2021-2022年北京市人大附中高三数学中档题练习二
北京市人大附中高三数学中档题练习二
北京市人大附中高三数学中档题练习二 1．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下发芽成功的概率为21于是该学习团队分两个小组进行验证性实验. （Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；
（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次。
求这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和数学期望.
2．在三棱锥M —ABC 中，CM ⊥平面ABC ，MA=MB ，NA=NB=NC.
（Ⅰ）求证：AM ⊥BC ；
（Ⅱ）若∠AMB=30°，求二面角M —AB —C 的余弦值.
3．已知向量]2
,2[),1,1(),2sin ,2(cos ),23sin ,23
(cos ππ−∈−=−==x c x x b x x a 其中 （Ⅰ）求证：)()(b a b a −⊥+；
（Ⅱ）设函数3|)(|3|(|)(22−+−+=c b c a x f )，求)(x f 的最大值和最小值 。
4．已知)(323
2)(23R a x ax x x f ∈−−=. （Ⅰ）若)(x f 在区间（－1，1）上为减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）试讨论y=)(x f 在（－1，1）内的极值点的个数.。
2021-2022年北京市人大附中高三数学基础练习题二
北京市人大附中高三数学基础练习题二一、选择题：1．已知集合22{|1},{(,)|1}M y y x N x y x y ==+=+=，则M ⋂N 中元素的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．多个2．已知复数212,1z a i z a i =+=+，若21z z 是实数，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．一1 C ．一2 D ．23．函数()log x a f x a x =+在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为14-，最大值与最小值之积为38-，则a 等于（ ）A ．2B ． 2或12 C ．12 D ．23 4．若函数()sin x f x e x =，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为（ ）A ．2π B ．0 C ．钝角 D ．锐角 5．已知实数a 、b 满足等式23log log a b =，下列五个关系式：① 0<a <b <1； ② 0<b <a <1； ③ a = b ； ④ l<a <b ； ⑤ 1<b <a 。
其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．函数()f x 为奇函数且(31)f x +的周期为3，(1)1f =-，则(2006)f 等于（ ）A ．1B ．0C ．－1D ．27．函数2()log (672)x f x x x =-+的定义域是（ ）A ．12(,)(,)23-∞⋃+∞ B ．12(0,)(,1)(1,)23⋃⋃+∞ C ．12(,)23 D ．123(0,)(,1)(1,)232⋃⋃ 8．若211lim 31x ax bx x →++=--，则a 、b 的值为（ ） A ．a =－5，b = 4 B ．a =1．b =－2 C ．a = 4，b =－5 D ．a =－2 , b =19．已知函数()1log (0a f x x a =+>且1)a ≠，满足(9)3f =，则19(log 2)f -的值是（ ）A．31log -+ B ．C．13。
北京人大附中高三中档题1-5套 答案
北京市人大附中高三数学中档练习题（一）至（五）参考答案练习题一1．解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有(7 - x )人，那么只会一项的人数是(7 - 2x )人．(I)∵7(0)(1)1(0)10P P P ξξξ>=≥=-==，∴3(0)10P ξ==． 即27227310xx C C --=．∴(72)(62)3(7)(6)10x x x x --=--．∴x = 2。
故文娱队共有5人． (II) ξ112325C C 3(1)C 5P ξ⋅===，2225C 1(2)C 10P ξ===，∴33101210510E ξ=⨯+⨯+⨯=45．2．解：(I) 由题设2a 3 = a 1 + a 2，即2a 1q 2 = a 1 + a 1q ，∵a 1 ≠ 0，∴2q 2- q - 1 = 0，∴q = 1，或q = -12．(II) 若q = 1，则2(1)32122n n n n nS n -+=+⋅=， 当n ≥ 2时，1(1)(2)02n n n n n S b S --+-==>，故S n > b n ．若q = -12，则2(1)192()224n n n n nS n --+=+-=， 当n ≥ 2时，1(1)(10)4n n n n n S b S ----==-，故对于n ∈ N *，当2 ≤ n ≤ 9时，S n > b n ；当n = 10时，S n = b n ；当n ≥ 11时，S n < b n ．3．解：(I) ∵f (x ) = mx 3 + nx 2，∴f '(x ) = 3mx 2+ 2nx ，由已知条件得：f '(2) = 0，∴3m + n = 0，即n = - 3m ． (II) ∵n = - 3m ，∴f (x ) = mx 3 - 3mx 2， ∴f '(x ) = 3mx 3- 6mx ，令f '(x ) > 0得3mx 3- 6mx > 0，当m > 0时，x < 0或 x > 2， ∴函数f (x )的单调递增区间为(- ∞，0)，(2，+ ∞)； 当m < 0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2)，综上：当m > 0时，函数f (x )的单调递增区间为(- ∞，0)，(2，+ ∞)； 当m < 0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2)．(III) 由(I)得：f (x ) = mx 3 - 3mx 2，f '(x ) = 3mx 3- 6mx ，l ：32211111(3)(36)()y mx mx mx mx x x --=--，令y = 0，由m ≠ 0，x 1 > 2，得21121233(2)x x x x -=-，2221111211123212182(3)333(2)3(2)3(2)x x x x x x x x x --+--=-==---， ∵x 1 > 2，(x 1 - 3 )2≥ 0，∴x 2 - 3 ≥ 0，即：x 2 ≥ 3．4．解：(I) ∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱，∴CC 1⊥底面ABC ， ∴CC 1⊥BC ，∵AC ⊥CB ， ∴BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴BC 长度即为B 点到平面A 1C 1CA 的距离，∵BC = 2， ∴点B 到平面A 1C 1CA 的距离为2．(II) 分别延长AC ，A 1D 交于G ，过C 作CM ⊥A 1G 于M ，连结BM ， ∵BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴CM 为BM 在平面A 1C 1CA 的内射影， ∴BM ⊥A 1G ， ∴∠GMB 为二面角B —A 1D —A 的平面角， 平面A 1C 1CA 中，C 1C = CA = 2，D 为C 1C 的中点，∴CG = 2，DC = 1，在直角三角形CDG中，CMtan GMB即二面角B —A 1D —A 的大小为5arctan ．(III) 在线段AC 上存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ， 其位置为AC 中点，证明如下：∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱， ∴B 1C 1//BC ， ∵由(I)，BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ，∵EF 在平面A 1C 1CA 内的射影为C 1F ， ∵F 为AC 中点，∴C 1F ⊥A 1D ， ∴EF ⊥A 1D ，同理可证EF ⊥BD ，∴EF ⊥平面A 1BD ，∵E 为定点，平面A 1BD 为定平面，∴ 点F 唯一．练习题二1．解：（Ⅰ）)(x f ＝OP ·OQ ＝1sin 2cos cos cos 22-+-+x x x x=)4sin(2cos sin π+=+x x x ，则)(x f 的最小正周期为π2=T ．（Ⅱ）由·OQ ＜－１，得22)4sin(-<+πx ． 又)2,0(π∈x ，则47445πππ<+<x ，即23ππ<<x ．故x 的取值范围是（23,ππ）． 2．解: （Ⅰ）312)0(33===A p ξ; （Ⅱ）21)1(3313===A C p ξ，611)3(33===A p ξ，故其分布列为:111012 1.326E ξ=⨯+⨯+⨯=3．（Ⅰ）证明：三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，平面11111C B A A ABB 平面⊥，又点D 是等腰直角三角形111C B A 斜边11B A 的中点，则111B A D C ⊥，所以，BA B A D C 111平面⊥；（Ⅱ）过A 1作A 1E ⊥A C 1于E 点, 1111111,CC C B C A C B ⊥⊥Θ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ．又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1，∴平面AB 1C 1⊥平面A 1C 1CA ． 又∵A 1E ⊥AC 1, ∴A 1E ⊥平面AB 1C 1， ∴A 1E 就是A 1到平面AB 1C 1的距离．由已知，A C 1A 1E（Ⅲ）解：.BA B A 11平面内，过D 作1AB DE ⊥，垂足为E ，连结E C 1，则11AB E C ⊥．ED C 1∠是二面角111C AB A --的平面角，在1DEC Rt ∆中，2arctan ,22222tan 1111=∠===∠ED C D B DEDC ED C ，所以， 二面角111C AB A --的大小为2arctan .4．解：（Ⅰ）由题意知：n nMB MA K K =，由斜率公式得1122122---=--nn n a n ，解得：n a n 2=．（Ⅱ）由题设知： ()121+=+⋅⋅⋅++n n a a a n ，条件中的等式可化为：()()3212211-+=⋅⋅⋅++n n n b a b a b a n n ， ①有()()521112211--=⋅⋅⋅++--n n n b a b a b a n n ， ②①—②得()2,43≥-=n n b n 当1=n 时，()12111-⋅⋅=b a 得11-=b ．∴34,N n b n n *=-∈ n n b b b n 2523221-=+⋅⋅⋅++∴．练习题三1．（Ⅰ）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=θθθθΘ ∴由||||,AC BC =u u u r u u u r2222(cos 3)sin cos (sin 3)θθθθ-+=+-得, 即cos θ=sin θ.又),23,2(ππθ∈ ∴45πθ= （Ⅱ）由1-=⋅，得cos θ（cos θ－3）+sin θ（sin θ－3）=－1,即sin θ+cos θ=.32两边平方，得2sin θcos θ=95-. θθθθθθθθcos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222++=++∴95cos sin 2-==θθ2．