微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

1．极限232

lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．

2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0

lim(()())t f t g t →⋅=0．

3．已知{}4

2

r()d =1,2,3t t -⎰

，{}6

4

r()d =2,1,2t t -⎰，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则

4

6

()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅{}3,9,5-.

452

6.贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___切线___

7.曲率恒等于零的曲线是_________________.

8.

9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线3αβ=，则曲线在0≠，则(,u v 12．()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则 曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 曲线{()cosh r t a =曲线{()cos r t a =设曲线:C x e =17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_______________.

19.u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是_____E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20.在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d)与u －曲线的夹角.

21.曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I =. 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则

dr

d t

={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．

23．已知{}r(,)cos cos ,

cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=，其中t =ϕ，2t =θ，则

dr(,)

d t

ϕθ={}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+．

24．设(,)r r u v =为曲面的参数表示，如果0u v r r ⨯≠，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G →是一一对应的，则称曲面是简单曲面．

25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网． 26．平面{}r(,),,0u v u v =的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．

27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 2829224)d b v u +31{cos ,u v =32(d)d :d u v =和34.是主曲率的充要条件是

35. 根据罗德里格斯定理，如果方向n n dn k dr k =-，其中是沿方向37旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切

平面?上的正投影曲线(C*)的曲率． 39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．

40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0． 41．正交网时测地线的方程为

d ds du ds dv ds

θθθ⎧⎪⎪

⎪⎨⎪

⎪⎪⎩． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是直线. 二、单项选择题

1

2其中a 为常向量．

3.是一般螺线，以下命题不正确的是（．切线与固定方向成固定角；

4.5．曲率线；C ．法截线； 6.(1,2)dr 为（C.{d -d ,d x y x d ,d ,2d x y x +7圆柱螺线{cos ,sin r t =8C ）．

A.α为单位向量；

B.αα⊥；

C.k αβ=-；

D.k βατγ=-+. 9．直线的曲率为（B ）．

A.-1；

B.0；

C.1；

D.2.

10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =不正确的是（D ）．

A.()()k s s α=；

B.()()k s s ϕ=，ϕ为()s α的旋转角；

C.()k s αβ=-⋅；

D.()|()|k s r s =.

11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D ）．

A.充分不必要条件；

B.必要不充分条件；

C.既不充分也不必要条件；

D.充要条件. 12．下列论述不正确的是（D ）．

A.,αβγ,均为单位向量；

B.αβ⊥；

C.βγ⊥；

D.αβ. 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．

A.充分不必要条件；

B. 必要不充分条件；

C.既不充分也不必要条件；

D. 充要条件. 56x y z +--球面{(,)r u v R =2(d sinh d u u v +正圆柱面{(,)r u v R =在第一基本形式为的曲线段

的弧长为（B ）．

A ．21cosh cosh v v -；

B ．21sinh sinh v v -；

C ．12cosh cosh v v -；

D ．12sinh sinh v v -．

20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B ）．

A ．0E =；

B ．0F =；

C ．0G =；

D ．0M =． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（A ）．

A ．极小曲面；

B ．球面；

C ．常高斯曲率曲面；

D ．平面．