导数讲义(学生新版)

导数一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。

f ’(x 0)=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

例、 若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 21D ．以上都不是变式训练： 设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值．1．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000；2．.2)()(lim 000hh x f h x f h --+→3．若2)(0='x f ，则k x f k x f k 2)()(lim 000--→=？二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。

切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

三、导数的运算1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数）②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=;⑧()1l g log a a o x e x'=.习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）（1）()f x π= （2）4()f x x = （3）()f x （4）()sin f x x = （5）()cos f x x =- （6）()3x f x = （7）()x f x e = （8）2()log f x x = （9）()ln f x x = （10）1()f x x = （11）31cos 44y x =+ （12）1xy x=+ （13）lg x y x e =- （14）3cos y x x = 2、导数的四则运算法则：)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'='练习：求下列函数的导数：（1）x x y 22+=； （2）x x y ln -=；（3）x x y sin =； （4）x x y ln =。

（5）xxy sin =； （6）x x y ln 2=。

3、复合函数求导：如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且(f [)(x ϕ])ˊ= [])(x f ϕ')(x ϕ' 例、求下列函数的导数（1）y=x 21-cos x （2）y=ln (x +21x +) 练习：求下列函数的导数 （1）y =2)13(1-x （2） y =sin （3x +4π）常考题型：类型一、求导数相关问题例1、若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．例2、曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1例3、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3类型二、求切线方程（一）已知切点坐标，求切线方程例1.曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程 （二）已知切点斜率，求切线方程例2.与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程 （三）已知曲线外一点，求切线方程例3.求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程． （四）已知曲线上一点，求过该点的切线方程例4.求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．变式训练：1、[2014·广东卷] 曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．2、[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b的值是________．3、与直线1+-y x ＝0平行, 且与曲线y ＝132-x 相切的直线方程 类型三、求单调区间及极值、最值考点一 求不含参数的函数的单调区间例1.求函数y =x 2(1－x )3的单调区间. 变式训练：1.函数x x y ln =的单调递减区间是（ ）A ．),(1+∞-eB ．),(1--∞eC ．),0(1-eD ．),(+∞e2.(05年广东高考题)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)考点二 求含参数的函数的单调区间考例1、已知函数 21()ln (1)2f x x m x m x =-+-，m ∈R ．当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性.例2、设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中求f(x)的单调区间；例3、设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥--1，求f (x )的单调区间。

变式训练：1、[2014·山东卷] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性． 2、【2014·安徽卷】设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：例1、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)例2、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)例3、[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3] 变式训练：（山东省烟台市2011届高三上学期期末考试试题（数学文）） 已知函数32()f x ax bx =+的图像经过点(1,4)M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线90x y +=垂直.（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围.考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义域，求导数'()f x . (2)求方程'()0f x =的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(x f 在这个根处无极值.注:可导函数()y f x =在0x x =处取得极值是0'()0f x =的充分不必要条件. 例1、已知函数x x b ax x f ln 42)(+-=在311==x x 与处都取得极值． （1）求a 、b 的值；变式训练：设1,2x x ==是()ln f x a x bx x =++函数的两个极值点.（1）试确定常数a 和b 的值；（2）试判断1,2x x ==是函数()f x 的极大值点还是极小值点，并求相应极值. 例2、（06安徽卷）设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。

（Ⅰ）求b 、c 的值。

（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。

例3、已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．例4、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )．(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．变式训练：1、已知函数()f x x b =+的图象与函数23)(2++=x x x g 的图象相切,记()()()F x f x g x =.（Ⅰ）求实数b 的值及函数()F x 的极值；（Ⅱ）若关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围.2、（2011全国Ⅱ文20）已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ (Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点； （Ⅱ）若00()(1,3)f x x x x =∈在处取得极小值，,求a 的取值范围.考点五：结合单调性求最值问题求函数在[,]a b 上最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值. （2）求出端点函数值(),()f a f b .（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.例1、(2010年重庆卷)已知函数f(x)＝ax 3＋x 2＋bx(其中常数a ，b ∈R)，g(x)＝f(x)＋f ′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值． 例2、设函数f(x)＝ax 3＋bx ＋c(a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x)的最小值为－12. (1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．例3、已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=L ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．例4、[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．四、导数与不等式恒成立问题：可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。