微分几何试题库

微分几何

一、判断题

1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√）

2、二阶微分方程22

u v du u v dudv u v dv

++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0

线. （⨯）

3、若()

s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和()

4、向量函数()

s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，

s t平行（×）

s t的微商与()

()

5、等距变换一定是保角变换.（√）

6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（⨯）

7、常向量的微商不等于零（×）

8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×）

9、对于曲线s=()

s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×）

10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√）

11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√）

12、单位切向量的模是1（√）

13、每一个保角变换一定是等距变换（×）

14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√）

F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0

二、填空题

16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线

17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1

c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为⎰'b

a dt t r )(

19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π

<<

，则α=1

{3cos ,3sin ,4}5

x x --，

β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ=

625sin 2x ，τ=8

25sin 2x

。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。

21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ϕθϕθψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”).

22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=⋅q p )cos(～

pq q p

24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是

0))(),(),((000=-s r s r s r R

27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02

v π

≤<，则它的第一基本形式

为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为

dv ，高斯曲率

K =

22

36

(36)u -+ ，平均曲率 H = 0 ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲

，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 66

,3737

-。 30、（Cohn-Voeeen 定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是R 3中的合同或对称。

31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。

32.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络

三、综合题

33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。 解：},,cos ,sin {t te t t t t r =

},,sin cos ,cos {sin )(t t te e t t t t t t t r +-+=' }2,cos sin 2,sin cos 2{)(t t te e t t t t t t t r +---=''

在原点处0=t

},0,0,0{)0(=r },1,1,0{)0(='r }.2,0,2{)0(=''r

在原点处切平面的方程为:

0))0(),0(),0((='''-r r r R

即 0=-+Z Y X 法平面的方程为:

0)0())0((='⋅-r r R

即 0=+Z Y 切线方程为

)0()0(r r R '=-λ

即

1

10Z

Y X ==

34、求曲面33z x y =-的渐近曲线。

解 设33{,,}r u v u v =-

则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯=

=-⨯

{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-

4

9uu L n r u =⋅=

0uv M n r =⋅=，4

9vv N n r u

=⋅=

因渐近曲线的微分方程为

2220Ldu Mdu dv Ndv ++=

即22udu vdv =0=

∴ 渐近曲线为3

3

221u v C =+或

33

222()u v C -=+

35.求双曲抛物面}2),(),({uv v u b v u a r -+=的第一基本形式 解:},2),(),({uv v u b v u a r -+= },2,,{v b a r u = }.2,,{u b a r v -= uv b a r r F v b a r r E v u u u 4,422222+-=⋅=++=⋅=,

.4222u b a r r G v v ++=⋅=

2222222222)4()4(2)4(dv u b a dudv uv b a du v b a I ++++-+++=∴