数理逻辑归结法原理

▪ 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pqws，q和q 是相反文字，子句prws是Q1和Q2的归结子句。
▪ 例如，Q1是子句q，Q2是子句q，q和q是相反文字， 子句□是Q1和Q2的归结子句。
▪ 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pws，在子句Q1 和Q2中没有相反文字出现，子句Q1Q2，即 pqrws不是Q1和Q2的归结子句。
▪ 有σ(q1…qn r1…rm)=1，即σ(Q)=1。 ▪ 证毕
反驳
▪ 定义：设Ω是子句集合，如果子句序列 Q1,…,Qn满足如下条件，则称子句序列 Q1,…,Qn为子句集合Ω的一个反驳。
▪ (1).对于每个1≤k<n，QkΩ
• Qk是Qi和Qj的归结子句，i<k，j<k。
▪ (2). Qn是□。
▪ Q1=q
Q1Ω
▪ Q2=q
Q2Ω
▪ Q3=□
▪ 因此，Q1, Q2,Q3是反驳.
▪ (3).根据命题逻辑紧致性定理，若子句集合Ω 不可满足，则有有穷子句集合Ω0，Ω0Ω，使 得Ω0是不可满足的。
▪ 若有穷子句集合Ω0是不可满足的，则Ω0中的子句必 出现相反文字。
▪ 假设有穷子句集合Ω0是不可满足的，且Ω0中的子句 不出现相反文字，那么，对于Ω0中子句的每个文字 qk，有赋值函数σ使得σ(qk)=1，因此，σ(Ω0)=1，Ω0是 可满足的，这样与Ω0是不可满足的相矛盾。
机械式方法
▪ 若证明Q1,…,Qn|=R，只要证明Q1…QnR 不可满足。
▪ 机械式证明：
• 公式Q1…QnR的合取范式； • 合取范式的所有简单析取范式，即Ω； • 证明Ω不可满足
▪ 则有Q1,…,Qn|=R。 ▪ 机械式地证明Ω不可满足是关键问题
子句与空子句
▪ 定义：原子公式及其否定称为文字(literals)； 文字的简单析取范式称为子句，不包含文字 的子句称为空子句，记为□。
▪ 开创性的工作是赫伯特·西蒙（H. A. Simon）和艾伦· 纽威尔（A. Newel）的 Logic Theorist。
▪ 机械定理证明的主要突破是1965年由鲁宾逊（ J.A.Robinson）做出的，他建立了所谓归结原理，使机械 定理证明达到了应用阶段。
▪ 归结法推理规则简单, 而且在逻辑上是完备的, 因而成为 逻辑式程序设计语言Prolog的计算模型。
▪ 对一阶逻辑公式，其解释的个数通常是任意多个，丘奇 （A.Church）和图灵（A.M.Turing）在1936年证明了不存 在判定公式是否有效的通用程序。
• 如果一阶逻辑公式是有效的，则存在通用程序可以验证它 是有效的
• 对于无效的公式这种通用程序一般不能终止。
▪ 1930年希尔伯特（Herbrand）为定理证明建立了一种重 要方法，他的方法奠定了机械定理证明的基础。
主要内容
▪ 机械证明简介 ▪ 命题逻辑归结法 ▪ 谓词逻辑归结法
基本原理
▪ Q1,…,Qn|=R，当且仅当Q1…QnR不可满足 ▪ 证明Q1,…,Qn|=R
• (1). Q1…QnR化为合取范式； • (2). 构建Ω子句集合，Ω为Q1…QnR合取范式
的所有简单析取范式组成集合； • (3).若Ω不可满足，则Q1,…,Qn|=R。
Qi, Qj|=Qk。因此，Ω|=Qk。 ▪ (3).因为Qn=□，所以有Qn-1和Qk是相反文字，不妨设
是q和q。
▪ 因此，Ω|=q，Ω|=q。Ω|=qq，Ω不可满足。
▪ 又证：设子句集合Ω是不可满足的。
▪ (1).不妨设子句集合Ω不含永真式。因为从Ω中去掉永真 式不改变Ω的不可满足性。
▪ (2).若Ω含有相反文字，不妨设是q，则
▪ 例如
• p、q、r和s都是文字 • 简单析取式pqrs是子句
–字p、q、r和s
• 因为pqrs不是简单析取范式，所以 pqrs不是子句。
▪ 定义：设Q是简单析取范式，q是Q的文字，在Q中 去掉文字q，记为Q-q。
▪ 例如，Q是子句pqrs，Q - q是简单析取范式 p rs。
归结子句
▪ 定义：设Q1,Q2是子句，q1和q2是相反文字，并且在子句 Q1和Q2中出现，称子句(Q1-q1)(Q2-q2)为Q1和Q2的归结 子句。
▪ 例题：(QR)Q├Q
皮尔斯律
▪ 证明：
▪ 因为((QR)Q)Q的合取范式Q(RQ)Q，所以 子句集合Ω={Q, RQ, Q}
▪ Q1= Q ▪ Q2= Q ▪ Q3=□
Q1Ω Q2Ω Q3= (Q1-Q) (Q2-Q)
▪ 定理：子句集合Ω是不可满足的当且仅当存在Ω的反 驳。
▪ 证明：设为Q1,…,Qn是反驳。 ▪ (1).若QkΩ，Ω|=Qk. ▪ (2).若Ω|=Qi，Ω|=Qj并且Qk是Qi, Qj的归结子句，则
▪ 定理：如果子句Q是Q1, Q2的归结子句，则Q1, Q2|=Q ▪ 证明： ▪ 设Q1=pq1…qn，Q2=pr1…rm。 ▪
▪ 赋值函数σ(Q1)=1，即σ(pq1…qn)=1， σ(p) σ(q1…qn)=1.
▪ 赋值函数σ(Q2)=1，即σ(pr1…rm)=1， σ(p) σ(r1…rm)=1.
数理逻辑归结法原理
Hale Waihona Puke 主要内容▪ 机械证明简介 ▪ 命题逻辑归结法 ▪ 谓词逻辑归结法
▪ 自动推理早期的工作主要集中在机器定理证明。
▪ 机械定理证明的中心问题是寻找判定公式是否是有效的 通用程序。
▪ 对命题逻辑公式，由于解释的个数是有限的，总可以建 立一个通用判定程序，使得在有限时间内判定出一个公 式是有效的或是无效的。
▪ 设Ω0有n种相反文字，有相反文字q和q ，Ω0中的子句分为三类， • 一类是有文字q的子句， • 另一类是有文字q的子句， • 再一类是没有文字q和q的子句
▪ Ωq ={ qPk| qPkΩ}，Ωq ={qQk| qQkΩ}， ΩC=Ω-Ωq-Ωq
▪ |Ωq |=m1，|Ωq |=m2，|ΩC|=m3。 ▪ ΩR={ Pi Qj| qPiΩq, qQjΩq} ▪ Ω1 =ΩCΩR ▪ Ω1有n-1个命题变元。 ▪ 若有rΩ1并且rΩ1，则存在反驳。
▪ 若Ωq Ωq ΩC 不可满足，则Ω1 =ΩCΩR不可满足。
▪ 若Ω1是可满足的，则有赋值函数σ，使得σ(Ω1)=1。 ▪ 如果σ(Pi)=1，i=1,...,m1，那么有σ'(q)=0，而其他命题变元