2002年数一考研真题答案

2002年考研数学一试题答案与解析

一、填空题 (1)【分析】 原式2ln 1

1.ln ln e

e

d x x x

+∞+∞

==-=⎰

(2)【分析】 方程两边对x 两次求导得

'6'620,y e y xy y x +++=

① 2'''6''12'20.y y e y e y xy y ++++=

②

以

0x =代入原方程得0y =,以0x y ==代入①得'0,y =,再以'0x y y ===代入②得

''(0) 2.y =-

(3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.

令'()y P y =(以y 为自变量),则'''.dy dP dP

y P dx dx dy

=

== 代入方程得

20dP yP

P dy +=,即0dP

y P dy +=(或0P =,但其不满足初始条件01

'2

x y ==

). 分离变量得

0,dP dy P y

+= 积分得

ln ln ',P y C +=即1

C P y

=

(0P =对应10C =); 由0x =时

11,',2

y P y ===得11

.2C =于是

又由0

1x y

==得21,C =所求特解为y =

(4)【分析】 因为二次型T

x Ax 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵

A 的特征值,所以6,0,0是A 的特征值.

又因ii

i

a λ=∑∑,故600, 2.a a a a ++=++⇒=

(5)【分析】 设事件

A 表示“二次方程042=++X y y 无实根”,则{1640}{A X X =-<=>

4}.依题意,有

1

(){4}.2

P A P X =>=

而 4{4}1{4}1(

),P X P X μ

Φσ

->=-≤=-

即

414141(),(),0. 4.22μμμΦΦμσσσ

----===⇒=

二、选择题

(1)【分析】 这是讨论函数(,)f x y 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,(,)f x y 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若(,)f x y 可微则必连续,故选(A ).

(2)【分析】 由1

lim 101n n u

n n →+∞=>⇒充分大时即,N n N ∃>时

10n u >,且1lim 0,n n

u →+∞=不妨认为,0,n n u ∀>因而所考虑级数是交错级数,但不能保证

1

n

u 的单调性. 按定义考察部分和

1

111

1111

1111(1)

()(1)(1)n

n n

k k k n k k k k k k k S u u u u +++===++=-+=-+-∑∑∑ 1111

111(1)11(1)1(1)(),k n n

n l k l k l n n u u u u u ++==+--=-+-=+→→+∞∑∑

⇒原级数收敛.

再考察取绝对值后的级数1111

()n n n u u ∞

=++

∑.注意111112,11n n n n u u n n n u u n n

++++=+⋅→+ 11

n n ∞

=∑发散⇒1111()n n n u u ∞

=++∑发散.因此选(C ).

(3)【分析】 证明(B )对:反证法.假设lim ()0x f x a →+∞

'=≠,则由拉格朗日中值定理,

(2)()'()()f x f x f x x ξ-=→∞→+∞

(当x →+∞时,ξ→+∞,因为2x x ξ<<);但这与(2)()(2)()2f x f x f x f x M -≤+≤矛盾

(()).f x M ≤

(4)【分析】 因为()()23r A r A ==<,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B ).

(A )表示方程组有唯一解,其充要条件是()() 3.r A r A ==

(C )中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故()2r A =和

()3r A =,且A 中任两个平行向量都线性无关.

类似地,(D )中有两个平面平行,故()2r A =,()3r A =,且A 中有两个平行向量共线.

(5)【分析】 首先可以否定选项(A )与(C ),因

121212[()()]()()21,

()()112 1.

f x f x dx f x dx f x dx F F +∞

+∞

+∞

-∞

-∞

-∞

+=+=≠+∞++∞=+=≠⎰

⎰

⎰

对于选项(B ),若

121,21,1,01,

()()0,0,x x f x f x -<<-<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他，其他，

则对任何(,),x ∈-∞+∞

12()()0f x f x ≡,12()()01,f x f x dx +∞

-∞

=≠⎰

因此也应否定(C ),综上分析,用排除法应选(D ).