高一数学12月月考试题理
河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷

B.若1- b + c > 0 ,则 x02 < 1
C.若
x0
>
0
,则 cx2
- bx
+1
<
0
的解集为
æ ç
è
1 x0 +
2
,
1 x0
ö ÷ ø
D.
b
+
c
有最小值为
-
9 4
三、填空题
13.
x
>
0
时,
y
=
x2 (x +1)2
+
1 的值域为 x+1
.
14.写出一个函数 f ( x) 的解析式,满足:① f ( x) 是定义在 R 上的偶函数;② x ¹ 0 时,
æçè1,
16 9
ù úû
D.
é16 êë 9
,
2ùúû
二、多选题 9.已知 -1 £ a £ 3,1 £ b £ 2 ,则以下命题正确的是( )
A. -1 £ ab £ 6 C. -2 £ a - b £ 1 10.以下函数是偶函数的是( )
A. f ( x) = 2x + 2-x
B. 0 £ a + b £ 5
a
+ 2
b
³
2
-
ab ,即
a+
2
b ³ 4 ,即
a+
b ³2,
故
a
+b 2
³
2-
ab 是
a+
b ³ 2 的充要条件,故 D 错误.
故选:A. 8.D
河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)

河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、选择题1.全集{*x x =∈U N 且}10x <,{}1,3,5,7A =,{}6,7,8,9B =,则()A B =U( )A.{}2B.{}2,4C.{}7D.{}2,4,72.已知()1f x ax =+,()222g x x x a =-+,1x ∃,[]20,1x ∈,()()12f x g x >,则a 的取值范围是( ) A.(),2-∞B.()2,+∞C.(),1-∞D.()1,+∞3.“a <1<-”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知0a >且1a ≠,()()1a x f x a -=与()a g x x =的图象可以是( )A. B. C. D.5.已知2log 3a =,3log 5b =,113c ⎛= ⎝A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >>6.已知0a >,0b >,a b +=A.4B.6C.8D.97.已知0a >,b >2的一个充分不必要条件是( ) A.1ab ≥B.a b +≥1b+≥2≥8.已知()()1,2,x a x f x a x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩1>)的值域为D ,2,3D ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,则a 的取值范围是( )A.()1,2B.()2,3C.161,9⎛⎤ ⎥⎝⎦D.16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多项选择题9.已知13a -≤≤,12b ≤≤,则以下命题正确的是( ) A.16ab -≤≤B.05a b ≤+≤C.21a b -≤-≤D.()()114a b +-≤10.以下函数是偶函数的是( ) A.()22x x f x -=+ B.()211f x x x =-+ C.()()11f x x x =-≠±D.()()lg 1012x x f x =+-11.已知()()22log 3f x x mx m =-++的定义域为D ,值域为M ,则( ) A.若D =R ,则M ≠RB.对任意m ∈R ,使得()()57f f -=-C.对任意m ∈R ,()f x 的图象恒过一定点D.若()f x 在(),3-∞上单调递减,则m 的取值范围是{}6 12.20x bx c -+<的解集为()00,2x x +,则( ) A.244b c =+B.若10b c -+>,则201x <C.若00x >,则210cx bx -+<的解集为0011,2x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭D.b c +有最小值为94-三、填空题13.0x >时,22(1)x y x =+14.写出一个函数()f x 的解析式,满足:①()f x 是定义在R 上的偶函数;②0x ≠时,()1f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()f x =________.15.全集{}1,2,3,4,5,6,7,8=U ,{}1,2,4,5,6A =,{}1,2,3,4,7B =,{}2,3,5,6,7C =,如图中阴影部分的集合为M ,若x M ∃∈使得:2430x mx m -+-<,则m 的取值范围是________.16.教材必修1第87页给出了图象对称与奇偶性的联系:若()y f x =为奇函数,则()y f x a b =-+的图象关于点(),a b 中心对称,易知:()f x =()g x =四、解答题17.已知集合{}2120,{2}(0)A x x mx B x x m m =+-<=-<>∣∣. (1)1m =时,求A B ;(2)若B A ⊆,求m 的取值范围.18.已知()f x 满足212x f x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭.(1)求()f x 的解析式;(2)解不等式()()211f x f x -<--.19.已知())2log f x x =是奇函数.(1)求a ;(2)证明:()f x 是R 上的增函数. 20.()()()22222x x x x f x t --=-++.(1)若t =()0f x <的解集;(2)若()f x 最小值为1,求t .21.已知二次函数()2f x x bx c =++,()f x x =的解为1-,3. (1)求b ,c ;(2)证明:1-,3也是方程()()f f x x =的解,并求()()f f x x =的解集.22.已知()12f x mx n x =-++的图象的对称中心为722,4m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求m ,n ;(2)若在区间[],(2)a b a >-上,()f x 的值域为[],a b ,求a ,b .参考答案1.答案:B解析:由题意可知:{}1,3,5,6,7,8,9A B =, 又因为{}1,2,3,4,5,6,7,8,9=U ,所以(){}2,4A B =U.故选:B. 2.答案:A解析:[]12,0,1x x ∃∈,()()12f x g x >,所以,()()12max min f x g x >,()()2222121g x x x a x a =-+=-+-在[]0,1上单调递减,所以()2min 21g x a =-,当0a =时,()()2122212f x g x x x =>=-,即22212x x >-,取210x x ==成立. 当<0a 时,()1max 1f x =,即211a -<,得1a <,所以<0a当0a >时,()1max 1f x a =+,即121a a +>-,得2a <,所以02a <<, 综上:a 的取值范围是(),2-∞. 故选:A 3.答案:B解析:不等式a <1a -<0<,所以()210a a -<, 即()()110a a a -+<,解得01a <<或1a <-,故1a <-能推出a <<1<-,所以“a <1<-”的必要不充分条件. 故选:B 4.答案:D解析:对()()1a x f x a -=,该函数过定点()0,1,且()0f x >恒成立, 对()a g x x =,该函数过定点()0,0,若01a <<,对()()1a x f x a -=,10a -<,则()1a x -在R 上单调递减, 又01a <<,故()f x 在R 上单调递增,若1a >,对()()1a x f x a -=,10a ->,则()1a x -在R 上单调递增, 又1a >,故()f x 在R 上单调递增, 故排除AB;对()g x ,由0a >且1a ≠,故()g x 在定义域内单调递增, 故排除C. 故选:D. 5.答案:A解析:因为32234=<<,可知:32222log 2log 3log <<2a <<;35<<=3333log 5log <<b <<105>,可知:15111033⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=,即01c <<; 综上所述:c b a <<. 故选:A. 6.答案:C解析:0a >,0b >,1a b +=,()414144144b a b a a b a b a b a b a b -⎛⎫∴+=+=++-=++≥= ⎪⎝⎭=a ==故选:C 7.答案:A解析:对A 选项:若ab ≥2≥≥,当且仅当a b =时等号成立,当4a =,b =2≥,但1ab <,故0a >,0b >时,ab ≥2≥的充分不必要条件,故A 正确;对B 选项:取a ==825=<,故a b +≥2≥的一个充分条件,故B 错误;对C选项:取a b ==12=<,1b≥2≥的一个充分条件,故C错误;2≥2≥2,2≥2≥的充要条件,故D错误.故选:A.8.答案:D解析:若12a<<,当x≤()()1xf x a=-在1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦上单调递减,此时())fx∈+∞,当x>()22af x xx=+-≥,当且仅当x=>又函数()f x的值域D满足2,3D⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,则21a≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎪⎩2a≤<;若2a=,()11,222,xf xx xx⎧≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩12≤时,()1f x=,当x>()222f x xx=+-≥,当且仅当x=又函数()f x的值域)2,D⎡=+∞⎣,满足2,3D⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,成立;若2a>,当x≤()()1xf x a=-在1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦上单调递增,此时()(f x∈, 则(D⊆,又(2,3⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭不成立,所以此时2,3D ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭不成立;2a ≤≤,故选:D. 9.答案:BD解析:对于A:[]1,3a ∈-,[]1,2b ∈,[]2,6ab ∴∈-,故A 错误. 对于B:[]1,3a ∈-,[]1,2b ∈,[]0,5a b ∴+∈,故B 正确. 对于C:[]1,2b ∈,[]3,2a b ∴-∈-,故C 错误.对于D;[]10,4a +∈,[]10,1b -∈,()()[]110,4a b ∴+-∈,故D 正确. 故选:BD. 10.