（Ⅰ）∵,61)0(252===+n n C C P ξ ∴,0432=--n n 解得n =－1（舍去）或n =4.即袋中有4个黑球.（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，4. ∵,61)0(==ξP ,31)1(291314===C C C P ξ ,3611)2(29121423=⋅+==C C C C P ξ ,61)3(291213=+==C C C P ξ,361)4(2922===C C P ξ∴ξ的概率分布列为 .914361461336112311610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ξ0 1 2 3 4P6131 3611 61 361 3．（Ⅰ）∵PD=CD=1，PC=2，∴PD 2+CD 2=PC 2，即PD ⊥CD. ∴PD ⊥平面ABCD. （Ⅱ）如图，连结AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD. ∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AC.∴AC ⊥平面PBD.过O 点作OE ⊥PB 于E ，连结AE ，则AE ⊥PB ，故∠AEO 为二面角A —PB —D 的平面角.由Rt △OEB ∽Rt △PDB ，得OE=66=⋅PB OB PD . ∴tan ∠AEO=,3=OEAO即∠AEO=60°4．（Ⅰ）2234)(a ax x x f -+-='（1分）令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为(－∞，a )和(3a ，+∞) ∴当x=a 时，)(x f 极小值=;433b a +-当x=3a 时，)(x f 极小值=b. （Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得－a ≤－x 2+4ax －3a 2≤a .① ∵0<a <1， ∴a +1>2a .∴]2,1[34)(22++-+-='a a a ax x x f 在上是减函数 ∴.44)2()(.12)1()(min max -=+='-=+'='a a f x f a a f x f 于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于.154.12,44≤≤⎩⎨⎧-≥-≤-a a a a a 解得 又,10<<a ∴.154<≤a练习题四1．（I ）设在这5次种植物种子的发芽实验中，有x 次成功，至少有3次成功的概率为P ，包括3次、4次和5次成功，即：3324455555(3)(4)(5)11111()(1)()(1)()0.522222P P x P x P x C C C ==+=+==-+-+=E ξ=1×2+2×4+3×8+4×16+5×16=162．证明：（I ）∵NA=NB=NC∴N 是△ABC 外接圆的圆心，可得∠ACB=90°，即BC ⊥AC, ∵CM ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MC ⊥BC ， ∴BC ⊥面MAC ，∴BC ⊥MA ； （II ）（理）∵CM ⊥面ABC ，MA=MB ，∴CA=CB ，∴∠ANC=∠BNC=90°，∴AB ⊥CN连结MN ，AB ⊥MN ，∴∠MNC 为二面角M —AB —C 的平面角。
北京市人大附中2022届高三3月数学统练(二)试题(1)
一、单选题二、多选题1.设集合，则满足条件的集合的个数是A ．1B ．3C ．4D ．82.下列函数中，在上单调递减的是（ ）．A．B．C．D．3. 已知复数，则的虚部是（ ）A．B．C ．1D ．4.已知等差数列中，，，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是（ ）A．B．C．D．5.一数字电子表显示的时间是四位数，如，那么在一天（24小时制）内，所显的四个数字和是23的概率是（ ）A．B．C．D．6. 若，则（ ）A ．3B．C ．2D ．47. 已知的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ）A ．80B ．160C ．240D ．3208.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移得到函数，则函数的解析式为（ ）A．B．C．D．9. 对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ）A ．若且，则B．若且，则C ．若且，则D ．存在，使得10. 已知在棱长为1的正方体中，为正方体内及表面上一点，且，其中，，则下列说法正确的是（ ）A．当时，对任意，恒成立B．当时，与平面所成的最大角的正弦值为C ．当时，线段上的点与线段上的点的距离最小值为D．当时，存在唯一的点，使得平面平面11. 已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论正确的有（ ）北京市人大附中2022届高三3月数学统练（二）试题(1)北京市人大附中2022届高三3月数学统练（二）试题(1)三、填空题四、解答题A．B ．是偶函数C ．关于中心对称D．12.如图，在长方体中，，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则以下结论正确的为（）A ．平面B ．不存在点，使得平面C．点和点到平面的距离相等D ．直线与平面所成角的最大值为13. 已知关于的方程在上有两个不相等的实很，则实数的取值范围是________.14. 一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92，则h ＝________．15. 已知正顶等比数列{}中，，记数列{}的前n 项和为T n ，则T 20=__________．16. 某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知从左至右前四组的频率依次为0.05，0.10，0.25，0.35，结合该图提供的信息回答下列问题：(1)抽取的学生人数共有______人，体重不低于58千克的学生有______人；(2)这部分学生体重的中位数落在第______组；(3)在这次抽样测试中，第一组学生的体重分别记录如下：40，40，41，42，43．如果要从这组学生中随机抽取2人，求被抽到的2人体重都不低于41千克的概率．17. 某学校食堂中午和晩上都会提供两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；在中午选择类套餐的前提下，晩上还选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；在中午选择类套餐的前提下，晩上选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为.(1)若同学甲晩上选择类套餐，求同学甲中午也选择类套餐的概率；(2)记某宿舍的4名同学在晩上选择类套餐的人数为，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求的分布列及数学期望.18. 已知函数（1）当时，求的单调区间，并证明此时成立；（2）若在上恒成立，求的取值范围.19. 已知数列的奇数项依次成公比为2的等比数列，偶数项依次成公差为4的等差数列，数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.20. 已知函数（为常数）.(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，都存在使得不等式成立，求实数的取值范围.21. 某高校筹办大学生运动会，设计两种赛事方案：方案一､方案二､为了了解运动员对活动方案是否支持，对全体运动员进行简单随机抽样，抽取了名运动员，获得数据如表：方案一方案二支持不支持支持不支持男运人人人人动员女运人人人人动员假设所有运动员对活动方案是否支持相互独立.（1）根据所给数据，判断是否有的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关？（2）在抽出的名运动员中，按是否支持方案二分层抽样抽出了人，从这人中随机抽取人，求抽取的人都支持方案二的概率.附：，.。
北京市人大附中2022届高三3月数学统练(二)试题(1)
一、单选题二、多选题1.若，则（ ）A．B．C．D．2. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，又合而为一”.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（）A ．7B ．10C ．12D ．183. 命题p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f （x +a ）＜f （x ）+f （a ）；命题q 1：f （x ）单调递减且f （x ）＞0恒成立；命题q 2：f （x ）单调递增，存在x 0＜0使得f （x 0）＝0.则下列说法正确的是（ ）A ．只有q 1是p 的充分条件B ．只有q 2是p 的充分条件C ．q 1，q 2都是p 的充分条件D ．q 1，q 2都不是p 的充分条件4. 已知为递增的等比数列，且满足，，则（ ）A．B ．1C ．16D ．325. 考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（ ）A．B．C．D．6.已知双曲线的右顶点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．7. 已知集合，，则A．B．C．D．8. 已知，，，.给出以下三个命题：①分别过点，，作的不同于轴的切线，两切线相交于点，则点的轨迹为椭圆的一部分；②若，相切于点，则点的轨迹恒在定圆上；③若，相离，且，则与，都外切的圆的圆心在定椭圆上.则以上命题正确的是A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③北京市人大附中2022届高三3月数学统练（二）试题(1)北京市人大附中2022届高三3月数学统练（二）试题(1)三、填空题四、解答题9. 若直线与两曲线、分别交于、两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论正确的有（ ）A ．存在，使B ．当时，取得最小值C．没有最小值D．10. 已知向量，，函数则下列选项正确的（ ）A ．函数是偶函数B ．函数的值域为C ．函数在区间内所有零点之和为D．将函数图象上各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象上各点向下平移个单位长度，最后将所得图象向左平移个单位长度，可得函数的图象11. 为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，则下列选项正确的是( )A ．共有625种分配方法B ．共有1024种分配方法C ．每个小区至少分配一名志愿者，则有240种分配方法D ．每个小区至少分配一名志愿者，则有480种分配方法12. 命题“是的必要不充分条件”是假命题，则不可能的取值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．413. 如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点在四边形内运动所形成轨迹的长度为__________.14. 已知函数，若且，则的取值范围为__________．15. 已知向量，，且，则______．16. 近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人数也逐年上升．下表是某高校数学专业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照表：年份20162017201820192020年份代码（）该校最低提档分数线数学专业录取平均分提档线与数学专业录取平均分之差（）（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的线性回归方程；（2）据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数服从正态分布，其中为当年该大学的数学录取平均分，假设2021年该校最低提档分数线为分．