二次函数图像与系数关系(含答案)
二次函数中各项系数abc与图像的关系
二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明−b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．b +2a ＞02．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．ac ＜0D ．bc ＜0．3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第3题图 第4题图 第5题图 第6题图5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0；②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0；③2c﹣b=3；④a+3=c，其中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2 B．3 C．4 D．58．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二．填空题（共4小题）9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．10．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．11．抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a=．12．将二次函数y=x2+6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．三．解答题（共7小题）13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．14．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．15．已知二次函数的图象经过（0，0）（﹣1，﹣1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．16．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．17．已知二次函数y=x2﹣4x+5．（1）将y=x2﹣4x+5化成y=a （x﹣h）2+k的形式；（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？18．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．19．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？。
中考数学总复习《二次函数图像与系数的关系》练习题及答案
中考数学总复习《二次函数图像与系数的关系》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＞1；③abc＞0；④4a-2b+c＜0；⑤c-a＞1其中所有正确结论的序号是()A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A．ac＞0B．b＞0C．a+c＜0D．a+b+c＝03．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，其部分图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②3a+c=0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④方程ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根；⑤点(﹣2，y1)，(2，y2)都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．其中结论正确的个数是()．A．1个B．2个C．3个D．4个4．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，则a的取值范围是（）A．a＜0B．－3＜a＜0C．a<−32D．−92<a<−325．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是A．B．C．D．6．已知b＜0时，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于()A．－2B．－1C．1D．27．对于二次函数y=﹣（x+1）2﹣3，下列结论正确的是（）A．函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣3）B．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大C．当x=﹣1时，y有最小值为﹣3D．图象的对称轴是直线x=18．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：x…-5-4-3-2-10…y…40-2-204…A．抛物线的开口向下B．当时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是D．抛物线的对称轴是直线9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x≥1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．当﹣1＜x＜3时，y＞010．如图，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+2(a≠0)与y=−ax2−2x(a≠0)的图象可能是（）．A．B．C．D．11．已知二次函数y=﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（）A．k≥﹣2B．k≤﹣2C．k≥2D．k≤212．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列答案正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0，△＜0B．a＜0，b＞0，c＜0，△＞0C．a＞0，b＜0，c＜0，△＞0D．a＜0，b＜0，c＞0，△＜0二、填空题13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图（虚线部分为对称轴），给出以下6个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a＜3b；⑤x＜1时，y随x的增大而增大；⑥a+b＜m（am+b）（m为实数且m≠1）其中正确的结论有（填上所有正确结论的序号）14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则由此可得a0，b0，c 0.（填“<”或“>”）15．老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一、二、四象限；乙：当x＜2时，y随x的增大而减小．丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点．已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数．16．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为．17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有。
二次函数系数a、b、c与图像的关系
二次函数系数a、b、c与图象的关系知识归纳：1.a的作用：决定开口方向和开口大小2.a与b的作用：左同右异（对称轴的位置）3.c的作用：与y轴交点的位置。
4.b2-4ac的作用：与x轴交点的个数。
5.几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点，（1，a+b+c), (-1,a-b+c) （2，4a+2b+c), （-2，4a-2b+c)。
针对训练：1.判断下列各图中的a、b、c及△的符号。
(1)a___0； b___0； c___0；△__0.(2)a___0； b___0； c___0；△__0.(3)a___0； b___0； c___0；△__0.(4)a___0； b___0； c___0；△__0.(5)a___0； b___0； c___0；△__0.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，用（＞，＜，=）填空：a___0； b___0； c___0； a+b+c__0； a-b+c__0.3.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）A.ab<0B.bc<0C.a+b+c>0D.a －b+c<04.二次函数y=ax 2+bx+c 图象如图，则点 A （b 2-4ac ，-ba ）在第 象限．5．已知 a ＜0，b ＞0，c ＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，判断下列各式的符号：(1)a ； (2)b ； (3)c ； (4)a+b+c ； (5)a-b+c ；(6)b 2-4ac ；(7)4ac-b 2； (8)2a+b ； (9)2a-b7.练习：填空（1）函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的函数值恒为正的条件： ，恒为负的条件： .（2）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象在x 轴的下方，则方程ax 2+bx+c=0的解得情况为：.3题图 4题图 6题图（3）二次函数y=ax 2+bx+c 中，ac ＜0，则抛物线与x 轴有 交点。
初中数学《二次函数图像与系数的六种关系》含解析
二次函数图像与系数的六种关系题型01a与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·河北保定·期末)二次函数y=ax2的图象如图所示，则a的值可能为()A.2B.0C.-1D.-2【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象的开口方向求解即可．【详解】解：由图象知，二次函数y=ax2的图象开口向上，则a>0，故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，故选：A2(2024九年级·全国·专题练习)在同一个平面直角坐标系中，二次函数y1=a1x2，y2=a2x2，y3=a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为．【答案】a3>a2>a1#a1<a2<a3【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定的，a 越大，开口越小，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定是解题的关键．【详解】解：由抛物线开口方向可知，a1、a2、a3为正数，又由开口大小可得，a3>a2>a1，故答案为：a3>a2>a13(23-24九年级上·福建厦门·阶段练习)已知y=k+2x k2+k-4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．求k的值，并画出它的图象；【答案】k=-3【分析】根据二次函数定义以及当x<0时，y随x的增大而增大．可得出函数解析式，再描点画图即可；【详解】解：由y=k+2x k2+k-4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得k2+k-4=2，k+2<0解得：k=-3或k=2(舍去)；二次函数的解析式为y=-x2，如图所示：【变式演练】1(23-24九年级上·山东青岛·阶段练习)图中与抛物线y=13x2，y=2x2，y=-13x2，y=-2x2，的图象对应的是()A.①②④③B.②①④③C.①②③④D.②①③④【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象．抛物线的形状与a和a 有关，根据a 的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．【详解】解：∵①②开口向上，则a>0，∵②的开口最宽，∴y=13x2是②，y=2x2是①，∵③④开口向下，则a<0，∵④的开口最宽，∴y=-13x2是④，y=-2x2是③，综上，依次②①④③，故选：B2(23-24九年级上·吉林松原·阶段练习)二次函数y=k+2x2的图象如图所示，则k的取值范围是．【答案】k>-2【分析】由图示知，该抛物线的开口方向向上，则系数k+2>0，据此易求k的取值范围．【详解】解：如图，抛物线的开口方向向上，则k+2>0，解得k>-2．故答案为：k>-2．【点睛】本题考查了二次函数的图象．二次函数y=ax2的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小3(24-25九年级上·全国·假期作业)已知函数y=(m+3)x m2+3m-2是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性．【答案】(1)m=-4或m=1(2)当m=-4时，该函数图像的开口向下(3)当m=1时，原函数有最小值(4)见解析【分析】(1)由二次函数的定义可得m2+3m-2=2m+3≠0故可求m的值．(2)图像的开口向下，则m+3<0，结合(1)中的结果，即可得m的值；(3)函数有最小值，则m+3>0，结合(1)中的结果，即可得m的值；；(4)根据(1)中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．【详解】(1)根据题意，得m2+3m-2=2 m+3≠0，解得m1=-4,m2=1 m≠-3，∴当m=-4或m=1时，原函数为二次函数．(2)∵图像开口向下，∴m+3<0，∴m<-3，∴m=-4，∴当m=-4时，该函数图像的开口向下．(3)∵函数有最小值，∴m+3>0，则m>-3，∴m=1，∴当m=1时，原函数有最小值．(4)当m=-4时，此函数为y=-x2，开口向下，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小；当m=1时，此函数为y=4x2，开口向上，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a>0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a<0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．