答案:AD解析:A 选项,()f x 的定义域为R ,()()22x x f x f x --=+=, 所以()f x 是偶函数,符合题意.B 选项,22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭,()f x 的定义域为R , ()113f -=,()11f =,()()11f f -≠,所以()f x 不是偶函数.C 选项,()23f -=-==()21f ==()()22f f -≠,所以()f x 不是偶函数.D 选项,()()lg 101x f x =+()()110lg 101lg 2102x xx x x f x -+-=++=+()()()lg 101lg10lg 10122x x x x xf x =+-+=+-=,所以()f x 是偶函数. 故选:AD 11.答案:ACD解析:对于A,要使定义域为R ,只需230x mx m -++>恒成立,所以判别式()2430m m -+<,所以真数23x mx m -++不能取遍所有正实数,所以M ≠R ,故A 对对于B,若()()57f f -=-,即()()()()()()2222log 553log 773m m m m ---++=---++,整理得()()22log 286log 528m m +=+,得28605280286528m m m m +>⎧⎪+>⎨⎪+=+⎩, 此时m ∈∅,故B 错;对于C,()22331x mx m x m x -++=++-,因为与m 无关,所以10x -=,1x =,2log 42y ==,过定点(1,2),故C 正确;对于D,若()f x 在(),3-∞上单调递减,只需函数23t x mx m =-++在(),3-∞上递减,且()30t ≥,即329330m m m ⎧≥⎪⎨⎪-++≥⎩,解得6m =,故D 对. 故选:ACD 12.答案:AC解析:由题意可知:方程20x bx c -+=的根为00,2x x +,则()000002222x x x bx x c ++=+=⎧⎨+=⎩,)0022x x +-===,整理得244b c =+,故A 正确;对于选项B:例如02x =,则68b c =⎧⎨=⎩,满足116830b c -+=-+=>, 则2041x =>,故B 错误;对于选项C:若00x >,则0020x x +>>,不等式210cx bx -+<即为()()200022210x x x x x +-++<, 整理得()()001210x x x x -+-<⎡⎤⎣⎦,令()()001210x x x x -+-=⎡⎤⎣⎦,解得x ==且022x +>>所以210cx bx -+<的解集为0011,2x x ⎛⎫⎪+⎝⎭,故C 正确;对于选项D:因为()()()20000222222b c x x x x +=+++=+-≥-, 当且仅当02x =-时,等号成立, 所以b c +有最小值为2-,故D 错误; 故选:AC.13.答案:3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析:因为0x >,令()10,11t x =∈+,则11x t=-, 则222111111t y t t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,()0,1t ∈, 可知21y t t =-+开口向上,对称轴为t =0112||1,|t t t y y y ======所以21y t t =-+在()0,1内的值域为3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭,即22(1)x y x =+)0,+∞内的值域为3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为:3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭.14.答案:0,0ln ,0x x x =⎧⎨≠⎩(答案不唯一)解析:由题意可得:()0,0ln ,0x f x x x =⎧=⎨≠⎩符合题意.故答案为:0,0ln ,0x x x =⎧⎨≠⎩.15.答案:()46,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭解析:因为{}1,2,4,5,6A =,{}1,2,3,4,7B =,{}2,3,5,6,7C =,所以{}2,3,7B C =, 图中阴影部分表示的集合为(){}3,7B C A =U ,即{}3,7M =,由题意,233430m m -+-<或277430m m -+-<,解得6m <-或m >所以m 的取值范围是()46,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为:()46,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 16.答案:51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭解析:因为()2121212121x x x x f x -+-===-++()121121x f x --=-+,()()1111312221232212221221x x x x x x g x ----⎛⎫⨯+++ ⎪+⎝⎭====++⨯+所以()()()151115444g x f x f x =--+=---⎡⎤⎣⎦, 因为()y f x =为奇函数,则()14y f x =-也奇函数, 所以()g x 关于点51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭对称, 故答案为:51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭17.答案:(1){}13A B x x =<<(2)01m <≤解析:(1)当1m =时,{}{}212043A x x x x x =+-<=-<<, {}13B x x =<<,所以{}13A B x x =<<.(2)化简{}21202m A x x mx x ⎧-+⎪=+-<=<<⎨⎪⎪⎩⎭, {}{}222(0)B x x m x m x m m =-<=-<<+>,若B A ⊆,则1m <≤. 18.答案:(1)()21,22x f x x x -=≠- (2)()2,2-解析:(1)令2132222x t x x -==+≠--,则x =则()f t =()212x f x x -=-,2x ≠. (2)因为211x -≤,11x --≤-,因为()2122x f x x -==-),2-∞内单调递减, 若()()211f x f x -<--,则211x x ->--,即220x x --<, 则2020x x x ≥⎧⎨--<⎩或2020x x x <⎧⎨+-<⎩,解得02x ≤<或20x -<<, 所以不等式()()211f x f x -<--的解集为()2,2-. 19.答案:(1)1a =(2)证明见解析解析:(1)因为())2log f x x =是奇函数,则()()0f x f x +-=,可得))()222222log log l 0og log x x x a x a +==+-=,解得1a =. (2)由(1)可知:())2log f x x =,x>=≥-0x >对任意x ∈R 恒成立,所以()f x 的定义域为R .对任意1x ,[)20,x ∈+∞,且120x x ≤<,则2212111x x ≤+<+,可得1≤<所以121x x ≤<,则))2122log log x x <,即()()12f x f x <, 所以()f x 在[)0,+∞内单调递增,又因为()f x 为奇函数,则()f x 在(],0-∞内单调递增, 且()f x 连续不断,所以()f x 是R 上的增函数. 20.答案:(1)()1,1-(2)12t = 解析:(1)因为()()()()()()()22222222242222224x x x x x x x x x x x x f x t t t ------⎡⎤=-++=+-++=+++-⎢⎥⎣⎦, 令222x x m -=≥=+,当且仅当22x x -=,即0x =时,等号成立, 则24y m tm =+-,2m ≥,若t =29410y m m =--,2m ≥,令294010y m m =--<,可得2m ≤<即22x x -+<()22522x x -⨯+<22x <<,可得11x -<<, 所以()0f x <的解集为()1,1-.(2)若()f x 最小值为1,结合(1)可知:24,2y m tm m =+-≥的最小值为1,因为24y m tm =+-的开口向上,对称轴为2t m =-, 若22t -≤,即4t ≥-时,24y m tm =+-在[)2,+∞内单调递增, 可知当2m =时,24y m tm =+-取得最小值,即4241t +-=,解得t =2>,即4t <-时,24y m tm =+-在2,2t ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭内单调递减,在,2t ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭单调递增,可知当m =24y m tm =+-取得最小值,412t t ⎛⎫⨯--= ⎪⎝⎭,无解;综上所述:t =21.答案:(1)1b =-,3c =-(2)证明见解析,{}- 解析:(1)因为()f x x =的解为1-,3,则11933b c b c -+=-⎧⎨++=⎩,解得13b c =-⎧⎨=-⎩. (2)由(1)可知:()23f x x x =--,且()11f -=-,()33f =, 则()()()111f f f -=-=-,()()()333f f f ==, 即1-,3也是方程()()f f x x =的解,对于()()f f x x =,即()()()22223333f x x x x x x x --=------=,整理得:()(()(310x x x x -+=,解得x =所以()()f f x x =的解集为{}-.22.答案:(1)m =14= (2)1a =-,2b =解析:(1)由()12f x mx n x =-++可知,定义域为{}2x x ≠-,其图象对称中心为722,4m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故有222m n --=-,即1m n +=,有()2m n -⨯-+===即()1324f x x x =-+72,4⎫-⎪⎭,检验计算得()()()131131442444244f x f x x x x x +--=-++---+=+--+即m ==(2)当x >-34x 都随x 的增大而减小, 故()f x 在()2,-+∞上单调递减,又()f x 在区间[],(2)a b a >-上,()f x 值域也为[],a b ,故有()()f a b f b a =⎧⎪⎨=⎪⎩,即131********4a b a b a b ⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-+=⎪+⎩,且2a b -<<, 解得1a =-,2b =.。
北京市2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析