（i）若该大学2021年数学专业录取的学生成绩在分以上的有人，本专业2021年录取学生共多少人？进入本专业高考成绩前名的学生可以获得一等奖学金．一等奖学金分数线应该设定为多少分？请说明理由．（ii）若同学2021年高考考了分，他很想报考这所大学的数学专业，想第一志愿填报，请利用概率与统计知识，给该同学一个合理的建议．（第一志愿录取可能性低于，则建议谨慎报考）参考公式：，．参考数据：，，17. 已知等差数列的前项和为，且，数列满足，设．(1)求的通项公式，并证明：；(2)设，求数列的前项和．18. 已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于点P..(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线与C交于A，B两点，与圆交于D，E两点，若，求直线的方程，19. 已知等差数列的前项和为（1）求；（2）求数列的前项和.20.如下图，已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点互不重合．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值．21. 某中学高一期中考试结束后，从高一年级1000名学生中任意抽取50名学生，将这50名学生的某一科的考试成绩作为样本进行统计，并作出样本成绩的频率分布直方图（如图）．（1）由于工作疏忽，将成绩[130，140）的数据丢失，求此区间的人数及频率分布直方图的中位数；（结果保留两位小数）（2）若规定考试分数不小于120分为优秀，现从样本的优秀学生中任意选出3名学生，参加学习经验交流会．设X表示参加学习经验交流会的学生分数不小于130分的学生人数，求X的分布列及期望；（3）视样本频率为概率．由于特殊原因，有一个学生不能到学校参加考试，根据以往考试成绩，一般这名学生的成绩应在平均分左右．试根据以上数据，说明他若参加考试，可能得多少分？（每组数据以区问的中点值为代表）。
北京市人大附中2022届高三3月数学统练(二)试题(含答案解析)
北京市人大附中2022届高三3月数学统练（二）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}|13A x N x =∈-≤<，2,1,0,1,2U ，则UA 为（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}2,1,0--D ．{}2,1--2．在复平面内，复数21iz i=- 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．二项式62x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（ ）A ．15-B ．15C ．60-D ．604．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面有三个命题： ①l m αβ⇒⊥∥；①l m αβ⊥⇒∥；①l m αβ⇒⊥∥.则真命题的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．35．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称．而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，则m 的值是 A ．e -B ．1e-C ．eD ．1e6．已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，用基底{},a b 表示c ，则（ ）A ．23c a b =-B ．23c a b =--C ．32c a b =-+D ．32c a b =-7．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A 、人工餐厅B ，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.7；如果第一天去B 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A 餐厅用餐的概率为（ ） A ．0.75B ．0.7C ．0.56D ．0.388．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则“函数()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增”是“02ω<<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要件9．已知点P 在抛物线2:4C y x =上，若以点P 为圆心的圆与C 的准线相切，且与x 轴相交的弦长为6，则以OP 为直径的圆与准线l 的位置关系为（ ） A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定10．《九章算术》是我国古代内容极为丰高的数学名著.书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ） A ．22斛 B ．36斛 C ．42斛 D ．88斛二、填空题11．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则10a =___________. 12．已知椭圆221259x y +=与双曲线2217x y a -=焦点重合，则该双曲线的离心率为___________.13．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示3x3的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数.考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：①这8个数列有可能均为等差数列； ①这8个数列中最多有3个等比数列；①若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5； ①若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列. 其中所有正确结论的序号是________. 三、双空题14．一组数据：7，6，3，2，8，3，5，6，9，7的中位数是___________；85%分位数是___________.15．在ABC 中，6BC =，3A π=，sin 2sinBC =，则AB =___________；ABC 的面积为___________. 四、解答题16．已知数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<）的最小正周期为π，再从下列两个条件中选择一个：条件①：()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；条件①：()f x 的图象关于直线12x π=对称.(1)请写出你选择的条件，并求()f x 的解析式；(2)当,4x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若（1）中所求函数()f x 的值域为[]1,2-，求出m 的一个合适数值.17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱1AA 上的点，E ，F ，G 分别为AC ，11A C ，1BB 的中点，12AC AA ==.(1)求证：FG AC ；(2)若FG ∥平面BCD ，试确定D 点的位置，并求二面角1B CD C 的余弦值. 18．自“新型冠状肺炎”疫情爆发以来，科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”.在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2020年年末开始使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权.研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验：(1)实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现：除2号､3号､7号和10号四只白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染.现从这10只白兔中随机抽取3只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作X ，求X 的分布列和数学期望.(2)实验二：疫苗可以再次注射第二针､加强针，但两次疫苗注射时间间隔需大于三个月.科研人员对白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响.试问：若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗后的有效率能否保证达到90%？如若可以，请说明理由；若不可以，请你参考上述实验给出注射疫苗后有效率在90%以上的建议.19．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(2,0)，且经过点(0,2)．（1）求椭圆的方程以及离心率；（2）若直线y kx m =+与椭圆E 相切于点P ，与直线4x =-相交于点Q ．在x 轴是否存在定点M ，使MP MQ ⊥？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 20．设函数()()()ln 10f x a x x a =+-≠. (1)求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)若函数()f x 有最大值并记为()M a ，求()M a 的最小值； (3)当12a =时，求()f x 零点的个数. 21．已知实数数列{}n a 满足：()21n n n a a a n N *++=-∈.(1)若10a =，42a =，求3a ，5a 的值；(2)试判断：{}n a 的项是否可以全是正数，或者全是负数？请说明理由；(3)若数列{}n a 中的各项均不为0，记{}n a 前2022项中值为负数的项个数为m ，求m 所有可能的取值.参考答案：1．D 【解析】 【分析】先化简出集合A ，再根据补集运算直接求解即可. 【详解】由集合{}|13A x N x =∈-≤<，即{}0,1,2A =，2,1,0,1,2U所以{}2,1UA =--故选：D 2．B 【解析】 【详解】 ()()()21222i 1i 1112i i i z i i i +-+====-+--+， ①复数21iz i=- 对应的点位于第二象限 故选B点睛：复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 3．D 【解析】 【分析】利用二项式的通项公式求解. 【详解】解：二项式62x ⎫⎪⎭的通项公式为()636216622rrrr rr r T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令6302r-=，解得2r = 所以展开式中常数项为()2236260T C =-=，故选：D4．C 【解析】 【详解】若直线l ⊥平面α，//αβ，则直线l ⊥平面β，又因为直线m ⊂平面β，所以l m ⊥，故①正确；若直线l ⊥平面α，αβ⊥，则//l β或直线l ⊂平面β，则l m ，可能平行、相交或异面，故①错误；若直线l ⊥平面α，l m ，则直线m ⊥平面α，又因为直线m ⊂平面β，所以αβ⊥，故①正确； 故选C. 5．B 【解析】 【详解】①函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称，①函数()y g x =与x y e =互为反函数，则()ln g x x =，又由()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，①()()ln f x x =-，又①()1f m =-，①()ln 1m -=-，1m e=-，故选B.6．