微分几何期终试题
济宁学院 微分几何 期末试卷及参考答案
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订。
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济宁学院继续教育学院《微分几何》考试试卷一、填空题（每小题4分，共20分）1、 曲面上的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是 .2、平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络面是 .3、N M L ,,是曲面的第二类基本量，则02=-M LN 的点是曲面上的 .4、球面{}θϕθϕθsin ,sin cos ,cos cos R R R r =→的第二基本形式为 . 5、圆柱螺线{}bt t a t a r ,sin ,cos =→的自然参数表示式为 .二、选择题（每小题2分，共20分）6、下列属于曲面内蕴量的是 （ ）A 、主方向B 、共轭方向C 、高斯曲率D 、渐近方向7、空间曲线在一点的密切平面上的投影近似于 （ ）A 、直线B 、半立方抛物线C 、立方抛物线D 、抛物线8、空间曲面在抛物点邻近的形状近似于 （ ）A 、双曲抛物面B 、立方抛物线C 、椭圆抛物面D 、圆锥面9、曲线()r r t =r r在点()P t 处的挠率 （ ）A 、可正可负B 、一定为负C 、不可为负D 、 一定为正10、下列概念中,能刻画曲面上一点在某一方向上的弯曲性的是 （ ）A 、高斯曲率B 、曲率C 、挠率D 、法曲率11、曲面在一点处的高斯曲率a K =,平均曲率)(2a b b H ≥=,则曲面在该点处的主曲率为 ( )A 、a b b -+2B 、a b b --2C 、a b b -+2, a b b --2D 、无法知道 12、下列不是曲面的第一类基本量的是 （ ）A 、u u r r E →→⋅=B 、v u r r F →→⋅=C 、v v r r F →→⋅=D 、uv r n M →→⋅=13、曲面(,)r r u v =r r的曲纹坐标网的微分方程是 （ ）A 、0du dv -=B 、0du dv +=C 、0dudv =D 、220du dv -= 14、单位向量函数)(t r →关于t 的旋转速度等于 （ ）A 、)(t r →'B 、)(t r →'C 、)(t r →D 、)(t r →15、过2C 类空间曲线上一点最贴近曲线的平面是 （ ）A 、切平面B 、从切平面C 、密切平面D 、法面三、计算题（每小题10分，共20分）16、(10分)求曲面 22()z a x y =+在点(0,0)的主曲率.17、(10分)求双曲面axy z =在点0==y x 的平均曲率和高斯曲率。
微分几何期末试题及答案
微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪一项不是微分几何的研究对象？A. 流形B. 曲线C. 曲面D. 代数方程2. 在微分几何中，下列哪个概念是用来描述曲线的弯曲程度？A. 切线B. 曲率C. 法向量D. 微分3. 给定一个曲面上的点，其邻域内的所有点都可以通过该点的哪种向量场来到达？A. 切向量B. 法向量C. 零向量D. 任意向量4. 以下哪个是微分几何中研究曲面局部性质的重要概念？A. 拓扑B. 度量C. 群论D. 线性代数5. 在曲面上，高斯曲率的计算公式是什么？A. K = R/(2π)B. K = R^2/(2π)C. K = det(II - e^(-2u) * I)D. K = det(I - e^(-2u) * II)6. 以下哪个是微分几何中研究曲面全局性质的重要概念？A. 曲率B. 度量C. 测地线D. 向量场7. 给定一个流形，其上的每一个点都有一组局部坐标，这组坐标被称为该点的什么？A. 切向量B. 法向量C. 坐标图D. 邻域8. 在微分几何中，哪种类型的曲面可以通过一个平面曲线的旋转来生成？A. 圆柱面B. 抛物面C. 双曲面D. 椭球面9. 以下哪个是微分几何中研究曲面上最短路径的概念？A. 测地线B. 切线C. 法线D. 曲率10. 微分几何中的“黎曼几何”主要研究的是什么类型的几何结构？A. 欧几里得空间B. 黎曼流形C. 仿射空间D. 射影空间二、简答题（每题10分，共40分）11. 请简述什么是流形，并给出一个具体的例子。
12. 解释什么是度量张量，并说明它在微分几何中的作用。
13. 描述一下什么是测地线，并说明它在曲面上的性质。
14. 阐述高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）的意义及其在微分几何中的重要性。
三、解答题（每题15分，共30分）15. 给定一个曲面上的两点A和B，证明通过A点的任意一条测地线都可以延伸到B点。
微分几何期末复习题
A. ；B. ；C. ；D. 。
53.若在曲面上 一点 ,则曲面在该 点的高斯曲 率K()
A.>0；B.< 0；C.= 0；D.符号不确定。
54.对于圆柱面 ，以下结论不 正确的是()
A.坐标网是正 交网；B.沿同一直母 线的切平面 是同一个；
C.其上高斯曲率为零；D.其上没有抛 物点。
55.曲面是其单 位法向量，下列第二类 基本量的计 算中，不正确的是()
A. ；B. ；C. ；D. 。
56.球面上的大 圆不可能是 球面上的()
A.测地线；B.曲率线；C.法截线；D.渐近线。
45．曲面上的曲 纹坐标网为 共轭网的充 要条件是。
38．曲面上的曲 纹坐标网为正交网的充要条件是。
46．极小曲面是指的曲面。
47．曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的的最大值和最小值.
