Lebesgue积分思想简介.pdf
非负简单函数的Lebesgue积分
Lebesgue 积分引 言有100张各种面值的纸币,求总币值. )(x f :]100,0[,)(x f 的值有10种(略去1,2,5分)1.01=y ,2.02=y ,5.03=y ,14=y ,25=y ,56=y ,107=y ,208=y ,509=y ,10010=y . )(x f 在),1[k k -上取kn y ,100,,2,1 =k . 两种方法:(i)从左到右累加=S )]1()[(1001--∑=k k f k k ξk n k y 1001=∑=(按人民币的次序分类)(ii)按币值分类再相加对每一s ,101≤≤s ,把所有取s y 的区间相加.s s y S 101=∑={}的区间长度之和所有取值为s y ⋅如:对⎩⎨⎧=01)(x D 上无理数为上有理数为]1,0[]1,0[x x Riemann 不可积.而对Lebesgue:)(0)(1Ω⋅+⋅m Q m ,即)(Q m 个1加上)(Ωm 个0结果为0.所以0)(10=⎰dx x D .对于前述有限张人民币,取有限个值,相当于简单函数.所以介绍Lebesgue 积分,我们从最简单开始.§3.1非负简单函数的Lebesgue 积分设D 是可测集,{}k E 是有限个或可数个两两不相交的D 的可测子集,使得D E k = ,则{}k E 称为D 的一个分割.(与数学分析一样,只不过此处k E 不一定是区间,是一般集合)设f 是可测集D 上的非负简单函数.此时f 可以表示为)()(1x a x f i E i si λ=∑=其中{}s i i E ≤≤1是D 的一个分割,i a 都是非负实数, 此时f在D 上Lebesgue 积分定义为:⎰D dx x f )()(1i i s i E m a ⋅∑==并且当⎰D dx x f )(∞<时,称f 在 D 上L 可积.(此时,未必D 测度有限,因∞=)(i E m 时,可能......10012......100y s0=i a ).如:Dirichlet 函数就是一个简单函数.以下介绍L 积分的基本性质.定理 3.1.1 设f 和g 是可测集D 上的两个非负简单函数,而且)()(x g x f = a.e.D,则它们在D 上的积分相等.(如:⎩⎨⎧=01)(x D 无理数有理数x x 与0)(≡x f 就是a.e.相等)证明:设)(x f )(1x a iE i Si λ=∑= D x ∈,其中{}S i i E ≤≤1是D 的一个分割,i a 都是非负实数;)(x g )(1x b jF j Tj λ=∑= D x ∈,其中{}T j j F ≤≤1是D 的一个分割,i a 都是非负实数.此时只要j i F E 不是零测集(f 在其上为i a ,g 在其上为j b ),就有j i b a =.这样不管j i F E 是否为零测集,都有)(j i i F E m a ⋅)(j i j F E m b ⋅= 于是⎰Ddx x f )()(1i i S i E m a =∑=)]([11j i Tj i S i F E m a ==∑=)(11j i Tj i S i F E m a ==∑∑=(D F j = ,i F ,j F 两两不交))(11j i i T j Si F E m a ==∑∑=)(11j i j Tj Si F E m b ==∑∑=)(11j i Si j Tj F E m b ==∑∑= )]([11j i Si j Tj F E m b ==∑=)(1j j Tj F m b =∑=⎰=Ddx x g )(可见,L 积分与R 积分的差别是L 积分不计较零测集. 定理3.1.2 设f 和g 都是可测集D 上的非负简单函数. (i)若)()(x g x f ≤ a.e.D 则dx x g dx x f D D ⎰⎰≤)()(; (ii))()(max D m x f fdx D ⋅≤⎰,特别0)(=D m 时, 0=⎰Dfdx ;(iii)若λ和μ是两个非负实数,则⎰+Ddx g f )(μλ⎰⎰+=DDgdx fdx μλ(iv)若A 和B 是D 的两个不相交的可测子集,则⎰B A fdx ⎰⎰+=B A fdx fdx证明:(i)与定理3.1.1证明类似,只需注意当j i F E 不是零测集时j i b a ≤. (ii))(1i i S i DE m a fdx =∑=⎰{})()(max 11i Si S i E m x f ⋅∑≤≤≤={})()(max 1i Si E m x f =∑⋅={})()(max D m x f ⋅=(iii)由于{}T