机械波能量

y1
A1 cos(
t j 10
2 l
r1 )
y A cos( t j 2 r )
2
2
20
l2
rP处相遇 P 1 r2
S1
r1
P 在p点的
振动为同 方向同频
率振动的
r 合成。 2 合成振动为：
y1
y2
A1
A2
cos(t
cos(t
j10
j20
2
2l l
r1
r2
)
)
S2
yP y1 y2 A cost j
干涉相长
j
( j 20
j10
)
2 l
( r2
r1
)
( 2k
1 )
k 0,1,2,3,...
A Amin | A1 A2 |
I Imin I1 I2 2 I1I2
干涉相消
讨论
A2 A12 A22 2A1A2 cos j 1、若 j20 j10 ,并令波程差∆r=r2-r1则有(特例): (1)当∆r=r2-r1=±kλ,k=0,1,2,···时 A=A1+A2 加强 (2)当∆r=r2-r1=±(2k+1)λ/2 ,k=0,1,2,· ··时 A=|A1-A2 | 减弱
u
u
平均能流：在一个周期内能流的平均值。
p w uS 1 A2 2uS
2
能流密度（波的强度）：
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。
I p wu S
I
1
A2 2u
A2 {
2
2
单位：w • m2
§7-4 惠更斯原理和波的衍涉
一、惠更斯原理： 介质中波阵面（波前）上的各点，都可以 看作为发射子波的波源，其后一时刻这些 子波的包迹便是新的波阵面。
初位相为
tan j
A1
sin(j10
2r1 l
)
A2
sin(j20
2r2 l
)
A1
cos(j10
2r1 l
)
A2
sin(j20
2r2 l
)
合振幅
A A12 A22 2A1A2 cosj
初相位引起
其中
j
j20
j10
2
r2 r1
l
波程差引起
j 为S1和S2在P点振动的位相差 ：
合振幅
A A12 A22 2A1A2 cosj
w dE A2 2 sin 2 t x
dV
u
平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值
w 1
T
wdt
1
T A2 2 sin2 (t x )dt
T0
T0
u
T 2
T sin2 d T 2 0
w 1 A2 2
2
二、能流密度
能流:单位时间内通过介质中某一
截面2 sin 2 t x
2
x
u
体积元内介质质点的弹性势能推导:(以纵波为例 ) (了解 )
dEP
1 k (dy)2 2
O
x
x
dx dy
E
F S
dy dx
F SE dy dx
K SE dx
dEP
1 k (dy)2 2
1 ( SE )(dy)2 2 dx
u
E
E u 2
dEP
1 u 2 Sdx( dy )2
2
dx
1 u 2dV ( dy )2
子波波面的包迹（公切面）为新波前。
S1 S2
平面波
R1 ut
S2 S1 O
球面波 ut
x ut
R2 ut ut u(t t)
几点说明：
1.解决波的传播问题
2.适用任何媒质、任何波动（包括电磁波）
3.应用：解释
衍射(定性)
波的衍射:又叫波的绕射,波在传播过程中
遇到障碍物时,波偏离直线传播方向而绕过障
形变最大、振速最大（势能最大、动能最大
y
a
O
x
b
形变最小、振速为零（势能为零、动能为零
2、总能量E 在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。是t
的周期函数(周期为T/2),表示沿前进的方向有能量传播
dE A2 2 sin 2 (t x )dV
u
(与谐振动区别:能量守恒)
能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。
结论:干涉引起波场中能量的从新分布
A2 A12 A22 2A1A2 cos j 干涉相长的条件：
I I1 I2 2 I1I2 cos j
j
（j 20
j10） 2
r2 r1
l
2k
k 0,1,2,3,...
A Amax A1 A2
I Imax I1 I2 2 I1I2
干涉相消的条件：
2
dx
dy A sin (t x )
dx
u
u
dEP
1 dV A2 2 sin 2 t x
2
u
体积元内介质质 点的总能量为：
dEK
dEP
1 dV A2 2 sin 2 t x
2
u
dE
说明:
dEk
dEP
dV
A2 2
sin 2
t
x u
大
小
1、动势能等值、同相(区别谐振动:动能小 时势能 大 )
（2）振动方向相同 （3）相位相同或相位差恒定
S1
r2
满足相干条件的波源称为相干波源。S 2
波的干涉
定量分析
设有两个相干波源S1和S2 发出的简谐波在空间p点相遇。
两相干波源
S1 : y1 A10 cost j10 S1
S2 : y2 A20 cost j20 S 2
传播到p点引起的振动分别为：
A2 A12 A22 2 A1 A2 cos j
由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：
I 1 u 2 A2
I I1 I2 2 I1I2 cos j
2
相干波：恒定不变
其中位相差：
j
(j20
j10 )
2 l
(r2
r1 )
对空间不同的位置，(两相干波)都有恒定的j，
因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。
设平面简谐波
y A cos t x
u
在x处取一体积元 质量为 dm dV
dV 质元的振动速度
v y A sin (t x)
t
u
体积元内介质质点动能为
dEk
1 dmv2
2
1 dV A2 2 sin 2 t x
2
u
体积元内介质质点的弹性势能为
dEP
1 dV A2 2 sin 2 t
说明: 振动的叠加仅发生在单一质点上 波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上
二、波的干涉
两列波若频率相同、振动方向相同、位相相同或位
相差恒定，则在相遇区域的合成波场中会出现某些点
的振动始终加强，另一些点的振动始终减弱（或完全
抵消），这种现象称为波的干涉。
相干条件 （两同一定）
（1）频率相同
r1
P
a
碍物边缘继续前进的现象
波的衍射条件:障碍物的大小与波长同数
量级或小于波长
§7-5 波的叠加原理 和波的干涉
一、 波的叠加原理
波传播的独立性原理 或波的叠加原理：
各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性 （频率、波长、振动方向、传播方向等）不变， 与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振 动则是各列波在该处引起的振动的合成。