2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷(答案在最后)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ,{}33B x x =-<<,那么A B = ()A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ,2230x x --<”的否定形式是()A.x ∃∈R ,2230x x -->B.x ∃∈R ,2230x x --≥C.x ∀∈R ,2230x x --< D.x ∀∈R ,2230x x --≥4.下列函数中,既是奇函数又在定义域上是增函数的是()A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =,12log 3b =,0.22c =,则()A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=,则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数,且当[)0,x ∈+∞时,()1f x x =-,则()10f x -<的解集是()A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ,则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >,()()y f x a f x =+-无零点”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过多少年后,A 产品的年产量会超过B 产品的年产量(取20.3010lg =)A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.)11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ,则2212x x +=______;12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件:①定义域为R ;②()01f =;③1x ∀,2R x ∈,当12x x ≠时,()()21210f x f x x x -<-;试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩,其中0a >.①若5a =,则()81f f ⎡⎤⎣⎦______;②若函数()3y f x =-有两个零点,则a 的取值范围是______.15.给定函数y =f (x ),设集合A ={x |y =f (x )},B ={y |y =f (x )}.若对于∀x ∈A ,∃y ∈B ,使得x +y =0成立,则称函数f (x )具有性质P .给出下列三个函数:①1y x =;②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭;③y =lgx .其中,具有性质P 的函数的序号是_____.三、解答题(本大题共6小题,共85分.)16.某校高一新生共有320人,其中男生192人,女生128人.为了解高一新生对数学选修课程的看法,采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈.(Ⅰ)这5人中男生、女生各多少名?(Ⅱ)从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷,求2人中恰有1名女生的概率.17.已知函数()211f x x =-.(1)证明:()f x 为偶函数;(2)用定义证明:()f x 是()1,+∞上的减函数;(3)直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级(2017年)到高中三年级(2022年)每年的视力值,如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72(1)计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值;(2)从2017年到2022年这6年中随机选取2年,求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率;(3)甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小?(结论不要求证明)19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个,该厂租用生产这种纪念品的厂房,租金为每年20万元,该纪念品年产量为x 万个()020x <≤,每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩(单位:万元),且该纪念品每年都能买光.(1)求年利润()f x (单位:万元)关于x 的函数关系式;(2)当年产量x 为何值时,该厂的年利润最大?求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-,m ∈R .(1)求()0f ;(2)若函数()f x 是偶函数,求m 的值;(3)当1m =-时,当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时,求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集,称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集.(1)当{}2,3,5A =时,写出集合A 的生成集B ;(2)若A 是由5个正实数构成的集合,求其生成集B 中元素个数的最小值;(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ,使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =,并说明理由.2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ,{}33B x x =-<<,那么A B = ()A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈,求得整数k 的取值,由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<,得3322k -<<,k Z ∈ ,所以,整数k 的可能取值有1-、0、1,因此,{}2,0,2A B =- .故选:C.【点睛】本题考查交集的计算,考查计算能力,属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法,求解方程组的解集即可.【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩,所以2y x =-代入225x y +=,即()2225x x +-=,解得1x =±.当=1x -时,()212y =-⨯-=;当1x =时,212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选:A.3.命题“x ∃∈R ,2230x x --<”的否定形式是()A.x ∃∈R ,2230x x -->B.x ∃∈R ,2230x x --≥C.x ∀∈R ,2230x x --<D.x ∀∈R ,2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ,2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ,2230x x --≥.故选:D.4.下列函数中,既是奇函数又在定义域上是增函数的是()A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ,ln y x =的定义域为{}0x x >,不关于原点对称,所以ln y x =是非奇非偶函数,故A 不正确;对于B ,2x y =的定义域为R ,关于原点对称,而()()122xx f x f x --==≠-,所以2x y =不是奇函数,故B 不正确;对于C ,3y x =的定义域为R ,关于原点对称,而()()()33f x x x f x -=-=-=-,所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数,故C 正确;对于D ,1y x=-定义域为{}0x x ≠,关于原点对称,()()1f x f x x -==-,所以1y x=-是奇函数,1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增,不能说成在定义域上单调递增,因为不满足增函数的定义,故D 不正确.故选:C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析:由题意得,自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=,故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=,故选C.考点:频率分布直方图及其应用.6.设lg2a =,12log 3b =,0.22c =,则()A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =,由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<,对于12log 3b =,由1122log 3log 10<=得0b <,对于0.22c =,由0.20221>=得1c >,所以b a c <<.故选:C.7.若122log log 2a b +=,则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==,即4a b =,故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数,且当[)0,x ∈+∞时,()1f x x =-,则()10f x -<的解集是()A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数,先得到()0f x <的解集,再由()10f x -<,将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时,()1f x x =-,所以由()0f x <,解得01x ≤<,又因为()f x 是偶函数,所以()0f x <的解集是11x -<<,所以()10f x -<,得111x -<-<,解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<,故选:C9.