人教版高中数学必修一《集合与函数概念》之《函数的基本性质》教案设计
2019-2020年新人教版高中数学必修1《第一章集合与函数的概念》全章优秀教案教学设计
2019-2020年新人教版高中数学必修1《第一章集合与函数的概念》全章优秀教案教学设计教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。
另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。
课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系、集合相等的含义；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题引例１：（数学家和牧民的故事）牧民非常喜欢数学，但不知道集合是什么，于是他请教一位数学家．集合是不定义的概念，数学家很难回答牧民的问题．有一天他来到牧场，看到牧民正把羊往羊圈里赶，等到牧民把全部羊赶入羊圈关好门．数学家灵机一动，高兴地告诉牧民：“你看这就是集合！”２：军训时当教官一声口令：“高一（１4）班同学到操场集合”在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
人教课标版高中数学必修1第一章集合与函数概念集合教案
⼈教课标版⾼中数学必修1第⼀章集合与函数概念集合教案课题：1.1集合－集合的概念（1）教学⽬的：（1）使学⽣初步理解集合的概念，知道常⽤数集的概念及记法（2）使学⽣初步了解“属于”关系的意义（3）使学⽣初步了解有限集、⽆限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念及表⽰⽅法教学难点：运⽤集合的两种常⽤表⽰⽅法——列举法与描述法，正确表⽰⼀些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：1．集合是中学数学的⼀个重要的基本概念在⼩学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进⼀步应⽤集合的语⾔表述⼀些问题在⼏何中⽤到的有点集⾄于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运⽤，基本的逻辑知识在⽇常⽣活、学习、⼯作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的⼯具这些可以帮助学⽣认识学习本章的意义，也是本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在⾼中数学的最开始，是因为在⾼中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使⽤数学语⾔的基础例如，下⼀章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节⾸先从初中代数与⼏何涉及的集合实例⼊⼿，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常⽤表⽰⽅法，包括列举法、描述法，还给出了画图表⽰集合的例⼦这节课主要学习全章的引⾔和集合的基本概念学习引⾔是引发学⽣的学习兴趣，使学⽣认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有⼀个初步认识教科书给出的“⼀般地，某些指定的对象集在⼀起就成为⼀个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程：⼀、复习引⼊：1．简介数集的发展，复习最⼤公约数和最⼩公倍数，质数与和数；2．教材中的章头引⾔；3．集合论的创始⼈——康托尔（德国数学家）（见附录）；4．“物以类聚”，“⼈以群分”；5．教材中例⼦（P4）⼆、讲解新课：阅读教材第⼀部分，问题如下：（1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表⽰的？（3）集合中元素的特性是什么？（⼀）集合的有关概念：由⼀些数、⼀些点、⼀些图形、⼀些整式、⼀些物体、⼀些⼈组成的.我们说，每⼀组对象的全体形成⼀个集合，或者说，某些指定的对象集在⼀起就成为⼀个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：⼀般地，某些指定的对象集在⼀起就成为⼀个集合． 1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在⼀起就形成⼀个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常⽤数集及记法（1）⾮负整数集（⾃然数集）：全体⾮负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：⾮负整数集内排除0的集记作N *或N +{} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,{}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R{}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）⾃然数集与⾮负整数集是相同的，也就是说，⾃然数集包括数0（2）⾮负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表⽰，例如，整数集内排除0 的集，表⽰成Z *3、元素对于集合的⾪属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定⼀个元素或者在这个集合⾥，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）⽆序性：集合中的元素没有⼀定的顺序（通常⽤正常的顺序写出） 5、⑴集合通常⽤⼤写的拉丁字母表⽰，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常⽤⼩写的拉丁字母表⽰，如a 、b 、c 、p 、q …… ⑵“∈”的开⼝⽅向，不能把a ∈A 颠倒过来写三、练习题：1、教材P 5练习1、22、下列各组对象能确定⼀个集合吗？