题型02b与图像的关系【典例分析】1(21-22九年级上·安徽合肥·开学考试)已知二次函数y=-x2+2m-1x-3，当x>1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是()A.m<32B.m≤32C.m≤12D.m<-12【答案】B【分析】本题主要考查二次函数图象对称轴，增减性，解一元一次不等式的问题，根据题意可得二次函数图象的对称轴为x=2m-22，结合函数图象的增减性可得2m-12≤1，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质，解不等式的方法是解题的关键．【详解】解：二次函数y=-x2+2m-3x-3中，a=-1<0，b=2m-1，c=-3，∴图象开口向下，对称轴为x=-2m-12×-1=2m-12，∵当x>1时，y随x的增大而减小，∴2m-12≤1，解得，m≤3 2，故选：B2(2023·九年级上·西藏日喀则·)已知抛物线γ=x²+mx的对称轴为直线x=2．则m的值是() A.-4 B.1 C.4 D.-1【答案】A【分析】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质，对于二次函数y=ax2+bx+c，其对称轴为直线x=-b2a，据此即可求解．【详解】解：由题意得：抛物线γ=x²+mx的对称轴为直线：x=-b2a=-m2×1=-m2，∴-m2=2解得：m=-4故选：A3(23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习)抛物线y=-x2+2ax+3的对称轴位于y轴的右侧，与x轴交于点A，B(点B在点A的右边)，且AB=4．(1)此抛物线的顶点坐标为．(2)当-1≤x≤m时，-5≤y≤4，则m的值为．【答案】1,44【分析】(1)令y=0，则x2-2ax-3=0．设A x1,0，B x2,0，则x1+x2=2a，x1x2=-3．根据AB=4，得出x2-x1=4，结合完全平方公式得出x2-x12=x1+x22-4x1x2=16，求出a的值，即可求解；(2)根据二次函数的性质可得当x=1时，y取得最大值4．求出当x=-1时，y=0>-5，且-5≤y≤4，得出m>1，则当x=m时，y=-5，即可求解．【详解】解：(1)令y=0，则-x2+2ax+3=0，即x2-2ax-3=0．设A x1,0，B x2,0，则x1+x2=2a，x1x2=-3．∵AB=4，∴x2-x1=4，∴x2-x12=x1+x22-4x1x2=16，∴4a2+12=16，∴a=±1．∵抛物线的对称轴位于y轴的右侧，即a=1，∴y=-x2+2x+3=-x-12+4，∴抛物线的顶点坐标为1,4．(2)∵y=-x2+2x+3=-x-12+4，∴当x=1时，y取得最大值4．∵当x=-1时，y=0>-5，且-5≤y≤4，∴m>1，∴当x=m时，y=-5，∴-m2+2m+3=-5，∴m=4或m=2(舍去)．故答案为：1,4，4．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数与x轴交点坐标的求法，将二次函数表达式化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的增减性【变式演练】1(22-23九年级上·福建厦门·期中)已知抛物线y=-x2+6-2mx-3的对称轴在y轴的右侧，当x >2时，y的值随着x值的增大而减小，则m的取值范围是()A.m≥1B.m<3C.-3<m≤1D.1≤m<3【答案】D【分析】先得出抛物线对称轴为直线x=3-m，根据抛物线y=-x2+6-2mx-3的对称轴在y轴的右侧，可得m<3，根据当x>2时，y的值随着x值的增大而减小，得出m≥1，即可求解．【详解】解：∵抛物线y=-x2+6-2mx-3的对称轴在y轴的右侧，∴x=-b2a =6-2m2=3-m>0，解得：m<3，又∵a=1<0，抛物线开口向下，当x>2时，y的值随着x值的增大而减小，则3-m≤2，解得：m≥1，综上所述，1≤m<3，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键2(23-24九年级上·重庆合川·期末)关于x的二次函数y=x2+a-1x-1在y轴的右侧，y随x的增大而增大，且使得关于y的分式方程a-12-y+1y-2=2有非负数解的所有整数a的值之和．【答案】19【分析】本题主要考查了二次函数的性质、分式方程的解以及解一元一次不等式，依据题意，解分式方程可先确定出a的取值范围，再由二次函数的性质可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，可求得答案．【详解】解分式方程a-12-y+1y-2=2可得y=6-a2，∵关于y的分式方程a-12-y +1y-2=2有非负数解，∴y=6-a2≥0且y=6-a2≠2，∴a≤6且a≠2，∵y=x2+a-1x-1，∴抛物线开口向上，对称轴为x=1-a2，∴当x>1-a2，时，y随x的增大而增大．∵在x>0时，y随x的增大而增大，≤0，解得a≥1．∴1-a2综上1≤a≤6且a≠2，∴满足条件的整数a的值为1，3，4，5，6．∴所有满足条件的整数a的值之和是1+3+4+5+6=19．故答案为：19．3(23-24九年级上·浙江宁波·期末)如图，已知二次函数y=x2+ax+2的图象经过点E1,5．(1)求a的值和图象的顶点坐标．(2)若点F m,n在该二次函数图象上．①当m=-2时，求n的值．②若n≤2，请根据图象直接写出m的取值范围．【答案】(1)a=2；-1,1(2)①n=2；②-2≤m≤0【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．(1)把点E(1,5)代入y=x2+ax+2中，即可求出a；(2)①把m=-2代入解析式即可求n的值；②由n≤2，在此范围内求m即可．【详解】(1)把点E(1,5)代入y=x2+ax+2中，∴a=2，∴y=x2+2x+2=(x+1)2+1，∴顶点坐标为(-1,1)；(2)①把m=-2代入n=m2+2m+2=(m+1)2+1，可得：n=2，②∵n≤2，对称轴为x=-1，∴-2≤m≤0．【典例分析】1(23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习)关于二次函数y=x2-6x+5下列说法中错误的是()A.用配方法可化成y=x-32-4 B.将它的图象向下平移5个单位，会经过原点C.函数有最小值，最小值为5D.当x<3时，y随x的增大而减小【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象和几何变换，掌握二次函数的图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．运用配方法把一般式化为顶点式，由二次函数的顶点式可判断其开口方向、对称轴、顶点坐标；令x=0可求得与y轴的交点坐标；则可得出答案．【详解】解：y=x2-6x+5=x-32-4，故A正确，不符合题意；2-9+5=x-3∴其对称轴为直线x=3，开口向上，顶点坐标为3，-4，∴函数有最小值，最小值为-4，当x<3时，y随x的增大而减小，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意；令x=0可得y=5，∴与y轴的交点坐标为0，5，∴将它的图象向下平移5个单位，会经过原点，故B正确，不符合题意；故选：C2(2023·九年级上·上海杨浦·)将抛物线y=x2-2x+3向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么m=．【答案】2【分析】将抛物线解析式改为顶点式，即可求出平移后的解析式，进而可求出平移后的顶点坐标，最后根据它的顶点恰好落在x轴上，即顶点的纵坐标为0，可求出答案．【详解】解：∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2，∴该抛物线向下平移m个单位后的解析式为y=(x-1)2+2-m，∴此时顶点坐标为(1，2-m)．∵此时它的顶点恰好落在x轴上，∴2-m=0，解得：m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质．掌握二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键3(23-24九年级上·四川泸州·期中)写出抛物线y=-2x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标，并指出抛物线y=-2x2-4x+5可由抛物线y=-2x2怎样平移得到．【答案】抛物线y=-2x2-4x+5开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为-1,7，抛物线y=-2x2-4x+5可由y=-2x2向上平移7个单位长度，向左平移1个单位长度得到．【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质、二次函数图像的平移，解题关键是理解抛物线y=ax2+bx+c的性质及掌握抛物线平移规律．先将抛物线y=-2x2-4x+5经配方转换为y=-2x+12+7，即可直接根据表达式判断抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标；另根据抛物线平移规律“上加下减，左加右减”即可得出y=-2x2到y=-2x2-4x+5=-2x+12+7的平移过程．【详解】解：依题得抛物线y=-2x2-4x+5=-2x+12+7，则可根据抛物线性质得：抛物线y=-2x2-4x+5开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为-1,7，∵根据抛物线平移规律“上加下减，左加右减”，∴y=-2x2-4x+5=-2x+12+7可由y=-2x2向上平移7个单位长度，向左平移1个单位长度得到【变式演练】1(23-24九年级上·安徽合肥·期末)若将抛物线y=ax2(a>0)向右平移h(h>0)个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c，则函数y=bx+c的图象可能是()A. B.C. D.【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，熟练掌握图象与系数的关系是关键．先根据题意判断 b<0,c>0，再判断经过的象限．【详解】∵将抛物线y=ax2(a>0)向右平移h(h>0)个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c，∴y=ax2+bx+c对称轴在y轴的右侧，且交于y轴的正半轴，∴b<0,c>0，∴y=bx+c的图象过第一、二、四象限．故选：C2(22-23九年级上·浙江宁波·期末)将抛物线y=x2+3x-6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限，则m的值可能是()A.1B.3C.5D.7【答案】D【分析】根据将抛物线y=x2+3x-6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限可知-6+m≥0，即可得出结果．【详解】解：∵将抛物线y=x2+3x-6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限，∴-6+m≥0，∴m≥6，∴m的值可能是7，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键3(21-22九年级上·广东中山·阶段练习)已知二次函数y=x2-2x-3．(1)请写出函数图象顶点坐标和对称轴∶(2)当函数值y为正数时，自变量x的取值范围∶(3)将该函数图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，求所得图象的函数表达式．【答案】(1)1,-4，直线x=1(2)x<-1或x>3(3)y=x-22【分析】本题考查了二次函数的顶点式，对称轴，平移，不等式解集的确定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．(1)化成顶点式，确定对称轴和顶点坐标即可．(2)求得x2-2x-3=0的两个根，进而即可求解．(3)根据右减上加的平移规律，即可求解．【详解】(1)∵y=x2-2x-3=x-12-4．∴对称轴为直线x=1，顶点为1,-4．(2)根据题意，得x2-2x-3=0，解得x1=-1,x2=3，∵y=x2-2x-3=x-12-4开口向上，故当x<-1或x>3时，y>0．(3)∵y=x2-2x-3=x-12-4．平移后的解析式为y=x-1-122-4+4即y=x-2题型04a，b与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·浙江金华·期末)已知二次函数y=-mx2+2mx+4m>0，点经过点A-2,y1 B1,y2，那么y1，y2，y3的大小关系为()，点C3,y3A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y2<y3<y1D.y3<y1<y2【答案】B【分析】本题考查利用二次函数性质比较函数值大小，涉及二次函数图像与性质、比较二次函数值大小等知识，根据二次函数图像与性质，利用图像上点到对称轴距离比较函数值大小即可得到答案，熟练掌握利用距离比较二次函数值大小的方法是解决问题的关键．【详解】解：由二次函数y=-mx2+2mx+4m>0可知抛物线开口向下，对称轴为x=-2m-2m=1，∴抛物线上点到对称轴距离越近，函数值y越大，∵二次函数y=-mx2+2mx+4m>0经过点A-2,y1，点B1,y2，点C3,y3，∴三个点A、B、C到对称轴的距离为3、0、2，∴y1<y3<y2，故选：B．2(23-24九年级上·广东广州·期中)若点A-134,y1B-1,y2，C53,y3为二次函数y=-ax2-4ax+5a<0图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是．【答案】y3>y1>y2【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2，则点A-134,y1关于直线x=-2的对称点54,y1在抛物线y=-ax2-4ax+5a<0上，根据二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．【详解】解：∵y=-ax2-4ax+5a<0，∴-a>0，对称轴为直线x=--4a2×-a=-2，∴抛物线开口向上，∴点A-134,y1关于直线x=-2的对称点54,y1在抛物线y=-ax2-4ax+5a<0上，∵-2<-1<54<53，∴y3>y1>y2，故答案为：y3>y1>y23(23-24九年级上·云南昆明·阶段练习)已知关于x的二次函数y=mx2+3m+1x+3．(1)求证：不论m为任何实数，方程mx2+3m+1x+3=0总有实数根；(2)若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，m为正整数，点P x1,y1与Q x1+n,y2在抛物线上(点P, Q不重合)，且y1=y2，求代数式4x21+12x1n+5n2+16n+8的值．【答案】(1)证明见解析；(2)24【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的图象与性质等知识；(1)用根的判别式可以直接证明；(2)令y=0，方程可以化为mx+1x+3=0，解得x=-3或x=-1m，又m为正整数，可以求解m的值，进而可求出函数解析式；点P、Q在抛物线上，且y1=y2，可将x1、x1+n代入解析式联立方程，用含n的式子表示出x1，然后带入代数式化简求解即可．