函数的最大小值与导数的教学设计与反思
高中选修2《函数的最大小值与导数》教案设计
课题：函数的最大（小）值与导数---导数在研究函数中的应用教材：普通高中课程标准实验教科书人教版A版选修2-2 一．【教学目标】1．知识目标（1）理解函数的最值与极值的区别和联系。
（2）掌握用导数法求函数的最大值与最小值的方法和步骤。
2．能力目标（1）通过在教师引导下学生自主探索新知的过程，培养学生观察、分析、归纳的自学能力，为学生学习的可持续发展打下基础。
（2）培养学生的数学语言表达和数学符号表示能力。
3．情感和价值目标（1）让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣和信心。
（2）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神。
二．【教学重点、难点】1.教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值。
2.教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别和联系。
三．【教学方法与手段】1. 教学方法：启发探究式教学法2. 教学手段：多媒体、实物投影 四．【教学过程】 【复习引入】复习：函数极大值、极小值是怎样定义的？函数最大值、最小值又是怎样定义的？【设计意图】通过复习前面所学的极值的概念，也通过展现学生作业中出现的书写形式：把极大值)(x f 写成max )(x f ，从而回顾函数最值的概念。
为后面探索最值与极值的关系作了铺垫。
【探究新知】观察图中定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象。
图中哪些是极大值，哪些是极小值 你能找出所给函数的最大值和最小值吗？ 答：2()f x 是极大值，)(1x f 与3()f x 是极小值。
)(b f 是最大值，3()f x 是最小值观察所给的4个图像，探究：函数的最值与极值有什么关系？【设计意图】让学生观察所给出的函数图像，讨论函数最值与极值的联系与区别，同时让学生发表各自的见解。
在学生讨论的过程中可以作适当的提示。
比如：1）闭区间[]b a,上的函数)(xf的最值一定存在吗？个数是多少？那极值？2）函数最值可以在哪里取得？函数极值可以在哪里取得？3）函数的极值与最值之间有没有必然的联系？小结1：函数的最值与极值之间的联系与区别：（1）整体与局部的关系函数的最值是一个整体性概念，是比较整个定义域内的所有函数值得出，具有绝对性；函数的极值是一个局部性概念，是比较极值点左右的函数值得出的，具有相对性。
《函数的最大(小)值与导数》教案完美版
《函数的最大（小）值与导数》教案§1.3.3 函数的最大(小)值与导数（1）【教学目标】1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．【教学过程】一、复习引入：1．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值 注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．5． 求可导函数f (x )的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )；（2）求方程f ′(x )=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值．二、讲解新课：1．函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4．例2 已知23()log x ax b f x x++=,x ∈(0,+∞)．是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．解：设g (x )=xb ax x ++2 ∵f (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数∴g (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数．∴⎩⎨⎧==3)1(0)1('g g ∴⎩⎨⎧=++=-3101b a b 解得⎩⎨⎧==11b a 经检验，a =1,b =1时，f (x )满足题设的两个条件．四、课堂练习：1．下列说法正确的是( )A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值2．函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能3．函数y =234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－1 D ．1213 4．函数y =122+-x x x 的最大值为( ) A ．33 B ．1 C ．21 D ．23 5．设y =|x |3,那么y 在区间［－3，－1］上的最小值是( )A ．27B ．－3C ．－1D ．16．设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b ,则( )A ．a =2,b =29B ．a =2,b =3C ．a =3,b =2D ．a =－2,b =－3答案：1．D 2．A 3．A 4．A 5．D 6．B五、小结 ：⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．六、课后作业：§1.3.3 函数的最大(小)值与导数（2）【教学目标】1．进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；2．初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学重点】解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学难点】解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学过程】一、复习引入：1．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值．4．判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．5． 求可导函数f (x )的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ；（2）求方程f ′(x )=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值．6．