设函数()f x 的定义域为R ,则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >,()()y f x a f x =+-无零点”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>,即()()0y f x a f x =+>-无零点,满足充分性;反之若对任意0a >,()()f x a f x +<,满足()()y f x a f x =+-无零点,但不满足()f x 是R 上的增函数,不满足必要性,即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数,则对任意0a >,显然x a x +>,故()()f x a f x +>,即()()0y f x a f x =+>-无零点,满足充分性;反之,若对任意0a >,()()f x a f x +<,即()()0f x a f x +<-,满足()()y f x a f x =+-无零点,但()f x 是R 上的减函数,不满足必要性,故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >,()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选:A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过多少年后,A 产品的年产量会超过B 产品的年产量(取20.3010lg =)A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后,A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x,640()5x,根据题意列出不等式,求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后,A 产品的年产量为1310(110()22xx+=)B 产品的年产量为1640(140()55x x +=,依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量,则3610()40(25xx>化简得154x x +>,即lg 5(1)lg 4x x >+,所以2lg 213lg 2x >-,又20.3010lg =,则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选:B【点睛】本题主要考查指数函数模型,解指数型不等式,属于基础题.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.)11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式,列出函数有意义时满足的不等式,求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩,解得1x >且2x ≠,故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞,故答案为:()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ,则2212x x +=______;12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ,由韦达定理可得124x x +=,121=x x ,所以,()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯,12x x -===.故答案为:14;.13.设函数()f x 同时满足以下条件:①定义域为R ;②()01f =;③1x ∀,2R x ∈,当12x x ≠时,()()21210f x f x x x -<-;试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+(答案不唯一)【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性,再结合函数定义域,特殊点的函数值,容易联想到一次函数,由此即可得解.【详解】由③,不妨设12x x ∀<,即210x x ->,都有()()21210f x f x x x -<-,即()()210f x f x -<,即()()21f x f x <,所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =,不妨设一次函数y x b =-+满足题意,则10b =-+,即1b =.故答案为:1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩,其中0a >.①若5a =,则()81f f ⎡⎤⎣⎦______;②若函数()3y f x =-有两个零点,则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可;②分别画出()y f x =与3y =的图象,函数有两个零点,结合图象可得答案.【详解】①当5a =时,()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>,所以()43381log 81log 345f ===<,所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点,所以()3f x =,即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =,3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<,即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为:①2;②[)9,27.15.给定函数y =f (x ),设集合A ={x |y =f (x )},B ={y |y =f (x )}.若对于∀x ∈A ,∃y ∈B ,使得x +y =0成立,则称函数f (x )具有性质P .给出下列三个函数:①1y x =;②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭;③y =lgx .其中,具有性质P 的函数的序号是_____.【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域,B 即为函数的值域,求出每个函数的定义域及值域,直接判断即可.【详解】对①,A =(﹣∞,0)∪(0,+∞),B =(﹣∞,0)∪(0,+∞),显然对于∀x ∈A ,∃y ∈B ,使得x +y =0成立,即具有性质P ;对②,A =R ,B =(0,+∞),当x >0时,不存在y ∈B ,使得x +y =0成立,即不具有性质P ;对③,A =(0,+∞),B =R ,显然对于∀x ∈A ,∃y ∈B ,使得x +y =0成立,即具有性质P ;故答案为:①③.【点睛】本题以新定义为载体,旨在考查函数的定义域及值域,属于基础题.三、解答题(本大题共6小题,共85分.)16.某校高一新生共有320人,其中男生192人,女生128人.为了解高一新生对数学选修课程的看法,采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈.(Ⅰ)这5人中男生、女生各多少名?(Ⅱ)从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷,求2人中恰有1名女生的概率.【答案】(Ⅰ)男生3人,女生2人;(Ⅱ)35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数.(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1,B 2,B 3,2名女生为G 1,G 2,利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率.【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=,女生人数为12852320⨯=.(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1,B 2,B 3,2名女生为G 1,G 2,则样本空间为:Ω={(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 1,G 1),(B 1,G 2),(B 2,B 3),(B 2,G 1),(B 2,G 2),(B 3,G 1),(B 3,G 2),(G 1,G 2)},样本空间中,共包含10个样本点.设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”,则A ={(B 1,G 1),(B 1,G 2),(B 2,G 1),(B 2,G 2),(B 3,G 1),(B 3,G 2)},事件A 共包含6个样本点.从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35.【点睛】本题考查古典概型概率,考查分层抽样、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.17.已知函数()211f x x =-.(1)证明:()f x 为偶函数;(2)用定义证明:()f x 是()1,+∞上的减函数;(3)直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)()0,∞+【解析】【分析】(1)根据奇偶性的定义证明即可;(2)利用单调性定义证明即可;(3)根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹,即1x ≠±,所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±,所以x D ∀∈,()()()221111f x f x x x -===---,故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <,则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------,由()12,1,x x ∀∈+∞,12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>,从而()()120f x f x ->,即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数,所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级(2017年)到高中三年级(2022年)每年的视力值,如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72(1)计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值;(2)从2017年到2022年这6年中随机选取2年,求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率;(3)甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小?(结论不要求证明)【答案】(1)4.82(2)25(3)甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小,乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】(1)利用平均数公式计算即可;(2)列表分析,利用古典概型概率公式计算即可(3)由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为:4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表:2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知:2017年到2022年这6年中随机选取2年,这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年,故所求概率为:2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得:甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小,乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个,该厂租用生产这种纪念品的厂房,租金为每年20万元,该纪念品年产量为x 万个()020x <≤,每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩(单位:万元),且该纪念品每年都能买光.