微分几何期终试题

《微分几何》 期终考试题（A）

班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____

一、 填空题（每空1分, 共20分）

1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 .

2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 .

3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向.

4. 距离单位球面球心距离为)10(<

5. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是 ；坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是 .

6. 全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 和 .

7. 圆柱螺线的自然方程是 },sin ,cos {)(bt t a t a t r =；自然参数方程是______ ________________.

8. 根据曲线论的基本定理，在可以相差一个空间位置的情况下，唯一决定一条空间曲线的两个不变量是曲线的 和 .

9. 脐点处，曲面的第一、第二类基本量满足关系 ；脐点的等距微分同胚像仍是脐点吗？ .

10.按椭圆点，双曲点，抛物点进行分类，可展曲面上的点都是 点；极小曲面上除平点之外的其它点是 点.

二、 单项选择题（每题2分，共20分）

1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】

A. 曲率

B. 挠率

C. 法曲率

D. 测地曲率

2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】

A. 球面与柱面

B. 柱面与平面

C. 平面与伪球面

D. 伪球面与可展曲面

3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】

A. 法平面

B. 密切平面

C. 从切平面

D. 不存在

4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】

A. 直线

B. 圆

C. 圆柱螺线

D. 平面曲线

5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】

A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线

B. 测地线具有等距不变性

C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小

D. 平面上测地线必是直线

6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】

2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N

G k L E k ==21, C. v E G k k ∂∂−==ln 21

21 D. u G E k k ∂∂==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k

A． B.

n g k k k +=n g k k k +=C. D.

222n g k k k +=2

22n g k k k +=8. 曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 【 】

A. 2/πθ=

B. 0=θ

C. πθ=

D. 不确定

9．下列关于特殊曲线的论断，不正确的是 【 】 A. 若曲线上有无穷多个点处曲率为零，则曲线必为直线

B. 平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身

C. 沿渐近曲线，曲面的切平面与该渐近曲线的密切平面重合

D. 沿测地线，曲面的切平面与该测地线的密切平面垂直

10. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是 【 】

A. 脐点处，任何方向都是主方向

B. 非脐点处，主方向垂直

C. 脐点处，无主方向

D. 非脐点处，有且仅有两个主方向

三、判断题（每题1分，共10分）

1． 等距等价的两曲面在对应点具有相同高斯曲率，反之亦成立.

【 】 2． 欧氏合同的两曲面必等距等价，反之，等距等价的两曲面必欧氏合同.

【 】 3． 球面上任何方向既是主方向又是渐近方向.

【 】 4． 球面上测地三角形的内角和大于1800.

【 】 5． 曲面上直线（若存在）既是渐近线，又是测地线.

【 】 6． 圆柱面的高斯映射球面像是单位球面上的单点集.

【 】 7． 平面上，曲线的测地曲率即它作为平面曲线时的相对曲率. 【 】

8． 测地线的切向量在Levi-Civita 平行移动意义下是平行的.

【 】 9． 球极投影是球面（去掉北极点）与平面的等距对应. 【 】

10． 旋转曲面的坐标曲线网是正交网. 【 】

四、计算与证明题（每题10分，共50分）

1. 求正则参数曲线 r )(t ={}的曲率和挠率，t t t 2cos ,sin ,cos 332/0π<

2. 证明螺旋面},sin ,cos {),(bv v u v u v u r =是极小曲面，但不是可展曲面.

3. 若曲线的法平面包含非零常向量e . 证明：该曲线为直线或平面曲线.

4. 证明: 在Gauss 曲率非正的单连通曲面上，不存在光滑闭测地线.

5. 证明: 若曲面上曲率处处不为零的测地线是平面曲线，则它必为曲率线.