D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，用坐标表示出a 、b 和c ，并设c ma nb =+，联立方程组求出m 和n 即可. 【详解】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则()()()()1,0,2,1,0,4,7,1A B C D所以()1,1a =，()2,3b =-，()7,3c =-，设向量c ma nb =+， 则()()2,37,3c ma nb m n m n =+=-+=-则273332m n m m n n -==⎧⎧⇒⎨⎨+=-=-⎩⎩， 所以32c a b =-. 故选：D7．A 【解析】 【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A 餐厅”和“第1天去B 餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 【详解】设1A =“第1天去A 餐厅用餐”，1B =“第1天去B 餐厅用餐”， 2A =“第2天去A 餐厅用餐”，则11A B Ω=⋃，且1A 与1B 互斥，根据题意得：()()110.5P A P B ==，()210.7P A A =，()210.8P A B =， 则()()()()()21211210.50.70.50.80.75P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=. 故选：A. 8．A 【解析】 【分析】由263x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得出6x πω-的取值范围，由正弦型函数的单调性列出不等式组可得ω范围，即可判断出关系. 【详解】①263x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，①626366x ππππωπωω---≤≤， 由于函数f （x ）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，①2662223620k k πππωππππωπω⎧-≥-+⎪⎪⎪-≤+⎨⎪>⎪⎪⎩（k Z ∈）解得212130k k ωωω≥-+⎧⎪≤+⎨⎪>⎩，（k Z ∈）故k 只能取0，即01ω<≤，①“函数f （x ）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增”是“02ω<<”的充分不必要条件.故选：A. 9．C 【解析】 【分析】根据抛物线方程，求出焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义可知圆P 过点()1,0F ，再根据圆与x 轴相交的弦长，即可得到P x ，从而得到P 点坐标，最后求出OP 及OP 的中点，即可判断； 【详解】解：依题意抛物线的焦点为()1,0F ，准线为1x =-，根据抛物线的定义可知PF 即为圆P 的半径，即圆P 过点()1,0F ，因为圆与x 轴相交的弦长为6，所以134P x =+=，又点P 在抛物线上，所以4P y =±，即()4,4P 或()4,4P -，所以OP =，OP 的中点为()2,2或()2,2-，点()2,2或()2,2-到准线的距离()213d =--=>OP 为直径的圆与准线l 相离； 故选：C 10．A 【解析】 【分析】由地面弧长求出圆锥底面半径，再利用体积公式求总体积，再代换为斛即可. 【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，则82r π⨯=，又取圆周率约为3解得16r π=，故米堆的体积222111311436320543V r h ππππ=⨯⨯==⨯⨯（立方尺）．因为1斛米的体积约为1.6立方尺，故总体积为200221.632033ππ=≈（斛） 故选：A 11．10 【解析】 【分析】根据等差数列及1a ，3a ，4a 成等比数列建立等式，求得18a =-即可求解. 【详解】由题意可得，314113446a a a a a a a =+=+，．，， 成等比数列， 21111(4)(6)8a a a a ∴+=+∴=-，，1019210a a ∴=+⨯=.故答案为：1012．43【解析】 【分析】由椭圆的性质得出半焦距，再由双曲线离心率公式求解即可. 【详解】设椭圆的半焦距为c，则4==c ，又716,9a a +==，故该双曲线的离心率为43=. 故答案为：4313．①①① 【解析】【分析】①. 由1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中可判断；①. 由1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9，从而可判断；①由2519283746⨯=+=+=+=+，可判断；①举反例即可判断. 【详解】①. 如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，则这8个数列均为等差数列，故①正确.①. 1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9. 由于1,2,4和2,4,8这两个等比数列不可能在网格中不可能在同一列，同一行或对角线上. 所以这8个数列中最多有3个等比数列,例如如图满足有3个等比数列.故①正确①. 若三个数,,a b c 成等差数列，则2b a c =+.根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数b 相同. 则只能是5b = 由2519283746⨯=+=+=+=+则中间一行、中间一列、两条对角线四列的数分别为1,5,92,5,83,5,74,5,6；；；时满足条件;中心数为其他数时，不满足条件.故①正确.①. 若第一行为1,2,4；第一列为1,3,9，满足第一行、第一列均为等比数列.第二行为3,5,7，第二列为258，，，则第二行，第二列为等差数列，此时有两个等差数列.故①不正确 故答案为：①①① 14． 6 8【解析】 【分析】首先将数据从小到大排列，即可求出中位数与85%分位数； 【详解】解：将数据从小到大排列为：2、3、3、5、6、6、7、7、8、9， 故中位数为6，又1085%8.5⨯=，故这一组数据的85%为第9个数为8； 故答案为：6；8；15． 【解析】 【分析】由正弦定理得出2b c =，再由余弦定理和三角形面积公式计算即可. 【详解】设,,A B C 对应的边为,,a b c ，sin 2sin ,2B C b c =∴=，由余弦定理可得22262cos60b c bc ︒=+-，即c =，11sin 222ABC S bc A ==⨯⨯=△故答案为：16．(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)3π（答案不唯一） 【解析】 【分析】先由函数的周期求出ω的值，（1）若选①，则由03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求出ϕ，若选①，则212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，从而可求出ϕ，（2）由,4x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22633x m πππ-≤+≤+，再由()f x 的值域为[]1,2-，可得72236m πππ≤+≤，从而可求出m 的范围 (1)因为()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<）的最小正周期为π，所以2ππω=，得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，若选①，因为()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()22sin 03f x πϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以2,3k k Z ϕππ+=∈，得2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若选①，因为()f x 的图象关于直线12x π=对称，所以212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即2sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,62k k Z ππϕπ+=+∈，得,3k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)因为,4x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22633x m πππ-≤+≤+，因为当,4x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()f x 的值域为[]1,2-，所以72236m πππ≤+≤，得5266m ππ≤≤， 所以51212m ππ≤≤， 所以m 的一个值可以为3π（答案不唯一） 17．(1)证明见解析(2)【解析】 【分析】（1）由已知可得//EF BG ，所以E 、F 、B 、G 四点共面，再证明AC ⊥平面EFGB 即可证明；（2）建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()B ，()1,0,0C -，()11,0,2C -，()0,0,2F ，()G ，设()1,0,D a ，()02a ≤≤，由FG ∥平面BCD ，则0FG n ⋅=，可得2a =，利用向量法即可求解. (1)证明：在正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，因为E ，F ，G 分别为AC ，11A C ，1BB 的中点，所以1//EF CC ，又1//BG CC ， 所以//EF BG ，EF ⊥平面ABC ，所以E 、F 、B 、G 四点共面，EF AC ⊥， 又因为BE AC ⊥，且EF BE E =，所以AC ⊥平面EFGB ， 所以FG AC ；(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()B ，()1,0,0C -，()11,0,2C -，()0,0,2F ，()G ，设()1,0,D a ，()02a ≤≤，()1FG =-，()1,BC =-，()1,BD a =，设平面BCD 的法向量为(),,n x y z =，则00BC n BD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0x x az ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，取6z =，可得()3,,6n a =-，因为FG ∥平面BCD ，所以0FG n ⋅=，解得2a =，所以()6,2n =-， 易知平面1CDC 的法向量()0,1,0m =，所以23cos ,221m n m n m n⋅<>===，由图可知二面角1B CD C 为钝二面角， 所以二面角1B CD C 的余弦值为 18．(1)分布列见解析；数学期望()65E X =； (2)无法保证；建议：需要将注射一次疫苗的有效率提高到90%以上. 【解析】 【分析】（1）首先确定X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式计算可得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望的公式可计算得到数学期望；（2）根据注射一次疫苗的有效率为0.6，结合独立事件和对立事件概率公式可求得注射两次疫苗的有效率为84%；设每支疫苗有效率至少达到x 才能满足要求，则可构造方程求得x 的取值范围，由此可给出建议.