（1）所有很⼤的实数（不确定）（2）好⼼的⼈（不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）3、设a,b 是⾮零实数，那么bb aa +可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__4、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素5、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证： (1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，⽽x1不⼀定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x ∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2 ∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z ∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z ∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，⼜∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-且22222,2ba bb a a ---不⼀定都是整数，∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不⼀定属于集合G四、⼩结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于） 2．集合元素的性质：确定性，互异性，⽆序性 3．常⽤数集的定义及记法五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：⼋、附录：康托尔简介发疯了的数学家康托尔（Georg Cantor ，1845－1918）是德国数学家，集合论的创始者1845年3⽉3⽇⽣于圣彼得堡，1918年1⽉6⽇病逝于哈雷康托尔11岁时移居德国，在德国读中学1862年17岁时⼊瑞⼠苏黎世⼤学，翌年⼊柏林⼤学，主修数学，1866年曾去格丁根学习⼀学期1867年以数论⽅⾯的论⽂获博⼠学位年在哈雷⼤学通过讲师资格考试，后在该⼤学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授由于研究⽆穷时往往推出⼀些合乎逻辑的但⼜荒谬的结果(称为“悖论”)，许多⼤数学家唯恐陷进去⽽采取退避三舍的态度在1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的⽆穷宣战他靠着⾟勤的汗⽔，成功地证明了⼀条直线上的点能够和⼀个平⾯上的点⼀⼀对应，也能和空间中的点⼀⼀对应这样看起来，1厘⽶长的线段内的点与太平洋⾯上的点，以及整个地球内部的点都“⼀样多”，后来⼏年，康托尔对这类“⽆穷集合”问题发表了⼀系列⽂章，通过严格证明得出了许多惊⼈的结论康托尔的创造性⼯作与传统的数学观念发⽣了尖锐冲突，遭到⼀些⼈的反对、攻击甚⾄谩骂有⼈说，康托尔的集合论是⼀种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚⾄说康托尔是“疯⼦”来⾃数学权威们的巨⼤精神压⼒终于摧垮了康托尔，使他⼼⼒交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院真⾦不怕⽕炼，康托尔的思想终于⼤放光彩1897年举⾏的第⼀次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟⼤的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的⼯作“可能是这个时代所能夸耀的最巨⼤的⼯作”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从⼈们的崇敬中得到安慰和喜悦1918年1⽉6⽇，康托尔在⼀家精神病院去世集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产⽣了探索⽆穷集和超穷数的兴趣康托尔肯定了⽆穷数的存在，并对⽆穷问题进⾏了哲学的讨论，最终建⽴了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础康托尔创⽴了集合论作为实数理论，以⾄整个微积分理论体系的基础17世纪⽜顿（I.Newton，1642－1727）与莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646－1716）创⽴微积分理论体系之后，在近⼀⼆百年时间⾥，微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪开始，柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