初高中数学衔接教材(已整理)(整理).pptx
初高中数学衔接教材(已整理精品)
初高中数学衔接教材之袁州冬雪创作我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m +22)164(m m =++)；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不管a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，别的还应懂得求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x2－3x ＋2； （2）x2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x2－3x ＋2中的一次项，所以，有x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：此后在分解与本例近似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来暗示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．讲堂操练一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________.（2）=+-652x x __________________________________________________.（3）=++652x x __________________________________________________.（4）=--652x x __________________________________________________.（5）()=++-a x a x 12__________________________________________________.（6）－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by xx 图1．1－4 －1 1x y 图1．1－5=+-18112x x __________________________________________________.（7）=++2762x x __________________________________________________.（8）=+-91242m m __________________________________________________.（9）=-+2675x x __________________________________________________.（10）=-+22612y xy x __________________________________________________.2、()() 3 42++=+-x x x x3、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b .二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x（5）44152++x x 中，有相同因式的是（ ）A 、只有（1）（2）B 、只有（3）（4）C 、只有（3）（5）D 、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式22338b ab a -+得（ ）A 、()()3 11-+a aB 、()()b a b a 3 11-+C 、()()b a b a 3 11--D 、()()b a b a 3 11+-3、()()2082-+++b a b a 分解因式得（ ）A 、()()2 10-+++b a b aB 、()()4 5-+++b a b aC 、()()10 2-+++b a b aD 、()()5 4-+++b a b a4、若多项式a x x +-32可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ）A 、10=a ，2=bB 、10=a ，2-=bC 、10-=a ，2-=bD 、10-=a ，2=b5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ）A 、3或9B 、3±C 、9±D 、3±或9±三、把下列各式分解因式1、()()3211262+---p q q p2、22365ab b a a +-3、6422--y y4、8224--b b2．提取公因式法例2 分解因式：（1）()()b a b a -+-552 （2）32933x x x +++解： （1）．()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a（2）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++讲堂操练：一、填空题：1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________.2、()()()•-=-+-y x x y n y x m __________________.3、()()()•-=-+-222y x x y n y x m ____________________.4、()()()•--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________.5、()()•--=++---z y x z y x z y x m ______________________.6、523623913x b a x ab --分解因式得_____________________.7．计算99992+=二、断定题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）1、()b a ab ab b a -=-24222………………………………………………………… （ ）2、()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… （ ）3、()5231563223-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… （ ）4、()111+=+--x x x x n n n ……………………………………………………………… （ ）3：公式法例3分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+解：(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-(2)()()2223y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++讲堂操练一、222b ab a +-，22b a -，33b a -的公因式是______________________________.二、断定题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）1、()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1.032 1.0321.03201.094222x x x x …………………………（ ）2、()()()()b a b a b a b a 43 4343892222-+=-=-………………………………… （ ）3、()()b a b a b a 45 4516252-+=-………………………………………………… （ ）4、()()()y x y x y x y x -+-=--=-- 2222………………………………………… （ ）5、()()()c b a c b a c b a +-++=+- 22……………………………………………… （ ）五、把下列各式分解1、()()229n m n m ++--2、3132-x 3、()22244+--x x 4、1224+-x x4．分组分解法例4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．讲堂操练：用分组分解法分解多项式（1）by ax b a y x 222222++-+-（2）91264422++-+-b a b ab a5．