图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式
球的表面积和体积PPT课件[1]
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3 1 : 4. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______
2 略解：可知半径 R 4 2 2， 2 S球 4R 2 32； 4 64 2 3 V球 R . 3 3
循序渐进——延伸拓展
引例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为acm,它的各个顶点都在球O的球面上，问 球O的表面积。(教材P28练习2） D A D1 A1c，则三球 表面积之比为 3 a 2 : 3 b2 : 3 c2 ；半 3 径之比为 . a :3 b :3 c
例2、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
证明: (1)设球的半径为R, 则圆柱的底面半径为R,高为2R.
球的表面积等于球的大圆面积的4倍
排液法测小球的体积
实验
h
排液法测小球的体积
实验
小 球 它 的 排 体 等 开 积 于 液 体 的 体 积
H
h
自主学习——合作探究
球的体积
球的表面积
4 3 V球 R 3 2
S球 4 R
O
R
都是以R为自变量的函数
结论
（1）若三球半径之比为 r 1 : r2 : r 3 ， 则三球表面积之比为 r12 : r2 2 : r32 ； 体积之比为 r13 : r23 : r33 ；
O
C1 B1
略解： RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) 2 a 2 + ( 2a ) 2 , 得 3 R a 2 S 4R 2 3a 2
D
A D1 A1 B1 O B
如何计算球的体积和表面积
如何计算球的体积和表面积计算球的体积和表面积球是数学中一个常见的几何体，它在现实生活中也有很多应用。
无论是在数学课上还是在实际问题中，计算球的体积和表面积都是必不可少的。
下面将分别介绍如何计算球的体积和表面积。
一、计算球的体积球的体积是指球内所有点所组成的空间，通常用单位体积所包含的球半径为1的球数量来表示。
计算球的体积的公式如下：V = (4/3)πr³其中，V表示球的体积，π表示圆周率（取近似值3.14159），r表示球的半径。
例如，如果球的半径为5米，那么可以按照上述公式进行计算：V = (4/3)π(5²) = (4/3)π(25) ≈ 523.6因此，球的体积约为523.6立方米。
二、计算球的表面积球的表面积是指球球面的总面积。
球的表面积计算公式如下：S = 4πr²其中，S表示球的表面积，π表示圆周率（取近似值3.14159），r 表示球的半径。
以球的半径为5米为例，可以按照上述公式进行计算：S = 4π(5²) = 4π(25) ≈ 314.16因此，球的表面积约为314.16平方米。
总结：计算球的体积和表面积是常见的数学问题。
通过上述计算公式，可以得到准确的结果。
需要注意的是，在实际问题中，可能会有其他要求和约束，需要根据具体情况进行相应的计算。
在应用中，还可以使用数值计算工具或计算器来进行球的体积和表面积的计算，以提高效率和准确性。
结论通过以上的介绍，我们可以了解如何计算球的体积和表面积。
对于数学学科来说，掌握如何计算球的体积和表面积是基础的知识点，也是应用数学的实际需求。
无论是在学术研究中还是在实际工作中，了解和应用这些计算方法都是非常重要的。
希望通过本文的介绍，读者能够掌握如何进行球的体积和表面积的计算。
1.3.2 球的体积与表面积
B
练习．若一个球的外切正方体的全面积 等于6，求球的体积。 1
6
A B
O1
C
C
思考练习：左图是一个奖杯的三视图(单位:cm),
画出它的直观图，并计算这个奖杯的表面积
和体积（精确到1cm）。
4 20 8
4
10 16 8
20 2
z’
y’
o'
x'
答、表面积和体积分别是：1193cm2，1067cm3
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
球的表面积和体积
球
生活中常见的球体：
思考：
一
球的概念是什么？
二
三
球有哪些性质？
如何求球的体积
和表面积？
球的概 念和性 质
一
球的概念
如图所示，半圆以它的直 径为旋转轴，旋转所成的曲面 叫做球面. 球面所围成的几何 体叫做球体，简称球. 半圆的 圆心叫球心,图中点O. 连结球 心和球面上任意一点的线段叫 做球的半径，图中线段R. 连结 球面上两点并且经过球心的线 段叫做球的直径，图中线段AB.
直径.求证： （1） 球的表面积等于 圆柱的侧面积； （2） 球的表面积等于 圆柱全面积的2/3. 证明：（1）设球的半径为 R，则圆柱的底面半径 为R，高S球 4 R ， 2 S圆柱面 2 R 2R=4 R .
2
S球 S圆柱面 .