，1815－1897）等⼈进⾏的微积分理论严格化所建⽴的极限理论克隆尼克（L.Kronecker，1823－1891），康托尔的⽼师，对康托尔表现了⽆微不⾄的关怀他⽤各种⽤得上的尖刻语⾔，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达⼗年之久他甚⾄在柏林⼤学的学⽣⾯前公开攻击康托尔⼀个薪⾦较⾼、声望更⼤的教授职位使得康托尔想在柏林得到职位⽽改善其地位的任何努⼒都遭到挫折法国数学家彭加勒（H.Poi-ncare，1854－1912）：我个⼈，⽽且还不只我⼀⼈，认为重要之点在于，切勿引进⼀些不能⽤有限个⽂字去完全定义好的东西集合论是⼀个有趣的“病理学的情形”，后⼀代将把（Cantor）集合论当作⼀种疾病，⽽⼈们已经从中恢复过来了德国数学家魏尔（C.H.Her-mann Wey1，1885－1955）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾菲利克斯．克莱因（F.Klein，1849－1925）不赞成集合论的思想H．A．施⽡兹，康托尔的好友，由于反对集合论⽽同康托尔断交从1884年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安，精神病时时发作，不得不经常住到精神病院的疗养所去变得很⾃卑，甚⾄怀疑⾃⼰的⼯作是否可靠他请求哈勒⼤学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈勒⼤学附属精神病院去世流星埃．伽罗华（E.Galois，1811－1832），法国数学家伽罗华17岁时，就着⼿研究数学中最困难的问题之⼀⼀般π次⽅程求解问题许多数学家为之耗去许多精⼒，但都失败了直到1770年，法国数学家拉格朗⽇对上述问题的研究才算迈出重要的⼀步伽罗华在前⼈研究成果的基础上，利⽤群论的⽅法从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题他从拉格朗⽇那⾥学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔研究的基础上，进⼀步发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换群及其⼦群结构的分析上同时创⽴了具有划时代意义的数学分⽀——群论，数学发展史上作出了重⼤贡献1829年，他把关于群论研究所初步结果的第⼀批论⽂提交给法国科学院科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论⽂的鉴定⼈在1830年1⽉18⽇柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举⾏⼀次全⾯的意见听取会然⽽，第⼆周当柯西向科学院宣读他⾃⼰的⼀篇论⽂时，并未介绍伽罗华的著作1830年2⽉，伽罗华将他的研究成果⽐较详细地写成论⽂交上去了以参加科学院的数学⼤奖评选，论⽂寄给当时科学院终⾝秘书J ．B ．傅⽴叶，但傅⽴叶在当年5⽉就去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的⼿稿1831年1⽉伽罗华在寻求确定⽅程的可解性这个问题上，⼜得到⼀个结论，他写成论⽂提交给法国科学院于群论的重要著作当时的数学家S ．K ．泊松为了理解这篇论⽂绞尽了脑汁尽管借助于拉格朗⽇已证明的⼀个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它1832年5⽉30⽇，临死的前⼀夜，他把他的重⼤科研成果匆忙写成后，委托他的朋友薛伐⾥叶保存下来，从⽽使他的劳动结晶流传后世，造福⼈类年5⽉31⽇离开了⼈间死因参加⽆意义的决⽃受重伤1846年，他死后14年，法国数学家刘维尔着⼿整理伽罗华的重⼤创作后，⾸次发表于刘维尔主编的《数学杂志》上课题：1.1集合－集合的概念（2）教学⽬的：（1）进⼀步理解集合的有关概念，熟记常⽤数集的概念及记法（2）使学⽣初步了解有限集、⽆限集、空集的意义（3）会运⽤集合的两种常⽤表⽰⽅法教学重点：集合的表⽰⽅法教学难点：运⽤集合的列举法与描述法，正确表⽰⼀些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：⼀、复习引⼊：上节所学集合的有关概念1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在⼀起就形成⼀个集合（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常⽤数集及记法（1）⾃然数集：全体⾮负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：⾮负整数集内排除0的集记作N *或N + ，{} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}所有整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R ，{}数数轴上所有点所对应的=R3、元素对于集合的⾪属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ?4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定⼀个元素或者在这个集合⾥，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）⽆序性：集合中的元素没有⼀定的顺序（通常⽤正常的顺序写出） 