．（1）证明：平面平面PBC ；（2）求平面AEF 和平面AFC夹角的大小．1//AC 1B CD 1A B 1B CD :(21)(3)70l m x m y m +-++-=(3,4)Q AOB △1111ABCD A B C D -11A B 112A E EB =11A D 112A F FD =1AD P ABCD -PA⊥PC =2PF FC =AEC ⊥第一次月考·数学参考答案、提示及评分细则1．D ，其倾斜角为．故选D ．2．C 若，则，解得或，则“”是“”的充分不必要条件，故选C ．3．A 因为，所以，解得，，所以，故选A ．4．D ，故在上的投影向量为．故选D ．5．B 平行于平面的向量，可平移至一个平行于的平面，故为共面向量，A 正确；空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，B 错误；直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向量确定直线，C 正确；由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，D 正确．故选B ．6．C ．故选C ．7．A 设直线与y 轴的交点为B ，过O 作于C ，过N 作于D ．因为N 在直线上且在第二象限内，设，则，．又，，即，，所以．在中，由三角形的面积公式得，，所以．y x = ∴5π612//l l 1(3)(2)()m m ⨯-=--1m =-3m =1m =-12//l l (2,1,1)AB a b =--+ 211321a b --+==-12a =-32b =-2a b +=-2222(2,3,1)(1,2,2)26221(2)(2)93a b b⋅⋅----===-+-+-a b ()223a b b b b⋅⋅=-αα11111111111111111114PC A C A P A B A D A B BP A B A D A B A A B D =-=+--=+---()11111111111111111311344444A B A D A B A A A D A B A D A B A A a b c =+----=+-=-++OC AB ⊥ND OA ⊥334y x =+3,34N x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3||34DN x =+||OD x =-(4,0)A -(0,3)B ||4OA =||3OB =||5AB =AOB △11||||||||22OB OA AB OC =12||5OC =在中，，，所以，即．在中，，即，解得，．因为点N 在第二象限内，所以，所以，，所以，故选A ．8．A 记正方体的外接球的球心为O ，易得，且，所以，故选A ．9．CD两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以不能得到，A 错误；空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B 错误，正方体中，，的方向相同，长度相等，故，故C 正确；空间向量，故D 正确．故选CD ．10．AC 直线和平行，则，解得且，故0和2符合要求．故选AC ．11．BCD 对于A ，正方体中，，故A 错误；对于B ，，，故向量夹角余弦值为B 正确；Rt NOM △||||OM ON =45MNO ∠=︒12||5sin 45||||OC ON ON ︒==||ON =Rt NDO △222||||||ND DO ON +=22233()4x x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭18425x =-21225x =8425x =-12||25ND =84||25OD =||1tan ||7ND AON OD ∠==1111ABCD A B C D -OE ==PO ⎡∈⎣()()()()2223[2,0]PE PF PO OE PO OF PO OE PO OE PO OE PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-∈- a b =a b = 1111ABCD A B C D -BD 11B D11BD B D = (1,1,0)a ==1:10l x y -+=2:0l x y m -+=1m ≠<13m -<<1m ≠1DB =(0,2,1)AE = 1(2,2,2)AC =- 11cos AE AC AE AC θ⋅==对于C ，，，，．故是平面AEF 的一个法向量，故C 正确；对于D ，，则点D 到平面AEF 的距离为D 正确．故选BCD ．12． 因为，而且斜率存在，所以，又，是关于k 的方程的两根，，解得．13．由已知，，．如图，取AC 的中点E ．因为为直角三角形，故．由于为直角三角形，故，显然，当且仅当O 、B 、E三点共线时等号成立，故的最大值为．14，当时，，由，所以，当且仅当，即时等号成立，故，(0,2,1)AE = (1,0,2)AF =-(0,2,1)(4,1,2)0⋅-=(1,0,2)(4,1,2)0-⋅-=(4,1,2)-(2,0,0)DA = DA n d n ⋅=== 2-12l l ⊥121k k ⋅=-1k 2k 2280k k n ++=1212nk k ⋅==-2n =-||2AC =||AB =||4BC =OAC △1||||12OE AC ==ABC △||BE ==||||||OB OE BE ≤+OB 1cos ,b a b a a b ⋅== 10y ≥>cos ,a b a b a b ⋅=====0y >12y y +≥1y y=1y =cos ,a b =≤=当时，，故的最大值为．15．解：（1）由解得代入的方程，得．（2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形．①联立解得代入，得；②当与平行时，，当与平行时，．综上所述，当且且时，三条直线能构成三角形．（且写成或扣1分）．16．解：如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，所以，，，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则即令，解得，，所以平面的一个法向量为．