关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠便可分解为12()()a x x x x --.例5 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦ =(11x x ++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．练 习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．分解因式：（1）x2＋6x ＋8； （2）8a3－b3；（3）x2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）2223x x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3．ABC ∆三边a ，b ，c 知足222a b c ab bc ca ++=++，试断定ABC ∆的形状．4．分解因式：x2＋x －(a2－a)．5. （测验测验题）已知abc=1，a+b+c=2，a ²+b ²+c ²=，求1-c ab 1++1-a bc 1++1-b ca 1+的值. 1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2、一元二次不等式的解法步调一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 ab x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++ac bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅例1解不等式：（1）x2＋2x －3≤0； （2）x －x2＋6＜0；（3）4x2＋4x ＋1≥0； （4）x2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x2＜0．例2 解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x解：原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21 若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1 例3已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．解：由不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解为2,3x x <>或，可知0a <，且方程20ax bx c ++=的两根分别为2和3，∴5,6b c a a-==， 即 5,6b c a a=-=． 由于0a <，所以不等式20bx ax c ++>可变成20b c x x a a++< ， 即 －2560,x x ++<整理，得所以，不等式20bx ax c +->的解是x ＜－1，或x ＞65． 说明：本例操纵了方程与不等式之间的相互关系来处理问题．练 习1．解下列不等式：（1）3x2－x －4＞0； （2）x2－x －12≤0；（3）x2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x2≤0．2.解关于x 的不等式x2＋2x ＋1－a2≤0（a 为常数）．作业：1.若0<a<1,则不等式(x －a)(x －a1)<0的解是 ( )A.a<x<a 1B.a1<x<a C.x>a 1或x<a D.x<a1或x>a 2.如果方程ax2＋bx ＋b ＝0中，a ＜0，它的两根x1，x2知足x1＜x2，那末不等式ax2＋bx ＋b ＜0的解是______.3．解下列不等式：（1）3x2－2x ＋1＜0； （2）3x2－4＜0；（3）2x －x2≥－1； （4）4－x2≤0．(5)4+3x －2x2≥0;(6)9x2－12x>－4;4．解关于x 的不等式x2－(1＋a)x ＋a ＜0（a 为常数）．5．关于x 的不等式02<++c bx ax 的解为122x x <->-或 求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解．4.三角形的“四心”1.“四心”的概念及性质心坎：性质：外心：性质：重心：性质：垂心：例 1 求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知D、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点，求证AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2： 1.证明 保持DE ，设AD 、BE 交于点G ，D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE//AB ，且12DE AB ， GDE ∽GAB ，且相似比为1：2，2,2AG GD BG GE . 设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合， AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.例2 已知ABC 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC 的心坎，且I 在ABC 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF . 证明 作ABC 的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，,AE AF 为圆的从同一点作的两条切线，AE AF ，同理，BD=BF ，CD=CE. 即2b c a AE AF . 例 3 若三角形的心坎与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知O 为三角形ABC 的重心和心坎.求证 三角形ABC 为等边三角形.证明 如图，连AO 并延长交BC 于 D. O 为三角形的心坎，故AD 平分BAC ， AB BD AC DC（角平分线性质定理） O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD=DC. 1AB AC ，即AB AC . 同理可得，AB=BC. ABC 为等边三角形.例4 求证：三角形的三条高交于一点.已知ABC 中，,AD BC D BE AC E 于于，AD 与BE 交于H 点.求证CH AB . 证明 以CH 为直径作圆，D E 、在以CH 为直径的圆上，FCB DEH .同理，E 、D 在以AB 为直径的圆上，可得BED BAD .BCH BAD ， 又ABD 与CBF 有公共角B ，90o CFB ADB。
初高中数学衔接教材1.完全立方、立方和及立方差公式 课件(共15张PPT)
(a b)3 (a b)3
立方差公式： 立方和公式下列乘法运算中，可以运用立方和或立方差公式计 算的是（ C ）
A. (m n)(m2 2mn n2 )
B.(m n)(m2 mn n2 )
C. (m 2n)(m2 4n2 2mn) D. (m 2n)(m2 2mn 4n2 )
3.已知 x 1 3 x
解:(1)
若x 1 3呢？ x
(2)
，求（：1）x 2
x1（2 2，）x4
1 x4
，
4.已知 x2 y2 z2 2x 4 y 6z 14 0,
求 (x y z)(x z y) 的值.
解：
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第一章 完全立方、立方和及立方差公式 完全立方公式：
2
2ab b
)
a3 2a2b ab2 ba2 2ab2 b3
a3 3a2b 3ab2 b3
用-b代替b,易得
(a b)3
(1) ( a b )( a2 ab b2 )
(2) ( a b )( a2 ab b2 )
逆用上面公式，可以得到 立方差公式： 立方和公式：
(a b)3 (a b)3
立方差公式： 立方和公式：
(a b c)2
注：公式中的字母可以表示数字、单项式，也可以表示多 项式。
学习目标(1分钟)
1.掌握完全立方公式、立方和及立方差的推导过程. 2.能利用完全平方公式展开形如（a+b+c）2的式子. 3.能灵活运用公式进行运算.