5、（1）集合通常⽤⼤写的拉丁字母表⽰，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常⽤⼩写的拉丁字母表⽰，如a 、b 、c 、p 、q …… （2）“∈”的开⼝⽅向，不能把a ∈A 颠倒过来写⼆、讲解新课：（⼆）集合的表⽰⽅法1、列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号内表⽰集合例如，由⽅程012=-x 的所有解组成的集合，可以表⽰为{-1，1} 注：（1）有些集合亦可如下表⽰：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100} 所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表⽰⼀个元素，{a}表⽰⼀个集合，该集合只有⼀个元素2、描述法：⽤确定的条件表⽰某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在⼤括号内表⽰集合的⽅法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满⾜条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表⽰为：}23|{>-∈x R x 或23|{>-x x所有直⾓三⾓形的集合可以表⽰为：}|{是直⾓三⾓形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直⾓三⾓形}；{⼤于104的实数} （2）错误表⽰法：{实数集}；{全体实数}3、⽂⽒图：⽤⼀条封闭的曲线的内部来表⽰⼀个集合的⽅法4、何时⽤列举法？何时⽤描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便⽤描述法表⽰，只能⽤列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能⽆遗漏地⼀⼀列举出来，或者不便于、不需要⼀⼀列举出来，常⽤描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同⼀个集合吗？答：不是}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集（三）有限集与⽆限集1、有限集：含有有限个元素的集合2、⽆限集：含有⽆限个元素的集合3、空集：不含任何元素的集合Φ，如：}01|{2=+∈x R x三、练习题：1、⽤描述法表⽰下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=+n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=+n N n n x x 且 2、⽤列举法表⽰下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15} ②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防⽌把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(-④},)1(|{N n x x n ∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）} ⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的⽅程ax ＋b=0，当a,b 满⾜条件____时，解集是有限集；当a,b 满⾜条件_____时，解集是⽆限集4、⽤描述法表⽰下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 四、⼩结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：有限集、⽆限集、空集2．集合的表⽰⽅法：列举法、描述法、⽂⽒图五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：1.2 ⼦集、全集、补集教学⽬标：（1）理解⼦集、真⼦集、补集、两个集合相等概念；（2）了解全集、空集的意义，（3）掌握有关⼦集、全集、补集的符号及表⽰⽅法，会⽤它们正确表⽰⼀些简单的集合，培养学⽣的符号表⽰的能⼒；（4）会求已知集合的⼦集、真⼦集，会求全集中⼦集在全集中的补集；（5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会⽤符号及图形（⽂⽒图）准确地表⽰出来，培养学⽣的数学结合的数学思想；（6）培养学⽣⽤集合的观点分析问题、解决问题的能⼒．教学重点：⼦集、补集的概念教学难点：弄清元素与⼦集、属于与包含之间的区别教学⽤具：幻灯机教学过程设计（⼀）导⼊新课上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识．【提出问题】（投影打出）已知，，，问：1．哪些集合表⽰⽅法是列举法．2．哪些集合表⽰⽅法是描述法．3．将集M、集从集P⽤图⽰法表⽰．4．分别说出各集合中的元素．5．将每个集合中的元素与该集合的关系⽤符号表⽰出来．将集N中元素3与集M的关系⽤符号表⽰出来．6．集M中元素与集N有何关系．集M中元素与集P有何关系．【找学⽣回答】1．集合M和集合N；（⼝答）2．集合P；（⼝答）3．（笔练结合板演）4．集M中元素有－1，1；集N中元素有－1，1，3；集P中元素有－1，1．（⼝答）5．，，，，，，，（笔练结合板演）6．集M中任何元素都是集N的元素．集M中任何元素都是集P的元素．（⼝答）【引⼊】在上⾯见到的集M与集N；集M与集P通过元素建⽴了某种关系，⽽具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题．（⼆）新授知识1．⼦集（1）⼦集定义：⼀般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何⼀个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。