j S i j i F E ≤≤≤≤1,1 是D 的一个分割,并且)()(x g x f μλ+)()(11x b a jiF E j i Tj S i χμλ+∑∑===从而⎰+D dx g f )(μλ)()(11j i j i Tj S i F E m b a ⋅+∑∑===μλ)(11j i i Tj Si F E m a ⋅∑∑===λ)(11j i j Tj S i F E m b ⋅∑∑+==μ)(1i i S i E m a ⋅∑==λ)(1j j Tj F m b ⋅∑+=μ⎰⎰+=DDgdx fdx μλ(iv)⎰BA fdx ))((1B A E m a i i S i =∑=)(1A E m a i i S i =∑=)(1B E m a i i Si =∑+⎰⎰+=BAfdx fdx以上为简单函数的L 积分,若)(x f 只在D 非负可测,?=⎰D f 由前面,有非负简单函数列)()(x f x n ↑ϕ,则⎰⎰∞→=D n n D x f )(lim ϕ.有无问题?若又有)()(x f x n ↑ψ,则⎰⎰∞←=Dn n D x f )(lim ψ.二者等吗? 引理3.1.1 设g 和n f 都是D 上非负简单函数,若满足 (i)对几乎所有D x ∈,{}1)(≥n n x f 单增;(ii))(lim )(0x f x g n n ∞→≤≤ a.e.D 则⎰⎰∞→≤Dn n Dx f gdx )(lim .证明:令{})(),(min )(x f x g x h n n = ,2,1=n ,则)(x h n 是非负简单函数,且{}↑≥1)(n n x h 在D 上几乎处处收敛于)(x g .情形1.∞<)(D m由Egoroff 定理,对任何0>ε,有D 的可测子集1D ,使ε<-)(1D D m ,而且在1D 上,)(x h n 一致收敛于)(x g ,从而有N ,使ε<-)()(x g x h n 1D x ∈∀ N n >∀即 )()()(x f x h x g n n +≤+<εε 1D x ∈∀ N n >∀ 由定理3.1.2⎰⎰⎰+≤+≤111)()(D n d n D f h g εε⎰1D g ⎰+⋅≤1)(1D n h D m ε⎰+⋅≤1)(1D n f D m ε⎰+⋅≤D n f D m )(ε从而⎰1D g ⎰∞→+⋅≤D n n f D m lim )(ε另一方面⎰-1D D g {})()(max 1D D m x g -⋅≤{})(max x g ⋅≤ε这样⎰D g ⎰⎰+=-11D D D g g {}[]⎰∞→++≤Dn n f x g D m lim )(max )(ε 而∞<)(D m ,{})(max x g 也有限,ε任意,所以⎰D g ⎰∞→≤Dn n f lim 情形2.∞=)(D m此时对每一1≥k ,令],[k k D D k -= ,则∞<)(k D m .由已证,有⎰kD gdx ⎰∞→≤kD n n dx f lim ⎰∞→≤D n n dx f lim ………………(*)而⎰kD gdx )(1k j j Tj D F m b ⋅∑== (因)()(1x b x g jF j T j χ⋅∑==,)(1j j Tj D F m b g ⋅∑==⎰) 又D D k ↑,所以()j k j F D F ↑ ,于是⎰∞→kD k g lim ()k j n j Tj D F m b ∞→=⋅∑=lim 1)](lim [1k j n j Tj D F m b ∞→=⋅∑=(单增时,测度和极限符号交换序))(1j j Tj F m b ⋅∑==⎰=Dg(*)式中令∞→k ,得 ⎰⎰∞→≤Dn n D f g lim 定理3.1.3 设{}n f 和{}n g 是可测集D 上两列非负简单函数,而且对几乎所有的D x ∈,{}1)(≥n n x f ,{}1)(≥n n x g 都单增收敛于相同的极限,则⎰∞→D n n dx f lim ⎰∞→=D n n dx g lim 证明:任意固定1≥n ,则对几乎所有的D x ∈,有)(lim )(lim )(0x f x g x g k k k k n ∞→∞→=≤≤ a.e.D 由引理3.1.1⎰⎰∞→≤Dk k D n dx f dx g lim令∞→n (与k 无关) ⎰⎰∞→∞→≤D k k D n n dx f dx g lim lim 类似⎰⎰∞→∞→≥D k k D n n dx f dx g lim lim所以⎰⎰∞→∞→=Dn n D n n g f lim lim。
积分论
(2)若f 在E上积分确定, 则f 在每个可测子集A E上积分确定.
