微分几何期中考试
微分几何试题及答案
微分几何试题及答案导言：微分几何是现代数学的一个重要分支，研究曲线和曲面的性质以及它们在空间中的几何关系。
本文将给出一些微分几何的试题，并提供对应的答案和解析，以帮助读者更好地理解微分几何的概念和方法。
1. 曲线的参数方程试题：给定二维曲线C的参数方程为 x = t^2, y = t^3, 求C在t=1处的切向量和法向量。
解析：曲线C的切向量和法向量可以通过求导得到。
对参数方程关于t求导，得到 x' = 2t, y' = 3t^2。
将t=1代入求得 x'(1) = 2，y'(1) = 3。
因此，在t=1处，曲线C的切向量为 (2, 3)，法向量为 (-3, 2)。
2. 曲线的切线方程试题：已知二维曲线C的参数方程为 x = cos t, y = sin t，求C在t=π/4处的切线方程。
解析：曲线C在t=π/4处的切向量可以通过求导得到。
对参数方程关于t求导，得到 x' = -sin t, y' = cos t。
将t=π/4代入求得x'(π/4) = -1/√2，y'(π/4) = 1/√2。
因此，在t=π/4处，曲线C的切向量为 (-1/√2, 1/√2)。
切向量与点的乘积即切线方程的标准形式。
对于曲线C在t=π/4处的切线方程，带入坐标点(cos(π/4), sin(π/4)) = (√2/2, √2/2)，切向量 (-1/√2, 1/√2)，得到切线方程 -x + y = 0。
3. 曲线的曲率和法曲率试题：已知三维曲线C的参数方程为 x = 2t, y = t^2, z = 3t^3，求C在t=1处的曲率和法曲率。
解析：曲线C的曲率和法曲率可以通过求导得到。
对参数方程关于t求导，得到 x' = 2, y' = 2t, z' = 9t^2。
将t=1代入求得 x'(1) = 2，y'(1) = 2，z'(1) = 9。
微积分期中
微积分(上)期中模拟试卷(一)一、填空题 (每小题3分，共15分)1. 设⎩⎨⎧≥-<=0, 20, )(2x x x x x f ，则=-)]1([f f 。
2. =∞→xx x 21sin3lim 。
3. 函数23)3ln()(2+++=x x x x x f 的可去间断点为 。
4. 设xxx x f --+=11)(，则当补充定义=)0(f 时, )(x f 在0=x 处连续。
5. 设)(x f 在a x =处可导, 则=--→ha f h a f h )()2(lim 0___________ .二、选择题(每小题3分，共15分)1. 函数)(2x xf y =的图形关于（ ）对称。
(A) x 轴 (B) y 轴 (C) 原点 (D) 直线x y =2. 设⎩⎨⎧>≤=0,0,)(x x x x x f ，则)(x f 在点0=x 处（ ）。
(A) 无定义(B) 无极限(C) 不连续(D) 连续3. 设)(lim 0x f x x →存在, 则)(x f 在点0x 处（ ）。
(A) 必有定义(B) 必有定义, 但与极限值无关 (C) 可以没有定义(D) 函数值必须等于极限值.4. 若)(x f 在0x x =处可导，则)(x f 在0x x =处必（ ）. (A) 可导(B) 不可导(C) 连续(D) 不连续5. 0→x 时与x 等价的无穷小是（ ）.(A) x x +3 (B) 1sin 1-+x (C) )1e sin(-x (D) x cos 1-三、计算题(每小题6分，共48分)1. 求极限 )1ln()cos 1(1cossin 3lim2x x xx x x +++→ .2. 求极限 1e tan 1tan 1lim---+→xx xx .3. 求极限 xx x π)(coslim 0+→.4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 , 0 ,cos ln )(2x a x x xx f 在0=x 处连续，则=a .5. 设⎩⎨⎧<+≥+=0arctan 01 )(bx , x a x , x x f 在0=x 处可导，求常数b a ,。
微分几何测试题集锦(含答案)
《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。
⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。
⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。
⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。
⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。
⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。
二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。
A 、 直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。
A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。
A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =，试求⑴ 在点0,1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线和法平面。
(整理)微分几何测试题集锦(含答案)
《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。
⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。
⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。
⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。
⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。
⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。
二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。
A 、 直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。
A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。
A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =，试求⑴ 在点0,1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线和法平面。
微分几何期中作业
))(),(sin ,cos )(('''u g v f v u f r u=微分几何期中作业证明：一个正则参数曲面是旋转面的充分必要条件是，它的所有法线都与一条固定的直线相交。
证明过程：必要性：当我们假设旋转面的方程为()()))(,sin ,cos (r u g v v f u f υ=此时，如果对r 分别对u,v 求导，则可以得到所以，通过对其做向量乘法可得： 因此，我们可知单位法向量为：))(,sin )(,cos )(())(())((1),('''2'2'u f v u g v u g u g u f v u n --+=该曲线的法线的参数方程是)(,sin (,cos (),sin ,cos (2'2''2'2''2'2''gf f v gf g v gf g g v f v f r ++-+-+=λ这里的λ是法线上的参数，如果0)('=u g ，则该处的法线与Z 轴平行；如果0)('≠u g ，取)())(())(()('2'2'u g u g u f u f +=λ，则在法线上的对应点的坐标为），（)()()()(0,0''u g u f u f u g +，这个点在Z 轴上，所以这个平面的法线都经过Z 轴。
对于充分性：我们假定曲面S 的所有法线都经过z 轴，用一个通过z 轴，且与OXZ 平面夹角为ν的平面截曲面S ，这条截线的参数方程可以假设为）（),(,sin ,cos v u g v u v u ,这说明，截线上的点到Z 轴的距离为μ，到OXY 平面的距离是g(μ，ν)，μ为该截线上的参数，ν是任意固定值。
而且此时，当ν变化时上面的截线扫出曲面S ，因此，曲面S 的参数方程是)),(,sin ,cos (v u g v u v u r =，此时，我们可以知道参数曲线的切向量是),cos ,sin (),,sin ,(cos v v u ug v u v u g v v r r-==，曲面法向量则可以表示为：),sin cos ,cos sin (u v ug v g v ug v g r r u v u v v u ---=⨯，所以曲面S 的法线的参数方程可写为：）（u g v g u v g v g u v g u v u v λλλλλ+-+--+,sin )1(cos ,cos )1(sin ，其中，λ是法线上,0)(>u f )0,cos )(,sin )((v u f v u f rv-=)),()(,sin )(,cos )()((''u f u f v u f v u g u f r r vu --=⨯的参数。
微积分期中考试试题答案
一,求下列极限: （20分） 1, dtte dt e x t x t x ⎰⎰→0220022)(lim 2, 求极限：dt t f a x x xa a x ⎰-→)(lim ，其中)(x f 连续二，求定积分（30分）1．21⎰ 2．0x xdx e e +∞-+⎰ 3．⎰+20cos sin cos πdx xx x 4．⎰-=++222cos 1cos ππdx x x x 三，求由方程⎰x20 t 2dt +⎰x0 dt t 21+ +xy=0所确定的函数y=y(x)的微分dy 。
（10分） 四，求抛物线23y x =-与直线2y x =及y 轴所围成在第一象限的平面图形的面积A 及该平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积V 。
（10分）五，（30分）1）设()f x 在[0,2]a 上连续，证明200()[()(2)]a af x dx f x f a x dx =+-⎰⎰ 2）若f(x)在[0,1]上连续，证明⎰π0)(sin dx x xf =πdx x f ⎰20)(cos π3） 计算20sin 1cos x x dx xπ+⎰1． ()dxte dt e x t x t x ⎰⎰→0220202lim 2220202lim x x x t x xe e dt e ⋅=⎰→20202lim x x t x xe dt e ⎰→= 2222022lim x x xx ex e e +=→2212lim 20=+=→x x 2．dt t f a x x xa a x ⎰-→)(lim)(1)()(lim a af dt t f x xf x a a x =+=⎰→二．1。