（1）证明：，因为，0y =cos ,a b =cos ,a b 240,310,x y x y --=⎧⎨+-=⎩1,2,x y =⎧⎨=-⎩1l 1m =240,310,x y x y --=⎧⎨+-=⎩1,2,x y =⎧⎨=-⎩10x my ++=1m =1:10l x my ++=2:240l x y --=12m =-1:10l x my ++=3:310l x y +-=13m =1m ≠13m ≠12m ≠-1CC (1,0,0)A (0,2,0)B (0,0,0)C 1(0,0,3)C 1(0,2,3)B 1(1,0,3)A 1,1,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭1(0,2,3)CB =1B CD (,,)n x y z = 10,0,n CD n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 10,2230,x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩1x =12y =-13z =1B CD 111,,23n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 1(1,0,3)AC =- 10AC n ⋅=平面，所以平面；（2）解：因为，所以，所以直线与平面．17．解：（1）已知直线，整理得，由故直线l 过定点，点到直线l 的距离最大，可知点Q 与定点的连线的距离就是所求最大值，，的斜率为，可得，解得；（2）若直线l 分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ，B 两点，则可设直线l 的方程为，，则，，．（当且仅当时，取“=”），故面积的最小值为12，此时直线l 的方程为．18．解：（1）如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，所以，，，，所以，，所以，所以异面直线与CF1AC ⊂/1B CD 1//AC 1B CD 1(1,2,3)A B =-- 111cos ,A B n A B n A B n⋅==1A B 1B CD :(21)(3)70l m x m y m +-++-=(21)370x y m x y -++--=210,2,3703,x y x x y y ⎧-+==-⎧⇒⎨⎨--==-⎩⎩(2,3)--(3,4)Q (2,3)P --=437325PQ k +==+ (21)(3)70m x m y m ∴+-++-=57-52173m m +-=+2219m =-3(2)y k x +=+0k <32,0A k ⎛⎫-⎪⎝⎭(0,23)B k -13131912|23|2(32)12(4)(1212)122222AOB S k k k kk k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅-=--=+-+-≥⨯+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦△32k =-AOB △32120x y ++=1DD (3,0,0)A 1(0,0,3)D (1,0,3)F (0,3,0)C 1(3,0,3)AD =- (1,3,3)CF =-111cos ,AD CF AD CF AD CF⋅===1AD（2）因为，，，所以，，所以，所以，又平面CEF ，平面CEF ，所以平面CEF ，所以点D 到平面CEF 的距离即为直线BD 到平面CEF 的距离．设平面CEF 的一个法向量为，则即令，解得，，所以平面CEF 的一个法向量为．因为，所以点D 到平面CEF 的距离，即直线BD 到平面CEF 的距离为19．（1）证明：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，所以，，，设，则，解得，即．则，，，设平面AEC 的一个法向量为，则即令，解得，，所以平面AEC 的一个法向量为．因为，，设平面PBC 的一个法向量为，(0,0,0)D (3,2,3)E (3,3,0)B (2,2,0)FE = (3,3,0)DB =23FE DB =//FE DB DB ⊂/EF ⊂//DB (,,)n x y z = 0,0,n FE n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩220,330,x y x y z +=⎧⎨-+=⎩1x =1y =-43z =-41,1,3n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ (0,3,0)DC =DC n d n ⋅==(0,0,0)A (3,0,0)B (3,3,0)C (0,0,)(0)P t t >PC ==3t =(0,0,3)P 33,0,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭33,0,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3,3,0)AC = (,,)n x y z = 0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 330,22330,x z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩1x =1y =-1z =-(1,1,1)n =--(0,3,0)BC = (3,0,3)BP =- ()111,,m x y z =所以即令，解得，，所以平面PBC 的一个法向量为，又，所以平面平面PBC ；（2）解：，所以．设平面EAF 的一个法向量为，所以即令，解得，，所以平面EAF 的一个法向量为．设平面CAF 的一个法向量为，则即令，解得，，所以平面CAF 的一个法向量为．因为，所以平面AEF 和平面AFC夹角的大小为．0,0,m BC m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11130,330,y x z =⎧⎨-+=⎩11x =10y =11z =(1,0,1)m = 0m n ⋅=AEC ⊥11(3,3,3)(1,1,1)33CF CP ==⨯--=-- (2,2,1)AF AC CF =+= ()1222,,n x y z = 110,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22222330,22220,x z x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩21x =212y =-21z =-111,,12n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()2333,,n x y z =220,0,n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 33333330,220,x y x y z +=⎧⎨++=⎩31x =31y =-30z =2(1,1,0)n =-121212cos ,n n n n n n ⋅=== π4。