(1)求年利润()f x (单位:万元)关于x 的函数关系式;(2)当年产量x 为何值时,该厂的年利润最大?求出此时的年利润.【答案】(1)()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当年产量x 为16万个时,该厂的年利润最大,为416万元【解析】【分析】(1)根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.(2)求出分段函数每一段的最大值,进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得:()()5020f x x C x =--,()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩,即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时,函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增,此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时,函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增,在()16,20上单调递减,此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得:当年产量x 为16万个时,该厂的年利润最大,为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-,m ∈R .(1)求()0f ;(2)若函数()f x 是偶函数,求m 的值;(3)当1m =-时,当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时,求x 的取值范围.【答案】(1)1-(2)12m =-(3)21log 3x >【解析】【分析】(1)直接将0x =代入计算;(2)通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值;(3)解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-;【小问2详解】函数()f x 是偶函数,()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=,又()210x m -+=要恒成立,故210m +=,解得12m =-;【小问3详解】当1m =-时,()()12log 21x f x x =++,当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-,()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集,称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集.(1)当{}2,3,5A =时,写出集合A 的生成集B ;(2)若A 是由5个正实数构成的集合,求其生成集B 中元素个数的最小值;(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ,使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =,并说明理由.【答案】(1){}6,10,15B =(2)7(3)不存在,理由见解析【解析】【分析】(1)利用集合的生成集定义直接求解.(2)设{}12345,,,,A a a a a a =,且123450a a a a a <<<<<,利用生成集的定义即可求解;(3)不存在,理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ,{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =,不妨设123450a a a a a <<<<<,因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<,所以B 中元素个数大于等于7个,又{}254132,2,2,2,2A =,{}34689572,2,2,2,2,2,2B =,此时B 中元素个数等于7个,所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在,理由如下:假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =,使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =,不妨设0a b c d <<<<,则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==,其4个正实数的乘积32abcd =;也有3,10ac bd ==,其4个正实数的乘积30abcd =,矛盾;所以假设不成立,故不存在4个正实数构成的集合A ,使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛:本题考查集合的新定义,解题的关键是理解集合A 的生成集的定义,考查学生的分析解题能力,属于较难题.。
湖北省襄阳市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

襄阳2023-2026届高一上学期12月月考数学试卷(答案在最后)一、单选题1.已知角α的终边经过点()3,4-,则cos α的值为()A.35 B.45-C.35±D.45±【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为角α的终边经过点()3,4-,所以3cos 5α==.故选:A.2.在平面直角坐标系中,点()tan 2023,sin 2023P ︒︒位于第()象限.A.一B.二C.三D.四【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式判断得P 点坐标的符号,从而得以判断.【详解】因为()tan 2023tan 5360223tan 2230︒=⨯︒+︒=︒>,()sin 2022sin 5360222sin 2220︒=⨯︒︒+︒=<,所以()tan 2023,sin 2023P ︒︒在第四象限;故选:D.3.函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为()A.()0,1 B.()1,2 C.()2,e D.()e,3【答案】D 【解析】【分析】由题意可知()f x 在()0,∞+递增,且()()e 0,30f f ,由零点存在性定理即可得出答案.【详解】易判断()f x 在()0,∞+递增,()()3e lne 0,3ln310ef f =-=-.由零点存在性定理知,函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为()e,3.故选:D.4.17世纪,在研究天文学的过程中,为了简化大数运算,苏格兰数学家纳皮尔发明了对数,对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算,数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg 20.3010≈,lg30.4771≈,设4054N =⨯,则N 所在的区间为()A.()101110,10 B.()111210,10C.()121310,10 D.()131410,10【答案】C 【解析】【分析】先求出lg N 的值,结合选项即可判断.【详解】4051020423N =⨯=⨯,()10200lg lg 10lg 1002.30103220lg 3200.477112.552N ⨯≈⨯==+⨯=+,所以N 所在的区间为()121310,10.故选:C5.已知奇函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ,且对任意两个不相等的正实数12,x x ,都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦,在下列不等式中,一定成立的是()A.()()12f f ->-B.()()12f f -<-C.()()21f f -> D.()()21f f -<【答案】A 【解析】【分析】由题意得到()f x 在()0,∞+单调递增,可得到()()12f f <,结合奇函数的性质即可得解.【详解】因为对任意两个不相等的正实数12,x x ,都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦,所以()f x 在()0,∞+单调递增,则()()12f f <,因为()f x 是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 的奇函数,则()()()()11,22f f f f =--=--,所以()()12f f --<--,即()()12f f ->-,故A 正确,B 错误;而CD ,由于()f x 不连续,故无法判断()()2,1f f -的大小关系,故CD 错误.故选:A.6.已知3log 2a =,ln 3ln 4b =,23c =.则a ,b ,c 的大小关系是()A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<bD.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.【详解】∵2333332log 3log log log 23c a ====,∴c a >,又2344442ln 3log 4log log log 33ln 4c b =====,∴c b <,∴a c b <<.故选:B .7.设a 为实数,若关于x 的不等式270x ax -+≥在区间()2,7上有实数解,则a 的取值范围是()A.(),8∞- B.(],8∞-C.(,-∞ D.11,2⎛-∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】参变分离,再根据对勾函数的性质,结合能成立问题求最值即可.【详解】由题意,因为()2,7x ∈,故7a x x ≤+在区间()2,7上有实数解,则max 7a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭,又()7g x x x =+在(上单调递减,在)上单调递增,且()7112222g =+=,()()777827g g =+=>,故78x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.故7a x x ≤+在区间()2,7上有实数解则8a <.故选:A8.