(2)
S圆柱全 4 R 2 R 6 R ,
球的概 念和性 质
二
球的性质
用一个平面（如图中平面 ）去截一个球， 截面是圆面，球的截面有下面的性质： ⑴、球心和截面圆心的连线 垂直于截面（如图直线o1o2 垂直于平面 ）； o ⑵、球心到截面的距离d R d 与球的半径R及截面的半 r o 径r有下面的关系：
1 2
r R d
2
2
例题 讲解 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的 例2、
课堂 小结 熟练掌握球的体积、表面积公式：
4 3 ①V R 3 2 ②S 4 R
A
C RO
B
球的概 念和性 质
一
球的概念
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆（如 图中红色部分），被不经过球心的截面截得的圆叫 做小圆（如图中绿色部分）. Q 球面上两点之间最短连线 的长度，就是经过这两点的 大圆在这两点间的一段劣弧 O 的长度，这个弧长叫做两点 P 的球面距离（如图中 PQ的长 度就是P、Q两点之间的球面 距离 ）.
球体的体积与表面积计算方法
球体的体积与表面积计算方法球体是一种常见的几何体，球体的体积和表面积是我们经常需要计算的量。
本文将介绍球体的体积与表面积计算方法及其推导过程。
一、球体的体积计算方法要计算一个球体的体积，我们需要知道球的半径。
球体的体积可以通过以下公式来计算：V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，π近似为3.14159，r表示球体的半径。
这个公式是根据球体的几何性质推导出来的。
具体计算过程如下：1. 确定球体的半径r；2. 将半径r的值代入公式V = (4/3)πr³中；3. 按照计算器的要求进行计算，得到球体的体积V。
例如，如果球体的半径r为10cm，那么根据公式V = (4/3)πr³，计算得到该球体的体积为：V = (4/3) × 3.14159 × 10³ ≈ 4188.79 cm³所以，球体的体积约为4188.79 cm³。
二、球体的表面积计算方法球体的表面积也是通过球的半径来计算的。
球体的表面积可以通过以下公式来计算：A = 4πr²其中，A表示球体的表面积，π近似为3.14159，r表示球体的半径。
具体计算过程如下：1. 确定球体的半径r；2. 将半径r的值代入公式A = 4πr²中；3. 按照计算器的要求进行计算，得到球体的表面积A。
例如，如果球体的半径r为10cm，那么根据公式A = 4πr²，计算得到该球体的表面积为：A = 4 × 3.14159 × 10² ≈ 1256.64 cm²所以，该球体的表面积约为1256.64 cm²。
综上所述，球体的体积与表面积计算方法基于球的半径，通过相应的公式进行计算。
需要注意的是，在计算过程中要保留足够的小数位数，以提高计算的准确性。
值得一提的是，这些计算方法不仅适用于正规球体，对于近似球体（如地球）同样适用。
球体的表面积和体积计算公式
球体的表面积和体积计算公式球体是一种几何体，具有圆形的外表，其曲面积和体积是求解球体性质的重要公式。
本文将介绍球体的表面积和体积计算公式，以及如何应用这些公式。
一、球体的表面积计算公式表面积是球体曲面的总面积，可以用一个公式来计算。
下面是球体表面积计算公式：表面积= 4 * π * r²其中，表面积表示球体的总曲面积，π（pi）是一个数学常量，约等于3.14159，r表示球体的半径。
例如，如果一个球体的半径为5米，那么它的表面积可以计算为：表面积 = 4 * 3.14159 * 5² = 314.159平方米所以，这个球体的表面积约为314.159平方米。
二、球体的体积计算公式体积是球体内部空间的大小，同样可以用一个公式来计算。
下面是球体体积计算公式：体积= (4/3) * π * r³其中，体积表示球体的容积大小，π（pi）是一个数学常量，约等于3.14159，r表示球体的半径。
举个例子，如果一个球体的半径为5米，那么它的体积可以计算为：体积 = (4/3) * 3.14159 * 5³ = 523.599立方米因此，这个球体的体积约为523.599立方米。
三、应用示例现在我们来看一个具体的应用示例，以帮助理解如何计算球体的表面积和体积。
假设有一个篮球，它的半径为0.15米。
首先，我们计算它的表面积：表面积= 4 * 3.14159 * 0.15² ≈ 0.2827平方米接下来，我们计算篮球的体积：体积= (4/3) * 3.14159 * 0.15³ ≈ 0.1414立方米所以，这个篮球的表面积约为0.2827平方米，体积约为0.1414立方米。
四、总结通过本文我们了解到了球体的表面积和体积计算公式。
表面积的计算公式为表面积= 4 * π * r²，体积的计算公式为体积= (4/3) * π * r³。
在实际应用中，我们可以根据球体的半径来计算其表面积和体积。
球的表面积与体积PPT课件
5，15，求它的外接球表面积 .
