(完整版)导数讲义(学生新版)(可编辑修改word版)

导数一、导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在x 0 处有增量∆x ，那么函数 y 相应地有增量∆y =f （x + ∆x ）－f （x ），比值 ∆y叫做函数 y=f （x ）在 x 到 x + ∆x 之间的平均变化率， 0 0 ∆x0 0即∆y = f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) 。

如果当∆x → 0 时， ∆y 有极限，我们就说函数 y=f(x) ∆x ∆x ∆x在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做 f （x ）在点 x 0 处的导数，记作 f ’（x 0 ）或 y ’|。

f’(x 0 )= lim ∆y = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) 。

x = x 0∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x例、 若lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = k ，则lim f (x 0 + 2 ⋅ ∆x ) - f (x 0 ) 等于（ ）∆x →0A. 2k ∆xB. kC. 1 k 2∆x →0 ∆xD. 以上都不是 变式训练： 设函数 f (x ) 在点 x 0 处可导，试求下列各极限的值．1. lim∆x →0 f (x 0 - ∆x ) - f (x 0 ) ；∆x2． lim f (x 0 + h ) - f (x 0 - h ) .h →0 2h3．若 f '(x ) = 2 ，则lim f (x 0 - k ) - f (x 0 )=？k →0 2k二、导数的几何意义函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ）处的切线的斜率。

也就是说，曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ） 处的切线的斜率是 f ’（x 0 ）。

切线方程为 y －y 0 =f /（x 0 ）（x －x 0 ）。

三、导数的运算1．基本函数的导数公式: ① C ' = 0;（C 为常数）②(x n )' = nx n -1; ③ (sin x )' = cos x ;④ (cos x )' = -sin x ;⑤ (e x )' = e x ;⑥ (a x )' = a x ln a ;⑦(ln x )' = 1 ;x⑧(l o g ax )' = 1 log e . x a习题：求下列函数的导数：（8 分钟独立完成） （1） f (x ) = （2） f (x ) = x 4（3） f (x ) = （4） f (x ) = sin x（5） f (x ) = -cos x （6） f (x ) = 3x （7） f (x ) = e x （8） f (x ) = log 2 x（9） f (x ) = ln x （10） f (x ) = 1x（11） y = 3 + 1cos x4 4 （12） y =x1+ x（13） y = lg x - e x（14） y = x 3 cos x2、导数的四则运算法则： [ f (x ) + g (x )]' = f '(x ) + g '(x )[ f (x ) - g (x )]' = f '(x ) - g '(x ) [ f (x )g (x )]' = f '(x )g (x ) + f (x )g (x )'⎡ f (x ) ⎤'⎢ g (x ) ⎥ = f '(x )g (x ) - f (x )g '(x )g 2 (x ) ⎣ ⎦ 练习：求下列函数的导数： （1） y = x 2 + 2 x ；（2） y =- ln x ；（3） y = x sin x ；（4） y = x ln x 。

（5） y = sin x x ；（6） y = x 2。

ln x3、复合函数求导：如果函数(x ) 在点 x 处可导，函数 f (u )在点 u=(x ) 处可导，则复合函数 y=xx1 - 2x 1 + x 2f (u )=f [(x )]在点 x 处也可导，并且(f [(x ) ])ˊ=f '[(x )]'(x )例、求下列函数的导数（1）y= cos x （2）y=ln (x + )练习：求下列函数的导数（1）y =1(3x - 1)2（2） y =sin （3x +）4常考题型：类型一、求导数相关问题例 1、若曲线 y ＝e －x 上点 P 处的切线平行于直线 2x ＋y ＋1＝0，则点 P 的坐标是． 例 2、曲线 y ＝x e x －1 在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1例 3、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线 y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为 y ＝2x ，则 a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3类型二、求切线方程（一）已知切点坐标，求切线方程例 1.曲线 y = x 3 - 3x 2 + 1 在点(1， - 1) 处的切线方程 （二）已知切点斜率，求切线方程例 2.与直线2x - y + 4 = 0 的平行的抛物线 y = x 2 的切线方程 （三）已知曲线外一点，求切线方程例 3.求过点(2，0) 且与曲线 y = 1相切的直线方程．x （四）已知曲线上一点，求过该点的切线方程例 4.求过曲线 y = x 3 - 2x 上的点(1， - 1) 的切线方程．变式训练：1、[2014·广东卷] 曲线 y ＝－5e x ＋3 在点(0，－2)处的切线方程为 ．b 2、[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ＝ax 2＋ (a ，b 为常数) x过点 P (2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x ＋2y ＋3＝0 平行，则 a ＋b 的值是 ．3、与直线x - y + 1＝0 平行, 且与曲线 y＝x3- 1 相切的直线方程类型三、求单调区间及极值、最值考点一求不含参数的函数的单调区间例1.求函数y=x2(1－x)3的单调区间.变式训练：1.函数y =x ln x 的单调递减区间是（）A．(e-1,+∞) B．(-∞, e-1)C．(0, e-1)D．(e,+∞) 2.(05 年广东高考题)函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为( ) （Ａ）(2, +∞) （Ｂ）(-∞, 2) （Ｃ）(-∞, 0) （Ｄ）(0, 2)考点二求含参数的函数的单调区间考例 1、已知函数f (x) 的单调性. f (x) =1x2-m ln x + (m -1)x ，m ∈R ．当m ≤ 0 时，讨论函数2例 2、设函数 f(x)= 2x3- 3(a -1)x2+1, 其中a ≥ 1.求 f(x)的单调区间；例3、设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a ≥--1，求f(x)的单调区间。