【详解】(1)解：由题意可知m≠0，∵Δ=b2-4ac=(3m+1)2-4m×3=(3m-1)2≥0∴此方程总有实数根；综上，不论m为任何实数时，方程总有实数根．(2)解：令y=0，则有mx+1x+3=0解得：x1=-3，x2=-1 m，因为抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，所以m=1，所以抛物线为y=x2+4x+3．∵点P、Q在抛物线上，且y1=y2，∴x12+4x1+3=(x1+n)2+2(x1+n)+3∴2x1n+n2+4n=0即：n(2x1+n+4)=0，∵P、Q不重合，∴n≠0，∴2x1=-n-4∴4x12+12x1n+5n2+16n+8=(2x1)2+2x1∙6n+5n2+16n+8=(n+4)2+6n(-n-4)+5n2+16n+8=24所以代数式 4x21+12x1n+5n2+16n+8的值为24【变式演练】1(23-24九年级上·浙江杭州·期末)已知关于x的二次函数y=ax2-4ax a>0．若P m,n和Q5,b是抛物线上的两点，且n>b，则m的取值范围为()A.m<-1B.m>5C.m<-1或m>5D.-1<m<5【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由抛物线的解析式可知开口方向和对称轴为直线x=2，根据函数的对称性和增减性即可求解；熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．【详解】解：∵二次函数y=ax2-4ax a>0．∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=--4a2a=2，∵P m,n和Q5,b是抛物线上的两点，∴当n=b时，m=-1，∵抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，∴n>b时，m的取值范围为m<-1或m>5；故选：C．2(23-24九年级上·浙江杭州·期末)已知二次函数y=ax2-4ax+2(a为常数，且a≠0) (1)若函数图象过点1,0，求a的值；(2)当2≤x≤5时，函数的最大值为M，最小值为N，若M-N=18，求a的值．【答案】(1)a=2 3(2)a=±2【分析】本题考查了求二次函数的表达式、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．(1)将点1,0的坐标代入表达式求解即可；(2)分类讨论a的正负，结合对称轴和图象的增减性即可得出答案．【详解】(1)解：函数图象过点1,0得a-4a+2=0解得：a=2 3(2)由y=ax2-4ax+2可知对称轴为直线x=2①当a>0时，开口方向向上，当2≤x≤5时当x=2时取最小值，当x=5时取最大值∴M=5a+2，N=-4a+2∵M-N=5a+2--4a+2=9a=18解得a=2，满足题意．②当a<0时，开口方向向下，当2≤x≤5时当x=2时取最大值，当x=5时取最小值∴M=-4a+2，N=5a+2∴M-N=-4a+2-5a+2=-9a=18解得a=-2 满足题意．综上所述：a=±2．3(23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习)如图所示，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点A(-1，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC．点M是线段OB上不与点O、B重合的点，过点M作DM⊥x 轴，交抛物线于点D，交BC于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)过点D作DF⊥BC，垂足为点F．设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段DF的长，并求出当m为何值时DF有最大值，最大值是多少？【答案】(1)抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4(2)当m=2时，DF有最大值为22【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式．(2)先求出B,C所在直线解析式可得∠OBC=∠OCB=45°，通过DF=22DE可表示DF长度的代数式，再配方求解即可．【详解】(1)把点A(-1，0)，点B(4，0)分别代入y=ax2+bx+4a≠0中，得：a-b+4=016a+4b+4=0解得：a=-1 b=3∴抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4．(2)把x=0代入y=-x2+3x+4中，得：y=4∴C0,4设BC所在直线解析式为y=kx+b,把B4,0,C0,4代入y=kx+b中，得：0=4k+b 4=b解得k=-1 b=4∴y=-x+4设M m,0,则D(m,-m2+3m+4)，E m,-m+4∴DE=-m2+3m+4+m-4=-m2+4m ∵OB=OC=4,OC⊥OB∴∠OBC=∠OCB=45°∵DM⊥x轴∴∠DEF=∠BEM=45°又∵DF⊥BC∴DF=22DE=22-m2+4m=-22(m-2)2+22∵-22<0∴当m=2时，DF有最大值为22．【点睛】本题考查二次函数与图形的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法求代数式的最值题型05a，c与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·广东梅州·期末)如图所示是二次函数y=ax2-x+a2-1的图象，则a的值是()A.a=-1B.a=12C.a=1D.a=1或a=-1【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象．由图象得，此二次函数过原点0,0，把点0,0代入函数解析式得a2 -1=0，解得a的值．【详解】解：由图象得，此二次函数过原点0,0，把点0,0代入函数解析式得a2-1=0，解得a=±1；又因为此二次函数的开口向上，所以a>0；所以a=1．故选：C．2(23-24九年级上·浙江丽水·期末)已知二次函数y=ax²+2x+c a≠0的图象如图所示．(1)写出c的值；(2)求出函数的表达式．【答案】(1)3(2)y=-x²+2x+3【分析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，综合利用已知条件求出抛物线的解析式是解题的关键．(1)将点0,3即可求出c；代入y=ax²+2x+c a≠0(2)把点A3,0即可求出函数表达式．代入y=ax²+2x+3a≠0【详解】(1)解：∵二次函数y=ax²+2x+c a≠0；的图象经过点0,3∴将点0,3得；代入y=ax²+2x+c a≠0c=3．(2)解：设函数的表达式为y=ax²+2x+3a≠0；∵函数图象经过点A3,0；∴把点A3,0得；代入y=ax²+2x+3a≠0a=-1；∴函数的表达式为：y=-x²+2x+33(23-24九年级上·广东广州·阶段练习)如图，二次函数y=ax2-2x+c的图象与x轴交于点A-3,0和点B，点y轴交于点C0,3．(1)求二次函数的解析式；(2)求B点坐标，并结合图象写出y<0时，x的取值范围；【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)B1,0，x<-3或x>1．【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．(1)利用待定系数解答，即可求解；(2)根据当y=0时，-x2-2x+3=0，求出点B1,0，进而根据图象可得出答案．【详解】(1)解：∵二次函数y=ax2-2x+c的图象经过点A-3,0，C0,3，∴9a+6+c=0 c=3，解得：a=-1 c=3，∴该二次函数的解析式为y=-x2-2x+3；(2)解：由(1)可知，二次函数的解析式为y=-x2-2x+3，当y=0时，-x2-2x+3=0，解得x1=1，x2=-3，∴B1,0，根据图象可知，当y<0时，x的取值范围为x<-3或x>1【变式演练】1(23-24九年级上·广西崇左·期末)已知二次函数y=m+2x2+m2-9有最大值，且图象经过原点，则m的值为()A.±3B.3C.-3D.±4.5【答案】C【分析】本题考查二次函数的基本性质，根据二次函数有最大值得出m<-2，根据二次函数图象经过原点得出m=±3，即可得出答案，掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵二次函数的解析式为：y=m+2x2+m2-9有最大值，∴m+2<0，∴m<-2，∵二次函数y=m+2x2+m2-9的图象经过原点，∴m2-9=0，∴m=-3或m=3，∵m<-2，∴m=-3．故选：C2(20-21九年级上·全国·单元测试)如图所示，抛物线y=ax2-x+c的图象经过A-1,0、B0,-2两点．1 求此抛物线的解析式；2 求此抛物线的顶点坐标和对称轴；3 观察图象，求出当x取何值时，y>0？【答案】1 y=x2-x-2；2 抛物线的对称轴是直线x=12；顶点坐标是12,-94；3当x取x<-1或x>2时，y>0．【分析】(1)把A点和B点坐标代入y=ax2-x+c得到关于a、c的方程组，然后解方程组求出a、c即可得到抛物线解析式；(2)把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解；(3)先通过解方程x2-x-2=0 得到抛物线y=x2-x-2与x轴的另一个交点的坐标为2,0．然后写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可．【详解】1 ∵二次函数y=ax2-x+c的图象经过A-1,0、B0,-2，∴a+1+c=0c=-2，解得a=1c=-2∴此二次函数的解析式是y=x2-x-2；2 ∵y=x2-x-2=x-122-94，∴抛物线的对称轴是直线x=12；顶点坐标是12,-94 ；3 当y=0时，x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=2，即抛物线y=x2-x-2与x轴的另一个交点的坐标为2,0．所以当x取x<-1或x>2时，y>0．【点睛】待定系数法求二次函数解析式, 二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系等，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键3(23-24九年级上·江苏扬州·期末)如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A1，0，B-2，3(1)求a+b的值；(2)用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果)(3)结合图象，直接写出当y≤3时，x的取值范围是．【答案】(1)a+b=-3(2)见解析(3)x≤-2或x≥0【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．(1)利用待定系数法求解即可；(2)根据二次函数图象的对称性可得出抛物线的对称轴；(3)观察函数图象，结合方程，即可得出结论．【详解】(1)解：将A1，0，B-2，3代入二次函数y=ax2+bx+3得：a+b+3=0 4a-2b+3=3，解得：a=-1 b=-2，∴a+b=-1+-2=-3；(2)解：如图，直线l为所求对称轴，，由(1)得二次函数的解析式为y=-x2-2x+3=-x+12+4，∴可以得出顶点坐标为-1，4，对称轴为直线x=-1；(3)解：令y=3，则-x2-2x+3=3，解得：x=0或x=-2，结合图象得：x≤-2或x≥0时，y≤3，故答案为：x≤-2或x≥0题型06a，b，c与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·山东济南·期末)二次函数y=ax2+bx+c a≠0的图像如图所示，则下列结论中：①abc<0；②2a-b=0；③当-2<x<3时，y<0；④当x≥1时，y随x的增大而减小，正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质．根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图像确定y<0时，x的范围，根据二次函数的性质确定增减性．掌握二次函数的图像和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．【详解】解：①∵二次函数的图像开口向上，∴a>0，∵二次函数图像的对称轴在y轴的右侧，∴-b>0，2a∴b<0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0，故结论①不正确；②∵a>0，b<0，∴2a-b>0，故结论②不正确；③∵二次函数的图像开口向上，对称轴为：x=1，该图像与x轴的位于对称轴左边的交点的坐标为-2,0，∴该图像与x轴的位于对称轴右边的交点的坐标为4,0，∴当-2<x<4时，y<0，∴当-2<x<3时，y<0，故结论③正确；④∵二次函数的图像开口向上，对称轴为：x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而增大，故结论④不正确，∴正确的个数是1个．故选：A2(23-24九年级上·湖北随州·期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示抛物线的顶点坐标是1,1在该抛物线上，则am2+bm ，有下列结论①a>0；②b2-4ac>0；③4a+b=1；④若点A m,n+c≥a+b+c．其中正确的结论是．【答案】①③④【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，开口方向判断①，与x轴的交点个数，判断②，特殊点判断③，最值判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a>0；故①正确；∵抛物线与x轴没有交点，∴b2-4ac<0；故②错误；∵顶点坐标为1,1，，图象过3,3∴a+b+c=1,9a+3b+c=3，两式相减，得：8a+2b=2，∴4a+b=1；故③正确；∵当x=1时y=a+b+c=1值最小，∴am2+bm+c≥a+b+c，故④正确；故答案为：①③④3(23-24九年级上·河南洛阳·期末)已知二次函数y=ax2+2ax-m．(1)当a=1时，二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；(2)若二次函数y=ax2+2ax-m的部分图象如图所示，①求二次函数y=ax2+2ax-m图象的对称轴；②求关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解．【答案】(1)m>-1(2)①直线x=-1；②x1=1，x2=-3【分析】(1)将a=1代入二次函数y=ax2+2ax-m中，然后根据当a=1时，二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴有两个交点，可知 22-4×1×-m>0，然后即可求得m的取值范围；(2)①将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴；②根据图象与x轴的一个交点和二次函数的性质，可以写出该函数图象与x轴的另一个交点，然后即可写出关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解；本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合熟练掌握以上知识的应用．【详解】(1)当 a=1时，y=ax2+2ax-m，∵当a=1时，二次函数y=ax²+2ax-m的图象与x轴有两个交点，∴22-4×1×-m>0，解得m>-1；(2)①∵y=ax2+2ax-m=a x+12-a-m，∴二次函数y=ax2+2ax-m的图象的对称轴是直线x=-1；②由图象可知：二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴交于点(1,0),由①知，该函数的对称轴为直线x=-1，∴该函数与x轴的另一个交点为-3,0，∴关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解是x1=1，x2=-3【变式演练】1(23-24九年级上·云南昭通·阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是()A.b<0B.当x>0时，y>0C.a-3=cD.2a+b=0【答案】D【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，A．该函数图象的开口向下，∴a<0，∵对称轴位于y轴右侧，∴-b>0，2a∴b>0，故此选项不符合题意；B．由图象可得：当x>0时，y不一定大于0，故此选项不符合题意；C．该函数图象与y轴交于正半轴，∴c>0，而a<0，∴a-c<0，∴a-c=3错误，即a-3=c错误；故此选项不符合题意；D．该函数的对称轴为直线x=1，=1，∴x=-b2a∴b=-2a，即2a+b=0，故选项符合题意．故选：D2(23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①ac<0；②a+b=0；③a+b+c>0；④b2-4ac<0．其中正确的是．(填序号)。