(1)由题意得：X 所有可能的取值为0，1，2，3，()3631020101206C P X C ∴====；216431060111202C C P XC ； 1264310363212010C C P X C ；3431041312030C P XC ； X ∴的分布列为：∴数学期望()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； (2)由已知数据知：实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为0.6，则注射一次疫苗的有效率为0.6，∴一只白兔注射两次疫苗的有效率为：()2110.60.8484%90%--==<， ∴无法保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到90%； 设每支疫苗有效率至少达到x 才能满足要求，()21190%x ∴--≥，解得：0.990%x ≥=，∴需要将注射一次疫苗的有效率提高到90%以上才能保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到90%.19．（1）22184x y +=，e =（2）存在定点M ，M 为(20)，- 【解析】（1）利用2c =，2b =，2228a b c =+=求解方程（2）设直线方程为y kx m =+，与椭圆联立利用判别式等于0得2284m k =+，并求得切点坐标84(,)k P m m-及(4,4)Q k m --+，假设存在点(),0M t ，利用0MP MQ ⋅=化简求值 【详解】（1）由已知得，2c =，2b =，2228a b c =+=，椭圆的方程为22184x y +=，离心率为c e a ==； （2）在x 轴存在定点M ，M 为(20)，-使MP MQ ⊥，证明：设直线方程为y kx m =+ 代入22184x y +=得222()8x kx m ++=，化简得222()214280k x kmx m +++-=由222(4)4(21)(28)0km k m ∆=-+-=，得22840k m +-=，2284m k =+，设00(,)P x y ，则022821km k x k m --==+，2200884k m k y kx m k m m m m--=+=⋅+==， 则84(,)k P m m-，设1(4,)Q y -，则14y k m =-+，则(4,4)Q k m --+ 假设存在点(),0M t001(,)(,)MP MQ x t y t y ⋅=-⋅-0012(2)x y y =-++()282(2)0kt t m=+++=解得2t =- 所以在x 轴存在定点()20，-M 使MP MQ ⊥． 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查切线的应用，利用判别式等于0得坐标是解决问题的关键,考查计算能力,是中档题20．(1)()1y a x =- (2)()M a 取得最小值0 (3)2个 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得切线方程；（2）首先利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性求函数的最大值()ln 1M a a a a =+-，再利用导数求函数的最小值；（3）首先利用导数求函数的单调性和最大值，再结合零点存在性定理，即可求解函数的零点个数. (1)()11af x x '=-+，()00f =，()01f a '=-， 所以函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程是()1y a x =-； (2)()11af x x '=-+，()1x >-， 当0a <时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,-+∞单调递减，函数没有最大值，故舍去； 当0a >时，()()11011x a af x x x -+-'=-==++，得11x a =->-， 当()1,a 1x ∈--时，()0f x '>，函数单调递增， 当()1,x a ∈-+∞时，()0f x '<，函数单调递减，所以当1x a =-时，函数取得最大值()()1ln 1f a M a a a a -==+-，()ln 0M a a '==，得1a =，当()0,1a ∈时，()0M a '<，函数()M a 单调递减， 当()1,a ∈+∞时，()0M a '>，函数()M a 单调递增， 所以当1a =时，函数()M a 取得最小值，()10M =. (3)当12a =时，()()1ln 12f x x x =+-， ()()()121102121x f x x x --'=-==++，得12x =-，当11,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，当1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减，当12x =-时，函数取得最大值，()11111ln 1ln 2022222f ⎛⎫-=+=-> ⎪⎝⎭，当13x =-时，2222111111ln 10e 2e e e f ⎛⎫-=+-=-< ⎪⎝⎭，所以2111,2x e⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，必存在一个零点，当2e 1x =-时，()()22221e 1ln e e 12e 02f -=--=-<，所以21,e 12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，必存在一个零点，综上可知，函数()f x 零点个数是2个. 21．(1)31a =，51a =(2){}n a 的项不可能全是正数，也不可能全是负数； (3){}674,675 【解析】 【分析】（1）根据递推公式计算可得；（2）假设数列{}n a 的项都是正数，则21n n n a a a ++=-，3210n n n n a a a a +++=-=-<，与假设矛盾；假设数列{}n a 的项都是负数，则21||0n n n a a a ++=->，与假设矛盾，由此能证明{}n a 的项不可能全是正数，也不可能全是负数；（3）存在最小的正整数k 满足0k a <，10k a +>（5k ≤），数列{}n a 是周期为9的数列，由此能求出结果。
北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题
北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题2024.10.28一、单选题1.在空间直角坐标系中，(1,2,1)a = 为直线l 的一个方向向量，(2,,4)n t =为平面α的一个法向量，且//l α，则t =（）A.3B.-3C.1D.-12.若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n，则可能使//l α的是（）А.(1,0,0),(2,0,0)m n ==-B.(1,3,5),(1,0,1)m n ==C.(0,2,1),(1,0,1)m n ==--D.(1,1,3),(0,3,1)m n =-=3.已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）.A.若//,//m n m α，则//n αB.若,m ααβ⊥⊥，则//m βC.若,αγβγ⊥⊥，则//αβD.若//,//,m n m αβα⊥，则n β⊥4.已知向量a = ，单位向量b 满足|2|a b += ,a b的夹角为（）А.π6B.π4C.π3D.2π35.已知,αβ是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，且,a b αβ⊂⊂，则“//a b ”是“//αβ”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.在下列条件中，能使M 与A ，B ，C 一定共面的是（）A.2OM OA OB OC =--B.111532OM OA OB OC=++ C.0MA MB MC ++= D.0OM OA OB OC +++= 7.在斜三棱柱111ABC A B C -中，00,A B 分别为侧棱11,AA BB 上的点，且知001BB A A =，过001,,A B C 的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（）A.2:1B.4:3C.3:2D.1:18.在正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AC 的中点，则异面直线AE ，FG 所成角的余弦值为（）A.3B.3-C.3-D.39.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 在线段AP 上，AC 与BD 交于点,2O PA AB ==，若//OG 平面EFC ，则AG =（）A.12B.34C.23D.110.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，3BC EC =，点P 在底面正方形ABCD 内移动（包含边界），且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 长度的最大值为（）A.319010C. D.1663二、填空题11.在空间直角坐标系中，点(1,2,1)A -关于xOy 平面的对称点的坐标为_______________.12.如图：矩形A B C D ''''的长为4cm ，宽为2cm,O '是A B ''的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD 的直观图，则四边形ABCD 的周长为______________cm.13.已知向量(2,1,0),(1,0,2)a b ==- ，若向量a kb + 与23a b +的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是______________.14.已知圆锥PO (P 为圆锥顶点，O 为底面圆心）的轴截面是边长为2的等边三角形，A ，B ，C 为底面圆周上三点，若空间一动点Q 满足2(12)PQ xPA yPB x y PC =++-- ，则||PQ的最小值为_____________.15.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示）.，则以下结论正确的是____________.（填序号）①BF ⊥平面EAB ;②该二十四等边体的体积为203；③该二十四等边体外接球的表面积为8π；④PN 与平面EBFN 所成角的正弦值为2.三、解答题16.如图，AB 是圆柱的底面直径且2,AB PA =是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面圆周AB 上靠近点A 的三等分点，点E 在线段PA 上.（1）求圆柱的表面积与体积;（2）求三棱锥P-ABC 的体积;（3）若D 是PB 的中点，求CE DE +的最小值.17.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为BC 的中点，点M 在1BD 上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M 唯一确定，并解答问题.条件①:MA MC =;条件②:EM AD ⊥；条件③://EM 平面11CDD C .（1）求证:M 为1BD 的中点;（2）求直线EM 与平面MCD 所成角的大小;（3）求点E 到平面MCD 的距离.18.如图，在四棱锥P OACB -中，PO ⊥平面ABC ，且10,2PA O =为ABC 的外心，1,30AC BC BAC ︒==∠=.（1）求证://AC 平面PBO ;（2）若点M 在线段PC （不含端点）上运动，设平面PAO ⋂平面PBC l =，当直线l 与平面ABM 所成的角最大时，求二面角O BM A --的正弦值.北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题参考答案2024.10.28一、单选题1.