高中数学 第一章集合与函数教案 新人教A版必修1
1.1.1 集合的含义与表示一、课时学习目标1、知识与技能：了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；知道常用数集及其专用记号；了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；2、过程与方法: 观察关于集合的几组实例，并通过自己举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义。
通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，正确地理解集合。
通过集合学习，体会类比思想的运用。
3、情感：态度与价值观。
在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力，初步培养学生实事求是，扎实严谨的科学态度。
二、课时预习导学请同学们阅读教材第2—5页有关内容，然后完成下列问题1、结合在小学和初中所接触的一些集合，观察第2页例子1—8，尝试概括8个例子的共同特征：一般地，我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫______。
思考题：“给定的集合，它的元素必须是确定的”，你是如何理解的？【例1】：下列各组对象能构成一个集合吗？请判断并说明理由。
1、中国古代的四大发明。
2、方程240x-=在实数范围内的解。
3、所有很大的实数。
4、好心的人。
5、2010年上海世博会中所有的参展项目。
【例2】判断下列说法是否正确，并说明理由。
1、36111,,,,2422-这些数组成的集合有5个元素。
2、由a. b. c组成的集合与b.a.c组成的集合是同一个集合。
【自我感悟】⑴、集合中的元素应具有：_______，_______，________.⑵、通常集合用_________表示。
集合中元素用________表示。
元素a与集合A的关系有________或________; 用符号_______表示a属于集合A; 用符号_______表示a不属于集合A;做教材P5练习1⑶、特定集合的表示：2、我们可以用自然语言描述一个集合，除此之外，还可以用_______和_____表示集合。
练习：教材P5第2题【梳理整合】三、课内学习巩固：1、判断下列语句是否正确 ⑴、有1 . 2 . 2 . 4 . 2 . 1构成一个集合时，这个集合共有6个元素。
高一数学上册《函数的基本性质》教案、教学设计
3.学生在小组合作学习中的参与度有待提高。教师应关注学生的个体差异，调动每个学生的积极性，使他们在合作交流中发挥自己的优势，共同进步。
4.学生对于数学知识在实际生活中的应用认识不足，教师可通过引入实际问题，让学生体会数学知识的价值，激发学生学习数学的兴趣。
6.教学评价，关注成长
在教学过程中，教师应关注学生的成长和发展，采用多元化的评价方式，如课堂表现、作业完成情况、小组合作交流等，全面评估学生的学习效果。
7.创设互动氛围，激发学生学习兴趣
8.融入信息技术，提高教学质量
利用多媒体、网络等信息技术手段，丰富教学资源，提高教学质量。如通过数学软件绘制函数图像，让学生更直观地感受函数性质。
3.结合所学函数性质，尝试解决以下拓展性问题：
（1）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，判断其奇偶性，并求单调区间。
（2）已知函数g(x) = 3cos(2x) + 4sin(x)，求最小正周期及一个周期内的单调区间。
4.请同学们预习下一节课内容，了解函数的极值及其在实际问题中的应用。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，勇于表达自己的观点，培养学生自信、勇敢的品质。
4.通过解决实际问题，让学生认识到数学知识在生活中的重要作用，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识，提高学生的社会责任感。
在本章节的教学过程中，教师应以学生为主体，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性和创造性。通过讲解、示范、讨论等多种教学手段，使学生在掌握函数基本性质的基础上，提高自身的数学素养和综合素质。同时，注重培养学生的团队合作精神，使其在合作交流中相互学习、共同成长。
高一数学必修1《函数的基本性质》教案
高一数学必修1《函数的基本性质》教案教学目标：1. 理解函数以及函数的各种表达方式。
2. 掌握函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性和零点。
3. 实现函数的简单变换，例如平移、伸缩和反转等。
4. 能够应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学重点：1. 理解函数的概念以及函数的各种表达方式。
2. 掌握函数的基本性质，实现函数的简单变换。
3. 能够应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学难点：1. 如何理解函数的概念以及函数的各种表达方式。
2. 如何应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学方法：一、讲授法。
