微分几何习题解答曲线论
微分几何课后习题答案
微分几何课后习题答案微分几何课后习题答案微分几何是数学中的一个重要分支，研究的是曲线、曲面以及高维空间中的几何性质。
在学习微分几何的过程中，课后习题是巩固知识、提高理解能力的重要途径。
本文将针对微分几何课后习题给出一些答案，并解析其中的一些关键思路和方法。
一、曲线的参数化1. 给定曲线的参数方程为：x = t^2y = t^3求曲线的切向量和法向量。
解析：曲线的切向量是曲线在某一点上的切线的方向，可以通过对参数方程求导得到。
对x和y分别求导，得到：dx/dt = 2tdy/dt = 3t^2所以切向量为：T = (dx/dt, dy/dt) = (2t, 3t^2)曲线的法向量与切向量垂直，可以通过将切向量逆时针旋转90度得到。
所以法向量为：N = (-dy/dt, dx/dt) = (-3t^2, 2t)二、曲线的长度2. 计算曲线的长度：x = e^ty = e^(-t)解析：曲线的长度可以通过积分求解。
首先计算曲线的切向量：dx/dt = e^tdy/dt = -e^(-t)曲线的长度可以表示为：L = ∫√(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 dt= ∫√(e^t)^2 + (-e^(-t))^2 dt= ∫√(e^2t + e^(-2t)) dt这是一个积分问题，可以通过换元法解决。
令u = e^t，那么du = e^t dt。
将u代入上式，得到：L = ∫√(u^2 + u^(-2)) du= ∫√(u^4 + 1) du这是一个较为复杂的积分，可以通过换元法或者级数展开法求解。
三、曲面的法向量3. 给定曲面的参数方程为：x = u + vy = u - vz = u^2 - v^2求曲面的法向量。
解析：曲面的法向量可以通过对参数方程中的u和v分别求偏导得到。
对x、y、z分别对u求偏导，得到：∂x/∂u = 1∂y/∂u = 1∂z/∂u = 2u对x、y、z分别对v求偏导，得到：∂x/∂v = 1∂y/∂v = -1∂z/∂v = -2v所以曲面的法向量为：N = (∂z/∂u, ∂z/∂v, -∂x/∂u * ∂y/∂v + ∂y/∂u * ∂x/∂v) = (2u, -2v, 2)四、曲面的曲率4. 给定曲面的参数方程为：x = u^2y = v^2z = u + v求曲面的曲率。
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分多少习题解答曲面论一
v2 v1
cosh
vdv
||
sinh
v2
sinh v1 | 。
4．设曲面的第一基本形式为 I = du 2 (u 2 a 2 )dv 2 ，求它上面两条曲线 u +
v = 0 ,u–v = 0 的交角。
分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变 量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
sin
y a cos sin a sin sin a cos cos
cos sin
0
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
微分几何第202页习题解答
解法Ⅱ: 当坐标曲线为正交曲线网时, 由计算测地曲率的 Liouville 公式, kg = dθ 1 ∂ ln E 1 ∂ ln G − √ cos θ + √ sin θ, ds 2 G ∂v 2 E ∂u 1
对 u -曲线, θ = 0, 则
1 ∂ ln E kgu = − √ , 2 G ∂v 1 ∂ ln G kgv = √ . 2 E ∂u
积分得 cos θ =
C √ (C 为 vFra bibliotek所以 du = √ 积分得 u = 2C
Cdv , v − C2
v − C 2 , 或 u2 = 4C 2 (v − C 2 ).
所求的测地线在 uv 平面上是抛物线. 10. 求正螺面 r = {u cos v, u sin v, av } 上的测地线. 解：直接求得正螺面的第一基本量为 E = 1, F = 0, G = u2 + a2 . 由 F = 0 知正螺面的坐标曲线正交, 并由测地线的微分方程得 dv = du dθ 1 = du 2 1 E tan θ = √ tan θ 2 G u + a2 (1)
由 F = 0 知曲面的坐标网是正交网, 由测地线的微分方程得 1 1 du cos θ = √ cos θ, =√ v E ds 1 dv 1 √ √ ds = G sin θ = v sin θ, Ev Gu dθ = √1 ( √ cos θ − √ sin θ) = 1 du ,
而对 v -曲线, θ = π 2, 则
dθ ds
2. 证明球面 r (u, v ) = {a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u} 上曲线的测地曲率 kg = u dv − sinds , 其中 θ 表示曲线与经线的交角. 证明：直接计算得到球面的第一类基本量为 E = a2 , F = 0, G = a2 cos2 u.