函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．7．利用导数求函数的最值步骤：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．二、讲解范例：例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为xcm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -== )600(<<x ． 令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x =0（舍去），x =40， 并求得 V(40)=16000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．答：当x =40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16000cm 3解法二：设箱高为xcm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πR h +2πR 2由V=πR 2h ，得2V h Rπ=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2 令 22()V s R R '=-+4πR=0 解得，R=32V π，从而h =2V R π=23()2V ππ=34V π=23V π即h =2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所x x xx6060x 60-2x 60-2x 60-2x x60-2x 6060用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =R R S ππ222- ⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭， 利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭(0100)q << 1214L q '=-+，令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =． 答：产量为84时，利润L 最大．三、课堂练习：1．函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________．2．函数f (x )=sin 2x －x 在［－2π,2π］上的最大值为_____；最小值为_______． 3．将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___．4．使内接椭圆2222by a x +=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____． 5．在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大． 答案：1． －15 2．2π －2π 3．2a 2a 4．2a 2b 5．23R 四、小结 ：（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单．五、课后作业：1．有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？ 解：（1）正方形边长为x ,则V =（8－2x )·(5－2x )x =2(2x 3－13x 2+20x )(0<x <25) V ′=4(3x 2－13x +10)(0<x <25),V ′=0得x =1 根据实际情况，小盒容积最大是存在的，∴当x =1时，容积V 取最大值为18． 2．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b ． 解：由梯形面积公式，得S =21 (AD +BC )h ,其中AD =2DE +BC ，DE =33h ,BC =b ，∴AD =332h +b , ∴S =h b h h b h )33()2332(21+=+ ① ∵CD =h h 3230cos =︒,AB =CD ．∴l =h 32×2+b ②由①得b =33-h S h ,代入②,∴l =hS h h h S h +=-+333334 l ′=23h S -=0,∴h =43S , 当h <43S 时，l ′<0,h >43S 时，l ′>0． ∴h =43S 时，l 取最小值，此时b =S 3324． 六、板书设计（略）七、教学后记：b。
人教A版选修2《函数的最大值与导数》教案及教学反思
人教A版选修2《函数的最大值与导数》教案及教学反思本文将结合人教A版选修2《函数的最大值与导数》的教学要求和内容，提供一份教案及教学反思，以供初中数学教师借鉴。
一、教学目标1.了解函数的导数概念，掌握求导数的方法；2.理解函数取得最大值的概念，掌握求解函数最大值的方法；3.能够根据实际问题建立函数模型，通过求导数求解问题；4.提高学生对函数概念的理解和应用能力。
二、教学内容本节课的教学内容分为两部分：函数的导数和函数的最大值。
1. 函数的导数1.导数的概念：通过极限的概念，引入导数的概念。
导数是函数在某一点处的变化率。
2.导数的求法：利用导数的定义及基本导数公式，掌握函数求导的方法。
3.导数的应用：通过例子，让学生了解导数在函数图像上的几何意义和在实际问题中的应用。
2. 函数的最大值1.最大值的概念：引入函数最大值的概念，通过例子让学生了解最大值的概念。
2.求解最大值的方法：介绍求解函数最大值的方法，包括边界法、导数法等。
3.最大值在实际问题中的应用：让学生通过例子了解最大值在实际问题中的应用。
三、教学过程1. 函数的导数（1）授课环节1.利用幻灯片，介绍导数的概念和求导数的方法。
2.通过例子，让学生了解导数在函数图像上的几何意义和在实际问题中的应用。
（2）练习环节1.让学生根据函数图像，求解函数在某一点处的导数。
2.给学生练习题，让他们自己计算函数在多个点处的导数。
2. 函数的最大值（1）授课环节1.利用幻灯片，介绍最大值的概念和求解最大值的方法。
2.通过例子，让学生了解最大值在实际问题中的应用。
（2）练习环节1.让学生根据函数图像，确定函数在哪些点处取得最大值。
2.给学生练习题，让他们自己寻找函数的最大值。
3. 课堂小结回顾本节课的教学内容，重点强调函数导数和最大值的概念，以及它们在实际问题中的应用。
四、教学反思1.教学内容紧凑，学生有时无法听出教师的解释。
因此，在解释过程中，需要注意语速和语调的抑扬顿挫，使学生更好地理解。
《函数的最大(小)值与导数》参考教案