问题导学1(8分钟)
1.利用整式乘法运算推导完全立方公式.
(a b)3 (a b)3
解法一：
(a 2)3 (a 1)3
解法二：
《初高中数学的衔接》课件(2024)
03
数的概念扩展
从有理数扩展到实数，包 括无理数和复数，理解数 的连续性和完备性。
2024/1/30
式的概念深化
掌握代数式、多项式、分 式等概念，理解式的运算 和化简方法。
数论基础
了解整除、同余等基本概 念，掌握质数、合数、最 大公约数、最小公倍数等 知识点。
8
方程与不等式解法提升
方程解法提升
从一元一次方程、一元二次方程到高 次方程和分式方程，掌握各种方程的 解法，理解方程解的存在性和唯一性 。
回顾初中平面几何的基本概念、 性质和定理，如点、线、面、角
、三角形、四边形等。
总结初中平面几何的常见题型和 解题方法，如相似三角形、全等
三角形、圆的性质等。
强调平面几何在实际生活中的应 用，如测量、建筑、设计等。
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12
立体几何初步认识及空间想象力培养
介绍立体几何的基本概念，如点、线 、面、体、平行、垂直等。
课后复习
及时复习学过的知识，巩固记 忆并加深对知识点的理解。
独立思考
遇到问题时，尝试独立思考并 解决问题，培养自己的数学思
维和解决问题的能力。
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25
备考技巧分享：如何有效复习和应对考试
系统复习
做题训练
在考试前进行系统的复习，梳理知识脉络 和重点难点，确保对知识点的全面掌握。
通过大量的做题训练，提高解题速度和准 确性，培养自己的应试能力。
、切线等。
14
04 概率统计部分衔 接要点
2024/1/30
15
概率论基本概念及计算方法
2024/1/30
事件的概率定义及性质
01
了解概率的直观意义，掌握概率的加法公式、乘法公式等基本
初高中数学衔接教材(已整理精品)
初高中数学衔接教材1.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式2 2 (a b)(a b) a b ；（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2 a b ．b我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2 2 3 3(a b) (a a b b ) a ；b（2）立方差公式 2 2 3 3(a b) (a a b b ) a ；b（3）三数和平方公式2 2 2 2 (a b c ) a b c 2 ( a b b c ；)a c（4）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3 a b 3 a b ；b（5）两数差立方公式3 3 2 2 (a b) a 3 a b 3 a b ．b 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例 1 计算：2 2 (x 1)(x 1)(x x 1)(x x 1)．解法一： 原式= 2 2 2 2(x 1) (x 1) x = 2 4 2 (x 1)(x x 1)= 6 1 x ．解法二： 原式=2 2 (x 1)(x x 1)(x 1)(x x1)= 3 3 (x 1)(x1)= 6 1x ．例 2 已知 a b c 4，ab bc ac 4，求2 2 2 a b c 的值．解：2 2 2 ( )22( ) 8a b c a b c ab bc ac ．练 习1．填空：（1）1 1 1 12 2a b ( b a) （ ）； 9 4 2 3（2）(4 m 22 ) 16m 4m ( ) ；(3 )2 2 2 2 (a 2b c) a 4b c ( ) ． 2．选择题：（1）若2 1x mx k 是一个完全平方式，则k 等于（）2（A ）2m （B）142m （C）132m （D）1162m（2）不论 a，b 为何实数， 2 2 2 4 8a b a b 的值（）（A ）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2 2（1）x －3x＋2；（2）x ＋4x－12；2 ( ) 2（3）x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2解：（1）如图1．1－1，将二次项 x 分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2 分解成－1初中升高中数学教材变化分析2与－2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x －3x＋2 中的一次项，所以，有2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．xx 1－1 1 －2 x －ay－1x －2 x1 －2 6 －by1图 1．1－1 图 1．1－3 图1．1－4图 1．1－2说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1 中的两个x 用 1 来表示（如图1．1－2 所示）．（2）由图 1．1－3，得2x ＋4x－12＝(x－2)( x＋6)．（3）由图 1．1－4，得2 ( ) 2x a b xy aby ＝(x ay)( x by)x －1（4）xy 1 x y ＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+ 1) （如图 1．1－5 所示）．课堂练习一、填空题：y图 1．1－511、把下列各式分解因式：2 x（1） 5 6x __________________________________________________ 。