二次函数图像与系数的关系
二次函数图像与系数间的关系一 知识梳理1，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与系数a 、b 、c 、ac b 42-的关系 ：注 ①a 的正否决定抛物线的开口方向和大小 ②a,b 决定对称轴的位置，左同右异。
③c 决定抛物线与Y 轴的交点的位置。
④取特值：如当x=1,y=a+b+c ，当x=2是，y=4a+2b+c 等。
2、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：（1） 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 题型一、二次函数、一次函数及反比例函数图像确定例1、在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图像可能是（ ）A．B．C．D．例2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与一次函数y=cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．例3、一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象位置大致是( )课堂练习：1、二次函数y=ax2+bx的图像如图所示，那么一次函数y=ax+b的图像大致是（）A．B．C．D．2、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则函数y=ax与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图像是（）A．B．C．D．3、在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C｡D．题型二、二次函数图像与系数之间的关系基础题型例1、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0例2、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．图像关于直线x=1对称B ．函数()20y ax bx c a =++≠的最小值是﹣4C ．﹣1和3是方程()200ax bx c a ++=≠的两个根D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大例3、如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a ﹣b ＜0；（4）a+b+c ＜0，其中错误的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个课堂练习：1、（2011•重庆）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＞02、二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则点P （b 2﹣4ac ，a+b+c ）所在的象限是（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤题型三、二次函数图像与系数之间的关系能力题型例1、已知二次函数的y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的番号有．例2、如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①abc<0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3；③a+b+c>0；④当x>1时，y随x的增大而增大；⑤9a﹣3b>16a+4b正确的说法有．（把正确的答案的序号都填在横线上）例3、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与y轴相交一点C，与x轴负半轴相交一点A，且OA=OC，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤c+=﹣2，其中正确的结论有 ．（请填序号）课堂练习1、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，给出以下结论：①24b ac >；②0abc >；③20a b -=；④80a c +<；⑤930a b c ++<，其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号）2、.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，以下结论：①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc ＜0；④4ac-b 2＜0；⑤当x≠2时，总有4a+2b ＞ax 2+bx 其中正确的有 （填写正确结论的序号）．3、已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 个．课堂测试：1、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ ）2y ax bx c =++x (20)-，1(0)x ，112x <<y (02)，420a b c -+=0a b <<20a c +>210a b -+>A、1B、2C、3D、42、（2011•山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C、2a-b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小3、（2011•泸州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44、（2011•兰州）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A、2个B、3个C、4个D、1个5、.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论正确序号是（只填序号）．①abc＞0，②c=-3a，③b2-4ac＞0，④a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．6、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（x 1，0），-3＜x1＜-2，对称轴为x=-1．给出四个结论：①abc＞0；②2a+b=0；③b2＞4ac；④a-b＞m（ma+b）（m≠-1的实数）；⑤3b+2c＞0．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个课后作业：1、已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（）A、第一、二、三象限B、第二、三、四象限C、第一、二、四象限D、第一、三、四象限2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0B、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜0C、a＜0，b＞0，c＜0，b2-4ac＞0D、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞03、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac＜0B、a-b+c＞0C、b=-4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=54、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0B、a＜0，b＜0，c＜0，b2-4ac＞0C、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＜0D、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞05、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（）A、abc＞0B、b＞a+cC、2a-b=0D、b2-4ac＜06、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0；②a-b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（）A、②③B、②④C、①③D、①④7、如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（）A、ac＜0B、x＞1时，y随x的增大而增大C、a+b+c＞0D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=38、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（）A、ab＜0B、ac＜0C、当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小D、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根9、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A、a＞0B、c＜0C、b2-4ac＜0D、a+b+c＞010、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a，b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0，结论正确的个数有（）个．A、1B、2C、3D、411．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大12．函数y=x2+bx+c与y=x的图像如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．413．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x=1，点B 坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论： ①2a+b=0；②4a﹣2b+c ＜0；③ac＞0；④当y ＜0时，x ＜﹣1或x ＞2． 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414、如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，3OA =，2AB =.抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过点A 和点B ，与x 轴分别交于点D 、E （点D 在点E 左侧），且1OE =，则下列结论：①0>a ；②3c >；③20a b -=；④423a b c -+=；⑤连接AE 、BD ，则=9ABDE S 梯形，其中正确结论的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15、如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a>0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点为A ､B ，对称轴为直线x=1，与y 轴负半轴交于点C ，且OB=OC>2，下面五个结论：①bc<0；②4a+2b+c>0；③2a+b=0；④一元二次方程ax 2+bx+c=﹣2必有两个不相等的实数根；⑤1c 2a+=-． 那么，其中正确的结论是_____。
二次函数中各项系数a,b,c与图像的关系