德惠市实验中学高二上文科数学9月月考试卷
德惠市实验中学高二上数学文科月考试卷（总分：150分 ）考试时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.1.命题“x ∀∈R ，2e x x >”的否定是（ ） A ．不存在x ∈R ，使2e x x > B ．x ∃∈R ，使2e x x <C ．x ∃∈R ，使e x ≤2xD ．x ∀∈R ，使e x ≤2x2.命题若2≠x 或3≠y ，则5≠+y x 的逆否命题( )A.若2=x 或3=y ，则5=+y xB.若2=x 且3=y ，则5=+y xC.若5=+y x ，则2=x 或3=yD.若5=+y x ，则2=x 且3=y 3.设a ∈R ，则“1a =”是“直线21y a x =+与直线1y x =-平行”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．21B ．22C ．1D ．27.设椭圆22143x y +=的左右焦点分别为21,F F ,点P 在椭圆上，若1252PF PF −−→−−→⋅=,则12PFPF ⋅=（ ）.A 2 .B 3 .C27 .D 298. 已知(4,2)是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则l 的方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝09过双曲线M ：2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线肘的两条渐近线分别相交于B 、C ，．且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是( ) A B C D 10.设,αβ为两个不同平面，m 、 n 为两条不同的直线，且,,βα⊂⊂n m 有两个命题：P ：若m∥n,则α∥β；q ：若m⊥β, 则α⊥β. 那么（ ） A ．“p 或q”是假命题 B ．“p 且q”是真命题 C ．“非p 或q”是假命题 D ．“非p 且q”是真命题11.已知双曲线)0,0(1:2222＞＞b a by a x C =-的一条渐近线平分圆1)2()1(:22=-+-y x C ,则C 的离心率为（ ）A.3B. 2C.5D.2512.椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与圆222)2(c by x +=+（c 为椭圆半焦距）有四个不同交点，则椭圆离心率e 的取值范围是( ) A ．5355<<e B ．153<<e C ．155<<e D ．530<<e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13.“βα=”是“βαcos cos =”的 条件.（在“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中选）14.若命题“01)1(,2≥+-+∈∀x a x R x ”是真命题，则实数a 的取值范围是 .15.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是16.A 是曲线149:221=+y x C 与14:222=-y x C 的一个交点，且A 到1C 的两焦点的距离之和为m ，到2C 两焦点距离之差的绝对值为n ，则______)lg(=+n m三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分.解答题应写出文字证明，证明过程或演算步骤.（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 17.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．m ＞14时，mx 2－x ＋1＝0无实根；18.双曲线191622=-yx 上一点P ，1F 与F 2为左右焦点，若∠1F PF 2= 60.求三角形面积及渐近线方程19.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝63，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32，若点P 为椭圆上第二象限一点，21,F F 为左右焦点，（1）求椭圆的标准方程，（2）求21F PF ∆周长．20..已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为，直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 的交点为,A B ，求弦长||AB ．21.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,且过点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点⎪⎭⎫⎝⎛21,1A，若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.22.如图，双曲线22221x y a b -=(00)a b >>，的离心率为．12F F ，分别为左、右焦点，M 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且1214F M F M ⋅=-． （1）求双曲线的方程；（2）设(0)A m ，和10(01)B m m ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，是x 轴上的两点，过点A 作斜率不为0的直线l ，使得l 交双曲线于C D ，两点，作直线BC 交双曲线于另一点E ．证明直线DE 垂直于x 轴.C。