二、探究法。
三、案例分析法。
教学过程：一. 引入新知识(5分钟)：教师简单介绍函数的概念和历史背景，引导学生关注函数在实际生活中的应用，引出本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣。
二. 讲解函数的概念(10分钟)：1. 函数的定义：任何能够使$x$值唯一对应一个$y$值的规律都称为函数，可以表示为$y=f(x)$。
$x$为自变量，$y$为因变量，函数$f(x)$表示$y$与$x$之间的关系。
2. 函数的图像：函数可以通过绘制它们的图像进行可视化。
函数的图像是平面直角坐标系上的一条曲线。
3. 函数的表示方法：函数可以用表格、图像、公式等多种方式表示。
例如$f(x)=x^2$就是一种表示方式。
三. 掌握函数的基本性质(30分钟)：1. 单调性：单调递增和单调递减；2. 奇偶性：奇函数、偶函数和常函数；3. 周期性：周期函数和非周期函数；4. 零点：零点定义以及求零点的方法。
四. 实现函数的简单变换(10分钟)：1. 平移变换：表示为$f(x-a)$或$f(x)+b$，注意$a$和$b$的正负性；2. 伸缩变换：表示为$f(kx)$或$f(x)/k$，注意$k$的正负性；3. 反转变换：表示为$f(-x)$或$f(-y)$，注意反转后的坐标轴位置变化。
五. 应用函数的基本性质(10分钟)：1. 求函数的最值。
高中数学 第一章 集合与函数概念(函数的概念)教案 新人教版必修1-新人教版高一必修1数学教案
§1.2.1函数的概念一、教学目标1、知识与技能：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2、过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。
二、教学重点与难点：重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；三、学法与教学用具1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标 .2、教学用具：投影仪 .四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。
4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．（二）研探新知1、函数的有关概念（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．注意：① “y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g (x )”；②函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． （2）构成函数的三要素是什么？定义域、对应关系和值域 （3）区间的概念 ①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； ②无穷区间；③区间的数轴表示．（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？通过三个已知的函数：y =ax +b (a ≠0) y =ax 2+b x +c (a ≠0) y =xk(k ≠0) 比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。
人教A版高中数学必修1第一章 集合与函数概念1.3 函数的基本性质教案(1)
11．已知函数 ．判断 在区间(0，1]和[1，+∞)上的单调性，说明理由．
12．已知函数 是偶函数，且 时， ．求
(1) 的值，
(2) 时 的值；
(3)当 >0时， 的解析式．
13．作出函数 的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间．
答案：
【课后练习】（可作为单元测试卷）
18．解：减函数令 ，则有 ，即可得 ；同理有 ，即可得 ；
从而有
*
显然 ， 从而*式 ，
故函数 为减函数.
19．解： .
；
，故当 62或63时， 74120（元）。
因为 为减函数，当 时有最大值2440。故不具有相等的最大值.
边际利润函数区最大值时，说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大.
20．解： .
13．定义在R上的函数 （已知）可用 的和来表示，且 为奇函数， 为偶函数，则 =.
14．构造一个满足下面三个条件的函数实例，
①函数在 上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为；.
三、解答题
15．已知 ，求函数 得单调递减区间.
16．判断下列函数的奇偶性
① ；② ；
③ ；④ 。
17．已知 ， ，求 .
（3）解：由于f（x）在R上是减函数，故f（x）在［－3，3］上的最大值是f（－3），最小值是f（3）.由f（1）=－2，得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3×（－2）=－6，f（－3）=－f（3）=6.从而最大值是6，最小值是－6.
例5、建筑一个容积为8000 m3、深6 m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元／米2，池底造价为2a元／米2，把总造价y元表示为底的一边长xm的函数，其解析式为___________，定义域为___________.底边长为___________ m时总造价最低是___________元.