二次函数中各项系数 a ，b, c 与图像的关系 一、首先就y=ax 2 +bx+c （a 工0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下: a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下; 决定张口的大小：l a I 越大，抛物线的张口越小. b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关. b 与a 同号，说明 _L .. o ，则对称轴在y 轴的左边; 2a b 与a 异号，说明 b -> 0 '口 ，则对称轴在y 轴的右边; 特别的，b = 0,对称轴为y 轴.c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标.抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 特别的，c = 0 ,抛物线过原点. ■ . 2 a,b,c 共同决定判别式 b 2 - 4ac > 0 b 2 - 4ac = 0 b 2 - 4ac < 0 * = b ~4ac 的符号进而决定图象与X 轴的交点 与X 轴两个交点 与X 轴一个交点 与X 轴没有交点 x=1 时，y=a + b + c ； x= -1 时，y=a - b + c .当 x = 1 时，①若 y > 0，贝U a + b + c >0 ； ® 若 y < 时 0，贝Ua +b +c < 0 当 x = -1 时，①若 y > 0，贝U a - b + c >0 ;②若 y < 0，贝U a - b + 扩：x=2, y=4a + 2b + c ; x= -2, y=4a -2b + c ; x=3, y=9a +3 b + c 一.选择题（共8小题） 1 .已知二次函数y=ax +bx+c 的图象大致如图所示，贝U 下列关系式中成立的是 A. a >0 B . b v 0 C. c v 0D . b+2a >0 2.如果二次函数y=a£+bx+c （a ^ 0）的图象如图所示，那么下列不等式成立 几种特殊情况: c < 0 . ;x= -3, y=9a -3b + c 。
二次函数中各项系数与图像的关系
二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明−b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．b+2a ＞02．如果二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．ac ＜0D ．bc ＜0．3．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④2a+b=0；⑤a ﹣b+c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第3题图 第4题图 第5题图 第6题图5．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0；②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a+b+c ＜0；其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b+c ＜0；③2c﹣b=3；④a+3=c，其中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2 B．3 C．4 D．58．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二．填空题（共4小题）9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．10．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．11．抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a= ．12．将二次函数y=x2+6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．三．解答题（共7小题）13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．14．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．15．已知二次函数的图象经过（0，0）（﹣1，﹣1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．16．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．17．已知二次函数y=x2﹣4x+5．（1）将y=x2﹣4x+5化成y=a （x﹣h）2+k的形式；（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？18．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．19．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？。
二次函数图像与系数关系含答案
二次函数图像与系数关系一.选择题（共9小题）1.（2013?义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A （-1, 0）,顶点坐标为（1, n）,与y 轴的交点在（0, 2）、（0, 3）之间（包含端点），则下列结论：①当x>3 时，y<0;② 3a+b>0;③—1QW—_|；④ 3许<4 中，正确的是（）考点：二次函数图象与系数的关系.专题：计算题；压轴题.分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1, 一个交点A （ - 1, 0）,得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=- 2a,将其代入（3a+b）,并判定其符号；③ 根据两根之积—=-3,得到a二-二，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值a 3范围；…，…，，一，，、一， 4 一E ，，什—一，，…，，什—④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=—c,利用c的取值氾围可以求得n的取值氾围.解答：解：①•••抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A （-1, 0）,对称轴直线是x=1,，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3, 0）,丁•根据图示知，当x> 3时，y<0.故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则对称轴x=一b= - 2a,3a+b=3a - 2a=a< 0,即3a+bv0. 故②错误；③二.抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（-- 1X3=- 3,「.£=-3,贝U a=一三.3 31 0), (3, 0),•.•抛物线与y轴的交点在（0, 2）、（0, 3）之间（包含端点）2W<3, …工2即一故③正确;1QW—点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数 y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定.2. （2013?烟台）如图是二次函数 y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x= - 1,且过点（-3, 0）.下 列说法：①abcv 0;②2a-b=0;③4a+2b+cv0;④若（-5, yi ）,噂，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中说法正确的是（ ）二次函数图象与系数的关系. 压轴题.根据图象得出a>0, b=2a>0, c<0,即可判断 ①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（-5, yi ）关于对称轴的对称点的坐标是（ 3, yi ）,根据当x>- 1时，y 随x 的 增大而增大即可判断④.解：,•,二次函数的图象的开口向上，a> 0,•••二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的负半轴上，c< 0,二次函数图象的对称轴是直线x= - 1, b=2a>0,④根据题意知，a=-丹,b= — 2a=±^,S , 4• - n=a+b+c=—c. 3• -- 2« <3, • ••— v^c 冈即生由[3 33故④错误.综上所述，正确的说法有 故选D.①③B.②③C.①②④D.②③④考点： 专题： 分析： 解答: JC=1abcv 0, ① 正确；2a - b=2a - 2a=0,「•② 正确；••・二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x= - 1,且过点（-3, 0）.•••与x 轴的另一个交点的坐标是（1,0）,把 x=2 代入 y=ax 2+bx+c 得：y=4a+2b+c >0,③ 错误； 二次函数y=ax 2+bx+c 图象的对称轴为 x= - 1,.•・点（-5, yi ）关于对称轴的对称点的坐标是（ 3, yi ）, 根据当x> - 1时，y 随x 的增大而增大， 号.• 一v 3,2y2V y1 ,④ 正确；故选C.点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和 辨析能力.3. （2013?十堰）如图，二次函数 y=ax 2+bx+c （a 加）的图象的顶点在第一象限，且过点 （0, 1）和（- 1,0）.下列结论： ① ab<0,② b 2>4a,③ 0va+b+cv2,④ 0v bv 1,⑤当 x> - 1 时，y>0,其 中正确结论的个数是（）考点：二次函数图象与系数的关系. 专题：压轴题.分析：由抛物线的对称轴在 y 轴右侧，可以判定 a 、b 异号，由此确定 ① 正确；由抛物线与x 轴有两个交点得到 b 2- 4ac>0,又抛物线过点（0, 1）,得出c=1 ,由此判定 ② 正确； 由抛物线过点（-1,0）,得出a - b+c=0,即a=b - 1,由av 0得出bv 1;由a< 0,及abv 0, 得出b>0,由此判定④正确；由 a- b+c=0,及 b>0 得出 a+b+c=2b>0;由 bv1, c=1, a<0,得出 a+b+c< a+1+1 <2,由此 判定③正确；由图象可知，当自变量 x 的取值范围在一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根之间时，函数值 y>0,由此判定⑤错误.解答：解：••・二次函数 y=ax 2+bx+c （a 加）过点（0, 1）和（—1,0）, c=1, a- b+c=0 .①二•抛物线的对称轴在 y 轴右侧，，x=-占>0,2aa 与b 异号，abv 0,正确；②二•抛物线与x 轴有两个不同的交点，.. b 2- 4ac>0,c=1, b 2- 4a>0, b 2>4a,正确；④;抛物线开口向下，，a<0,•, ab< 0, b>0.. a — b+c=0, c=1 , a=b- 1, av 0, . . b - 1< 0, b< 1, 0< b< 1,正确；B. 4个C. 3个 D, 2个A . 5个③.1 a - b+c=0, a+c=b, a+b+c=2b>0. b< 1, c=1, a< 0,a+b+c=a+b+1 < a+1+1=a+2 < 0+2=2 , 0V a+b+cv 2,正确；⑤ 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的一个交点为（-1,0）,设另一个交点为（xo, 0）,则xQ> 0, 由图可知，当x0>x> - 1时，y>0,错误； 综上所述，正确的结论有 ①②③④ . 故选B.点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中.二次函数y=ax 2+bx+c（a 为），a 的符号由抛物线开口方向决定； b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；抛物线与 x 轴的交点个数，决定了 b 2-4ac 的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换.4. （2012?沙坪坝区模拟）二次函数y=ax 2+bx+c （a 沟）的图象如图所示, A. abc<0 B. a+cvb C. b>2a考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组） 专题：压轴题.分析：由抛物线的开口方向判断 a 与0的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据 对称轴及图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断.斛答：解：A 、•••图象开口向下，，av0,二•与y 轴交于正半轴，. .o0,二•对称轴在y 轴左侧，-上2a<0,b<0,abc>0,故本选项错误；B 、=当x= - 1时，对应的函数值 y>0,即a- b+c>0, . .a+c>b,故本选项错误；C 、二.抛物线的对称轴为直线 x=-1匕>-1,又av 0,，b>2a,故本选项正确；2aD 、•・•当x=-2时，对应的函数值 y<0,即4a- 2b+c<0, .1.4a<2b- c,故本选项错误. 故选C.点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与不等式的关系，难度中等.5. （2013?鄂州）小轩从如图所示的二次函数 y=ax 2+bx+c （a 为）的图象中，观察得出了下面五条信息:3① ab>0;② a+b+cv 0;③ b+2c >0;④ a- 2b+4c> 0;⑤你认为其中正确信息的个数有（）则下列结论中，正确的是（D. 4a>2b- cC.4个D.5个考点：二次函数图象与系数的关系.专题：压轴题.分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答：解：①如图，二•抛物线开口方向向下，a<0.对称轴x=-匕=—b=-a< 0,2a 3 1ab>0.故①正确；②如图，当x=1时，y<0,即a+b+cv0. 故②正确；③如图，当x= — 1 时，y=a - b+c>0,••• 2a- 2b+2c>0,即3b- 2b+2c>0, b+2c>0.故③正确；④如图，当x=一工■时，y>0,即一a ——b+c>0.2 4 [2a- 2b+4c>0,故④正确；⑤如图，又^称轴x=—2=---,则己故⑤ 正确.2a 3 2综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个.点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.6.(2013?德州)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：① b2—4c> 0;② b+c+1=0;③ 3b+c+6=0;④当1vxv3 时，x2+ (bi) x+c<0.其中正确的个数为（)C. 3D. 4考点：二次函数图象与系数的关系.专题：压轴题.分析：由函数y=x2+bx+c 与x 轴无交点，可得b2- 4cv 0;当x=1 时，y=1+b+c=1 ;当x=3 时，y=9+3b+c=3 ;当1vxv3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+cvx,继而可求得答案.解答：解：函数y=x2+bx+c与x轴无交点，b2 - 4c< 0；故①错误；当x=1 时，y=1+b+c=1 ,故②错误；当x=3 时，y=9+3b+c=3 ,3b+c+6=0;③正确；,•,当1 vxv3时，二次函数值小于一次函数值，x2+bx+c vx,x2+ （b - 1） x+c v 0.