初中数学：圆心角定理的推论练习(含答案)

初中数学：圆心角定理的推论练习（含答案）
知识点 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1．如图3－4－14,AB ,CD 是⊙O 的两条弦,OM ⊥AB ,ON ⊥CD ,则： (1)如果AB ＝CD ,那么________,________,________； (2)如果AB ︵＝CD ︵
,那么________,________,________； (3)如果∠AOB ＝∠COD ,那么________,________,________； (4)如果OM ＝ON ,那么________,________,________.
3－4－14
3－4－15
2．如图3－4－15所示,在⊙O 中,AB ︵＝AC ︵
,∠A ＝30°,则∠B 的度数是( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15°
3．如图3－4－16,已知点A ,B ,C 均在⊙O 上,并且四边形OABC 是菱形,那么∠AOC 与2∠AOB 之间的大小关系是( )
A ．∠AOC ＞2∠AO
B B ．∠AO
C ＝2∠AOB C ．∠AOC ＜2∠AOB
D ．不能确定
3－4－16
3－4－17
4．如图3－4－17,已知AB 是⊙O 的直径,C ,D 是BE ︵
上的三等分点,∠AOE ＝60°,则∠COE 的度数为( )
A ．40°
B ．60°
C ．80°
D ．120°
5．如图3－4－18,圆心角∠AOB ＝20°,将AB ︵旋转n °得到CD ︵,则CD ︵
的度数是________．
3－4－18
3－4－19
6．如图3－4－19,在⊙O 中,C 是弧AB 的中点,∠A ＝50°,则∠BOC ＝________°.
图3－4－20
7．如图3－4－20, O 是圆心,且PO 平分∠BPD ,OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,则下列结论：①AB ＝CD ；②AB ︵
＝CD ︵；③PO ＝PE ；④BG ︵＝DG ︵
；⑤PB ＝PD ,其中正确的是________(填写序号)．
8．课本课内练习第2题变式如图3－4－21所示,在⊙O 中,弦AB 与弦CD 相等．求证：AD ︵
＝BC ︵.
图3－4－21
9．2017·牡丹江如图3－4－22,在⊙O 中,AC ︵＝CB ︵
,CD ⊥OA 于点D ,CE ⊥OB 于点E .求证：AD ＝BE .
图3－4－22
10．如图3－4－23所示,AB 是⊙O 的直径,BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
,∠COD ＝34°,则∠AEO 的度数是( )
A ．51°
B ．56°
C ．68°
D ．78°
3－4－23
3－4－24
11．如图3－4－24所示,在⊙O 中,AB ︵＝2CD ︵
,那么( ) A ．AB >2CD B ．AB <2CD C ．AB ＝2CD
D ．无法比较AB 与2CD 的大小
12．如图3－4－25所示,AB 为⊙O 的一固定直径,它把⊙O 分成上、下两个半圆,自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ,∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ,当点C 在上半圆(不包括A ,B 两点)上移动时,点P ( )
A ．到CD 的距离保持不变
B ．位置不变
C ．等分DB ︵
D ．随点C 的移动而移动
3－4－25
3－4－26
13．如图3－4－26,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,∠AOC ＝40°,D 是弧BC 的中点,则∠ACD ＝________°.
14．如图3－4－27,在⊙O 中,AB ︵＝BC ︵＝CD ︵
,OB ,OC 分别交AC ,DB 于点M ,N . 求证：∠OMN ＝∠ONM .
图3－4－27
15．如图3－4－28所示,在⊙O 中,半径OA ⊥OB ,C ,D 是AB ︵
的三等分点,AB 分别交OC ,OD 于点E ,F .
求证：AE ＝BF ＝CD .
图3－4－28
16．如图3－4－29所示,A 是半圆上的一个三等分点,B 是AN ︵
的中点,P 是直径MN 上一动点,⊙O 的半径为1,则PA ＋PB 的最小值是多少？
图3－4－29
详解详析
1．(1)∠AOB ＝∠COD AB ︵＝CD ︵
OM ＝ON (2)AB ＝CD ∠AOB ＝∠COD OM ＝ON (3)OM ＝ON AB ＝CD AB ︵＝CD ︵
(4)∠AOB ＝∠COD AB ＝CD AB ︵＝CD ︵
2．B
3．B [解析] ∵四边形OABC 是菱形, ∴AB ＝BC , ∴∠AOB ＝∠BOC , ∴∠AOC ＝2∠AOB . 故选B.