210⎰tdt t t t x cos 2cos 2sin 4sin 602⎰=π ⎰=602sin 4πtdt ⎰-=60)2cos 1(2πdt t 602sin 3ππt -=233-=π 2．0x x dx e e +∞-+⎰=dx e e x x 120+=⎰∞+1)(20+=⎰∞+x x e de 0)arctan(∞+=x e 42ππ-=4π= 3．⎰+20cos sin cos πdx x x x ⎰+++-=2cos sin )cos (sin )sin (cos 21πdx x x x x x x ⎰++=20cos sin )cos (sin 21πx x x x d dx ⎰+20121π 4cos sin ln 2120ππ++=x x 4π=4．⎰-=++222cos 1cos ππdx x x x ⎰-+222cos 1ππdx x x +⎰-+222cos 1cos ππdx x x ⎰+=202cos 1sin 2πxx d ⎰-=202sin 2sin 2πx x d x d xx sin )sin 21sin 21(2120-++=⎰π 20sin 2sin 2ln 21πxx -+= 1212ln 21-+=)12ln(2+= 三，解：对原方程⎰x20 t 2dt +⎰x0 dt t 21+ +xy=0两边求微分，得0)(1)2()2(22=+++xy d dx x x d x 有01822=++++xdy ydx dx x dx x 所以所求微分dx xy x x dy +++-=2218四．求抛物线23y x =-与直线2y x =及y 轴所围成在第一象限的平面图形的面积A 及该平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积V 。
微分几何期中测试
临沂大学2013－2014学年度第一学期
《微分几何》期中测试
1
、证明：曲线{}23
():2,C t t =r 的切线与直线0y z x =-=交于定角。
2、设曲线()():C s =r r （s 为自然参数），证明：
（1）k τ=-⋅αγ；（2）()2,,k τ=r r r 。
3、求曲线32232x a y xz a ⎧=⎨=⎩
的曲率和挠率。
4、证明：如果曲线的所有密切平面都垂直于某条固定直线，则此曲线为平面曲
线。
5、证明：曲线{}cosh ,2sinh ,t t t e =r 为平面曲线，并求它所在的平面方程。
6、已知圆柱螺线{}:cos ,sin ,(0),a a b ab θθθθΓ=≠-∞<<+∞r ，证明：它的曲率
中心的轨迹*Γ仍是圆柱螺线，且*2k ττ=。
7、试在曲面1xyz =上求平行于平面50x y z ++-=的切平面方程。
8、试证明曲面()y z xf x
=的所有切平面都通过一个定点。
9、求曲面{}:cos ,sin ,S r u v u v av =
上，由微分方程du 定义的曲线的在正交轨线。
要求：字迹工整，步骤清晰详尽，推导合理，结果准确，独立完成，按时交卷。
微分几何试题库(选择题)
12 / 16二．单项选择题1．0()P t 是曲线r =()r t 上一点,1P 是曲线上P 点附近的一点,S ∆为弧1PP 的长,ϕ∆为曲线在P 点和1P 点的切向量的夹角,k<s> 是曲线在P 点的曲率。
则下面 不等于0lim ||s sϕ∆→∆∆。
①0()k t ② |0()r t | ③0|()|t α④0()t τ2．曲线r =()r s 在P 点的基本向量为α,β,γ。
在P 点的曲率k<s>,挠率为()s τ,则β= 。
① k<s>α② -k<s>α+()s τγ ③ -()s τα④ k<s>α-()s τγ3．曲线r =()r s 在P 〔s 点的基本向量为α,β,γ。
在P 点的曲率k<s>,挠率为()s τ,则γ= .① k<s>β②()s τβ③-k<s>α+()s τγ④ -()s τβ4. 曲线r =()r s 在P 〔s 点的基本向量为α,β,γ。
在P 点的曲率k<s>,挠率为()s τ,则下式 不正确。
①α=- k<s>β②β= -k<s>α+()s τγ ③α= k<s>β④γ=-()s τβ5．曲线r =()r s 在P 〔s 点的基本向量为α,β,γ。
在P 点的曲率k<s>,挠率为()s τ,则k<s>= 。
①αβ②βα ③αβ④γβ6．曲线r =()r s 在P 〔s 点的基本向量为α,β,γ。
则下式 不正确。
①α=2β②β= 3α-2γ ③β= -3α+2γ④γ =2β13 / 167．曲线r =()r s 在P 〔s 点的基本向量为α,β,γ。
在P 点的曲率k<s>,挠率为()s τ,则()s τ= 。
①αβ②βγ ③βα④ -γβ8．曲线r =()r t 在P 点的曲率k,挠率为τ,则下式 不正确。
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2009—2010年微分几何期中考试试题
一、判断题（10分）
1.在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。
( )
2.空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状。
( )
3.保角变换一定是等距变换。
( )
4. 挠率是空间曲线的副法向量对于弧长的旋转速度。
（ )
5. 空间曲线穿过密切平面和从切平面,不穿过法平面。
( )
二、计算与证明题：
1．已知圆柱螺线的参数方程
{}():cos ,sin ,,C r a t a t bt t R =
（1）求曲线C 上任一点M 的基本向量,,a b g 。
（2）求曲线C 上任一点M 及(,0,0)A a 点的切线和法平面及密切平面的一般方程。
（3）求曲线C 的主法线曲面的参数方程和一般方程。
2．已知空间曲线(Viniani )曲线：
222221():x y z C x y x
ìï++=ïíï+=ïî 求曲线C 在(0,0,1)点的曲率。
3．。