微分几何习题解答(曲线论)
微分几何主要习题解答第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
微分几何复习题
第一章 曲线论一、单项选择题1、过点0r 且以非零向量a 为方向的直线方程为A 、 00 =-⨯r a rB 、0)(0 =⨯-r a rC 、0)(0=⋅-a r rD 、0)(0 =⨯-a r r 2、已知向量b a ⊥，则必有 ； A 、 0 =⋅b a B 、 b a λ= C 、0 =⨯b a D 、 0=⋅b a 3、设s , r 分别是可微的向量函数,则以下运算正确的是 ； A 、s r s r ⋅'='⋅)( B 、s r s r s r '⋅+⋅'='⋅ )( C 、s r s r ⨯'='⨯)( D 、r s r s s r '⨯+⨯'='⨯ )( 4、过0r 且垂直于非零向量n 的平面方程是A 、0)(0=⋅-n r rB 、 0)(0 =⨯-n r rC 、n v r r =-0D 、0)(0=⋅-r n r 5、设)(),(),(t u t s t r 分别是可微的向量函数,则='),,(u s r ； A 、u s r '⨯⋅ )( B 、u s r '⋅⨯ )( C 、)',','(u s r D 、),,(),,(),,(u s r u s r u s r '+'+'6、单位向量函数)(t r 关于t 的旋转速度等于A 、)('t rB 、)(''t rC 、)('t rD 、 )(''t r7、向量函数)(t r r=具有固定方向的充要条件是 ； A 、1)(=t r B 、1)('=t r C 、 0)(')( =⨯t r t r D 、 o t r t r =⋅)(')(8、向量函数)(t r r =具有固定长的充要条件是 ；A 、0)(')(=⋅t r t rB 、0)()(' =⨯t r t rC 、1)(=t rD 、1)('=t r9、星形线t a y t a x 33sin ,cos ==上对应于t 从0到π的一段弧的长等于 ；A 、aB 、a 2C 、a 3D 、 a 6 10、已知向量b a //，则必有 ；A 、 0 =⨯b aB 、 b a λ=C 、0 =⋅b aD 、 0=⋅b a11、在曲线的正常点处,曲线的切线和主法线所确定的平面是曲线上该点的 ；A 、法平面B 、切平面C 、密切平面D 、从切平面12、平面曲线的曲率或挠率特征是 ；A 、曲率0≡κB 、曲率∞≡κC 、挠率)0(≠=c c τD 、挠率0≡τ13、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率都是 ；A 、0B 、1C 、RD 、R1 14、如果一条曲线的密切平面固定，则此曲线是 ；A 、平面曲线B 、挠曲线C 、一般螺线D 、直线15、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r=，则曲线在任一点的单位切向量是 ；A 、)(t rB 、)(s rC 、 dt r dD 、 dsr d 16、曲率恒等于零的曲线是 ；A 、平面曲线B 、直线C 、挠曲线D 、一般螺线17、 圆柱螺线},sin ,{cos t t t r = ，在点π=t 的切线方程是 ；A 、1101π-=-=+z y xB 、1111π-=-=+z y xC 、1101z y x =-=+ D 、0=-+-πz y 18、对于一般螺线，下列命题成立的个数是 ；① 切线和固定方向作固定角 ②主法线与一个固定方向垂直 ③曲率和挠率的比等于一个常数 ④副法线与一个固定方向作固定角A 、二个B 、三个C 、四个D 、五个19、下列不是一般螺线性质的是 ；A 、切线和固定方向作固定角B 、主法线与一个固定方向垂直C 、曲率和挠率的积等于一个常数D 、副法线与一个固定方向作固定角E 、曲率和挠率的比等于一个常数20、如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么此曲线是 ；A 、球面曲线B 、圆C 、平面曲线D 、直线21、空间曲线c 上正则点P 的切线和该点邻近点Q 的平面π，当点Q 沿曲线趋于点P 时，平面π的极限位置称为曲线的点的 ；A 、密切平面B 、法平面C 、切平面D 、从切平面二、填空题1、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r =，则曲线在任一点的单位切向量是 ；2、 向量函数)(t r 是区间],[b a 上的连续函数,则=⎰])([x adt t r dx d ； 3、 直线{}t t t t r 3,2,)(= 的自然参数方程是 ；4、设曲线参数方程)(s r r =，则参数s 是自然参数的充要条件是 ；5、最贴近曲线的直线是 、最贴近曲线的平面是 ；6、若空间曲线)(t r r =上的密切平面都垂直于一固定向量e ，则该曲线是 ；7、空间曲线是直线的充要条件是 ；8、若空间曲线)(t r r =满足0),,(=''''''r r r ，则该曲线是 ；9、曲线)(t r r =上的点都是正常点，则必有 ；10、曲线)(c 上所有点都是正常点时,则称该曲线)(c 为 .11、空间曲线的自然方程是 ；12、 )(t r 具有固定长的充要条件是 ；13、)(t r 具有固定方向的充要条件是 ；14、空间曲线是平面曲线的充要条件是 ；15、平面曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的 决定.16、空间曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的 决定.17、圆柱螺线{}t t t t r ,sin ,cos )(= 在点（1，0，0）处的切线方程是 ；18、 曲线{}t t t t r 5,sin 3,cos 3)(= 上的每一点都是 ；19、由曲线上一点的主法线与副法线构成的平面是曲线在这点的 ；20、由曲线上一点的切线与副法线构成的平面是曲线在这点的 ；21、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率（按顺时针方向）都是 ；22、切线和固定方向作固定角的曲线称为 ；23、圆柱螺线},sin ,cos {bt t a t a r = 的自然参数表示为 ；24、 若曲线b t a t r r ≤≤=),(中的函数是连续可微的函数，则曲线为 ；25、按照椭圆点、双曲点、抛物点进行分类，可展曲面上的点都是 点。