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目录第一章数与式1.1数与式的运算1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1.1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x;③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3二x>4.综上所述，原不等式的解为x V0, 或x>4.解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|= |x- 3|.所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为|RA| + |PB|> 4.由|AB|= 2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x V0,或x>4.P 丄CL A 丄BLDL---- x0134x V|x-3||x- 1|图1. 1-12.2练 1. 2.3. 习 填空： (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题： 下 )(A )(C )化简： 5，贝y x= 5,且a _若x 则b =4，贝y x= _____ ；若 1 c 2,则 C =若a 若a|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：b , b ，则 a b (B) (D) 若a b ，贝S a 若a b ，则a解法 :原式= (x 2 1) (x 21)2 x 2 = (x 2 1)(x4 2x1)= 6x 1 .解法 *■.原式=(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)=(x 3 1)(x 3 1)= 6 x 1 .例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a 2 b 2 c 2 的值解： 2 a .2 2b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练 习1. 填空： (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ；a)( )；9 4 2 3(2) (4 m)2 16m 24m ( )；(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x 1)(x 1)( x 2x 1)(x 2 x (1 )x 2 Imx k平方式，(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ； (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3b ;(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3；(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b3ab 2 b 3 .ac)；对上面列出的五个公式,(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m24 3 16((2 ) 不论a , b为何实数，a2 b2 2a 4b 8 的值(（A ）总是正数（B ）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与.2 , 3'、a 与，-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-a2的意义a, a 0, aa, a 0.例1将下歹J式子化为最简一次根式：(1) 両; (2) VOb(a0）；(3) J4x6y(x 0).解：(1) ^A2b2顶；(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).例2计算:暑(3 73).解法- -.73 (33 V3初中升高中数学教材变化分析解法二：解:=-3 (3 . 3)(3 . 3)(3、、3)=3^3 39 3=3(、、3 1)6=.3 12.3 (3、、3)=—3 V3试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃110 ；(1) V J2.1112 11111 1011 -101= 丽3^3 1)_ 1 = _______________ = .3 1(.3 1)C 3 1)J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ；11)和 2.2— 6 . .12 ,11(、石 *10)(、11 ”10) 、石；10又. .12、一 11 5^ ,10 ,••• .,12 ,11 v .11.(2).. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)又 4>2 2, _• ° •号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,• 一2 v 2、、2—•、6..6 4化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严=，2)2004 ( -.3 ，2)2004 (-. 3= C3、、2 C3 =12004(4 2、2+ 6 ,3 11 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '2,2+「6’.2 ) 2004 (「3.2)5化简:2) = .3、、2 .(1) .9 4*5 ；(2)x 2解: (1)原式(2)原式={(x *).(5)2 2 2 -5 221 x••• 06 已知xx 1 ,-丄3 2 、3 2 ,y1 22(0 x 1).x7(2 V5)2 2 71 x ，所以，原式=-x密茫，求3x 2 5xy 3y 2的值.、3 <2解：「X y ：3 ： ；〕2 (―2)2do ， 32 3 2Xy.3, 2 , 3 . 2 1，2 2 2 2…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 1011 289 .