《函数的最大(小)值与导数》参考教案一、教学目标1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念，并掌握求解函数最大值和最小值的方法。
2. 让学生掌握导数的定义和性质，并能运用导数求解函数的极值。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的最大值和最小值的概念。
2. 求解函数最大值和最小值的方法。
3. 导数的定义和性质。
4. 运用导数求解函数的极值。
5. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的最大值和最小值的求解方法，导数的定义和性质，运用导数求解函数的极值。
2. 教学难点：导数的运算规则，运用导数求解复杂函数的最大值和最小值。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的教学方法。
2. 使用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3. 引导学生通过合作、探究、实践等方式，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引入函数的最大值和最小值的概念。
2. 讲解：讲解求解函数最大值和最小值的方法，并举例演示。
3. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
4. 讲解：讲解导数的定义和性质，并举例演示。
5. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
6. 讲解：讲解如何运用导数求解函数的极值，并举例演示。
7. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
8. 讨论：分组讨论实际问题，运用所学知识解决问题。
9. 总结：对本节课的内容进行总结，回答学生提出的问题。
10. 作业：布置作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习题：评估学生在练习题中的表现，检验学生对知识的掌握程度。
3. 实际问题解决：评估学生在讨论实际问题时的表现，检验学生运用知识解决问题的能力。
4. 作业：评估学生的作业完成情况，检验学生对知识的掌握程度。
七、教学资源1. 教材：《数学分析》2. 多媒体课件3. 练习题4. 实际问题案例八、教学进度安排1. 第一课时：介绍函数的最大值和最小值的概念，讲解求解方法。
《函数的最大值和最小值与导数》教学设计
《函数的最大值和最小值与导数》教学设计教学设计：函数的最大值和最小值与导数一、教学目标：1.知识与技能目标：了解函数的最大值和最小值的概念，掌握求解函数最大值和最小值的方法，理解导数与函数最大值和最小值的关系。
2.过程与方法目标：培养学生观察、分析和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和创新思维能力。
3.情感态度价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生的数学自信心，培养学生的合作与交流能力。
二、教学重难点：1.教学重点：函数的最大值和最小值的概念、求解函数最大值和最小值的方法、导数与函数最大值和最小值的关系。
2.教学难点：导数与函数最大值和最小值的关系的理解与运用。
三、教学过程：1.导入新概念（15分钟）2.探索函数的最大值和最小值（20分钟）教师出示一个简单的函数图像，并引导学生观察图像中的极值点。
学生可以自由讨论，提出他们观察到的现象和规律。
3.寻找函数的最大值和最小值的方法（20分钟）教师向学生介绍函数的最值存在定理，并讲解寻找函数最大值和最小值的方法：通过函数图像、函数的性质、函数的导数等途径。
然后，教师通过例题的形式，具体讲解每种方法的步骤和注意事项。
4.导数与函数最大值和最小值的关系（25分钟）教师向学生介绍导数的概念，并讲解导数与函数最大值和最小值的关系。
通过导数的定义和极值的判定条件，教师引导学生理解导数与函数最值的关系，并通过例题进行实际应用。
5.综合运用（15分钟）教师出示一些综合运用的问题，要求学生通过函数的最值和导数的知识进行求解。
学生可以自由讨论，提出解决问题的思路，并互相交流讨论。
6.总结与拓展（15分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并引导学生对本节课所学内容进行思考和拓展。
教师可以提出一些拓展问题，要求学生进行独立思考和解决。
四、教学手段：1.多媒体投影仪、计算器等教学工具。
2.学生课前预习和课堂讨论，学生自主学习与合作学习相结合。
3.教师示范讲解、学生自主探究、小组讨论、问题解决等多种教学方法相结合。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 理解函数最大值和最小值的概念。
2. 学会使用导数和图像来求解函数的最大值和最小值。
3. 能够应用函数最大值和最小值解决实际问题。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的定义。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 利用图像求函数最大值和最小值的方法。
4. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：利用导数和图像求解函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 使用案例分析法分析实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法讲解利用图像求解函数最大值和最小值的方法。
五、教学准备1. 教学课件：包含函数最大值和最小值的概念、求解方法及实际应用。
2. 案例分析：选取几个实际问题进行分析。
3. 数形结合：准备函数图像，用于讲解求解方法。
六、教学过程1. 引入新课：通过复习导数的概念和性质，引导学生思考如何利用导数求解函数的最值。
2. 讲解函数最大值和最小值的定义，解释其在数学和实际应用中的重要性。
3. 分步讲解利用导数求解函数最值的方法，包括：a. 确定函数的单调区间b. 找到导数为零的点c. 判断极值点是最大值还是最小值4. 通过案例分析，让学生练习利用导数求解函数最值，并讨论解题过程中的关键步骤。
七、案例分析1. 分析案例一：给定函数f(x) = x^2 4x + 5，引导学生利用导数求解最值。
2. 分析案例二：给定函数g(x) = (x 1)^2 + 3，引导学生利用导数求解最值。
3. 学生分组讨论，分享解题过程和结果，教师点评并总结。