48．两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是。
49．设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的。
34.已知曲面的 第二类基本 量L、M、N，则曲面上渐 近曲线的微 分方程是。
35.若曲面的第 一基本形式 为 ，曲面在一点 的切向与u -线的夹角为 ,则曲面在这 点沿切方向 的测地曲率 =。
36.挠率的曲线其副 法向量是常向量。
37.曲线在点的 主法向量是 ，则曲线在P点的从切平 面方程是。
38.曲面上的曲 纹坐标网是 渐近网的充 要条件是
A.直线；B.平面曲线；C.抛物线；D.圆柱螺线。
33.在伪球面上 ，任何测地三 角形的内角 之和()
A.等于 ；B.小于 ；C.大于 ；D.不能确定。
微积分期末考试试题及答案
微积分期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是（）A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A2. 曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的原函数是（）A. \( -\cos(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( x - \sin(x) \)D. \( x + \sin(x) \)答案：A4. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，且 \( f(x) = 3x^2 +1 \)，则 \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \) 等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C5. 函数 \( g(x) = \ln(x) \) 在 \( x > 0 \) 时的反导数是（）A. \( e^x \)B. \( x^e \)C. \( e^{\ln(x)} \)D. \( x \ln(x) - x \)答案：D6. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \) 等于（）A. 2B. 1C. 4D. 0答案：A7. 函数 \( h(x) = e^x \) 的泰勒展开式在 \( x = 0 \) 处的前三项是（）A. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} \)B. \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} \)C. \( 1 + x + \frac{x^3}{3!} \)D. \( 1 + x + \frac{x^2}{3!} \)答案：B8. 若 \( \frac{dy}{dx} = 2y \)，且 \( y(0) = 1 \)，则 \( y(x) \) 是（）A. \( e^{2x} \)B. \( e^{-2x} \)C. \( 2^x \)D. \( 2^{-x} \)答案：A9. 函数 \( F(x) = \int_{0}^{x} e^t \, dt \) 的导数是（）A. \( e^x \)B. \( e^0 \)C. \( x \cdot e^x \)D. \( e^0 \cdot x \)答案：A10. 曲线 \( y = x^2 + 3x \) 与直线 \( y = 6x \) 交点的横坐标是（）A. 0B. 3C. -1D. 2答案：C二、填空题（每空3分，共15分）11. 若 \( f(x) = 2x - 1 \)，则 \( f''(x) \) 等于 _________。
微分几何测试题集锦(含答案)
微分几何测试题集锦(含答案)《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=___t__。
??? ⒉非零向量r(t)满足?r,r,r??0的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊设曲线在P点的切向量为?，主法向量为?，则过P由?,?确定的平面是曲线在P点的___密切平面__________。
⒋曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是__________________________。
⒌曲线r?r(t)在t = 1点处有??2?，则曲线在t = 1对应的点处其挠率?(1)。
⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _ ⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。
)y点(x0,y0,z0的⒐曲面z?(z,x在)法线方程是_____________________。
1二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。
A、直线B、平面曲线C、球面曲线D、圆柱螺线12、曲线r?r(t)在P(t)点的曲率为k , 挠率为?，则下列式子___A___不正确。
A、k?13r??r??r?2 B、k?对于曲r??r??r?3 C、k?r D、??的第一基本?r?r??r???? 2?r??r???形式、面I?Edu2?2Fdudv?Gdv2,EG?F2__D___。
A、?0B、?0C、?0D、?0三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求??0,1, ⑴在点???的切线和法平面。
?2? ⑵曲率和挠率。
22、对于圆柱面?:r???cos?,?sin?,u?，试求⑴?的第一、第二基本形式；2⑵?在任意点处沿任意方向的法曲率；⑶?在任意点的高斯曲率和平均曲率；⑷试证?的坐标曲线是曲率线。
2020年上学期《微分几何》期末考试试卷