故④正确.故选B.点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.7.（2012?天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1,0）, （3, 0）.对于下列命题：①b- 2a=0;②abcv 0;③a-2b+4cv0;④8a+c>0.其中正确的有（）C.1个D.0个考点：二次函数图象与系数的关系.专题：压轴题.分析：首先根据二次函数图象开口方向可得a>0,根据图象与y轴交点可得c< 0,再根据二次函数的对称轴x=-耳，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1 ,结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b<0,根据a、b、c的正负即可判断出②的正误; 禾用a - b+c=0,求出a —2b+4cv0,再利用当x=4 时，y>0,贝U 16a+4b+c>0,由①知，b=-2a,得出 8a+c> 0.解答：解：根据图象可得：对称轴：x=--L>o, 2a①二.它与x 轴的两个交点分别为（-1, 0）, （3, 0）, 对称轴是x=1 ,— -=1 , 2ab+2a=0, 故①错误； ②a>0, b<0, ••• c< 0, abc> 0,故② 错误； ③.1 a - b+c=0, c=b — a,• ・a-2b+4c=a - 2b+4 （b-a ） =2b - 3a,又由①得b= - 2a, a- 2b+4c= — 7a< 0, 故此选项正确； ④根据图示知，当 x=4时，y>0, 16a+4b+c>0, 由①知，b= - 2a, 8a+c>0; 故④正确；故正确为：③④两个. 故选：B.点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握 ① 二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线向上开口；当 a< 0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当 a 与b 同号时（即ab>0）,对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即abv 0）,对称轴在y 轴右.（简称：左同右异） ③ 常数项c 决定抛物线与y 轴交点， 抛物线与y 轴交于（0, c ）.8.已知：二次函数y=ax2+bx+c （a 沟）的图象如图所示， 下列结论中：①abc>0;②2a+bv0;③a+b^m（am+b ） （m 月 的实数）；④（a+c ） 2vb 2;⑤a> 1,其中正确的是（ ）考点：二次函数图象与系数的关系.分析：由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及a>0, c< 0,C. 4个D. 1个3个抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断. 解答：解：①•.•抛物线的开口向上，a>0,•••与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，. .c<0, 对称轴为x= -->0,2aa 、b 异号，即 b< 0,又,「cv 0, abc>0, 故本选项正确；—< 1,2a-b< 2a, 2a+b>0;故本选项错误;③ 当 x=1 时，yi=a+b+c;当 x=m 时，y2=m (am+b) +c,当 m>1, y2>yi;当 m< 1, y2<yi,所以不能确定; 故本选项错误； ④当 x=1 时，a+b+c=0; 当 x= - 1 时，a- b+c>0;(a+b+c) (a —b+c) =0,即(a+c) 2—b 2=0, (a+c) 2=b2故本选项错误；⑤当 x= — 1 时，a- b+c=2; 当 x=1 时，a+b+c=0,a+c=1,a=1+ ( - c) > 1,即 a> 1;故本选项正确；综上所述，正确的是①⑤有2个. 故选：A.点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：(1) a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a>0;否则av 0; (2) b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=-上判断符号；2a(3) c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则c>0;否则cv 0;(4) b 2-4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2- 4ac> 0; 1个交点，b 2- 4ac=0, 没有交点，b 2- 4ac< 0.9. (2013?莒南县二模)已知二次函数y=ax 2+bx+c (a 沟)的图象如图所示，有下列 5个结论:① abc>0;② bva+c;③ 4a+2b+c>0;④ 2cv3b;⑤ a+b>m (am+b) (m 月的实数).其中正确的结论有()②二•对称轴为 x=一 —>0, a>0,2a考点：二次函数图象与系数的关系. 专题：压轴题；数形结合. y 有最大值 a+b+c,彳导至U a+b+c>am2+bm+c,即 a+b>m (am+b)解：开口向下，a< 0;对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，则b>0;抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，c>0,则abcv0,所以①不正确；当x= - 1时图象在x 轴下方，则y=a - b+cv 0,即a+cv b,所以② 不正确； 对称轴为直线 x=1,则x=2时图象在x 轴上方，则y=4a+2b+c >0,所以③正确；,贝U a= 一 [b,而 a- b+cv 0,贝U — -jLb- b+cv 0, 2cv 3b,所以 ④ 正确; £ 乙 开口向下， 当 x=1 , y 有最大值 a+b+c;当 x=m (mF)时，y=am 2+bm+c,贝U a+b+c>am 2+bm+c, 即a+b>m (am+b) (m 力)，所以⑤ 正确.故选B.点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a 为）的图象，当a> 0,开口向上，函数有最小值， a<0,开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=-上，a 与b 同2a号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在 y 轴的右侧；当c>0,抛物线与y 轴的交点 在x 轴的上方；当△=b 2-4ac>0,抛物线与x 轴有两个交点.二.填空题（共1小题）10. （2013?柳林县一模）二次函数 y=ax 2+bx+c （a, b, c 是常数，a 沟）图象的对称轴是直线 x=1 ,其 图象的一部分如图所示.对于下列说法： ①abcv0;②当-1vxv3时，y>0;③3a+cv0;④a- b+c<0,其中正确的是 ①③④（把正确的序号都填上）.考点：二次函数图象与系数的关系.分析：由抛物线的开口方向判断 a 与0的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据 对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答：解：根据图象可得：av 0, b>0, c>0.则abcv 0,故① 正确；当-1vxv3时图象在x 轴的上方，且有的点在 x 轴的下方，故 ② 错误； 根据图示知，该抛物线的对称轴直线是x=1 ,即-_L_=1,则b= - 2a.那么当x=-1时，y=a-C. 4个D. 5个分析: 观察图象：开口向下得到的交点在x 轴的上方得到 即a+cvb;对称轴为直线a<0;对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b>0;抛物线与y 轴 c>0,所以abcv0;当x= - 1时图象在 x=1,可得x=2时图象在x 轴上方，则x 轴下方得到y=a-b+cv0, y=4a+2b+c>0;利用对称轴xT1得至U a=一亍b,而 a- b+cv0,贝U — ：；b — b+cv 0,所以 2cv3b;开口向下，当 x=1, （m 力）.解答:xT1了=12ab+c=a+2a+c=3a+c v 0,故③ 正确；当x= - 1时，y=a-b+c一定在x轴的下方，因而a - b+c< 0,故④ 正确.故答案是：①③④.点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.（2013?绵阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：① 2a+b>0;② b>a>c;③若—1 v mv nv 1,贝U m+n v ——；④ 3|a|+|c|v2|b|.a其中正确的结论是①③④（写出你认为正确的所有结论序号）.考点：二次函数图象与系数的关系.专题：压轴题.分析：分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a, b, c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项.解答：解：:抛物线开口向下，a<0, 2a<0,对称轴x=-A> 1, - b<2a, .,.2a+b>0,故选项① 正确；2a- b< 2a, b> - 2a>0>a,令抛物线解析式为y=- -x2+bx ,此时a=c,欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为一和2,2亍+2 b则--= ----------- ;一,2 2X （-1）解得：b=4「•抛物线y= -^2+^--,符合开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c,（其实a> c, a< c, a=c都有可能），故②选项错误；. Tvmvnv 1, — 2vm+nv2,，抛物线对称轴为：x= - - >1, ------- >2, m+n<------ ,故选项③ 正确；2a a a当x=1 时，a+b+c>0, 2a+b>0, 3a+2b+c>0,3a+c>- 2b, - 3a- cv 2b,.• a< 0, b>0, c<0 （图象与y轴交于负半轴），3|a|+|c|=- 3a—cv 2b=2|b|,故④ 选项正确.故答案为：①③④.点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出m+n的取值范围是解题关键.。
二次函数的图像与系数a,b,c之间的关系(解析版)
专题03 二次函数图像与系数之间关系类型一、判断图像位置关系例1.如图，一次函数1y x =与二次函数22y x bx c =++的图像相交于P 、Q 两点，则函数()21y x b x c =+-+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】解： 由2y =x 2+bx +c 图象可知，对称轴x =2b -＞0，0c <， 0b ∴<，抛物线21y x b x c =+-+（）与y 轴的交点在x 轴下方，故选项B ，C 错误， 抛物线21y x b x c =+-+（）的对称轴为1122b b x --=-=，∴102b -＞， ∴抛物线y =x 2+（b -1）x +c 的对称轴在y 轴的右侧，故选项D 错误，故选：A ．【变式训练1】二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y ax b =-+的图象大致是( )．A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】解：观察二次函数2y ax bx c =++的图象得：0,02b a a<-<， ∴0b <，0a ->，∴一次函数y ax b =-+的图象经过第一、三、四象限．故选：C【变式训练2】在同一平面直角坐标系中，函数()20y ax bx a =+≠与y ax b =+的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】解：函数()20y ax bx a =+≠经过原点（0，0），则B 错误；当a <0时，y ax b =+经过二、四象限，则D 错误；当02b a->时，b >0， y ax b =+经过一、二、四象限，则C 错误； 当a >0，02b a ->时，b <0， y ax b =+经过一、三、四象限，则A 符合题意． 故选：A ．【变式训练3】在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =+与y ＝ax ＋b 的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：当a >0，b >0时，y =ax 2+bx 的开口上，与x 轴的一个交点在x 轴的负半轴，y =ax +b 经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x 的负半轴，无选项符合； 当a >0，b <0时，y =ax 2+bx 的开口向上，与x 轴的一个交点在x 轴的正半轴，y =ax +b 经过第一、三、四象限，且两函数图象交于x 的正半轴，故选项A 正确，不符合题意题意； 当a <0，b >0时，y =ax 2+bx 的开口向下，与x 轴的一个交点在x 轴的正半轴，y =ax +b经过第一、二、四象限，且两函数图象交于x 的正半轴，C 选项正确，不符合题意；当a <0，b <0时，y =ax 2+bx 的开口向下，与x 轴的一个交点在x 轴的负半轴，y =ax +b 经过第二、三、四象限，B 选项正确，不符合题意；只有选项D 的两图象的交点不经过x 轴， 故选D.【变式训练4】如图，一次函数1y x =与二次函数22y ax bx c =++的图像相交于P ，Q 两点，则函数()21y ax b x c =+-+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】∴一次函数1y x =与二次函数22y ax bx c =++的图像相交于P ，Q 两点， ∴一元二次方程()210ax b x c +-+=有两个不相等的实数根，∴函数()21y ax b x c =+-+与x 轴有两个交点， 由题意可知：02b a ->，0a >，∴110222b b a a a --=-+>， ∴函数()21y ax b x c =+-+的对称轴102b x a -=->，∴选项D 符合条件． 故选D ．类型二、根据图像判断a ，b ，c 之间关系例1．二次函数()20y ax bx c a =-+≠的图象如图所示，下列选项错误的是（ ）A ．0ac <B ．1x >时，y 随x 的增大而增大C ．0a b c ++>D ．方程20ax bx c ++=的根是11x =-，23x =【答案】C 【详解】A.由二次函数的图象开口向上可得a >0，由抛物线与y 轴交于x 轴下方可得c <0，所以ac <0，正确；B.