八、图像分析1. 利用计算机软件或板书，绘制函数f(x) = x^2 4x + 5和g(x) = (x 1)^2 + 3的图像。
2. 引导学生观察图像，找出函数的局部最大值和最小值。
3. 解释图像分析与导数求解之间的关系，强调数形结合的重要性。
函数最大(小)值与导数教案
函数最大(小)值与导数教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念，知道它们在数学分析中的重要性。
2. 引导学生掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 实际例子中的应用。
三、教学方法采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法，让学生在理解函数最大值和最小值的概念的基础上，学会利用导数求解实际问题。
四、教学步骤1. 引入函数最大值和最小值的概念，通过图形和实际例子让学生直观地理解。
2. 讲解利用导数求函数最大值和最小值的方法，引导学生掌握判断极值点和确定最大值、最小值的方法。
3. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
4. 通过讨论，让学生理解在实际问题中如何运用函数最大值和最小值。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。
2. 完成课后练习题，加深对函数最大值和最小值以及导数的应用的理解。
3. 选择一个实际问题，尝试运用函数最大值和最小值的知识进行解决。
六、教学评价通过课堂表现、课后作业和练习题的成绩，评价学生对函数最大值和最小值以及导数求解方法的掌握程度。
七、教学资源1. 教学PPT。
2. 课后练习题及答案。
3. 实际问题案例。
八、教学时长1课时（40分钟）九、教学难点1. 函数最大值和最小值的概念。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
十、教学准备1. 提前准备教学PPT。
2. 准备课后练习题及答案。
3. 收集实际问题案例。
六、教学拓展1. 引导学生思考：在求函数最大值和最小值时，还有哪些方法可以运用？2. 讲解其他求解函数最大值和最小值的方法，如构造法、函数图像分析法等。
3. 对比各种方法的应用范围和优缺点，让学生学会选择合适的方法解决问题。
七、教学实践1. 安排一次课堂实践，让学生分组讨论并解决一个实际问题。
2. 各组汇报讨论成果，教师进行点评和指导。
《函数的最大(小)值与导数》教案
《函数的最大(小)值与导数》教案【教学目标】1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 【教学过程】 一、复习回顾： 1．极值的概念：极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．2． 判断函数)(x f y =的极值的方法： 解方程0)(='x f .当0)(0='x f 时：（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，那么)(0x f 是极小值. 3． 求可导函数f (x )的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； （2）求方程f ′(x )=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值． 二、新知探究：1．函数的最大值和最小值 观察右图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出它的极大值点，极小值点吗？图中极大值点是：g e c 、、， 极小值点是：f d b 、、．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(a f ，最小值是)(d f ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．三、讲解范例：例1、求函数1212)(3+-=x x x f 在[0, 3]上的最大值，最小值.变式练习：求函数263)(23-+-=x x x x f 在区间[-1,1]上的最值. （最大值:2，最小值:-12）例2、已知函数a x x x x f +++-=93)(23;(1)求f(x)的单调递减区间；（答案：),3(),1,(+∞--∞）(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.（答案：-7）四、课堂小结 ：⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．的变化情况如下：、上变化时，在当舍或得由解：)()(]3,0[)(220)()2)(2(3123)(''2'x f x f x x x x f x x x x f -===+-=-=12)(04-)(2有最大值时，当，有最小值时，所以，当x f x x f x ==五、当堂检测：1．下列说法正确的是( )A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( ) A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能3．函数y =234213141x x x ++，在［-1,1］上的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－1D ．12134．设y =|x |3,那么y 在区间［-3,-1］上的最小值是( ) A ．27B ．－3C ．－1D ．15．设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［-1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >0,则( ) A ．a =2,b =29B ．a =2,b =3C ．a =3,b =2D ．a =－2,b =－3答案：1．D 2．A 3．A 4．D 5．B 六、课后作业：习题1.3A 组第6题。
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函数的最大（小）值与导数的教学设计与反思
何雒娃一、教材分析：
函数的最大（小）值与导数是《高中数学》选修2-2的内容，本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义．函数的最值问题与导数，不等式、方程、参数范围的探求及解析几何等知识综合在一起往往能编拟综合性较强的新型题目，可以综合考查学生应用函数知识分析解决问题的能力，从而成为高考的高档解答题，是近年来高考的热点之一.