微分几何试题及答案
微分几何试题及答案1. 曲线的微分几何描述- 给定曲线 \( r(t) = (x(t), y(t), z(t)) \)，求其速度向量\( \mathbf{v}(t) \) 和加速度向量 \( \mathbf{a}(t) \)。
2. 曲面的第一基本形式- 已知曲面 \( S \) 由参数方程 \( x(u,v), y(u,v), z(u,v) \) 给出，求曲面 \( S \) 的第一基本形式。
3. 高斯曲率和平均曲率- 对于曲面 \( S \)，给出其高斯曲率 \( K \) 和平均曲率 \( H \) 的定义，并说明它们之间的关系。
4. 测地线的性质- 解释什么是测地线，并给出测地线在曲面上的性质。
5. 曲面的第二基本形式- 已知曲面 \( S \) 的法向量场 \( \mathbf{n}(u,v) \)，求曲面 \( S \) 的第二基本形式。
6. 曲面的高斯映射- 给出曲面 \( S \) 的高斯映射的定义，并解释其几何意义。
7. 曲面的内蕴几何与外蕴几何- 描述曲面的内蕴几何与外蕴几何的区别，并给出一个例子。
8. 微分几何在物理学中的应用- 简述微分几何在广义相对论中的应用。
答案1. 曲线的微分几何描述- 速度向量 \( \mathbf{v}(t) = \frac{dr(t)}{dt} = (x'(t),y'(t), z'(t)) \)，其中 \( x'(t), y'(t), z'(t) \) 分别是\( x(t), y(t), z(t) \) 的导数。
- 加速度向量 \( \mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = (x''(t), y''(t), z''(t)) \)。
2. 曲面的第一基本形式- 第一基本形式由曲面的度量张量给出，即 \( g_{ij} =\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_j} \)。
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
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第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r=2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n= 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n为常向量，且)(t r ·n =0 。
两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n，因而共面，即（r 'r ''r）=0 。
反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。
若r ×'r =0 ，由上题知)(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'r≠0 ，则存在数量函数)(t λ、)(t μ，使''r= r λ+μ'r①令n =r ×'r ，则n≠0 ，且)(t r ⊥)(t n 。
对n =r ×'r求微商并将①式代入得'n =r ×''r =μ（r ×'r）=μn ，于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n ，即)(t r 平行于固定平面。
§3 曲线的概念1．求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z =t 在（1,0,0）的切线和法平面。
解 令t cos =1,t sin =0, t =0得t =0, 'r(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 111z y x ==- ，法平面为 y + z = 0 。
2．求三次曲线},,{32ct bt at r =在点0t 的切线和法平面。
解 }3,2,{)('2000ct bt a t r = ，切线为230020032ct ct z bt bt y a at x -=-=-， 法平面为 0)(3)(2)(30202000=-+-+-ct z ct bt y bt at x a 。
3. 证明圆柱螺线r ={ a θcos ,a θsin ,θb } (+∞∞- θ)的切线和z 轴作固定角。
证明 'r = {-a θsin ,a θcos ,b },设切线与z 轴夹角为ϕ,则ϕcos =22||||'b a be r k r +=⋅为常数，故ϕ为定角（其中k为z 轴的单位向量）。
4. 求悬链线r ={t，a t a cosh }（-∞∞ t ）从t =0起计算的弧长。
解 'r = {1，a t sinh }，|'r | =a t 2sinh 1+ = a tcosh ， ｓ＝a t t a t a dt sinh cosh 0=⎰ 。
９．求曲线2232,3a xz y a x ==在平面3ay = 与y = 9a 之间的弧长。
解 曲线的向量表示为r ＝}2,3,{223xa a x x ，曲面与两平面3a y = 与y = 9a 的交点分别为x=a 与x=3a , 'r ＝}2,,1{2222xa ax -，｜'r ｜＝444441x a a x ++＝22222xa a x +，所求弧长为a dx xa a x s aa9)2(22322=+=⎰。
10. 将圆柱螺线r ={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。