2020年上学期《微分几何》期末考试试卷课程名称：1.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.答案：C.解析：无.2.(单选题)(本题1.0分)A.B.10C.答案：A.解析：无.3.(单选题)(本题1.0分)A.可去奇点B.本性奇点C.m级极点D.小于m级的极点4.(单选题)(本题1.0分)A.5B.4C.3D.25.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.解析：无.6.(单选题)(本题1.0分)A.1B.2C.3D.4答案：D.解析：无.7.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.答案：A.解析：无.8.(单选题)(本题A.1B.2C.D.9.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.10.(单选题)(本题1.0分)A.等于0B.等于1C.等于iD.不存在11.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.12.(单选题)下列级数中，绝对收敛的级数为（）。
(本题1.0分)A.B.C.D.答案：D.解析：无.13.(单选题)(本题1.0分)A.有界区域B.无界区域C.有界闭区域D.无界闭区域14.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.答案：C.解析：无.15.(单选题)(本题1.0分)A.不存在的B.唯一的C.纯虚数D.实数16.(单选题)(本题1.0分)A.8iB.-8iC.16iD.-16i17.(单选题)下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）。
(本题1.0分)A.B.C.D.答案：B.解析：无.18.(单选题)实数m=（），复数(本题1.0分)A.4B.3C.2D.519.(单选题)。
(本题1.0分)A.B.C.D.答案：D.解析：无.20.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.答案：C.解析：无.21.(单选题)(本题1.0分) A.B.C.D.答案：A.解析：无.22.(单选题)下列数中，为实数的是（）。
(本题1.0分)A.B.C.D.答案：B.解析：无.23.(单选题)(本题1.0分)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件答案：B.解析：无.24.(单选题)。
微分几何期末复习题答案
微分几何期末复习题答案1. 曲面上的切向量和法向量的定义是什么？答：曲面上的切向量是与曲面在某点相切的向量，而法向量是垂直于该点切平面的向量。
2. 描述高斯曲率和平均曲率的计算方法。
答：高斯曲率是曲面上某点的主曲率的乘积，平均曲率是主曲率的平均值。
3. 什么是黎曼曲率张量？答：黎曼曲率张量是描述流形曲率的数学对象，它通过测量无穷小测地线之间的偏差来定义。
4. 请解释什么是测地线？答：测地线是在曲面或流形上两点间的最短路径，它是连接这两点的局部最小化曲线。
5. 什么是平行移动？答：平行移动是指在曲面或流形上沿着曲线移动一个向量，使得该向量在移动过程中保持不变。
6. 描述Christoffel符号的作用。
答：Christoffel符号用于描述在曲面或流形上如何沿着曲线平行移动向量，它们是黎曼几何中的基本组成部分。
7. 什么是度量张量？答：度量张量是一个对称张量，它定义了曲面或流形上两点间的距离和角度。
8. 请解释什么是联络形式？答：联络形式是描述在曲面或流形上如何平行移动向量的一种数学工具，它们与Christoffel符号紧密相关。
9. 什么是外微分？答：外微分是一种将微分几何中的函数或形式映射到更高阶形式的操作。
10. 描述Hodge星算子的作用。
答：Hodge星算子是一种将微分形式映射到其对偶形式的线性映射，它在微分几何和拓扑学中有着重要应用。
11. 什么是流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子？答：拉普拉斯-贝特拉米算子是定义在流形上的一个微分算子，它推广了欧几里得空间中的拉普拉斯算子。
12. 请解释什么是特征类？答：特征类是拓扑不变量，它们通过将流形上的向量丛与某些代数结构联系起来，提供了关于流形拓扑性质的信息。
13. 描述什么是测地线曲率？答：测地线曲率是描述测地线如何偏离直线的量度，它是衡量流形曲率的一种方式。
14. 什么是全纯曲线？答：全纯曲线是复流形上的一类特殊曲线，它们在复坐标系下保持全纯性。
微分几何试题及答案
微分几何试题及答案1. 曲线的微分几何描述- 给定曲线 \( r(t) = (x(t), y(t), z(t)) \)，求其速度向量\( \mathbf{v}(t) \) 和加速度向量 \( \mathbf{a}(t) \)。
2. 曲面的第一基本形式- 已知曲面 \( S \) 由参数方程 \( x(u,v), y(u,v), z(u,v) \) 给出，求曲面 \( S \) 的第一基本形式。
3. 高斯曲率和平均曲率- 对于曲面 \( S \)，给出其高斯曲率 \( K \) 和平均曲率 \( H \) 的定义，并说明它们之间的关系。
4. 测地线的性质- 解释什么是测地线，并给出测地线在曲面上的性质。
5. 曲面的第二基本形式- 已知曲面 \( S \) 的法向量场 \( \mathbf{n}(u,v) \)，求曲面 \( S \) 的第二基本形式。
6. 曲面的高斯映射- 给出曲面 \( S \) 的高斯映射的定义，并解释其几何意义。
7. 曲面的内蕴几何与外蕴几何- 描述曲面的内蕴几何与外蕴几何的区别，并给出一个例子。
8. 微分几何在物理学中的应用- 简述微分几何在广义相对论中的应用。
答案1. 曲线的微分几何描述- 速度向量 \( \mathbf{v}(t) = \frac{dr(t)}{dt} = (x'(t),y'(t), z'(t)) \)，其中 \( x'(t), y'(t), z'(t) \) 分别是\( x(t), y(t), z(t) \) 的导数。
- 加速度向量 \( \mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = (x''(t), y''(t), z''(t)) \)。
2. 曲面的第一基本形式- 第一基本形式由曲面的度量张量给出，即 \( g_{ij} =\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_j} \)。
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《微分几何》 期终考试题（A）
班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____
一、 填空题（每空1分, 共20分）
1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 .