(3)单调性: 若f , g在E上积分确定且f g,a.e.于E, 则
E f ( x)dx E g( x)dx.
特别地, 若mE 且a f b,a.e.于E, 则
amE E f ( x)dx bmE.
f (x)在E上的Lebesgue积分定义为:
E f ( x)dx sup{E( x)dx: ( x)是E上的简单函数且x E时, 0 ( x) f ( x)}.
注: 0 E f ( x)dx可取为 .
注: 设A E是可测集, 则 f ( x)dx A
第五章 积分论
第一节 Riemann积分的局限性, Lebesgue积分简介
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若函数f 在测度有限可测集E上有界可测,
设f (E ) [c,d ], 设{yi }ni0是[c,d ]的一个分割,
即c y0 y1 L
yn d , 记
min{
1 i n
lim(nm(0,
n
1 n
)
0m[
1 n
,
))
lim1
n
1,
lim E n
fn( x)dx
lim
E n
fn( x)dx
0dx 0.
E
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定理7 (勒贝格(Lebesgue)控制收敛定理)
设fn f ,a.e.于E或fn m f ,a.e.于E(f 可测), 若有F L(E ), F 0, 使得, 对任意n, fn( x) F ( x),a.e.于E, 则f L(E), 且
第17讲Lebesgue积分的性质
第17讲 Lebesgue积分的性质
问题9：有限测度集上有界可测函数的积分 性质能否推广到一般可测函数的积分情 形（包括有限测度集上的可测函数与无 限测度集上的可测函数）？
第17讲 Lebesgue积分的性质
定理2中的（i）~(iv)对于一般可积函数也 同样是正确的。其证明需实施一下极限 手续。 *定理5 如果E是可测集，则
E
f ( x )dx lim { f ( x )}m dx
m E
m
第17讲 Lebesgue积分的性质
) 从定义5不难看到， f ( x 可积性与 | f ( x的可积相同，即有 )|
定理4 设 f ( x ) 是可测集E上的可测函数，
则 f ( x )在E上Lebesgue可积当且仅当
定义5 设 f ( x )是E上的可测函数，对任意
正整数m， E m同定义4，记
第17讲 Lebesgue积分的性质
Jm f ( x )dx, J m f ( x )dx Em Em
若 lim J m 与 lim J m 至少有一个不为+，则
称 f ( x )在E上有积分并记
(i)当 f ( x ) 在E上可测，g ( x ) 在E上非负可积，
| f ( x ) | g ( x ) 时， f ( x )也在E上可积，且
第17讲 Lebesgue积分的性质
E
| f ( x ) |dx g ( x )dx
E E
证明 因为 | f ( x ) | g ( x )，故当 g ( x )dx
第17讲 Lebesgue积分的性质
特别地，当 f ( x ) 是E上的非负可测函数时，
勒贝格积分的概念
勒贝格积分的概念勒贝格积分是数学中的一个重要概念，它是对函数在某个区间上的积分进行定义和计算的一种方法。
勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）在20世纪初提出的，它是对黎曼积分的一种推广和拓展，能够更好地处理一些复杂的函数和集合。
一、勒贝格可积函数的定义在介绍勒贝格积分之前，首先需要了解什么样的函数是勒贝格可积的。
给定一个定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果存在一个数I，对于任意给定的ε > 0，都存在一个分割P = {x0, x1, ..., xn}，使得当这个分割的任意一种选取方式下，对应的上下和满足：S*(f, P) - S(f, P) < ε其中S*(f, P)和S(f, P)分别表示上和下达尔差分和。
如果这个数I存在且唯一，那么称函数f(x)在闭区间[a, b]上是勒贝格可积的，此时这个数I就是函数f(x)在[a, b]上的勒贝格积分，记作∫[a,b]f(x)dx。
二、勒贝格积分的性质勒贝格积分具有许多优良的性质，使得它在数学分析和实际问题中得到广泛应用。
以下是一些勒贝格积分的重要性质：1. 可积函数的有界性：勒贝格可积函数在定义区间上是有界的，即存在一个常数M，使得|f(x)| ≤ M对于所有x∈[a, b]成立。
2. 线性性质：勒贝格积分具有线性性质，即对于任意可积函数f(x)和g(x)，以及任意实数α、β，有∫[a, b](αf(x) +βg(x))dx = α∫[a, b]f(x)dx + β∫[a, b]g(x)dx。
3. 单调性质：如果在闭区间[a, b]上有f(x) ≤ g(x)，则∫[a,b]f(x)dx ≤ ∫[a, b]g(x)dx。
4. 加法性质：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上可积，且在点c∈[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。
实变函数
b
n
(R)
f (x)dx lim ||T ||0 i1
f (i )xi
(积分与分割、介点集的取法无关)
2.Lebesgue积分思想简介
yi
Ei {x : yi1 f (x) yi}
yi-1
yi1 i yi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
n
(L)
[ a ,b ]
f
( x)dx
2）理论性强
教材：实变函数论与泛函分析基础（第三版）,程其襄 等编 高等教育出版社，2010年6月.
