北京理工大学数学专业微分几何2012级期末试题(MTH17071)

课程编号：MTH17071 北京理工大学2014-2015学年第二学期

2012级微分几何期末试题（回忆复原版）

一、设曲线()r r s =的挠率τ是一非零常数，s 是弧长参数，

求曲线()()()1

r s s s ds βγτ=-⎰ 的曲率和挠率。

二、设在曲线():C r r s =的所有法线上截取长度为λ的一段，它们的端点的轨迹构成曲面

S ，称为围绕曲面C 的管状曲面，其方程是()()()()(),cos sin r

s r s s s θλθβθγ=+⋅+⋅ ，其中s 是曲线的弧长参数，()(),s s βγ分别是曲线C 的主法向量和次法向量，试研究此曲面上各种类型的点的分布。

三、证明：曲面S 的平均曲率12

H b g αβαβ=。 四、求锥面2220x y z +-=上的测地线。

五、写出Gauss-Bonnet 公式，并说明其意义。

六、假定,,x y z 是,,u v w 的光滑函数，证明()()

,,,,x y z dx dy dz du dv dw u v w ∂∧∧=∧∧∂。

附：2012级微分几何考题回忆

1.曲率，挠率

2.椭圆点，双曲点，抛物点

3.练习题第五章第一题

4.测地线

5.写出gauss-bonnet 公式，以及意义

6.第七章倒数第二题