解 'r= { -a t sin ,a t cos ,b}，s = t b a dt r t 220|'|+=⎰ ，所以22ba s t +=，代入原方程得 r ={a cos22ba s +, a sin22ba s +,22ba bs +}11.求用极坐标方程)(θρρ=给出的曲线的弧长表达式。
解 由θθρcos )(=x ，θθρsin )(=y 知'r={)('θρθcos -θθρsin )(，)('θρθsin +θθρcos )(}，|'r| = )(')(22θρθρ+，从0θ到θ的曲线的弧长是s=⎰θθ0)(')(22θρθρ+d θ 。
§4 空间曲线1．求圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 在任意点的密切平面的方程。
解 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b},''r={-a t cos ,- a t sin ,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为sin cos cos sin sin cos ta ta b t a t a bt z t a y t a x ------ = 0 ，即(b t sin )x-(b t cos )y+a z-ab t=0 .2. 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。
解 原点对应t=0 , 'r(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0}=t ={0,1,1}，=)0(''r{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0}=t ={2,0,2} ，所以切线方程是110zy x == ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是202110zy x=0 ，即x+y-z=0 ，主法线的方程是⎩⎨⎧=+=-+00z y z y x 即112zy x =-= ；从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式111-==zy x 。
3．证明圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 的主法线和z 轴垂直相交。
证 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b}, ''r={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，由'r⊥''r知''r为主法线的方向向量，而''r 0=⋅k所以主法线与z 轴垂直；主法线方程是与z 轴有公共点(o,o,bt)。
故圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交。
4.在曲线x = cos αcost ,y = cos αsint , z = tsin α的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解 'r = {-cos αsint, cos αcost, sin α } , ''r={ -cos αcost,- cos αsint , 0 }=⨯⨯=|'''|'''r r r rγ{sin αsint ,- sin αcost , cos α }新曲线的方程为r ={ cos αcost + sin αsint ，cos αsint- sin αcost ，tsin α + cos α }对于新曲线'r={-cos αsint+ sin αcost ，cos αcost+ sin αsint ，sin α }={sin(α-t),cos(α-t), sin α} , ''r={ -cos(α-t), sin(α-t),0} ,其密切平面的方程是即 sin α sin(t-α) x –sin α cos(t-α) y + z – tsin α – cos α = 0 .5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
证 方法一：⇒设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径)(t r具有固定长，所以r ·'r =0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。
⇐若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则r ·'r = 0，)(t r具有固定长，对应的曲线是球面曲线。
方法二：()r r t =是球面曲线⇔存在定点0r （是球面中心的径矢）和常数R （是球面的半径）使220()r r R -=⇔02()0r r r '-⋅= ，即0()0r r r '-⋅= （﹡）而过曲线()r r t =上任一点的法平面方程为()0r r ρ'-⋅= 。
可知法平面过球面中心⇔（﹡）成立。
所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
6.证明过原点平行于圆柱螺线r={a t cos ，a t sin ，b t}的副法线的直线轨迹是锥面2222)(bz y x a =+.证 'r ={ -a t sin ,a t cos , }, ''r ={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，'r ×''r=},cos ,sin {a t b t b a ---为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程是azt b y t b x =-=cos sin ，消去参数t 得2222)(bz y x a =+。