由a >0，对称轴为x =1，可知x >1时，y 随x 的增大而增大，正确；C.把x =1代入()20y ax bx c a =-+≠得，y =a +b +c ，由函数图象可以看出x =1时二次函数的值为负，错误；D.由二次函数的图象与x 轴交点的横坐标是-1或3，可知方程20ax bx c ++=的根是121,3x x =-=，正确． 故选：C ．例2．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）经过点()2,0，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4330a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥；⑥一元二次方程21ax bx c ++=有两个不相等的实数根，其中正确结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D 【详解】解：①∴抛物线图象开口朝上，0a > ，∴抛物线对称轴为直线12x =，∴122b a -=， ∴0b a =-<，即0a b +=，故②错误；∴抛物线图象与y 轴交点位于x 轴下方，∴c <0，0abc ∴>，故①正确；③2y ax bx c =++经过()2,0，420a b c ∴++=又由①得c <0，0b <，4330a b c ∴++<，故③正确；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等，∴当1x =-时0y =，即0a b c -+= a b =-，20a c ∴+=即12c a =-，∴2y ax bx c =++经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即经过(1,0)-，故④正确； ⑤当12x =时，1142y a b c =++，当x m =时，2y am bm c =++， 0a >，∴函数有最小值1142a b c ++，∴21142am bm c a b c ++≥++， ∴2442am bm a b +≥+，∴2440am bm b +-≥，故⑤正确；⑥方程21ax bx c ++=的解即为抛物线2y ax bx c =++与直线1y =的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛物线2y ax bx c =++与直线1y =有两个不同的交点，即方程21ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故⑥正确；综上所述：①③④⑤⑥正确．故选D ．【变式训练1】如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，对称轴为1x =-，结合图象给出下列结论：①0a b c ++=；②20a b c -+<；③关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根分别为-3和1；④若点()14,y -，()22,y -，()33,y 均在二次函数图象上，则123y y y <<；⑤()a b m am b -<+（m 为任意实数）．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0， ∴当x =1时，0a b c ++=，故结论①正确；根据函数图像可知，当10x y =-<，，即0a b c -+<，对称轴为1x =-，即12b a-=-， 根据抛物线开口向上，得0a ＞，∴20b a =＞，∴0a b c b -+-<，即20a b c -+<，故结论②正确； 根据抛物线与x 轴的一个交点为()1,0，对称轴为1x =-可知：抛物线与x 轴的另一个交点为(-3，0)， ∴关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根分别为-3和1，故结论③正确；根据函数图像可知：213y y y <<，故结论④错误；当x m =时，2()y am bm c m am b c =++=++，∴当1m =-时，()a b c m am b c -+=++，即()a b m am b -=+，故结论⑤错误，综上：①②③正确，故选：C ．【变式训练2】二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，有以下结论：①3a －b ＝0；②240b ac ->；③520a b c -+>；④430b c +>，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【详解】解：由图象可知a ＜0，c ＞0，对称轴为32x =-，∴322b x a=-=-，∴3b a =，①正确； ∴函数图象与x 轴有两个不同的交点，∴240b ac ∆=-＞，②正确；当1x =-时，0a b c -+＞，当3x =-时，930a b c -+＞，∴10420a b c -+＞，∴520a b c -+＞，③正确；由对称性可知1x =时对应的y 值与4x =-时对应的y 值相等，∴当1x =时，0a b c ++＜，∴3b a =，∴433333330b c b b c b a c a b c +=++=++=++（）＜，∴430b c +＜，④错误；故选：C ．【变式训练3】抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）如图所示，下列结论中：①20a b +=；②0a b c -+>；③当1x ≠时，2a b ax bx +>+；④24ac b <．正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【详解】解：从图象上可以看出二次函数的对称轴是直线x =1．∴12b a -=．∴2a b =-．∴20a b +=．故①符合题意．从图象上可以看出当x =-1时，二次函数的图象在x 轴下方．∴当x =-1时，y <0即()()2110a b c a b c ⨯-+⨯-+=-+<．故②不符合题意．从图象上可以看出当x =1时，二次函数取得最大值．∴当1x ≠时，2211ax bx c a b c a b c ++<⨯+⨯+=++．∴2ax bx a b +<+．故③符合题意．从图象上可以看出二次函数图象与x 轴有两个交点．∴240b ac ->．∴24b ac >．故④符合题意．故①③④共3个符合题意．故选：C ．【变式训练4】已知二次函数y =ax 2−4ax −5a +1(a >0)下列结论正确的是（ ）①已知点M (4，y 1)，点N (−2，y 2)在二次函数的图象上，则y 1>y 2；②该图象一定过定点（5，1）和（－1，1）；③直线y =x −1与抛物线y =ax 2−4ax −5a +1一定存在两个交点；④当−3≤x ≤1时，y 的最小值是a ，则a =110 A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②③④ 【答案】B【详解】解：二次函数y =ax 2−4ax −5a +1(a >0)，开口向上，且对称轴为x =-42a a-=2， ①点N (−2，y 2)关于对称轴对称的点为(6，y 2) ，∴a >0，∴y 随x 的增加而增加，∴4<6，∴y 1<y 2；故①错误；②当y =1时，ax 2−4ax −5a +1=1，即x 2−4x −5=0，解得：x =5或x =-1，该图象一定过定点（5，1）和（-1，1）；故②正确；③由题意得方程：ax 2−4ax −5a +1= x −1，整理得：ax 2−(4a +1)x −5a +2=0，()()241452a a a =+--+=16a 2+8a +1+20a 2-8a =36a 2+1>0， 直线y =x −1与抛物线y =ax 2−4ax −5a +1一定存在两个交点；故③正确；④当−3≤x ≤1时，y 随x 的增加而减少，∴当x =1时，y 有最小值为a ，即a −4a −5a +1=a ，解得：a =19，故④错误；综上，正确的有②③，故选：B ．【变式训练5】抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2x =-．抛物线与x 轴的一个交点在点()4,0-和点(3,0)-之间，其部分图象如图所示，下列结论：①40a b -=；②3c a ≤；③关于x 的方程22ax bx c ++=有两个不相等实数根；④若()15,y -，()22,y 是抛物线上的两点，则12y y <；⑤224b b ac +>．正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【详解】解：∴抛物线的对称轴为直线x =-2b a =-2， ∴4a -b =0，所以①正确；∴与x 轴的一个交点在（-3，0）和（-4，0）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（-1，0）和（0，0）之间，∴x =-1时，y ＞0，且b =4a ，即a -b +c =a -4a +c =-3a +c ＞0，∴c ＞3a ，所以②错误；∴抛物线与x 轴有两个交点，且顶点为（-2，3），∴抛物线与直线y =2有两个交点，∴关于x 的方程ax 2+bx +c =2有两个不相等实数根，所以③正确；∴抛物线的对称轴为直线x =-2b a =-2，∴22(5)2-----＜， ∴a ＜0，∴12y y ＞所以④错误；∴抛物线的顶点坐标为（-2，3），∴2434ac b a-=，∴b 2+12a =4ac ， ∴4a -b =0，∴b =4a ，∴b 2+3b =4ac ，∴a ＜0，∴b =4a ＜0，∴b 2+2b ＞4ac ，所以⑤正确；∴正确的为①③⑤．故选：C【变式训练6】如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，其部分图象如图所示，下列结论：①24ac b <，②30a c ->，③方程20ax bx c ++=的两个根是11x =-，23x =，④当0y >时，x 的取值范围是13x ，其中正确的有（ ）A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②④【答案】C 【详解】解：∴抛物线的对称轴为直线1x =，，与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，12b a-=， ∴2b a =-，2=40b ac ∆->，即24ac b <，故①正确；∴抛物线开口向下，与y 轴交于y 轴正半轴，∴00a c <>，，∴30a <，∴30a c -<，故②错误；∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），∴方程20ax bx c ++=的两个根是11x =-，23x =，故③正确；由函数图象可知当0y >时，x 的取值范围是13x ，故④正确； 故选C ．11。
专题03 二次函数图像与系数关系的三种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)
专题03二次函数图像与系数关系的三种考法类型一、函数图像与a，b，c关系A．4【答案】B【分析】根据二次函数与x=时，y③，根据1A ．①②B ．①④【答案】D 【分析】由抛物线的开口向下，与不符合题意；当0x =与2x =-时的函数值相等，可得最大，可得()a b m am b -≥+，故③不符合题意；由点()()()314132--=>---=，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意．A ．①②⑤B 【答案】C 【分析】根据抛物线开口向上，与抛物线2y x bx c =++与当13x <<时，二次函数值小于一次函数值，可得A．1个【答案】C【分析】根据二次函数的对称性即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与有两个即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与【详解】解：∵对称轴为直线A．①②③B．②③④【答案】B【分析】根据抛物线的开口方向，判定abc＜；根据对称轴是直线从而判定0++的坐标，从而得到a b所以，2OE OB =，所以1OB =，即()10B ,，所以0a b c ++=，所以5c a =-，所以22()(5a c b a a +-=-例．在同一平面直角坐标系中，函数2y ax k =+与()0y kx a a =+≠的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】对比各个选项中二次函数和一次函数图象的规律，可分别得到各个函数系数的取值范围；通过函．．．D ．【分析】根据一次函数与二次函数的性质，分析解析式中的一次函数y cx b =+中0,c >c ．．．．【答案】B【分析】根据一次函数图象与系数的关系，二次函数图象和系数的关系进行判断；【详解】解：当0a >时，，二次函数开口向上，当0b >时一次函数过一，二，四象限，当次函数过二，三，四象限；时，0a ->，二次函数开口向下，当时一次函数过一，二，三象限，当．．．．【答案】D【分析】根据一次函数的1b =和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴，从而排除A 和C ，分情况探讨m 的情况，即可求出答案.．．．．【答案】C【分析】根据一次函数与二次函数的性质判断即可．【详解】解：∵0a >，∴||y a x =经过一、三象限；()20y a a -≠开口向上，与y 轴的交点在负半轴上，A ．．．．【答案】D【分析】根据二次函数图像与系数的关系，确定二次函数2y ax =【详解】解：根据题意得，二次函数c +中，0,a c <>A．．．．【答案】D【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．【详解】解：∵抛物线开口向上，．B ．．．【答案】C【分析】根据一次函数图象可得0,0a b ><，根据反比例函数可得，据此即可求解．【详解】解：∵一次函数x b α=+的图象经过一、三、四象限，0b <，．．．．【答案】D【分析】根据2y ax =+可知，二次函数图象与y 轴交点为y =时，即二次函数图象过原点．再分两种情0＞，0a ＜时结合二次函数2y ax =中a ，b 同号对称轴在轴左侧，a ，b图像，则二次函数A ．．．．【答案】B【分析】根据一次函数与反比例函数的图象位置，确定出a b c ，，的正负，进而利用二次函数图象与性质判断即可．【详解】解：观察图象可得：00a b c ><<，，二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交点在负半轴，的图象可能是故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象，一次函数图象，以及二次函数的图象，熟练掌握各自图象的性质是解本题的关键．课后训练1．已知抛物线y ax =时，抛物线与x 轴必有一个交点在点A．1个B．【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①函数的对称轴在①正确；A．①③B．②③【答案】C【分析】根据二次函数的性质得出断．轴右侧，即A．．．．【答案】Ck>，，进而确定二次函数开口向上，对称轴在【分析】先根据一次函数图象确定0可得到答案．=+的图象经过第一、二、三象限且与y kx bA．．．．【答案】②③⑤【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴及与x-时所对应点的位置可判断②；根据图当=1x-时的函数值可判断④；由于抛物线的顶点坐标及及=1【详解】解：由于抛物线的开口向下，因此【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答此题的关键是熟练的符号，与【答案】4【分析】利用抛物线开口方向得到与y轴的交点坐标得到入可得13a<-，抛物线的顶点坐标为01x<<时，利用二次函数图象在一次函数图象上方得到当01x <<时，21ax bx c kx ++>+，2ax bx kx ∴+>，ax b k ∴+>，故④正确．∴正确有①②③④共4个，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：当0a >时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于(0,)c ．。