参考文献
周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001) 周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9 胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7 徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002 郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987 夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2 Halmos，测度论(Measure theory) Rudin , 实分析与复分析(Real and complex analysis).
前两节属于复习性质。不过，无限集合的 交与并，是以前没有接受过的。它在本课 中常常要遇到。
§1 集合概念
一、描述定义：具有某种特定性质的事物 （具体或抽象）的全体称为集合。记为 A,B,…等等。集合的成员称为它的元素， 记为a,b,c…等等。
二、表示法： 1.列举 法： A=｛a，b，c，…｝ 例1 A=｛4，7，8，3｝. 2.描述法： A=｛x | x满足性质p｝
(2) Riemann可积的充分条件
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积的充分条件是？
用泛函观点看lebesgue积分(英文)
用泛函观点看lebesgue积分(英文)1. Lebesgue积分的概念Lebesgue积分是一种用来衡量函数的积分，它是一种更加广义的积分，可以用来衡量更复杂的函数。
它使用概率论中的概念，如概率密度函数和概率分布函数，来衡量函数的行为。
它可以用来衡量函数的变化，以及函数的变化是否符合某种特定的模型。
它也可以用来衡量函数的极限，以及函数的极限是否符合某种特定的模型。
2. Lebesgue积分的性质Lebesgue积分具有许多有用的性质，可以用来描述函数的行为。
其中一个性质是积分的线性性，即如果f和g是可积函数，则有：$$\int_{a}^{b}(f+g)dx=\int_{a}^{b}fdx+\int_{a}^{b}gdx$$另一个性质是积分的可加性，即如果f是可积函数，则有：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$$此外，Lebesgue积分还具有可乘性，即：$$\int_{a}^{b}cf(x)dx=c\int_{a}^{b}f(x)dx$$其中c是任意常数。
另外，Lebesgue积分还具有可替换性，即：$$\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$$最后，Lebesgue积分还具有可延性，即：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n }f(x_i)\Delta x_i$$其中$\Delta x_i=\frac{b-a}{n}$，$x_i=a+i\Delta x_i$。
3. Lebesgue积分的应用Lebesgue积分在几何、动力学、数学物理学等领域有广泛的应用。
它可以用来描述各种复杂的函数，包括非经典函数，如布朗运动和拉普拉斯函数。
它也可以用来研究多元函数的极限，例如多元函数的极限的性质和极限的性质。
Lebesgue积分