已知1,0,0x y x y +=>>,则121xx y ++的最小值为()A.43B.54C.1D.3【答案】B 【解析】【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可.【详解】因为1,0,0x y x y +=>>,所以()21212152122224244244x y x x y x x x x y x x y x x y x y x y x x y x x y x x y ++++++=+=+=+=++³+=+++´+++,当且仅当242x y x x x y +=+时,即21,33x y ==时,取等号.故选:B二、多选题9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()22f x x x =-,则()A.()f x 的最小值为1- B.()f x 在()1,1-上单调递减C.()0f x ≤的解集为(][],20,2-∞-⋃ D.存在实数x 满足()()2f x f x +=-【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可以写出函数()f x 的解析式,进而判断函数单调性即可判断AB ;画出函数的图形即可判断C ,特殊值代入即可得D.【详解】由题意可知当0x <时,()()()2222f x f x x x x x=--=-+=--即()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩所以,函数()f x 的图像如下:显然,函数()f x 没有最小值,故A 错误;根据函数图像可得()f x 在()1,1-上单调递减,故B 正确;令()0f x ≤得(][],20,2-∞-⋃,故C 正确;由图可知,令0x =得()()200f f ==,故D 正确.故选:BCD.10.下列说法正确的是()A.若,a b n >为正整数,则n n a b >B.若0,0b a m >>>,则a m ab m b+>+C.22222a ba b ++≥D.若0απ<<,则0sin 1α<<【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案.【详解】对于A ,若1,1,2a b n ==-=,则n n a b =,故A 错误;对于B ,0,0b a m >>>时,a m aab bm ab am b a b m b+>⇔+>+⇔>+,故B 正确;对于C ,由20,20a b >>,则2222222a b ab a b ++≥⨯=⨯,当且仅当a b =时取等号,故C 正确;对于D ,当π2α=时,πsin 12=,故D 错误;故选:BC .11.某同学在研究函数()()1||xf x x x =∈+R 性质时,给出下面几个结论,其中正确的结论有()A.函数()f x 的图象关于点(0,0)对称B.若12x x <,则()()12f x f x >C.函数()f x 的值域为(1,1)-D.函数()()2xg x f x =-有三个零点【答案】ACD 【解析】【分析】利用奇函数的定义判断选项A ;按0x ≥和0x <时分别化简()f x ,结合反比例函数的性质可得函数的单调性和值域,判断选项B 和C ;将函数零点问题转化为方程根,直接求解判断选项D .【详解】因为函数()f x 的定义域为全体实数,()()1||1||x xf x f x x x --==-=-+-+,所以()f x 是奇函数,其图象关于原点对称,故A 正确;当0x ≥时,1()111x f x x x ==-++,显然函数单调递增,此时0()1f x ≤<.当0x <时,1()111x f x x x==-+--,显然函数单调递增,此时()10f x -<<.因此函数()f x 在R 上是单调递增的,值域为()1,1-,因此B 错误,C 正确;由()()0()0221||2x x x x g x f x f x x x =-=⇒=⇒=⇒=+或1x =或=1x -,所以D 正确,故选:ACD .【点睛】方法点睛:本题考查函数的奇偶性和单调性,考查函数的零点,考查学生运算求解能力,函数零点的求法主要有两种:1.代数法:求方程()0f x =的实数根;2.几何法:对于不能用求根公式的方程,可以画出()y f x =的图象,或者转化为两个图象的交点问题.12.已知函数()()()1101xf x x x x =--⋅>,()()()1lg 1g x x x x x =--⋅>的零点分别为12,x x,则()A.1210x x ⋅<B.12lg x x =C.12111x x += D.124x x +>【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数10x y =,lg y x =与1xy x =-的图象关于直线y x =对称建立12,x x 的关系,从而逐项分析判断即可得解.【详解】因为()()()1101xf x x x x =--⋅>,()()()1lg 1g x x x x x =--⋅>,令()0f x =,()0g x =,得101x x x =-,lg 1x x x =-,因为10x y =与lg y x =互为反函数,所以它们的图象关于直线y x =对称,因为1111x y x x ==+--,所以由1y x=的图象向右向上各平移一个单位得到1xy x =-图象,故函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称,即可知点,A B 关于直线y x =对称,作出1xy x =-,10x y =与lg y x =的大致图象,如图,由图象可知A 的横坐标为1x ,B 的横坐标为2x ,对于A ,由上述分析得121110,xx x =>,则11010x >,所以11211010xx x x ⋅=⋅>,故A 错误;对于B ,由上述分析得212212lg ,11x x x x x x ==>>-,故B 正确;对于C ,由2112122121111x x x x x x x x x =⇒=+⇒+=-,故C 正确;对于D ,()211212122124121x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+=≥++⎪++⎝⎭,当且仅当2211x x x x =,即122x x ==时,等号成立,显然(2)2lg 20g =-≠,则22x ≠,故等号不成立,所以124x x +>,故D 正确.故选:BCD.【点睛】关键点睛:本题解决的关键是理解指数函数10x y =与对数函数lg y x =互为反函数,其图象关于y x =对称,而1x y x =-的图象也关于y x =对称,从而得解.三、填空题13.已知扇形的弧长为6,圆心角弧度数为3,则其面积为______________;【答案】6【解析】【分析】根据扇形面积公式21122S lr r α==求解即可.【详解】扇形的弧长为6,圆心角弧度数为3,则扇形的半径623r ==,所以该扇形的面积162S lr ==.故答案为:6【点睛】此题考查求扇形的面积,根据圆心角、半径、弧长的关系求解.14.已知函数()()log 21a f x x =++(0a >,且1a ≠)的图像恒过点P ,若点P 是角θ终边上的一点,则sin θ=______________.【答案】2【解析】【分析】利用对数函数的性质求得定点P ,再利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为()()log 21a f x x =++(0a >,且1a ≠)的图像恒过点P ,令21x +=,则=1x -,1y =,所以()1,1P -,所以sin 2θ==.故答案为:2.15.已知函数()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则满足不等式()31log 9f x <的x 的取值范围是___________.【答案】10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性,然后利用奇偶性的性质和单调性解不等式即可.【详解】因为()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以其定义域为{}0x x ≠,又()()22()1111ln ln 33x x f x x x f x -++⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以()f x 为偶函数,当0x >时,()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为2113x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭和ln y x =-在()0,∞+上均单调递减,所以()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减,又()119f =,所以()31log 9f x <可化为()3log (1)f x f <,所以()()3log 1fx f <,则3log 1x >,则3log 1x <-或3log 1x >,解得103x <<或3x >,所以不等式的解集为10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,故答案为:10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.16.已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+,且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,0,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩,函数()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点的和为16,则实数a 的取值范围是_____________.【答案】[)7,9【解析】【分析】函数()()122x g x f x -=-的零点转化为函数()y f x =的图象与函数122x y -=的图象的交点的横坐标,作出它们的图象,观察图象可得结果.【详解】函数()()122x g x f x -=-的零点即为函数()y f x =的图象与函数122x y -=的图象的交点的横坐标,因为()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,0,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩,先利用指数函数与对数函数的性质作出函数()y f x =在区间[0,2)上的图象,又当2x ≥时,()2(2)f x f x =-,即每过两个单位,将()f x 的图象向右平移2个单位,同时将对应的y 坐标变为原来的两倍,再作出函数122(0)x y x -=≥的图象,如图所示:由图象可得:11x =,23x =,35x =,L ,21n x n =-,则()2113521nii xn n ==++++-=∑ ,因为()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点的和为16,所以216n =,得4n =,结合图象,可得实数a 的取值范围是[)7,9.故答案为:[)7,9.【点睛】关键点睛:本题解决的关键是作出()f x 的大致图象,从而利用数形结合即可得解.四、解答题17.已知函数()f x =的定义域为集合A ,集合{}|211B x m x m =-<≤+.