练 习1.1.4 .分式1.分式的意义 形如A 的式子，若B 中含有字母，且B 0，则称A 为分式.当MHO 时，分BB式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M 'B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式a像_^ , m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. c d _2m_n P例1若空匕 A —，求常数A,B 的值.X (X 2) X X 21. 填空：1 (1)(2) (3) (4) 13若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X 的取值范围是4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨，则、厂 ''厂22. 选择题:.立3. 4.(B )1U ，求 a a 1比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填b 的值. (C )N”.(D )0X 2解:~A B• ____ _x x 2.A B 5,2A 4,(1)试证： A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.2. 3.4.(1) (2) (2)(3) 证明:1 n 12 3证明：对任意大于 计算: 1 n(n 1) 1 1 2(其中n 是正整数);1 9 10 '的正整数n ,有二 —2 3 3 41n(n 1)解：由 1 2(3)证明:..1 1• -------n n 1. 1n(n 1)(1)可知丄L2 31 12 3 3 41 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.n n(n 1) 1 n 1 (n 1)19 10 1 1 1 -)( )1 2 2 31 1 1 1— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 31又n 》2且n 是正整数，二.11, 1 1 • • LV2 3 3 4 n(n 1)2且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解：在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2，得2呂—5e + 2_ 0,• (2e — 1)(e — 2)_ 0,1• e _ 2 V 1,舍去； •- e _ 2.或 e = 2. 一定为正数,求e 的值.丄 10910_丄_ 2习填空题: 选择题: 若) (A)对任意的正整数 2x yx正数x,y 满足 x 2 n ,1n(n 2)(丄n(B)2xy ，求 54x yx的值.y(C ) 4(D)计算丄- 99 100习题1. 1 A 组1.解不等式：(1) (3) 2 .已知x y 1 , x 1 3；(2) x 3x 27 ；x 1 x 1 6 .3xy 的值. 求 x 3 y 3 3. 填空：(1) (2) (3)(2 .3)18(2若,(T 1 .2a)21,(1 a)22 , 1__ ?则a 的取值范围是1 4「51.填空:(1) a2.1.(2)若 x 2xy 2y 2已知：x 1 2，y3a 2 2 3a 5ab 2b2小0，则—xy yx y _x . y ab 2 _________________22 _ __ ---------y」y _的值.x yC 组选择题: ((A ) a b(B ) a b(C ) a b 0 (D ) b a 0( 2)计算a :等于( )(A) < ~(B ) ■- a (C )-(D ) 、、a2.解方程2(x 2丄)13(x -)1 0 .x x3.计算：-——-1 L 1.132 43 59 114.试证：对任意的正整数 n ,有1L -1 1 —<-.b 2 一 ab 、、b a若 则)a () n(n 1)(n2) 2 3 41 2 3 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法例1分解因式： (1) x 2-3x + 2;(2) x 2 + 4x —（3） x 2 （a b ）xy aby 2 ； （4） xy 1 x y .解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2-3x + 2中的一次项，所以，有x 2- 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1- 1中的两个x 用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2) 由图1. 1-3,得x 2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).(3) 由图1. 1-4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by) x―1(4) xy 1 x y = xy + (x - y) — 1y ”1=(x - 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).图 1. 1-5课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 。
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图象与 x 轴的交点个数：
①当 b2 4ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1，0，Bx ，2 0 (x1 x 2) ，其中的 x1 ，x2是一元二次方程
ax2
bx c 0a 0 的两根。这两点间的距离 AB x2 x1
b2 4ac . a
②当 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③当 0 时，图象与 x 轴没有交点.