答案:B解析:因为//l α，所以2240a n t ⋅=++=，解得3t =-.故选B.2.答案:D解析：因为//l α，所以m n ⊥ ，即0m n ⋅=，满足条件的只有选项D ，故选D.3.答案:D解析:A://,//m n m α，则//n α或n α⊂，错误;B:,m ααβ⊥⊥，则//m β或m β⊂，错误;C :,αγβγ⊥⊥，则,αβ相交或平行，错误；D://,m n m α⊥，则n α⊥，又//αβ，故n β⊥，正确.故选D.4.答案:C解析:因为a = ，所以||2a = .又|2|a b += ，所以2|2|12a b += ，即224412a a b b +⋅+= ，所以44412a b +⋅+= ，则1a b ⋅= 所以11cos ,212||||a b a b a b ⋅〈〉===⨯.又,[0,π]a b 〈〉∈ ，所以π,3a b 〈〉= .故选C.5.解：//a b 推不出//,//αβαβ也推不出//a b ，所以"//a b "是"//αβ"的既不充分也不必要条件.6.答案:C解析：对于A 选项，由于21101--=≠，所以不能得出M ，A ，B ，C 共面.对于B 选项，由于1111532++≠，所以不能得出M ，A ，B ，C 共面.对于C 选项，由于MA MB MC =--，则,,MA MB MC 为共面向量，所以M ，A ，B ，C 共面.对于D 选项，由0OM OA OB OC +++= 得OM OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以不能得出M ，A ，B ，C 共面.故选C.7.解:设三棱柱111ABC A B C -的体积为V侧棱1AA 和1BB 上各有一动点00,A B 满足001BB A A =，∴四边形00A B BA 与四边形0011A B B A 的面积相等.故四棱锥00C A B BA -的体积等于三棱锥1C ABA -的体积等于13V .则四棱锥0011C A B B A -的体积等于23V .故过001,,A B C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为2:18.解:连接DE ，设正四面体ABCD 的棱长为2，因为G ，F 分别为AC ，CD 的中点，则//GF AD ，所以异面直线AE ，FG 所成角为DAE ∠（或其补角），在ADE 中，则2AE DE AD ===，由余弦定理可得2223cos23AD AE DE DAE AD AE +-∠==⋅，所以异面直线AE ，FG 所成角的余弦值为33.9.答案:C解析:以A 为坐标原点，,,AB AD AP的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.由题意可得002200P B (，，),(，，),020220D C (，，),(，，),110O (，，)，则(1,0,1),(0,1,1)F E ，所以(1,2,1),(1,1,0)FC FE =-=-.设平面EFC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0,0,n FC n FE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,0,x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩解得,3,y x z x =⎧⎨=⎩令1x =，则1,3y z ==.所以平面EFC 的一个法向量为(1,1,3)n =.因为//OG 平面EFC ，所以0n OG ⋅=.设(0,0,)G a ，则(1,1,)OG a =--，所以1130a --+=.解得23a =，所以20,0,3G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即23AG =.故选C.10.答案:B解析:依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,0,3),(1,3,0),(3,3,3)D E B，设(,,0)(,[0,3])P x y x y ∈，所以11(3,3,3),(1,3,3)B P x y D E =---=-，则11330B P D E x y ⋅=+-=，则33x y =-，所以0333y ≤-≤，即[0,1]y ∈.而1B P == ，由二次函数的单调性可知22391061810181010t y y y ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，当1y =时，max 22t =，则1maxB P =.故选B.二、填空题11.答案:(1,2,1)解析:点(1,2,1)A -关于xOy 平面的对称点的坐标为(1,2,1).12.解：由斜二测画法知：与x 轴平行或重合的线段其长度不变、与横轴平行的性质不变；与y 轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与y '轴平行的性质不变.还原出原图形如图所示的平行四边形，其中4cm,22AB A B OC O C ''''====⨯=，6cm BC ∴==，所以原图形的周长为2(46)20cm ⨯+=.13.答案:11|4{k k >-且32k ⎫≠⎬⎭解析：因为(2,1,0),(1,0,2)a b ==- ，所以(2,1,2),23(1,2,6)a kb k k a b +=-+= .因为向量a kb +与23a b +的夹角为锐角，所以()(23)22121140a kb a b k k k +⋅+=-++=+> ，解得411k >-.当()//(23)a kb a b ++ 时，212126k k -==，解得32k =，所以实数k 的取值范围为11|4{k k >-且32k ⎫≠⎬⎭.14.答案解析:因为2(12)PQ xPA yPB x y PC =++-- ，所以22PQ PC xPA xPC yPB yPC -=-+- ，即2CQ xCA yCB =+ ，所以,,CQ CA CB共面.又A ，B ，C 为底面圆周上三点，所以点Q 为平面ABC 上一点.由题意知PO ⊥平面ABC ，所以||||PQ PO ≥ ，又圆锥PO 的轴截面是边长为2的等边三角形，所以||PO = ，所以||PQ的最小值.15.答案:②③④解析:将几何体补成正方体1111ORLI O R L I -，以点O 为坐标原点，1,,OR OI OO 所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.对于①，100210AB (，，)，(，，)，201221E F (，，)，(，，)，所以(0,1,1),(1,1,0)BF AB == ，则0BF AB ⋅≠，故①错误;对于②，该二十四等边体是在正方体1111ORLI O R L I -上截去8个全等的三棱锥而成，且三棱锥的底面是腰长为1的等腰直角三角形，三棱锥的高为1，故该二十四等边体的体积3211202811323V =-⨯⨯⨯⨯=，故②正确;对于③，易知正方体1111ORLI O R L I -的中心(1,1,1)X为该二十四等边体外接球的球心，且该球的半径为XA ==，因此，该二十四等边体外接球的表面积为28π=，故③正确；对于④，易知平面EBFN 的一个法向量为(1,0,0),(1,2,2),(2,1,2)n P N = ，所以(1,1,0)PN =-，所以cos ,2||n PN n PN n PN ⋅〈〉===‖，故PN 与平面EBFN所成角的正弦值为2，故④正确.故答案为②③④.三、解答题16.解:（1）圆柱的底面直径2AB =，故半径1r =，且高2h PA ==，可得圆柱的表面积为222π2π2π12π126πS r rh =⨯+=⨯+⨯⨯=圆柱，圆柱的体积为22ππ122πV r h ==⨯⨯=.（2）因为点C 是圆柱底面圆周AB 上靠近点A 的三等分点，且2AB =，而ABC 为直角三角形，从而30ABC ︒∠=，得1,AC BC ==，所以111123323P ABC ABC V S h -==⨯⨯⨯= .（3）将平面PAC 绕PA 旋转到和平面PAB 共面，此时C 点在BA 的延长线上，设为点C '，可得CE DE C E DE '+=+，即当,,C E D '三点共线时，C E DE '+取最小值C D '，由题意π1,342PBA BP BD BP BC BA AC ''∠======+=，所以C D '=，故CE DE +.17.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解析：（1）证明：选条件①:由MA =MC ，根据正方体1111ABCD A B C D -M 为1BD 上的任意一点，所以不成立;选条件②:EM AD ⊥.连接1CD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，由BC ⊥平面11CDD C ，因为1CD ⊂平面11CDD C ，所以1BC CD ⊥，又因为,//EM AD AD BC ⊥，所以EM BC ⊥，因为1,EM CD ⊂平面1BCD ，所以1//EM CD ，又因为E 为BC 的中点，所以M 为1BD 的中点.选择条件③://EM 平面11CDD C .连接1CD ，因为//EM 平面11,CDD C EM ⊂平面1BCD ，且平面1BCD ⋂平面111CDD C CD =，所以1//EM CD ，因为E 为BC 的中点，所以M 为1BD 的中点.（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，1,,DA DC DD 两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,1,1)D C E M ，所以(0,2,0),(1,1,1),(0,1,1)DC DM EM ===- ，设平面MCD 的法向量为(,,)m x y z = ，则00m DC y m DM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1x =，则0,1y z ==-.于是(1,0,1)m =- ，设直线EM 与平面MCD 所成的角为θ，则||1sin |cos ,|2||||m EM m EM m EM θ⋅===⋅ ，所以直线EM 与平面MCD 所成角的大小为30︒，（3）点E 到平面MCD的距离为2||sin sin 302EM θ︒==.18.解析：（1）证明：如图所示，连接OC，因为O 为ABC 的外心，所以OA OB OC ==，又因为1AC BC ==，所以OAC OBC ≅ .所以()111802306022ACO BCO ACB ︒︒︒∠=∠=∠=⨯-⨯=，所以,OAC OBC 均为等边三角形，所以1OA AC BC OB ====，四边形OACB 为菱形，所以//AC OB .又AC ⊂/平面,PBO OB ⊂平面PBO ，所以//AC 平面PBO .（2）记AB OC D = ，因为//,BC AO BC ⊂/平面,PAO AO ⊂平面PAO ，所以//BC 平面PAO .又因为平面PAO ⋂平面,PBC l BC =⊂平面PBC ，所以//BC l .如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x ，y 轴，过点D 且平行于OP 的直线为z 轴建立空间直角坐标系.因为102PA =，所以62OP ==，则311631,0,0,0,,0,0,,,0,0,0,,0222222B C P A O ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以316316,,0,0,1,,,,222222BC BA PC BP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .因为点M 在线段PC （不含端点）上运动，设1)0(PM PC λλ=<< ，所以316,(1)222BM BP PM λλ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭ .设平面ABM 的法向量为()1111,,n x y z = ，则有110,0,n BA n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以11110,316(1)0,222x y z λλ=⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭⎩令12y =，则11231z λλ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以1120,2,31n λλ⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ，设直线l 与平面ABM 所成的角为α，则111sin cos ,||n BC n BC n BC α⋅==12==当且仅当121λ=-，即12λ=时取等号，即M 为PC 中点时，直线l 与平面ABM 所成的角最大，所以1(0,2,0)n = .又3136,,0,,0,2224OB BM ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设平面OBM 的法向量为()2222,,n x y z = ，则有220,0,n OB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222210,220,24x y x z ⎧-+=⎪⎪+=⎩令21x =，则22y z ==，所以2n = .所以1212122cos ,2n n n n n n ⋅=== ，设二面角O BM A --的平面角为θ，则2sin 2θ==，所以二面角O BM A --的正弦值为2.。