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学习必备欢迎下载二次函数图像与系数关系一．选择题（共9小题）1．（2013•义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，∴=﹣3，则a=﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．故③正确；④根据题意知，a=﹣，﹣=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，∴≤c≤4，即≤n≤4．故④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．2．（2013•烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．解答：解：∵二次函数的图象的开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴b=2a＞0，∴abc＜0，∴①正确；2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③错误；∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∵＜3，∴y2＜y1，∴④正确；故选C．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．3．（2013•十堰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确；由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，又抛物线过点（0，1），得出c=1，由此判定②正确；由抛物线过点（﹣1，0），得出a﹣b+c=0，即a=b﹣1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正确；由a﹣b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正确；由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时，函数值y ＞0，由此判定⑤错误．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），∴c=1，a﹣b+c=0．①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x=﹣＞0，∴a与b异号，∴ab＜0，正确；②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，∵c=1，∴b2﹣4a＞0，b2＞4a，正确；④∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵ab＜0，∴b＞0．∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1，∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1，∴0＜b＜1，正确；③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b，∴a+b+c=2b＞0．∵b＜1，c=1，a＜0，∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，∴0＜a+b+c＜2，正确；⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x0，0），则x0＞0，由图可知，当x0＞x＞﹣1时，y＞0，错误；综上所述，正确的结论有①②③④．故选B．点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中．二次函数y=ax2+bx+c （a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换．4．（2012•沙坪坝区模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．a bc＜0 B．a+c＜b C．b＞2a D．4a＞2b﹣c考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：A、∵图象开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴在y轴左侧，﹣＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故本选项错误；B、∵当x=﹣1时，对应的函数值y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，故本选项错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞﹣1，又a＜0，∴b＞2a，故本选项正确；D、∵当x=﹣2时，对应的函数值y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a＜2b﹣c，故本选项错误．故选C．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与不等式的关系，难度中等．5．（2013•鄂州）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．∵对称轴x=﹣=﹣，∴b=a＜0，∴ab＞0．故①正确；②如图，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故②正确；③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴2a﹣2b+2c＞0，即3b﹣2b+2c＞0，∴b+2c＞0．故③正确；④如图，当x=﹣时，y＞0，即a﹣b+c＞0．∴a﹣2b+4c＞0，故④正确；⑤如图，对称轴x=﹣=﹣，则．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．6．（2013•德州）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．解答：解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误；当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选B．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．7．（2012•天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x=﹣，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用a﹣b+c=0，求出a﹣2b+4c＜0，再利用当x=4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，得出8a+c＞0．解答：解：根据图象可得：a＞0，c＜0，对称轴：x=﹣＞0，①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，∴﹣=1，∴b+2a=0，故①错误；②∵a＞0，∴b＜0，∵c＜0，∴abc＞0，故②错误；③∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a，∴a﹣2b+4c=a﹣2b+4（b﹣a）=2b﹣3a，又由①得b=﹣2a，∴a﹣2b+4c=﹣7a＜0，故此选项正确；④根据图示知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，∴8a+c＞0；故④正确；故正确为：③④两个．故选：B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．8．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b≠m （am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1，其中正确的是（）A．2个B．3个C．4个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x=﹣＞0，∴a、b异号，即b＜0，又∵c＜0，∴abc＞0，故本选项正确；②∵对称轴为x=﹣＞0，a＞0，﹣＜1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0；故本选项错误；③当x=1时，y1=a+b+c；当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；故本选项错误；④当x=1时，a+b+c=0；当x=﹣1时，a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）=0，即（a+c）2﹣b2=0，∴（a+c）2=b2故本选项错误；⑤当x=﹣1时，a﹣b+c=2；当x=1时，a+b+c=0，∴a+c=1，∴a=1+（﹣c）＞1，即a＞1；故本选项正确；综上所述，正确的是①⑤有2个．故选：A．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0，没有交点，b2﹣4ac＜0．9．（2013•莒南县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题；数形结合．分析：观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x=﹣1时图象在x轴下方得到y=a﹣b+c＜0，即a+c＜b；对称轴为直线x=1，可得x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0；利用对称轴x=﹣=1得到a=﹣b，而a﹣b+c＜0，则﹣b﹣b+c＜0，所以2c＜3b；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．解答：解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x 轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；当x=﹣1时图象在x轴下方，则y=a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②不正确；对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0，所以③正确；x=﹣=1，则a=﹣b，而a﹣b+c＜0，则﹣b﹣b+c＜0，2c＜3b，所以④正确；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；当x=m（m≠1）时，y=am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．故选B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=﹣，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．二．填空题（共1小题）10．（2013•柳林县一模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc＜0；②当﹣1＜x＜3时，y＞0；③3a+c＜0；④a﹣b+c＜0，其中正确的是①③④（把正确的序号都填上）．考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：根据图象可得：a＜0，b＞0，c＞0．则abc＜0，故①正确；当﹣1＜x＜3时图象在x轴的上方，且有的点在x轴的下方，故②错误；根据图示知，该抛物线的对称轴直线是x=1，即﹣=1，则b=﹣2a．那么当x=﹣1时，y=a﹣b+c=a+2a+c=3a+c＜0，故③正确；当x=﹣1时，y=a﹣b+c一定在x轴的下方，因而a﹣b+c＜0，故④正确．故答案是：①③④．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．（2013•绵阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是①③④（写出你认为正确的所有结论序号）．考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项．解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜0，对称轴x=﹣＞1，﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故选项①正确；∵﹣b＜2a，∴b＞﹣2a＞0＞a，令抛物线解析式为y=﹣x2+bx﹣，此时a=c，欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为和2，则=﹣，解得：b=，∴抛物线y=﹣x2+x﹣，符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c，（其实a＞c，a＜c，a=c都有可能），故②选项错误；∵﹣1＜m＜n＜1，﹣2＜m+n＜2，∴抛物线对称轴为：x=﹣＞1，＞2，m+n，故选项③正确；当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，∴3a+c＞﹣2b，∴﹣3a﹣c＜2b，学习必备欢迎下载∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴），∴3|a|+|c|=﹣3a﹣c＜2b=2|b|，故④选项正确．故答案为：①③④．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出m+n的取值范围是解题关键．。