Lebesgue 积分现在认为已成定形的测度和积分的推广，是由Borel 的一个学生、法兰西学院的教授Henri Lebesgue(1875～1941)作出的．以Borol 的思想为指导，当然也用了Jordan 和]Peano 的思想，Lebesgue 在他的论文《积分，长度与面积》 (Integrale ，longueur ，alto)里，第一次叙述了他关于测度和积分的思想．他的工作替代了十九世纪的创造，特别是，改进了Borel 的测度论．Lebesgue 的积分论是建立在他关于点集的测度的概念之上的，而这些概念都被应用到n 维空间的点集上． 为了说明方便起见，我们只考虑一维情形．设E 是a ≤x 《b 中的一个点集．E 的点可以被[a ，b]中一族有限个或可数无限个区间集d 1，d 2，…所包围而成为内点([a ，b]的端点可以是某个d i 的端点)．能够证明区间集合{d i }可以被互不重迭的区间集合δ1，δ2 ，…所代替，使得E 的每一个点是其中某一个区间的内点或是两个相邻区间的公共端点．令∑δn 表示长度δi 之和．所有可能集合{δi }的∑δn 的(最大)下界称为E 的外测度，记作m n (E)．E 的内测度m i (E)定义为集合C(E)的外测度，这里集合C(E)是E 在[a ， b]中的补集，也就是a ≤x ≤b 中不在E 内的点所成的集合．现在可以证明几个辅助性的结果，包括，m i (E)≤m 0(E)这件事．如果m i (E)=m 0(E)，那么集合E 就定义为可测的，而测度m(E))就是这个公共值． Lebesgue 证明，可数个两两不相交的可测集的并集的测度，等于这些集合的测度的总和． 另外，一切Jordan 可测集都是Lebesgue 可测的，并且具有相同的测度．Lebesgue 的测度概念与Borel 的测度概念的区别在于，他添加了Borel 意义下的零测集的部分．Lebesgue 也注意到了不可测集的存在． Lebesgue 的下一个重要概念是可测函数．设E 是x 轴上的一个有界可测集．在E 的一切点上定义的函数f(x)称为在正上是可测的，如果对任意常数A ，E 中使得f(x)>A 的点所成的集是合可测的．最后，我们来讨论Lebesgue 的积分概念． 设f(x)是定义在[a ， b]中可测集E 上的一个有界可测函数．设A 和B 是f(x)在E 上的最大下界和最小上界．把区间[A ， B](在y 轴上)分成n 个子区间],,[,],[],,[12,11B A n -ιιιι其中.,0n B A ιι==设e r 是E 中满足条件 1-r τ≤f(x)≤f(x)≤n r r ,2,1, =τ的点集．于是n ,,2,1…，都是可测集．作和S 与s ，其中),(1r r n m S τ∑= ).(11r r nm s -∑=τ 和S 与s 分别有最大下界J 与最小上界I ．Lebesgue 证明了：对于有界可测函数永远有I ＝J ．这个公共值就是f(x)在月上的Lebosgue 积分，记作.)(dx x f I E ⎰=如果E ，是整个区间a 《x 《b ，那么我们还可以用记号dx x f ba )(⎰来写． 不过积分要按照Lebesgue 的意义来理解． 如果f(x)是Lobesgue 可积的，积分值也是有穷的，那么用Lebesgue 自己引进的术语来讲，就说f(x)是可积的(summable)．[a ， ，b]上Riemann 可积的函数f(x)必是Lebesgue 可积的；但反过来不一定对．如果f(x)在Ricmann 和Lebesgue 意义下都可积，那么这两个积分值相等．Lebesgue 积分的普遍性可以从下面的事实看出来．Lebesgue 可积函数不一定几乎处处(即除去一个零测集外)连续． 例如，在区间[a ， b]上的Dirichlet 函数，在有理数x 处取值为1，在无理数x 处取值为0，处处不连续，从而不Riemann(原义和广义)可积，但却是Lebesgao 可积的．这时.0)(=⎰dx x f baLebesgue 积分的概念，可以推广到更普遍的函数，例如无界函数． 如果f(x)在积分区间上Lebesguo 可积但无界，则积分绝对收敛．无界函数可以． Lebesgue 可积，但不Riemann 可积，反之亦然．就实用的目的来说，Riemann 积分已经够用了。
勒贝格积分tou
E f+ (x) dmE |f(x)|dm<+, Ef-(x)dm E|f(x)|dm<+ E f(x)dm E f+ (x) dm- Ef-(x)dm<+
f(x)在E上可积, |E f(x)dm| E f+ (x) dm+Ef-(x)dm =E|f(x)dm|< +
第9页
{[f (x)]n}是一非负有界可测函数列, 称[f (x)]n 为 f (x)的第n截断函数.