2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 .
3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向.
4. 距离单位球面球心距离为)10(<<d d 的平面与球面的交线的法曲率为 ； 测地曲率为 .
5. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是 ；坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是 .
6. 全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 和 .
7. 圆柱螺线的自然方程是 },sin ,cos {)(bt t a t a t r =；自然参数方程是______ ________________.
8. 根据曲线论的基本定理，在可以相差一个空间位置的情况下，唯一决定一条空间曲线的两个不变量是曲线的 和 .
9. 脐点处，曲面的第一、第二类基本量满足关系 ；脐点的等距微分同胚像仍是脐点吗？ .
10.按椭圆点，双曲点，抛物点进行分类，可展曲面上的点都是 点；极小曲面上除平点之外的其它点是 点.
二、 单项选择题（每题2分，共20分）
1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】
A. 曲率
B. 挠率
C. 法曲率
D. 测地曲率
2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】
A. 球面与柱面
B. 柱面与平面
C. 平面与伪球面
D. 伪球面与可展曲面
3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】
A. 法平面
B. 密切平面
C. 从切平面
D. 不存在
4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】
A. 直线
B. 圆
C. 圆柱螺线
D. 平面曲线
5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】
A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线
B. 测地线具有等距不变性
C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小
D. 平面上测地线必是直线
6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】
2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N
G k L E k ==21, C. v E G k k ∂∂−==ln 21
21 D. u G E k k ∂∂==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k
A． B.
n g k k k +=n g k k k +=C. D.
222n g k k k +=2
22n g k k k +=8. 曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 【 】
A. 2/πθ=
B. 0=θ
C. πθ=
D. 不确定
9．下列关于特殊曲线的论断，不正确的是 【 】 A. 若曲线上有无穷多个点处曲率为零，则曲线必为直线
B. 平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身
C. 沿渐近曲线，曲面的切平面与该渐近曲线的密切平面重合
D. 沿测地线，曲面的切平面与该测地线的密切平面垂直
10. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是 【 】
A. 脐点处，任何方向都是主方向
B. 非脐点处，主方向垂直
C. 脐点处，无主方向
D. 非脐点处，有且仅有两个主方向
三、判断题（每题1分，共10分）
1． 等距等价的两曲面在对应点具有相同高斯曲率，反之亦成立.
【 】 2． 欧氏合同的两曲面必等距等价，反之，等距等价的两曲面必欧氏合同.
【 】 3． 球面上任何方向既是主方向又是渐近方向.
【 】 4． 球面上测地三角形的内角和大于1800.
【 】 5． 曲面上直线（若存在）既是渐近线，又是测地线.
【 】 6． 圆柱面的高斯映射球面像是单位球面上的单点集.
【 】 7． 平面上，曲线的测地曲率即它作为平面曲线时的相对曲率. 【 】
8． 测地线的切向量在Levi-Civita 平行移动意义下是平行的.
【 】 9． 球极投影是球面（去掉北极点）与平面的等距对应. 【 】
10． 旋转曲面的坐标曲线网是正交网. 【 】
四、计算与证明题（每题10分，共50分）
1. 求正则参数曲线 r )(t ={}的曲率和挠率，t t t 2cos ,sin ,cos 332/0π<<t .
2. 证明螺旋面},sin ,cos {),(bv v u v u v u r =是极小曲面，但不是可展曲面.
3. 若曲线的法平面包含非零常向量e . 证明：该曲线为直线或平面曲线.
4. 证明: 在Gauss 曲率非正的单连通曲面上，不存在光滑闭测地线.
5. 证明: 若曲面上曲率处处不为零的测地线是平面曲线，则它必为曲率线.。