人教版高一数学必修1《集合与函数概念》教案1
第一章 集合与函数概念【】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ） B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A (1)A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂BA集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B(2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.【】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A B {|,x x A ∈且}x B ∈ (1)AA A =(2)A ∅=∅(3)A B A ⊆，A B B ⊆ BA并集A B {|,x x A ∈或}x B ∈ (1)AA A =(2)A A ∅=(3)AB A ⊇，A B B ⊇BA补集UA {|,}x x U x A ∈∉且(1)()U A A =∅ (2)()U A A U =(3)()()()U U U A B A B = (4)()()()U U U A B A B =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >> |x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x << ∅ ∅〖1.2〗函数及其表示 【知识回顾】1、一次函数)(x f =ax ＋b (a ≠0)：定义域R ，值域R2、反比例函数)(x f =xk(k ≠0)：定义域{x |x ≠0}，值域{y | y ≠0} 3、二次函数)(x f =ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：定义域R ，值域：当a ＞0时，｛y |y ≥a b ac 442-｝；当a ＜0时，｛y |y ≤ab ac 442-｝.【】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素：定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],a a b +∞+∞-∞(,)b -∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a 的象记为f (a ). 函数与映射的关系函数是特殊的映射，映射是函数的推广。
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函数的基本性质
教学目标
1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。
（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
（3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。
重点与难点
（1）判断或证明函数的单调性；
（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。
教学过程 一、
函数的单调性
1．单调函数的定义
（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当
1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。
那么就说函数
()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。
2、单调性的判定方法 （1）定义法：
判断下列函数的单调区间：2
1x y =
（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（3）复合函数的单调性的判断：
设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在
],[b a 上也是单调函数。
①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的
单调性相反时则复合函数为增减函数。
也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间
为 ．
（2）5
412
+-=
x x y 的单调递增区间为 ．
3、函数单调性应注意的问题：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数 4．例题分析 证明：函数1
()f x x
=
在(0,)+∞上是减函数。
证明：设任意1x ，2x ∈（0，+∞）且12x x <， 则21
121212
11()()x x f x f x x x x x --=
-=， 由1x ，2x ∈（0，+∞），得120x x >，又12x x <，得210x x ->， ∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >
所以，1
()f x x
=
在(0,)+∞上是减函数。
说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：x
y 1
=
不能说 )0,(-∞Y ),0(+∞是原函数的单调递减区间；
练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数3
()1f x x =+的单调性。
2．根据单调函数的定义，判断函数()f x =
二、函数的奇偶性 1．奇偶性的定义：
（1）偶函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有
()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。
例如：函数2()1f x x =+,
4()2f x x =-等都是偶函数。
（2）奇函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有
()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。
例如：函数x x f =)(，x
x f 1
)(=
都是奇函数。
（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性。
说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称；
（2） ()()f x f x -=或()()f x f x -=-必有一成立。
因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算()f x -，看是等于()f x 还是等于()f x -，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
（4）函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足
)()(x f x f -=也满足)()(x f x f --=。
（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。
偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
（6）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =． 2、函数的奇偶性判定方法 （1）定义法 （2）图像法 （3）性质罚 3．例题分析：
判断下列函数的奇偶性：
（1）()||f x x =（ ） （2）()f x =（ ）
说明：在判断()f x -与()f x 的关系时，可以从()f x -开始化简；也可以去考虑
()()f x f x +-或()()f x f x --；当()f x 不等于0时也可以考虑
()
()
f x f x -与1或1-的关系。
五．小结：1．函数奇偶性的定义； 2．判断函数奇偶性的方法；
3．特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。
三、函数的最大值或最小值 1．最大值的定义：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ⑴对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；
⑵存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值． 2
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）．
仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义． 3．例题分析：
例4．（教材P 35例4）求函数1
2
-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 解：（略）
巩固练习：（教材P 36练习5）
基础练习：
一、选择题、每个题目中，只有一个选项是正确的。
1、函数f(x)=x-2 +2-x 是（ C ）
A 、奇函数
B 、偶函数
C 、既是奇函数又是偶函数
D 、非奇非偶函数2．在区间)0,(-∞上为增函数的是
（B ） A ．1=y
B ．21+-=
x
x
y C ．122
---=x x y
D ．2
1x y +=
3．函数c bx x y ++=2
))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围
（ B ） A ．2-≥b
B ．2-≤b
C ．2->b
D ． 2-<b
4．如果偶函数在],[b a 具有最大值，那么该函数在],[a b --有
（ A ）
A ．最大值
B ．最小值
C ．没有最大值
D ． 没有最小值
5．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是
（ C ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2
＋1
C ．y =
x
2
D ．y =2x 2＋x ＋1
6．函数y =(x －1)-2
的减区间是_（_1，＋∞）。