必然相交于
点，此时m ．
例 4.抛物线 y x2 (2m 1)x 6m 与 x 轴交于两点(x，0) 和 (x ，0)，若 x x x x 49 ，要使抛物线
1
2
12
1
2
经过原点，应将它向右平移
个单位．
例 5.关于 x 的二次函数 y 2mx2 (8m 1)x 8m 的图像与 x 轴有交点，则 m 的范围是（ ）
（4） 3x 2 7 (5) 5x 7 8
3、因式分解 乘法公式
1 平方差公式(a b)(a b) a2 b2 2 完全平方公式(a b)2 a2 2ab b2 （3）立方和公式(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 （4）立方差公式(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 5 三数和平方公式(a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac) 6 两数和立方公式(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
4.若二次函数 y ax2 c ，当 x 取 x 、 x （ x x ）时，函数值相等，则当 x 取 x x 时，函数值为
1
2
1
2
Байду номын сангаас
1
2
（）
Ａ． a c Ｂ． a c Ｃ． c Ｄ． c
5、已知二次函数 y 1 x2 bx c ，关于 x 的一元二次方程 1 x2 bx c 0 的两个实根是1和 5 ，
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初高中数学衔接教材1.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m +22)164(m m =++)； (3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x2－3x ＋2； （2）x2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x2－3x ＋2中的一次项，所以，有x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）． （2）由图1．1－3，得x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）． 课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x ______________________________________________－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4 －11x y 图1．1－5（2）=+-652x x __________________________________________________。
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初高中数学跟尾教材之杨若古兰创作我们在初中曾经进修过了以下一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完整平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证实得到以下一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有爱好的同学可以本人去证实．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m +22)164(m m =++)；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完整平方式，则k等于 （ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m（D ）2116m（2）不管a ，b 为什么实数，22248a b a b +--+的值（ ）（A ）老是负数 （B ）老是负数（C ）可所以零 （D ）可所以负数也能够是负数2．因式分解因式分解的次要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x2－3x ＋2； （2）x2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x2－3x ＋2中的一次项，所以，有x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来暗示（如图1．1－2所示）． （2）由图1．1－3，得x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）． 课堂练习一、填空题：1、把以下各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________.（2）=+-652x x __________________________________________________.（3）－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by xx 图1．1－4 －1 1 x y 图1．1－5=++652x x __________________________________________________.（4）=--652x x __________________________________________________.（5）()=++-a x a x 12__________________________________________________.（6）=+-18112x x __________________________________________________.（7）=++2762x x __________________________________________________.（8）=+-91242m m __________________________________________________.（9）=-+2675x x __________________________________________________.（10）=-+22612y xy x __________________________________________________.2、()() 3 42++=+-x x x x3、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b .二、选择题：（每小题四个答案中只要一个是准确的）1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x（5）44152++x x 中，有不异因式的是（ ）A 、只要（1）（2）B 、只要（3）（4）C 、只要（3）（5）D 、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式22338b ab a -+得（ ）A 、()()3 11-+a aB 、()()b a b a 3 11-+C 、()()b a b a 3 11--D 、()()b a b a 3 11+-3、()()2082-+++b a b a 分解因式得（ ）A 、()()2 10-+++b a b aB 、()()4 5-+++b a b aC 、()()10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a 4、若多项式a x x +-32可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ）A 、10=a ，2=bB 、10=a ，2-=bC 、10-=a ，2-=bD 、10-=a ，2=b5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ）A 、3或9B 、3±C 、9±D 、3±或9±三、把以下各式分解因式1、()()3211262+---p q q p2、22365ab b a a +-3、6422--y y4、8224--b b2．提取公因式法例2 分解因式：（1）()()b a b a -+-552 （2）32933x x x +++解： （1）．()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a（2）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++课堂练习：一、填空题：1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________.2、()()()•-=-+-y x x y n y x m __________________.3、()()()•-=-+-222y x x y n y x m ____________________.4、()()()•--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________.5、()()•--=++---z y x z y x z y x m ______________________.6、523623913x b a x ab --分解因式得_____________________.7．计算99992+=二、判断题：（准确的打上“√”，错误的打上“×” ）1、()b a ab ab b a -=-24222………………………………………………………… （ ）2、()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… （ ）3、()5231563223-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… （ ）4、()111+=+--x x x x n n n ……………………………………………………………… （ ）3：公式法例3分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+ 解：(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-(2)()()2223y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++ 课堂练习一、222b ab a +-，22b a -，33b a -的公因式是______________________________.