都存在
存在
注：当极限值有限时，称f(x)在E上L可积; 当极限值无限时，则称f(x)在E上 有积分。
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(2) 设m(E)<+, f (x)是E上的一般无界可测函数.则有
第8页 注：在零测集上任意改变被积函数的值，或被积函数无定义，都不影响函数 的可积性及积分值。（L积分与R积分的显著区别） 例：在[0,1],dirichlet函数D(x)=0(a.e.), 从而有:
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2. 无界函数及测度无限集上的L积分 (1) 设m(E)<+, f (x)是E上的非负无界可测函数.作函数
第1页
第二节 勒贝格积分
•勒贝格积分思想的产生 •勒贝格积分的概念和性质 •积分极限定理
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一、勒贝格积分思想的产生 1. 黎曼（Riemann)积分(即定积分)的基本思想 设f(x)在[a,b]上有界，分割[a,b]，作乘积，求和，取极限
2.达布(Darbour)大和与达布小和 设xi(i=1,2,..n)为区间[a,b]的任一分点组, 记 :
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Lebesgue积分思想简介数学与信息工程系数学与应用数学 2012级吴茂岚指导老师柳彦军摘要：实变函数论的创立是为了克服牛顿和莱布尼茨所建立的微积分学存在的缺点，黎曼积分的积分对象是连续函数和“基本连续”函数。
而许多现实问题中遇到的函数并不具有这种特性。
另外，黎曼积分在处理积分与极限交换次序、重积分交换次序等问题时对条件的要求过于苛刻，一般来说是不容易被满足的，这就使得黎曼积分在解决具体问题时受到很大的限制。
虽然黎曼积分在微积分学领域的重大贡献是无可替代的，但摆脱各种条件的限制，使得运算变得灵活是数学家们一直以来追求的目标。
关键词：Riemann积分，实变函数，微积分Abstract：The foundation of the real variable function theory is to overcome the shortcomings of the Newton and Leibniz's calculus. The integral object of the Riemann integral is the continuous function and the "basic continuous" function. And many of the real problems encountered in the function does not have this feature. In addition, the Riemann integral in the process of integral and limit exchange order, the weight of the exchange sequence and other issues of the requirements of the conditions are too harsh, generally speaking, is not easy to be satisfied, which makes the Riemann points in solving the specific problem is very limited. Although the Riemann integral calculus in the field of major contribution is irreplaceable, but get rid of the limitation of various conditions, making the operation more flexible is mathematicians have been pursuing the goal of. Key word:Riemann integral, Real variable function,calculus一、引言Lebesgue在发表于1902年的经典论文《积分、长度与面积》与随后出版的两部论著《论三角函数》和《积分与原函数的研究》中第一次阐述了测度理论与积分思想。
其后十年，一批数学家广泛发展了Lebesgue的工作。
包括Lebesgue 本人、奥地利数学家Radon、美国数学家Nikodym等人相继推广了Lebesgue积分与Lebesgue测度理论，一般测度空间中的积分理论是由法国数学家费雷歇在1915年前后完成的。
到20世纪30年代，Lebesgue 积分理论已经很成熟，并在概率论、普理论、泛函分析等学科中获得广泛应用。
现代积分理论的基本框架至20世纪50年代已大体形成。
二、 Riemann 积分有缺陷，引入Lebesgue 积分 2.1Riemann 积分回顾设 f(x)是在［a,b]上的有界函数，取分割T={bX X a X n 10=}若有0lim||||=∆∑→iTiT X w ，则称f(x)在区间[a,b]上Riemann 积分可积，积分写作i Ti a bT x f dx x f ∆=∑⎰→)(lim )(0||||ε ],[1+∈i i i x x ε ①然后我们看最简单的Dirichlet 函数：Qx Q R x x f ∈−∈=,1,0{)(，容易证明这个函数并不是Riemann 可积的，由此我们看到了Riemann 积分的要求太苛刻，至于一个简单的函数都未必可积。