4．C [解析] ∵∠AOE ＝60°, ∴∠BOE ＝180°－∠AOE ＝120°, ∴BE ︵
的度数是120°. ∵C ,D 是BE ︵
上的三等分点, ∴CD ︵与ED ︵
的度数都是40°, ∴∠COE ＝80°.
5．20° 6.40 7.①②④⑤
8．证明：∵AB ＝CD ,∴AB ︵＝CD ︵
, ∴AB ︵－BD ︵＝CD ︵－BD ︵,∴AD ︵＝BC ︵.
9．证明：如图,连结OC , ∵AC ︵＝CB ︵, ∴∠AOC ＝∠BOC . ∵CD ⊥OA ,CE ⊥OB , ∴∠CDO ＝∠CEO ＝90°. 在△COD 与△COE 中,
⎩⎨⎧∠DOC ＝∠EOC ，∠CDO ＝∠CEO ，CO ＝CO ，
∴△COD ≌△COE , ∴OD ＝OE . 又∵AO ＝BO , ∴AO －OD ＝BO －OE , 即AD ＝BE .
10．A [解析] ∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
,∠COD ＝34°, ∴∠BOC ＝∠EOD ＝∠COD ＝34°,
∴∠AOE ＝180°－∠EOD －∠COD －∠BOC ＝78°. 又∵OA ＝OE ,
∴∠AEO ＝∠EAO ＝1
2
×(180°－78°)＝51°.
11．B
[解析] 如图,在⊙O 上截取DE ︵＝CD ︵,连结CE ,DE ,则AB ︵＝CE ︵
,AB ＝CE ,CD ＝DE ,根据三角形的三边关系知CD ＋DE ＝2CD >CE ,则AB <2CD ,故选B.
12．B [解析] 连结OP ,如图所示．
∵OC ＝OP ,∴∠2＝∠3. 又∵∠1＝∠2, ∴∠1＝∠3,∴CD ∥OP . ∵CD ⊥AB , ∴OP ⊥AB .
而OP 是⊙O 的半径,故点P 的位置不变． 故选B. 13．125
[解析] 连结OD ,
∵AB 是⊙O 的直径,∠AOC ＝40°, ∴∠BOC ＝140°,∠ACO ＝70°. ∵D 是弧BC 的中点, ∴∠COD ＝70°, ∴∠OCD ＝55°,
∴∠ACD ＝∠ACO ＋∠OCD ＝70°＋55°＝125°. 14．证明：∵AB ︵＝BC ︵＝CD ︵
, ∴OM ⊥AC ,ON ⊥BD .
∵AB ︵＋BC ︵＝BC ︵＋CD ︵,∴AC ︵＝BD ︵, ∴OM ＝ON ,∴∠OMN ＝∠ONM . 15．证明：连结AC ,BD . ∵C ,D 是AB ︵
的三等分点,
∴AC ︵＝CD ︵＝DB ︵
,∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB , ∴AC ＝CD ＝BD .
∵∠AOB ＝90°,∴∠AOC ＝30°. ∵OA ＝OC ,∴∠OAC ＝∠ACE ＝75°. 又∵OA ＝OB ,∴∠OAB ＝45°,
∴∠AEC ＝∠EAO ＋∠AOC ＝45°＋30°＝75°, ∴∠AEC ＝∠ACE ＝75°,∴AE ＝AC .
3 同理可证BF ＝BD ,∴AE ＝BF ＝CD .
16解：如图,作点B 关于MN 的对称点B ′,连结AB ′交MN 于点P ,连结OB ′,OB ,PB
,
则此时PA ＋PB 取得最小值,PA ＋PB ＝PA ＋PB ′＝AB ′.
∵A 是半圆上的一个三等分点,AB ︵＝BN ︵,
∴∠AON ＝60°, ∠BON ＝∠B ′ON ＝30°,
∴∠AOB ′＝90°.
又∵OA＝OB′＝1,∴AB ′＝2,
∴PA ＋PB 的最小值是 2.。