二、判断题：（准确的打上“√”，错误的打上“×” ） 1、()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1.032 1.0321.03201.094222x x x x …………………………（ ）2、()()()()b a b a b a b a 43 4343892222-+=-=-………………………………… （ ）3、()()b a b a b a 45 4516252-+=-………………………………………………… （ ）4、()()()y x y x y x y x -+-=--=-- 2222………………………………………… （ ）5、()()()c b a c b a c b a +-++=+- 22……………………………………………… （ ）五、把以下各式分解1、()()229n m n m ++--2、3132-x 3、()22244+--x x 4、1224+-x x4．分组分解法例4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）by ax b a y x 222222++-+-（2）91264422++-+-b a b ab a5．关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5 把以下关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤-----⎣⎦⎣⎦=(11x x ++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．练 习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．分解因式：（1）x2＋6x ＋8； （2）8a3－b3；（3）x2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的外形．4．分解因式：x2＋x －(a2－a)．5. （测验考试题）已知abc=1，a+b+c=2，a²+b²+c²=，求1-c ab 1++1-a bc 1++1-b ca 1+的值.1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2、一元二次不等式的解法步调 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设响应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅例1（1）x2＋2x －3≤0； （2）x －x2＋6＜0；（3）4x2＋4x ＋1≥0； （4）x2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x2＜0．例2 解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x解：原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21 若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1 例3已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．解：由不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解为2,3x x <>或，可知0a <，且方程20ax bx c ++=的两根分别为2和3，∴5,6b c a a -==， 即 5,6b c a a=-=． 因为0a <，所以不等式20bx ax c ++>可变成20b c x x a a ++< ，即 －2560,x x ++<清算，得所以，不等式20bx ax c +->的解是x ＜－1，或x ＞65． 说明：本例利用了方程与不等式之间的彼此关系来解决成绩． 练 习 1．解以下不等式：（1）3x2－x －4＞0； （2）x2－x －12≤0；（3）x2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x2≤0．2.解关于x 的不等式x2＋2x ＋1－a2≤0（a 为常数）．功课：1.若0<a<1,则不等式(x －a)(x －a 1)<0的解是( ) A.a<x<a1 B.a 1<x<a C.x>a 1或x<a D.x<a 1或x>a2.如果方程ax2＋bx ＋b ＝0中，a ＜0，它的两根x1，x2满足x1＜x2，那么不等式ax2＋bx ＋b ＜0的解是______.3．解以下不等式：（1）3x2－2x ＋1＜0； （2）3x2－4＜0；（3）2x －x2≥－1； （4）4－x2≤0．(5)4+3x －2x2≥0;(6)9x2－12x>－4;4．解关于x 的不等式x2－(1＋a)x ＋a ＜0（a 为常数）．5．关于x 的不等式02<++c bx ax 的解为122x x <->-或 求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解．4.三角形的“四心”1.“四心”的概念及性质内心：性质：外心：性质：重心：性质：垂心：例1 求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点， 求证AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1.证实 连结DE ，设AD 、BE 交于点G ，D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE//AB ，且12DE AB ， GDE ∽GAB ，且类似比为1：2，2,2AG GD BG GE .设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合， AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.例 2 已知ABC 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC 的内心，且I 在ABC 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF . 证实 作ABC 的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，,AE AF 为圆的从同一点作的两条切线，AE AF ，同理，BD=BF ，CD=CE. 即2b c a AE AF . 例 3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知O 为三角形ABC 的重心和内心. 求证 三角形ABC 为等边三角形. 证实 如图，连AO 并耽误交BC 于D. O 为三角形的内心，故AD 平分BAC ， AB BD AC DC （角平分线性质定理）O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD=DC. 1AB AC ，即AB AC . 同理可得，AB=BC. ABC 为等边三角形.例4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知ABC 中，,AD BC D BE AC E 于于，AD 与BE 交于H 点.求证CH AB .证实 以CH 为直径作圆，D E 、在以CH 为直径的圆上， FCB DEH .同理，E 、D 在以AB 为直径的圆上，可得BED BAD .BCH BAD ， 又ABD 与CBF 有公共角B ，90o CFB ADB。
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3. 方程与不等式 1. 二元二次方程组的解法 第三
章
相似形、三角形、圆
1. 相似形
1. 平行线分线段成比例定理
2. 相似三角形形的性质与判定
2. 三角形
1. 三角形的五心
2. 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用
3. 圆
1. 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理
2. 点的轨迹
3. 四点共圆的性质与判定
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例 1 计算：(x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1) ． 解法一：原式= (x2 1) (x2 1)2 x2
= (x2 1)(x4 x2 1)
= x6 1． 解法二：原式=(x 1)(x2 x 1)(x 1)(x2 x 1)
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
1 立方和公式 2 立方差公式 3 三数和平方公式 4 两数和立方公式 5 两数差立方公式
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 ； (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 ； (a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac) ； (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ； (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ．
图 1．1－1
D(坐标为 4)的右侧．
x＜0，或 x＞4．
练习
1. 填空：
（1）若 x 5，则 x=
；若 x 4 ，则 x=
.