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北京市中国人民大学附属中学2021届高三数学开学复习质量检测试题（含解析）一、选择题1.设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（ ）．A. 1C. 2D. 【答案】B 【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：1i z =-，z ==B ．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 2.已知全集U =R ，若集合{}2|0=-<A x x x ，则UA（ ）．A. {|0x x ≤或}1x ≥B. {|0x x <或}1x >C. {}1|0x x <<D. {}|1x x ≥【答案】A 【解析】分析：先解一元二次不等式得集合A ，再根据补集定义得结果. 详解：∵集合{}{}2|0|01A x x x x x =-<=<<，∴{|0Ux A x =≤或1}x ≥，故选A ．点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3.命题p ：∀x>0，1x e >，则p ⌝是 A. ∃00x ≤，01x e ≤ B. ∃00x >，01x e ≤ C. ∀0x >，1x e ≤ D. ∀0x ≤，1x e ≤【答案】A【解析】试题分析：p ⌝是00,1xx e ∃>≤考点：本题考查命题的否定点评：全称命题的否定将任意改为存在，否定结论4.若a ， b 是两个非零的平面向量，则“||a b =”是“()()0a b a b +⋅-=”的（ ）． A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()220a b a b ab +⋅-=-=，得a b =，所以是充要条件，故选C.5.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】结合指数、对数及三角函数的性质判断大小即可【详解】1ln 02a =<，11sin sin ,262b π=<=10,2b ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，121222c -==>=，1,12c ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故a b c <<，故选：A【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数、三角函数的性质比大小，熟记基本函数的图象特点是关键，属于基础题6.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）A. 最长棱的棱长为6B. 最长棱的棱长为3C. 侧面四个三角形都是直角三角形D. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 【答案】C 【解析】【详解】本题考查空间几何体的三视图和线线垂直，根据四棱锥的三视图，可得到四棱锥的直观图S ABCD -（如图所示）：由图可知，2SA AD ==，1AB BC ==，SA ⊥面ABCD ，AD ⊥面SAB ，AD BC ∥， 所以Rt SAB ，Rt SAD ，Rt SBC △中，5SB =6SC =，22SD =2CD =，所以222SC CD SD +=，所以SCD 是直角三角形，所以最长的棱长是2，侧面都是直角三角形． 本题选择C 选项.点睛：1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决． 2．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线； (2)理解“长对正、宽平齐、高相等”．7.已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x 2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】画图可知四个零点分别为－1和3，1e和e ，但注意到f (x )的定义域为x >0，故选C.8.已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP ∠=，则实数m 的取值范围是（ ）A. (4,8)B. (4,)+∞C. (0,4)D. (8,)+∞【答案】B 【解析】试题分析：设200(,)4y Q y ，由90OQP ∠=得0OQ PQ ⋅=，即222000()044y y m y -⋅+=，显然00y ≠，因此2044y m =-，所以40m ->，即4m >．选B ．考点：向量的垂直，圆锥曲线的存在性问题． 二、填空题9.双曲线22:14x C y -=的离心率是 ；渐近线方程是 ．512y x =± 【解析】试题分析：222224,15a b c a b ==∴=+=，所以离心率e=5c a =，渐近线方程为12b y x x a =±=±, 考点：本题考查双曲线的标准方程，离心率，渐近线点评：有双曲线的标准方程得到，a,b,c 求出离心率，渐近线方程 10.若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q ，则35a a +=_____.【答案】20. 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出． 【详解】223513()2520a a q a a +=+=⨯=， 故答案为：20．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于容易题．11.在△ABC 中，3a =，13b =，60B =，则c = ；△ABC 的面积为_______． 【答案】，【解析】 由余弦定理，得，解得；由三角形的面积公式，得.考点：余弦定理、三角形的面积公式.12.已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是 ______.【答案】22111()()339x y ++-= 【解析】试题分析： 设圆心坐标为（a,2a+1）,圆与两坐标轴相切，所以a=-(2a+1),13a ∴=-，所以圆心为11(,)33-，半径13，所以圆的标准方程为22111()()339x y ++-=,考点：本题考查圆的标准方程点评：圆心在直线上，设圆心坐标为一个未知数，又因为圆与两坐标轴相切，所以圆心互为相反数，半径为圆心坐标的绝对值13.已知函数()sin a x x f x =-的一条对称轴为6x π=-，()()120f x fx +=，且函数()f x 在()12,x x 上具有单调性，则12x x +的最小值为______. 【答案】23π 【解析】 【分析】分析式子特点可知，当6x π=-时，函数应该取到最值，将6x π=-代入()sin a x x f x =-再结合辅助角公式可先求得a ，结合()()120f x f x +=分析可知，()()2112,,,x y y x 两点关于对称中心对称，求出12x x +的通式，即可求解 【详解】()()sin ,tan f aa x x x x ϕϕ=-=+=-，由题可知 sin 666f a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪ ⎪⎝=⎝-⎭⎭⎝⎭，化简可得2a =，则 ()4sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()120,f x f x +=且函数()f x 在()12,x x 上具有单调性，()()1122,,,x y x y ∴关于对称中心对称，故有1233,2x x k k Z πππ-+-=∈，解得1222,3x x k k Z ππ+=+∈，当0k =时，12x x +的最小值为23π，故答案：23π【点睛】本题考查由三角函数图像性质求参数，三角函数对称轴与对称中心的应用，属于中档题14.函数()x xf ae e x b -=+（,a R b R ++∈∈），已知()f x 的最小值为4，则点(),a b 到直线20x y +-=距离的最小值为______.【解析】分析】可采用基本不等式求得ab，再结合点到直线距离公式即可求解【详解】由题知,a Rb R++∈∈，则()4x xae bef x-=≥=+，当且仅当x xae be-=时取到，则4ab=，点(),a b到直线20x y+=距离d=≥===，mind∴=【点睛】本题考查基本不等式、点到直线距离公式的应用，数学中的转化思想，属于中档题三、解答题15.设函数()()()()22sin cosf x x x xωωω=⋅-+0>ω）的图象上相邻最高（1）求函数()f x的周期及ω的值；（2）求函数()f x的单调递增区间. 【答案】（1）12,2Tπω==；（2）52,2,66x k k k Zππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先将表达式结合降幂公式化简，即可求得周期和最值，结合相邻最高点与最低点的距离ω及周期；（2）结合整体法和三角函数图像的性质即可求得；【详解】（1）()()()()22sin cosf x x xxωωω=⋅-=sin222sin23x x xπωωω⎛⎫=-⎪⎝⎭，则2A=，22Tππωω==，图象上相邻最高点与最=12,2Tπω==；（2）()2sin22sin33f xx xππω⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎝=⎭⎭，令2,2,322x k k k Zπππππ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得52,2,66x k k k Zππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，由三角函数的性质求参数，求复合型三角函数的单调区间，属于中档题16.某校高三1班共有48人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生、理化历、史地政其中，选择理化生的共有24人，选择理化历的共有16人，其余人选择了史地政，现采用分层抽样的方法从中抽出6人，调查他们每天完成作业的时间.（1）应从这三个组合中分别抽取多少人？（2）若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内.现从这6人中随机抽取3人进行座谈.