在①式中我们不难发现，要求Riemann 可积，必须该极限与i ε的选取无关，这要求f(x)在区间[1,+i i x x ]上改变很小，也就是函数不能“太过间断”，而满足这个条件的比较是少数，而这也是Riemann 积分定义缺陷所在。
我们知道，积分与分割、介点集的取法无关。
先看Riemann 积分的定义：i n i i ab T x f dx x f R ∆=∑⎰=→10||||)(lim )(ξ）（ii i i i i x x x x x ≤≤−=∆−−ξ11于是，它的几何意义（非负函数）：函数图像下发图形的面积。
[1] 2.2 Riemann 积分的充要条件要使f(x)在[a,b]上Riemann 可积,即ini iT a b X M dx x f b a x f ∆=⇔≤∑⎰=→1||||lim)(]),([)(dx x f x m ab i ni i T )(lim 10||||⎰∑=∆==→εωε≤∆∃∀⇔∑=i nq i i x t s T '0，分割， ii i i i i i i i m M x x x x f m x x x x f M −=≤≤=≤≤=−−ω}:)(inf{}:)(sup{11 ini iT abx f dx x f R ∆=∑⎰=→1||||)(lim)(ξ）（例：Dirichlet 函数Qx Q x c x D ]1,0[,1]1,0[,0{∈∈=）（，1)(1=⎰dx x D ，01=⎰dx x D ）（∴D （x ）不是Riemann 可积。
2.3 Riemann 积分的缺陷 a ）微积分基本定理若F ’(x)在[a,b]上连续，则⎰−=xaa F x F dt t F R )()()('）（。
1881年，Voltema 作一可微函数，导函数有界，但是不Riemann 可积。
1980年，Cohn 证明：若])),([(']),,([b a L f b a D f ∈∈则⎰−=],[)()()('b a a f b f dx x f L ）（。
b ）积分与极限交换次序数列的极限与积分交换次序是在数学分析中经常碰到的问题。
然而, 交换次序的条件是需要函数列一致收敛, 这是不易满足的 也不易验证的。
例如，)10()(≤≤=x x x f nn 收敛于10,01,1{)(≤≤==x x x f ，但不是一致收敛的。
可是，dx x f dx x f dx x f n n n n )(lim )(0)(lim 10101⎰⎰⎰∞→∞→===。
另一方面，即使是可积的，渐升的函数列，也不能保证其极限函数的可积性。
如，设|r |n 是[0,1]中的有理数的全体，作函数列Qr r r r x n n n x f ∈==;,,,,1,021{)( 其他显然有1)()()()(121≤≤≤≤≤≤+ x f x f x f x f n n ；)(x f i 有i个间断点。
)({)()(lim ]1,0[,,,1,021x D x f x f Qx r r r x n n n ===∈=∞→ ；其他不存在。
而dx x f dx x f n n n n )(lim ,0)(lim 101⎰⎰∞→∞→= 由于)(x f n 只收敛，而不满足一致收敛，所以Riemann 不可积。
这里，每个)(x f n 皆是[0,1]上的Riemann 可积函数，且积分值为0，故0)(lim1=⎰∞→dx x f nn 。
但是函数f(x)（Dirichlet 函数）不是Riemann 可积的。
因此，不能在积分号取下极限了。
再说，设)}({)},({x g x f n n 是[a,b]上的可积函数列，且,,2,1,|)(|,)(f n =≤≤n M x g M x n 以及)()(lim ),()(lim x f x g x f x f n n n ==∞→∞→，则必有⎰⎰∞→∞→=ban n b an n dx x g dx x f )(lim )(lim ，然而f(x)的积分可能是不存在的，也就是说，上述积分的极限并不依赖与(x)}{f n 本身，而依赖于f(x)。
既然如此，定义积分为dx x f dx x f ban ban )(lim )(⎰⎰∞→=也无妨，这说明Riemann 积分的定义太窄。
[6]2.4 勒贝格积分的引入在黎曼积分的范围内对具有无穷多次激烈震荡的函数无法进行研究，于是勒贝格提出不分割函数的定义区间，而是从分割函数的值域入手定义积分，引入勒贝格积分的方式通常有三种：方式1：设()x f 是定义在n R 中可测集E 上的有界函数。
作可测集E 的任意可测划分： i mi E ED 1:==,()j i E E ji ≠∅= .令： ()x f b iE x i inf ∈=,()x f B iE x i sup ∈= (),,,2,1m i =对应分划D 的小和与大和分别为 ∑==m i i i DmE b s 1与 ∑==mi i i D mE B S 1.讨论其小和的上确界D Ds sup 与大和的下确界D DS inf 是否相等，若二者相等，则称()x f 在可测集E 上勒贝格可积，并称二者的共同值为()x f 在E 上的勒贝格积分。
方式2：设()x f 是定义在n R 中可测集E 上的有界函数，即()B x f A ≤≤。
将[]B A ,任意分成n 个小区间： .:110B y y y y y A D n i i =<<<<<<=−在每个小区间上任取一点[]i i i y y ,1−∈η ()n i ,,2,1 =，()x f 关于分划D 的勒贝格和为 ()[],,11∑=−≤<=ni i i i y f y mE D f L η其中[](){}.,11i i i i y x f y E x x y fy E ≤<∈=≤<−−且记{}.11max −≤≤−=i ini y y λ对[]B A ,的任意分划D 及任意的[]i i iy y ,1−∈η，讨论极限()[]∑=−→≤<ni i i i y x f y mE 110lim ηλ是否存在。