变式训练：x－11、[2014·ft东卷] 设函数f(x)＝a ln x＋，其中a 为常数．x＋1(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．2、【2014·安徽卷】设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：例1、[2014·新课标全国卷Ⅱ]若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)例2、[2014·全国新课标卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a 的取值范围是( )A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)2－6，－8C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1) 例 3、[2014·辽宁卷] 当 x ∈[－2，1]时，不等式 ax 3－x 2＋4x ＋3≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )[ 9]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]变式训练：（ft 东省烟台市 2011 届高三上学期期末考试试题（数学文） 已 知函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 的图像经过点 M (1, 4) ，曲线在点 M 处的切线恰好与直线x + 9 y = 0 垂直.（Ⅰ）求实数a , b 的值；（Ⅱ）若函数 f (x ) 在区间[m , m +1] 上单调递增，求m 的取值范围.考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤:(1) 确定函数的定义域，求导数 f '(x ) . (2) 求方程 f '(x ) = 0 的根.(3) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格. 检查f '(x ) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f (x ) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f (x ) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f (x ) 在这个根处无极值.注:可导函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处取得极值是 f '(x 0 ) = 0 的充分不必要条件. 例 1、已知函数 f (x ) = 2ax - b+ 4 ln x 在 x = 1与x = 1 处都取得极值．x3（1） 求a 、b 的值；变式训练：设 x = 1, x = 2 是 f ( x ) = a ln x + bx + x 函数的两个极值点.（1） 试确定常数 a 和 b 的值；（2） 试判断 x = 1, x = 2 是函数 f ( x) 的极大值点还是极小值点，并求相应极值.例 2、（06 安徽卷）设函数 f ( x ) = x 3 + bx 2 + cx (x ∈ R ) ，已知 g (x ) = 奇函数。

（Ⅰ）求b 、c 的值。

f (x ) - f '(x ) 是A ．[－5，－3] B.（Ⅱ）求g(x) 的单调区间与极值。

例 3、已知函数f (x) =ax 3 +bx 2 + (c - 3a - 2b)x +d（I）求c, d 的值；的图象如图所示．（II）若函数f (x) 在x = 2 处的切线方程为3x +y -11 = 0 ，求函数f (x) 的解析式；（III）在（II）的条件下，函数y =f (x) 与y =1f '(x) + 5x +m 的图象有三个不同3的交点，求m 的取值范围．例4、[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b) R)．(1)当b＝4 时，求f(x)的极值；1－2x(b∈(1)(2)若f(x)在区间0，3变式训练：上单调递增，求b 的取值范围．1、已知函数 f (x) =x +b 的图象与函数g(x) =x 2+ 3x + 2 的图象相切,记F (x) = f (x)g(x) .（Ⅰ）求实数b 的值及函数 F (x) 的极值；（Ⅱ）若关于x 的方程 F (x) =k 恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围. 2、（2011 全国Ⅱ文 20）已知函数f (x) =x3+ 3ax2+ (3 - 6a)x +12a - 4(a ∈R)(Ⅰ)证明：曲线y = f (x)在x = 0 的切线过点(2, 2)（Ⅱ）若f (x)在x =x0处取得极小值，x0 ∈(1, 3) ,求a 的取值范围.考点五：结合单调性求最值问题求函数在[a, b] 上最值的步骤：（1）求出 f (x) 在(a, b) 上的极值.（2）求出端点函数值f (a), f (b) .（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.例 1、(2010 年重庆卷)已知函数 f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数 a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论 g(x)的单调性，并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．例 2、设函数 f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线 x－6y－7＝0 垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c 的值；(2)求函数 f(x)的单调递增区间，并求函数 f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．例 3、已知函数f (x) =1x2+a ln x,2g(x) = (a +1)x , a ≠-1．（I）若函数f (x),求实数a 的取值范围；g(x) 在区间[1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同，（II）若 a∈(1, e] (e = 2.71828 ) ，设 F (x) =f (x) -g(x) ，求证：当x1, x2∈[1, a]时，不等式| F (x 1 ) - F (x 2 ) |< 1成立．例 4、[2014·安徽卷] 设函数 f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中 a ＞0. (1)讨论 f (x )在其定义域上的单调性；(2)当 x ∈[0，1]时 ，求 f (x )取得最大值和最小值时的 x 的值．四、导数与不等式恒成立问题：可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。