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高二数学文科月考试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.直线13=x 的斜率是（ ）A ．1B ．0C ．3D ．不存在2. 垂直于同一条直线的两条直线（ ）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能3. 如果直线012=++y ax 与直线02=-+y x 互相垂直，则实数a 的值等于（ ）A ．1B ．-2C ．31-D ．32-4. 若直线03=++a y x 过圆04222=-++y x y x 的圆心,则a 的值为（ ） A ．错误！未找到引用源。
3 B ．错误！未找到引用源。
1 C ．1 D ．35.已知两不同直线n m ,与三不同平面γβα,,，下列条件能推出α∥β的是 （ ）A ．γα⊥且γβ⊥B ． α⊂m ，β⊂n ，n m //C ．α⊥m 且β⊥mD ．α⊂m ,α⊂n ,β//m , β//n6．过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．237.某几何体的三视图如图所示，则它的直观图是（ ）正视图 侧视图 俯视图A.圆柱B.圆锥C.圆台D.球8．如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°俯视图6 5 正视图 6 5 侧视图·9．一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ） A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 相交C ．AB ⊥CD D ．AB 与CD 所成的角为60°10.我们知道，在平面直角坐标系中，方程1=+by ax 表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x 轴，y轴上的截距分别为b a ,”；类比到空间直角坐标系中，方程122=++z y x 表示的点集对应的图形也具有某特定性质，设此图形为α，则坐标原点到α的距离是（ ）A ．3B ．2C ．5D ．36二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。
11. 圆心在原点且与直线20x y +-=相切的圆的方程为 . .12．有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ）如图所示， 则该几何体的体积为 .13.正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为1，M 为1C C 的中点，则点1B 到截面1A BM 的距离为 . . 14．在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝BC ，且∠BAC ＝90°，则PA 与底面ABC 所成的角为 ．15．如下图是正方体1111D C B A ABCD -，则下列四个命题：①点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥PC D A 1-的体积不变；②点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③点P 在直线1BC 上运动时，二面角C AD P --1的大小不变；④点M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，则点M 的轨迹是过点1D 的直线．其中真命题的编号是__ ______． 三、解答题（共75分）16. (本题满分12分)两个边长均为3的正方形ABCD 和ABEF 所在平面垂直相交于AB ，FB N AC M ∈∈,,且FN AM =.（1）证明：BCE MN 平面//；（2）当2==FN AM 时，求MN 的长度．17．（本小题满分12分）已知直线1l 方程为03=-+y x 与x 轴交于点A ，直线2l 方程是x y 2=，2l 与1l 交于点B ，点C 在y 轴负半轴上，32=AC . （1）写出点C B A ,,的坐标； （2）求△ABC 的面积； （3）求△ABC 外接圆方程.18．(本题满分12分)如下图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，41=AA ，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥ABCDP-中，ABCDAB//，底面为直角梯形，CD⊥，ABCDPA底面,=⊥且．BA2ABCDAD45，AB==,直线CDADPB与所成角为︒求四棱锥ABCDP-的体积；（2）若E为线段PC上一点，试确定E点的位置，使得平面EBD垂直于平面ABCD，并说明理由．20(本题满分13分)已知四棱锥ABCDP-的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．（１）求四棱锥ABCDP-的体积；（２）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；（３）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.(本小题理科学生做，文科学生不做)21. （14分）如图，设M 点是圆22:(4)4C x y +-=上的动点，过点M作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B,切线,M A M B 分别交x 轴于,D E 两点．（1）求四边形M A O B 面积的最小值；（2）是否存在点M ，使得线段D E 被圆C 在点M 处的切线平分？ 若存在，求出点M 的纵．坐标；若不存在，说明理由．6543211242246xy D C OEMAB参考答案一．选择题理科：DDBCC ，DAABD 文科：DDBCC ，DABDD 二．填空题11. 222x y += 12.312cm π 13.22 14.060 15.①③④三 解答题16. （1）证明:法一：如图一，作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂 足，连接PQ ，则MP ∥AB ，NQ ∥AB. 所以MP ∥NQ ，又AM ＝NF ，AC ＝BF ，所以MC ＝NB.又∠MCP ＝∠NBQ ＝45°，所以Rt △MCP ≌Rt △NBQ ，所以MP ＝NQ.故四边形MPQN 为平行四边形. 所以MN ∥PQ. …..4分 因为PQ ∥平面BCE ，MN ∥平面BCE ，所以MN ∥平面BCE…..6分 法二：如图二，过M 作MH ⊥AB 于H ，则MH ∥BC. 所以AM AC ＝AH AB .连接NH ，由BF ＝AC ，FN ＝AM 得FN FB ＝AHAB， 所以NH ∥AF ∥BE. (2)分…..4分因为MN ∥平面MNH ，所以MN ∥平面BCE. …..6分 （2）如上问图二，由比例关系易得： 在ABC Rt ∆中，2,1==NH MH ，5=∴MN 。