(1)当0m =时,求A B ⋃;(2)若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.【答案】(1){}14x x -<≤(2)3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】(1)先利用具体函数定义域与指数函数解不等式求得集合A ,从而利用集合的并集运算即可得解;(2)由题意得到B 是A 的真子集,分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况,根据集合的包含关系即得解.【小问1详解】因为()f x =,所以1620210x x ⎧-≥⎨->⎩,解得142x <≤,所以142A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭,当0m =时,集合{11}B x x =-<≤,所以14}A B x x ⋃=-<≤.【小问2详解】因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,则B 是A 的真子集,因为{}|211B x m x m =-<≤+,当B =∅时,211m m -≥+,解得2m ≥,符合题意;当B ≠∅时,则211121214m m m m -<+⎧⎪⎪-≥⎨⎪+≤⎪⎩(等号不同时成立),解得324m ≤<,综上,34m ≥,故m 的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.已知集合(){}22log 2log 0A x x x =⋅≤.(1)求集合A ;(2)求函数()2144x x y x A +=+∈的值域.【答案】(1)112A xx ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭;(2)[]18,68.【解析】【分析】(1)根据对数函数的单调性得到22log 0log 2x x ≤≤且0x >,由此求解出x 的取值范围,则集合A可知;(2)采用换元法令[]42,4xt =∈,将函数变形为关于t 的二次函数,根据二次函数的对称轴以及开口方向确定出单调性并求解出最值,由此可求函数的值域.【详解】(1)因为()22log 2log 0x x ⋅≤,且2log y x =在()0,∞+上单调递增,所以22log 0log 20x x x ≤≤⎧⎨>⎩,所以222log log 1log 20x x x ≤≤⎧⎨>⎩,所以120x x x ≤≤⎧⎨>⎩,所以112A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭;(2)因为21144,12x x y x +⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,所以()2444x x y =⋅+,令[]42,4x t =∈,所以24y t t =+,对称轴为18t =-且开口向上,所以22max min 44468,42218y y =⨯+==⨯+=,所以函数的值域为[]18,68.19.设a 为实数,给定区间I ,对于函数()f x 满足性质P :存在x I ∈,使得()()21f x f x ≥+成立.记集合()(){|M f x f x =具有性质}P ..(1)设[)()0,,I f x =+∞=,判断()f x M ∈是否成立并说明理由;(2)设(]()20,1,log I g x a x ==+,若()g x M ∈,求a 的取值范围.【答案】(1)()f x M ∈,理由见解析(2)[)1,+∞【解析】【分析】(1)利用函数满足性质P 的定义取值判断并说理即可;(2)根据函数满足性质P 的定义,将问题转化为能成立问题,从而得解.【小问1详解】()f x M ∈,理由如下:因为[)()0,,I f x =+∞=,取1x =,此时()()2122f f =>=,所以()f x M ∈.【小问2详解】因为(]()20,1,log I g x a x ==+,()g x M ∈,所以存在(]0,1x ∈,使得()()()222122log log 1g x g x a x a x ≥+⇒+≥++,所以221log x a x +≥,令()()221log 01x h x x x +=<≤,令22211111124x t x x x x +⎛⎫==+=+- ⎪⎝⎭,因为01x <≤,所以11x ≥,所以2211111122424t x ⎛⎫⎛⎫=+-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()[)1,h x ∈+∞,则1a ≥,所以a 的取值范围[)1,+∞.20.已知定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 满足()()()1f xy f x f y +=+,且()f x 在()0,∞+上单调递减.(1)证明:函数()f x 是偶函数;(2)解关于x 的不等式()()122f x f -+≥.【答案】(1)证明见解析;(2)13,11,22⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ .【解析】【分析】(1)利用赋值法及偶函数的定义计算即可;(2)根据(1)的结论及函数的性质计算即可.【小问1详解】令1x y ==得()()()1111f f f +=+,即()11f =;令1x y ==-得()()()1111f f f +=-+-,即()11f -=.令1y =-得()()()11f x f x f -+=+-,即()()f x f x -=,所以()f x 是偶函数得证;【小问2详解】由已知定义()()()12221f x f f x -+=-+,所以()()122f x f -+≥即()221f x -≥,所以()()221f x f -≥,因为()f x 是偶函数,且在()0,∞+单调递减,所以()22131122220x x x x ⎧-≤⇒≥≥≠⎨-≠⎩,即()()122f x f -+≥的解集为13,11,22⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.21.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C (单位:万元)与生产量x (单位:千件)间的函数关系是3C x =+;销售收入S (单位:万元)与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.(1)把商品的利润表示为生产量x 的函数;(2)当该商品生产量x (千件)定为多少时获得的利润最大,最大利润为多少万元?【答案】(1)1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩(2)生产量为5千件时,最大利润为6万元【解析】【分析】(1)设利润是y (万元),由y S C =-即可得利润关于生产量x 的函数;(2)分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.【小问1详解】设利润是y (万元),因为产品利润等于销售收入减去生产成本,则1835(3),06814(3),6x x x y S C x x x ⎧++-+<<⎪=-=-⎨⎪-+≥⎩,所以1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩.【小问2详解】当06x <<时,189222(8)1888y x x x x ⎡⎤=++=--++⎢⎥--⎣⎦186≤-=,当988x x-=-,即5x =时,max 6y =,当6x ≥时,11y x =-是减函数,6x =时,max 5y =,所以当5x =时,max 6y =,所以生产量为5千件时,最大利润为6万元.22.已知函数()1ln1x f x x -=+.(1)求不等式()()()ln 20f f x f +>的解集;(2)函数()()20,1x g x aa a =->≠,若存在[)12,0,1x x ∈,使得()()12f x g x =成立,求实数a 的取值范围;(3)已知函数()()ln 1h x x x =--在区间()1,+∞单调递减.试判断()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是否恒成立,并说明理由.【答案】(1)1e 1,3e 1-⎛⎫ ⎪+⎝⎭(2)()2,+∞(3)恒成立,理由见解析【解析】【分析】(1)先求出()f x 的定义域,判断其奇偶性及单调性,从而将所求不等式化为111lnln 12x x --<<+,由此得解;(2)将问题转化为()f x 和()g x 在[)0,1x ∈上的值域的交集不为空集;分类讨论1a >和01a <<两种情况,分别求出两函数的值域,从而得解;(3)将问题转化为判断ln(21)20n n -++>,再利用()()ln 1h x x x =--的单调性即可得解.【小问1详解】因为()1ln 1x f x x -=+,由101x x ->+,可得11x -<<,即()f x 的定义域为()1,1-;又()()l 111ln n 1x f x f x x x x +-==-+-=--,所以()f x 为奇函数,当01x <<时,易得()1ln12ln 11f x x x x ⎛⎫==-+ ⎪+⎝-⎭+单调递减,所以()f x 在()1,1-上单调递减,且()f x 的值域为R ,不等式()()()ln 20f f x f +>,可化为()()()()ln 2ln 2f f x f f >-=-,所以()()11ln 2f x f x ⎧-<<⎪⎨<-⎪⎩,即()1ln 2f x -<<-,即111ln ln 12x x --<<+,即111e 12x x -<<+,解得1e 13e 1x -<<+,则原不等式的解为1e 1,3e 1-⎛⎫ ⎪+⎝⎭;【小问2详解】函数()()20,1x g x a a a =->≠,若存在[)12,0,1x x ∈,使得()()12f x g x =成立,则()f x 和()g x 在[)0,1x ∈上的值域的交集不为空集;由(1)可知:01x ≤<时,()1ln12ln 11f x x x x ⎛⎫==-+ ⎪+⎝-⎭+单调递减,所以()f x 的值域为(],0-∞;若1a >,则()2x g x a =-在[)0,1上单调递减,所以()g x 的值域为(]2,1a -,此时只需20a -<,即2a >,所以2a >;若01a <<,则()2xg x a =-在[)0,1上单调递增,可得()g x 的值域为[)1,2a -,此时[)1,2a -与(],0-∞的交集显然为空集,不满足题意;综上,实数a 的范围是()2,+∞;【小问3详解】()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 恒成立,理由如下:因为2121ln l 2n 1212111n n f n nn ⎛⎫ -⎪⎝-==++⎭,所以1111135ln ln l 1n 2462l 223n 157f n f f f n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎭+ ()211ln ln 2111351ln 35722n n n n -⎛=⨯⨯⨯⨯⎫==-+ ⎪++⎝⎭,因为()()ln 1h x x x =--在区间()1,+∞单调递减,所以当1x >时,()(1)0h x h <=,所以(21)0h n +<,即[]1n(21)(21)10n n +-+-<,即ln(21)20n n +-<,所以ln(21)20n n -++>,即()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点睛:解函数不等式,首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式,然后根据函数的单调性去掉“f ”,转化为具体的不等式(组),此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.。