用X表示抽取的3人中每天完成作业所需时间在3小时以上的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）3；2；1（2）分布列见详解；EX=2【解析】【分析】（1）按照分层抽样按比例分配的原则进行计算即可；（2）可明确X的取值有1，2，3，再结合超几何分布求出对应的概率，列出分布列，再求解数学期望即可；【详解】（1）由题知，选择史地政的人数为：4824168--=人，故选择理化生、理化历、史地政的人数比为：3:2:1，故从这三个组合中应抽取理化生的人数为：3636⨯=人；抽取理化历的人数为：2626⨯=人；抽取理化历的人数为：1616⨯=人；（2）由题可知X的取值有1，2，3，()124236115C CP XC===；()214236325CC P X C ===；()304236135C C P X C ===； 故随机变量X 的分布列为：X 1 2 3P15 35 151311232555EX =⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查分层抽样的求法，超几何公式的运用，离散型随机变量的分布列与期望的求法，属于中档题17.在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥，M 为PD 的中点，过A ，B ，M 的平面与PC 交于N.23DC =，2DA PD ==，1AB =，120PDC ∠=.（1）求证：N 为PC 中点； （2）求证：AD ⊥平面PCD ；（3）T 为PB 中点，求二面角T AC B --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45° 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质可得AB MN ∥，又由M 为PD 的中点，即可求证N 为PC 中点；（2）利用面面垂直的性质，可过点D 作DH DC ⊥,可证DH AD ⊥，再结合线面垂直的判定定理即可求证；（3）采用建系法以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DH 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角T AC B --的大小 【详解】（1）//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，//AB ∴平面PCD ，由线面平行的性质可得，//AB MN ， 又//AB CD ，//MN CD ∴，M 为PD 的中点，N ∴为PC 的中点；（2）过点D 作DH DC ⊥交PC 与点H ，又平面ABCD ⊥平面PCD ，交线为CD ，故DH ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，DH AD ∴⊥， 又AD PC ⊥，PCDH H =，∴AD ⊥平面PCD ；（3）由（2）可知AD ⊥平面PCD ，AD CD ∴⊥，故以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DH 为z 轴建立空间直角坐标系，如图：求得(()()()0,3,2,0,0,0,23,0,2,1,0P A C B -，T 为PB 的中点，故3T ⎛ ⎝⎭，3AT ⎛=- ⎝⎭，()223,0AC =-，， 可设平面ABC 的法向量为()10,0,1n =，平面TAC 的法向量为()2,,n x y z =，故有222230302n AC x y n AT x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3x =得1,2y z ==，则()23,1,2n =，故1212122cos ,2122n n n n n n ⋅===⨯⋅，故二面角T AC B --的大小为45° 【点睛】本题考查线面平行性质，面面垂直性质，面面垂直平判定定理的应用，建系法求解二面角的大小，属于中档题 18.已知函数()3215132f x x x a x =-+-． （Ⅰ）当6a =时，求函数()f x 在()0,∞+上的单调区间； （Ⅱ）求证：当0a <时，函数()f x 既有极大值又有极小值．【答案】（1）单调递增区间是(0,2)，(3,)+∞，单调递减区间是(2,3)；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出导函数()2'56f x x x =-+，解二次不等式即可得到单调区间；（2）当0a <时，对x 分类讨论，结合极值概念，即可得到结果. 【详解】（1）当6,0a x =>时，()32156132f x x x x =-+- 所以()()()2'5623f x x x x x =-+=--， 令()'0,f x =得2x =，或3x =.当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,+∞上的单调递增区间是()0,2，()3,+∞，单调递减区间是()2,3. (2)当0a <时， 若0x <，则()3215132f x x x ax =---，所以()()2'55f x x x a x x a =--=--因为0,0x a <<，所以()'0f x > 若0x >，则()3215132f x x x ax =-+-， 所以()2'5f x x x a =-+ 令()'0,f x = 2540a ∆=->，所以有两个不相等的实根12,x x ，且120x x <不妨设20x >，所以当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：因为函数()f x 图象是连续不断的，所以当0a <时，()f x 即存在极大值又有极小值.【点睛】本题主要考查了利用导数的符号变化判断函数的单调性及判断函数的极值问题，此类问题由于含有参数，常涉及到分类讨论的思想，还体现了方程与函数相互转化的思想．19.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，O 为原点，点P 为椭圆C 上不同于A 、B 的任一点，若直线PA 与PB 的斜率之积为34-，且椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若P 点不在坐标轴上，直线PA ，PB 交y 轴于M ，N 两点，若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切.切点为T ，问切线长OT 是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值为3 【解析】【分析】（1）由斜率之积可求得a ，b 的关系，将31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入可再得a ，b 的关系，解出a ，b 的值，即可求出椭圆的方程；（2）由（1）得A ，B 的坐标，设(,)P m n ，满足椭圆的方程，得直线AP ，BP ，求出M ，N 的坐标，再用圆中切割线定理得切线长的值．【详解】（1）设(,)P x y ，由题意得(,0)A a -，(,0)B a ，222AP BPy y y k k x a x a x a ∴⋅=⋅=+--， ∴22234y x a =--而22221x y a b+=得：2234b a =①， 又过22319(1,)124a b∴+=②，所以由①②得：24a =，23b =；所以椭圆C 的方程：22143x y +=；（2）由（1）得：(2,0)A -，(2,0)B 设(,)P m n ，22143m n +=，则直线的方程:(2)2n PA y x m =++，令0x =，则22n y m =+，所以M 的坐标2(0,)2nm +， 直线PB 的方程：(2)2n y x m =--，令0x =，2n y m -=-，所以坐标2(0,)2nN m --，OT ON OTN OMT OM OT ∆∆∴=∽（圆的切割线定理），再联立22143m n +=，2224||||||34n OT ON OM m ∴===-【点睛】本题考查椭圆上过对称点直线的两点和椭圆上一点的斜率之积的证明，可当作结论作为记忆：两对称点为()()1111,,,,A x y B x y --椭圆上一点为(),P x y ，则有22PA PBb k k a⋅=-；也考查了过定点的直线是否存在满足一定条件定值的证明，合理的转化，利用几何关系转化至关重要，属于难题20.定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？ （2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯{1，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈ 【解析】 【分析】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，即可得出P 是“减0集”，同理可得P 不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=，对x ，y 分类讨论即可得出．（3）存在“减1集” A ．{1}A ≠．假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈． 因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得所有的A ．【详解】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，P ∴是“减0集” 同理，*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，111P ⨯-∉，P ∴不是“减1集”． （2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=， 则x ，y 一个为2，一个为4，所以集合A 中有元素6，但是33A +∈，332A ⨯-∉，与A 是“减2集”，矛盾，故不存在“减2集” （3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．①假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素． 假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉． 假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈． 因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈． 因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得：{1A =，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈， 以及A 的满足以下条件的非空子集：{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯ 【点睛】本题考查集合新定义，元素与集合的关系，逻辑推理能力，属于难题。
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北京市人大附中高三数学中档题练习二
1．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下发芽成功的概率为21于是该学习团队分两个小组进行验证性实验. （Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率； （Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次。
求这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和数学期望.
2．在三棱锥M —ABC 中，CM ⊥平面ABC ，MA=MB ，NA=NB=NC.
（Ⅰ）求证：AM ⊥BC ；
（Ⅱ）若∠AMB=30°，求二面角M —AB —C 的余弦值.
3．已知向量]2
,2[),1,1(),2sin ,2(cos ),23sin ,23
(cos ππ-∈-=-==x c x x b x x a 其中 （Ⅰ）求证：)()(b a b a -⊥+；
（Ⅱ）设函数3|)(|3|(|)(22-+-+=c b c a x f )，求)(x f 的最大值和最小值 。