.…..12分17.解：（1）点A(3，0)，B(1，2)，C(0，－3) （2）直线AC 方程为x - 3 y – 3 = 0， 点B 到AC 的距离d = 3 +1，所以△ABC 面积S = 3 + 3（3）设△ABC 外接圆方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++++=++0330241039F E F E D FD所以⎪⎩⎪⎨⎧-==-=302F E D所以△ABC 外接圆方程为x 2 + y 2 – 2x – 3 = 018解: (1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC .又∵C 1C ⊥AC .∴AC ⊥平面BCC 1B 1. ∵BC 1⊂平面BCC 1B ，∴AC ⊥BC 1.(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，又四边形BCC 1B 1为正方形．∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1. ∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1. (3)解：∵DE ∥AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角．在△CED 中，ED ＝12AC 1＝52，CD ＝12AB ＝52，CE ＝12CB 1＝22，∴cos ∠CED ＝252＝225.∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为225.19.解：（1） AB ∥CD, PBA ∠∴是PB 与CD 所成的角，则045=∠∴PBA 所以在直角三角形PAB 中，PA=AB=a32131aS PA V ABCD ABCD P =⋅⋅=-PDCD PAD CD CD PA ABCD PA AD CD AB CD AD AB ⊥∴⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥,,,,//,又 的平面角是二面角B CD P PDA --∠∴,在直角三角形PDA 中，PA=AD=a45,45为即二面角B CD P PDA --=∠∴(2)当点E 在线段PC 上，且PE:EC=2：1时，平面EBD 垂直平面ABCD 理由AC 、BD 交于O 点，连EO.由△AOB ∽△COD ，且CD=2AB∴CO=2A O ∴PE:EC=AO:CO =1:2∴PA ∥EO ∵PA ⊥底面ABCD ， ∴EO ⊥底面ABCD. 又EO 在平面EBD 内，∴平面EBD 垂直于平面ABCD20.解：(1)由三视图可知，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形， 侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2. ∴11212333P A B C D A B C D V S P C -==⨯⨯=，即四棱锥P －ABCD 的体积为23.(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE. 证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC. ∵PC ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC. 又∵AC∩PC＝C ，∴BD ⊥平面PAC. ∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC. ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE.(3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DF ⊥AE 于F ，连结BF. ∵AD ＝AB ＝1，DE ＝BE ＝2211+＝2，AE ＝AE ＝3， ∴Rt △ADE ≌Rt △ABE ， 从而△ADF ≌△ABF ，∴BF ⊥AE.∴∠DFB 为二面角D －AE －B 的平面角． 在Rt △ADE 中，DF ＝AD·DE AE ＝1×23＝63， ∴BF ＝63. 又BD ＝2，在△DFB 中，由余弦定理得 cos ∠DFB ＝222122DF BF BDDF BF+-=-⋅，∴∠DFB ＝2π3， 即二面角D －AE －B 的大小为2π3.21、解（1）面积最小值为3（2）设存在点00(,)M x y 满足条件设过点M 且与圆O 相切的直线方程为：00()y y k x x -=- 则由题意得，002||11kx y k-+=+，化简得：2220000(1)210x k x y k y --+-=设直线,M A M B 的斜率分别为12,k k ，则20001212220021,11x y y k k k k x x -+==--圆C 在点M 处的切线方程为0000()4x y y x x y --=--令0y =，得切线与x 轴的交点坐标为200004(,0)y y x x -+又得,D E 的坐标分别为000012(,0),(,0)y y x x k k --++由题意知，2000000001242()y y y y x x x x k k ---+=+++用韦达定理代入可得，0002041y x y x y --=-，与2200(4)4x y +-=联立，得0131058y +=。