二、学情分析：
导数是一个全新的概念，在学习本节课之前，学生已经基本掌握了导数的定义与求导法则，能够运用求导法则求基本初等函数的导数，会求导数的极值点与极值。
本节课是在导数计算的基础上，对导数进行深层次的理解，主要是导数的应用。
三、教学目标：
知识与能力目标：了解函数在某点取得极值,会利用导数求函数的极大值和极小值.以及闭区间上函数的最大(小)值.，培养学生数形结合、化归的数学思想和运用基础理论研究解决具体问题的能力。
情感态度与价值观目标：经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作用，激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心。
过程与方法目标：通过课堂学习活动培养学生相互间的合作交流，且在相互交流的过程中养成学生表述、抽象、总结的思维习惯，进而获得成功的体验。
教学重点：会求闭区间上连续函数可导的函数的最值．
教学难点：理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．
四、教法学法：
教法：教师通过设计导学案，由导学案引导学生探究、交流、发现新知识，再现知识的生成过程，教师将成为课堂自主学习模式的创设者，师生对话的聆听者，学生探究发现的引导者.
学法：学生将采用独立探究与合作交流相结合的自主学习方式，学生将成为新知识的发现者，课堂的主宰者.
五、教学过程：
1．设置情境
复习：1、极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的
函数的局部性质。
2、求极值的方法。
设计意图：现代教育学心理学认为任何新知识的学习新发现的创造都得以现有认知水平和经验为基础，因此，设计旧知识的复习是非常有必要的，它为下一步学生自主探究发现铺平了道路.
2．讲授新课
设计意图：培养学生自主发现问题提出问题的能力，并为下一步探究发现指明方向.
1．我们知道，在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值．
2．如图为连续函数f(x)的图象：
在闭区间[a ，b]上连续函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？
分别在何处取得？ y
x
O y x O y
x
O y x O b a b a b a b a .
3．以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a ，b]上最值的关键是什么？
归纳：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f (x)在(a,b)内的极值；
（2）将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
设计意图：给学生自主探究创设情景，培养学生由特殊到一般的科学思维方法.
例1 求函数y= x4－2 x2＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值．
解： y ′=4 x3－4x ，
令y ′=0，有4 x3－4x=0，解得：
x=－1,0,1
当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：
思考：求函数f (x)在[a,b]上最值过程中，判断极值往往比较麻烦，我们有没有办法简化解题步骤？
设计意图：培养学生题后反思的习惯
分析：在(a,b)内解方程f ′(x)=0 , 但不需要判断是否是极值点,更不需要判断是极大值还是极小值．
设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤可以改为：
（1）求f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；
（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
解法2：
y ′=4 x3－4x
令y ′=0，有4x3－4x=0，解得：
x=－1,0,1．
x=－1时，y=4,
x=0时，y=5,
x=1时，y=4．
又 x=－2时，y=13，
x=2时，y=13．
∴所求最大值是13，最小值是4
例 2.已知函数
32()f x x ax bx =-++在区间(2,1)-内1x =-时取极小值，23x =时取极大值。
求函数()f x 在[-2,1]上的最大值与最小值。
归纳小结：本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法，从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，转化过程中通过
列表，直观形象，最终落脚在比较极值点与端点值大小上，从而解决问题．
※变式训练
练1. 求函数3()3,[1,2]f x x x x =-∈的最值．
练2. 已知函数32()26f x x x a =-+在[2,2]-上有最小值37-.（1）求实数
a 的值；（2）求()f x 在[2,2]-上的最大值．
教学反思：
本节的设计基本都可以达到预期效果，只不过题量比较大，对学生计算要求比较高，对每道题的计算时间要严格规定，否则在规定时间内不能完成课堂教学内容。
本节课力求体现的教学特色有5个:
1.以问题为教学主线
2.概念教学按“五步导学法”设计
3.重视学生的参与
4.重视思想教育
5.使用现代教育技术
1.以问题为教学主线
问题是数学的心脏,本节课的教学始终以问题的解决为线索。
在教师的引导下,使学生的思维从问题开始到问题深化。
2. 概念教学按“五步导学法”设计
创设情境、明确目标；自主学习、个性指导；合作释疑、互助研
讨；精心点拨、启发引导；巩固训练、整理提高。
3.重视学生的参与
重视学生的自主参与能力,重视学生探究能力和创新能力的培养,激励学生积极思维,大胆思考, 动手实践。
4.重视思想教育
定积分的思想是一种重要的数学思想，它体现了量变到质变的观点，体现了数形结合等数学思想方法，展现了数学解决问题的新思维、新方法！
5.使用现代教育技术
使学生能突破认知局限，掌握知识。