（2）如果 a b 5，且 a 1，则 b＝
；若 1 c 2 ，则 c＝
.
2. 选择题：
下
列
叙
述
正
确
的
是
（）
（A）若 a b ，则 a b
（B）若 a b ，则 a b
学海无 涯
第一章 数与式
目录
1. 数与式的运算
1. 绝对值
2. 乘法公式
3. 二次根式
4. 分式 1.2 分解因式
第二章 二次方程与二次不等式
1. 一元二次方程
1. 根的判别式
2. 根与系数的关系
2. 二次函数
1. 二次函数y=ax2+bx+c 的图像和性质 2. 二次函数的三种表达方式
3. 二次函数的应用
2 ，3 a 与 a ， 3 6 与 3 6 ，2 3 3 2 与 2 3 3 2 ，等等． 一般地，a x 与 x ， a x b y 与 a x b y ， a x b 与 a x b 互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的 根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分 子中的根号的过程
4. 直线和圆的方程（选学）
1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反 数，零的绝对值仍是零．即
a.
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
1
学海无 涯
（C）若 a b ，则 a b
（D）若 a b ，则 a b
3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
2
1 平方差公式 2 完全平方公式
学 海 无 涯 (a
b)(a b) a2 b2 ； (a b)2 a2 2ab b2 ．
9 4 23
（2）(4m
)2 16m2 4m (
(3 ) (a 2b c)2 a2 4b2 c2 ( 2．选择题：
）；
)； )．
（ 1 ） 若 x2 1 mx k 是 一 个 完 全 平 方 式 ， 则 k 等 于
2
（
）
（A） m2
（B）1 m2
4
（C）1 m2
3
（D） 1 m2
= (x3 1)(x3 1)
= x6 1． 例 2 已知a b c 4 ， ab bc ac 4 ，求 a2 b2 c2 的值． 解： a2 b2 c2 (a b c)2 2(ab bc ac) 8 ．
练习 1．填空：
（1） 1 a2 1 b2 ( 1 b 1a) （
之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的
距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．
|x－3|
所以，不等式 x 1 x 3 ＞4 的几何意义即
为 |PA|＋|PB|＞4．
PCA x 01
BD
34
x
由|AB|＝2，可知
|x－1|
点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点
两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数b 之间的距
离．
例 1 解不等式： x 1 x 3 ＞4．
解法一：由 x 1 0 ，得 x 1；由 x 3 0 ，得 x 3； ①若 x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4，
即 2x 4 ＞4，解得 x＜0， 又 x＜1， ∴x＜0； ②若1 x 2 ，不等式可变为(x 1) (x 3) 4，
16
（ 2 ） 不 论 a ， b 为 何 实 数 ， a2 b2 2a 4b 8 的 值
（
）
（A）总是正数
（B）总是负数
（C）可以是零
（D）可以是正数也可以是负
数
1.1.3．二次根式
一般地，形如 a (a 0) 的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能 够开得尽方的式子称为无理式. 例如 3a a2 b 2b ， a2 b2 等是无理式，而
即 1＞4， ∴不存在满足条件的 x； ③若 x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4，
即 2x 4 ＞4， 解得 x＞4． 又 x≥3， ∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为
x＜0，或 x＞4．
解法二：如图 1．1－1， x 1 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A
2x2 2 x 1， x2 2xy y2 ， a2 等是有理式．
2
3
1．分母（子）有理化
学海无 涯
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）
有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果 它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 2 与