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
R
2R
R
2
延伸阅读：割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽 为推导圆的面积公式而发明了“倍 边法割圆术”。
他用加倍的方式不断增加圆内接正
多边形的边数，使其面积与圆的面
积之差更小，即所谓“割之弥细，
所失弥小”。这样重复下去，就达
到了“割之又割，以至于不可再割， 思考：能否也
则与圆合体而无所失矣”。
采取“分割”与
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
a
r1
a 2
a
r2
2a 2
a
r3
3a 2
a
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
球与正方体的“接切”问题
1.一个正方体的顶点都在 球面上，它的棱长 是4cm，求这个球队体积. 2.钢球直径5cm，把钢球放入一个正方 体的 有盖纸盒中，至少要用 多少纸？ 3.半球内有一内接正方体 ，正方体的一个面 在半球的底面圆上，若 正方体的一边长为
球的体积与表面积公式
球的体积与表面积公式球体是一种三维几何体，其特点是每一点到中心点的距离都相等。
计算球的体积和表面积是在数学和几何学中的基本问题。
本文将介绍球的体积和表面积的计算公式，并且通过实例演示如何应用这些公式进行计算。
一、球的体积公式球体的体积是指球内部所占据的空间大小，用于描述球体的容积。
球的体积公式如下：V = (4/3)πr³其中，V表示球的体积，π是一个数学常数，近似值为3.14159，r 表示球的半径。
例如，如果已知一个球的半径为5单位长度，我们可以使用体积公式计算该球的体积。
V = (4/3)π(5)³≈ 523.6因此，该球的体积近似为523.6个单位体积。
二、球的表面积公式球体的表面积是指球的外部曲面的总面积，用于描述球的大小。
球的表面积公式如下：A = 4πr²其中，A表示球的表面积，π是一个数学常数，近似值为3.14159，r表示球的半径。
举个例子，如果已知一个球的半径为5单位长度，我们可以使用表面积公式计算该球的表面积。
A = 4π(5)²≈ 314.159因此，该球的表面积近似为314.159个单位面积。
三、应用实例为了更好地理解球的体积和表面积公式的应用，我们举个具体的实例。
假设有一个网球，其半径为3.5单位长度，我们可以通过体积公式计算该网球的体积。
V = (4/3)π(3.5)³≈ 179.592因此，该网球的体积近似为179.592个单位体积。
同时，我们可以通过表面积公式计算该网球的表面积。
A = 4π(3.5)²≈ 153.937因此，该网球的表面积近似为153.937个单位面积。
这个实例向我们展示了如何使用球的体积和表面积公式进行计算。
通过掌握这些公式，我们可以方便地计算不同半径的球体的体积和表面积，为实际问题解决提供了数学工具和便利。
总结：本文介绍了球的体积和表面积的公式，并通过实例演示了如何应用这些公式进行计算。
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图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式
一、球体面积
球体表面是可以由N个带弧形的等腰三角形拼凑而成，见图一、图二、图三。
设球体的二分之一水平中心为腰线，在球顶和球底正中各设一个顶点和底点a，然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三角形。
根据定义：线的长度不因弯曲而改变，球面可无限分割成N个等腰三角形
如图二、图四、图五所示，所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形，亦可将等腰三角形拼凑成方形。
在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后，我们可以对球体表面积的
计算有比较清晰的判断。
即，球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形，等腰
三角形亦可拼凑成方形，由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。
即S = 长×宽，如果我们设球体1/4之一的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表面积公式为：S=1/4周长×周长（见图六）
例1：已知球体直径是1个单位，求球体表面积（用上述最新推导公式 S=1/4
周长×周长）
S =（3.14159÷4）×3.14159 = 2.4674㎡
二、球体体积
设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体
按等分无限分割成N个半圆楔形体。
见图七、图八。
球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图十。
从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正
好是球体周长的1/4。
则球体体积公式为：V =πR平方×周长的1/4
或：V = D（直径的三次方）×0.616849233
例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式）
V =πR平方×周长的1/4
= 3.14159×0.25×0.7853975
= 0.616849233
三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误
1、球体面积
如何检验球体面积计算的正确，最好的方法就是用计算结果制成N个等
腰三角形的薄膜反贴球体表面。
如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确，如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确，见图十一。
图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比，新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。
计算过程：
S =（1.570795×0.7853975） = 1.2336㎡
公知公式计算结果反贴复原后剩余有0.337㎡的面积。
计算过程：
S = 1×3.14159÷2 = 1.570795㎡
2、球体体积
如何检验球体体积计算的正确，最好的方法就是用溢水法进行检验。
根
据公知的容积单位：每立方米的水为1000升，每立方厘米的水为1毫升。
因此我
们可以将同直径的球体分别用两种不同的公式计算，将计算结果再与用溢水法实际测量的结果进行对比。
在大量的实验中我们的确发现了公知公式的问题，下表是实验中两种公式计算结果与实际测量的数据对比（球体体积）：
上表数据对比清楚的表明，用量筒实际测量的结果与新公式计算的结果最为接近，可以证明球体体积新公式是正确可靠的。