2022-2023学年河北省高一上学期月考(12月)数学试卷含解析

2022-2023学年河北省高一上学期月考(12月)数学试卷考试时间:120分钟;满分:150分学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效。
3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题)一、单选题(本大题共10小题,共50.0分。
在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1. 不等式x2>8的解集是( )A. (−2√2,2√2)B. (−∞,−2√2)∪(2√2,+∞)C. (−4√2,4√2)D. (−∞,−4√2)∪(4√2,+∞)2. 函数f(x)=e x+lnx,g(x)=e−x+lnx,g(x)=e−x−lnx的零点分别是a,b,c,则( )A. a<c<bB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c3. 考察函数:①y=|x|②y=|x|x ③y=−x2|x|④y=x+x|x|,其中(0,+∞)在上为增函数的有( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④4. 函数f(x)=log a(x2−4x−5)(a>1)的单调递增区间是( )A. (−∞,−2)B. (−∞,−1)C. (2,+∞)D. (5,+∞)5. 若命题“∀x∈R,kx2−kx−1<0”是真命题,则实数k的取值范围是( )A. (−4,0)B. (−4,0]C. (−∞,−4]∪(0,+∞)D. (−∞,−4)∪[0,+∞)6. 若函数f(x)在区间[−2,2]上的图象是连续不断的曲线,且f(x)在(−2,2)内有一个零点,则f(−2)⋅f(2)的值( )A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 不能确定7. 计算(log 32+log 23)2−log 32log 23−log 23log 32的值为( ) A. log 26B. log 36C. 2D. 18. 已知f(x)是定义域为(−1,1)的奇函数,而且f(x)是减函数,如果f(m −2)+f(2m −3)>0,那么实数m 的取值范围是( )A. (1,53)B. (−∞,53)C. (1,3)D. (53,+∞)9. 已知某函数的图象如图所示,则下列解析式中与此图象最为符合的是( )A. f(x)=2xln|x|B. f(x)=2|x|ln|x|C. f(x)=1x 2−1D. f(x)=1|x|−1|x|10. 如图,有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆.垂直于x 轴的直线l :x =t(0≤t ≤a)经过原点O 向右平行移动,l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分),若函数y =f(t)的大致图象如图,那么平面图形的形状不可能是( )A. B. C.D.二、多选题(本大题共2小题,共10.0分。
2022-2023学年辽宁省大连市庄河市高级中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年辽宁省大连市庄河市高级中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1.已知集合{14}P x x =∈<N ∣,集合{}260Q x x x =--∣,则P Q =( ) A .(1,3] B .{2,3} C .{1,2,3} D .(1,4]【答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合Q ,再用列举法表示集合P ,最后根据交集的定义计算可得;【详解】解:由260x x --,即()()320x x -+,解得23x -≤≤,所以{}{}223|60|Q x x x x x =---≤=≤,又{}{14}2,3,4P x x =∈<=N ∣,所以2,3P Q,故选:B2.已知α为第三象限角,且5cos 13α=-,则tan α的值为( ) A .1213-B .125C .125-D .1213【答案】B【分析】由同角三角函数的平方关系可得sin α,再由同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】∵α为第三象限角,且5cos 13α=-,∴12sin 13α==-, 故12sin 1213tan 5cos 513ααα-===-. 故选:B. 3.“1x >”是“11x<”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先解分式不等式,再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解:因为11x<,所以10x x -<,(1)0x x ∴-<,(1)0x x ∴->,0x ∴<或1x >,当1x >时,0x <或1x >一定成立,所以“1x >”是“11x<”的充分条件;当0x <或1x >时,1x >不一定成立,所以“1x >”是“11x<”的不必要条件. 所以“1x >”是“11x<”的充分不必要条件. 故选:A4.已知函数()y f x =对任意12,x x ∈R ,且12x x ≠,都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立,若()20.8a f =,()()0.82log 0.8,2b f c f ==,则,,a b c 之间的大小关系是( )A .b a c <<B .a b c <<C .b<c<aD .a c b <<【答案】A【分析】由题意可得()f x 是增函数,再根据20.82log 0.80.82<<,即可求出答案.【详解】由对任意12,x x ∈R ,且12x x ≠,都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦,可得()f x 是增函数, 再由20.820.8(0,1),log 0.80,21∈<>,所以20.82log 0.80.82<<,所以b a c <<. 故选:A.5.若{}210,,a a ∈,则a 的值为( )A .1-B .0C .1D .2【答案】A【解析】本题首先可根据{}210,,a a ∈得出1a =或21a =,然后对1a =、21a =进行分类讨论,即可得出结果.【详解】因为{}210,,a a ∈,所以1a =或21a =,若1a =,则21a a ,不满足元素的互异性,排除;若21a =,则1a =-或1(舍去),1a =-,此时集合为{}0,1,1-, 故选:A.【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求参数,集合中的元素需要满足确定性、互异性以及无序性,考查计算能力,是简单题.6.已知函数()log 11a y x =-+(0a >且1a ≠)恒过定点()00,A x y ,且满足001mx ny +=,其中m ,n 是正实数,则21m n+的最小值( ) A .4 B.C .9D【答案】C【分析】由对数函数解析式易知(2,1)A ,则有21m n +=,应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值即可,注意等号成立条件.【详解】由log (1)1a y x =-+过定点(2,1), ∴21m n +=, ∴22(21(521)2)m n m n m n m n n m +=++=++59≥+=,当且仅当22m n n m =,即13m n ==时取等号. 故选:C .7.下列函数是其定义域上的奇函数且在定义域上是增函数的是( ) A .21xy x =+B .21x xy x +=+C .y x =D .1y x x=-【答案】C【分析】利用奇函数的定义判断,结合分式型函数、复合函数的单调性判断各函数是否符合要求即可.【详解】A :函数定义域为R ,且22()()1()1x xf x f x x x --==-=-+-+,故为奇函数,当0x >时1()1f x x x=+,而1y x x =+在(0,1)上递减,(1,)+∞上递增, 故()f x 在(0,1)上递增,(1,)+∞上递减,易知:定义域上不是增函数,不符合; B :函数定义域为{|1}x x ≠-,显然不关于原点对称,不为奇函数,不符合; C :函数定义域为R ,且()()f x x f x -=-=-,故为奇函数,函数单调递增,符合; D :函数定义域为{|0}x x ≠,且11()()()f x x x f x x x-=--=--=--,故为奇函数,函数分别在(,0)-∞、(0,)+∞上递增,整个定义域不递增,不符合.故选:C8.已知圆锥的表面积等于227cm π,其侧面展开图是一个半圆,则圆锥底面的半径为( ) A .1cm B .2cmC .3cmD .3c m 2【答案】C【分析】设圆锥的底面圆的半径为r ,母线长为l ,利用侧面展开图是一个半圆,求得l 与r 之间的关系,代入表面积公式即可得解.【详解】设圆锥的底面圆的半径为r ,母线长为l , 圆锥的侧面展开图是一个半圆,22l r l r ππ∴=⇒=, 圆锥的表面积为27π,22327r rl r ππππ∴+==, 3r ∴=, 故圆锥的底面半径为3cm , 故选:C.【点睛】关键点点睛:本题考查圆锥的表面积公式及圆锥的侧面展开图,解题的关键是利用侧面展开图时一个半圆,求得母线长与半径的关系,考查学生的计算能力,属于一般题.9.已知函数()10,0{?,0x x f x lgx x -≤=>,函数()()()()24g x f x f x m m R =-+∈,若函数()g x 有四个零点,则实数m 的取值范围是 A .[)lg5,4 B .[)34, C .[){}34lg5⋃, D .(],4-∞【答案】B【详解】画出函数()10,0,0x x f x lgx x -⎧≤=⎨>⎩的图象如图所示.设()t f x =,由()()()240g x f x f x m =-+=,得240t t m -+=,由题意得方程240t t m -+=在[1,)+∞上有两个不同的实数解,所以216401410m m ∆=->⎧⎨-⨯+≥⎩,解得34m ≤<.点睛:已知方程解的个数(或函数零点的个数)求参数的取值范围时,可通过分离参数的方法将问题转化为求函数的值域问题处理;也可构造两个函数,在同一坐标系内画出两个函数的图象,利用数形结合的方法进行求解.二、多选题10.下列各组函数中,两个函数是同一函数的有( )A .()f x =()g x =B .()f x x =与()g x =C .()xf x x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D .()21f x x x =-+与()21g t t t =-+【答案】BCD【分析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可.【详解】解:对于A 选项,函数()f x =(][),11,-∞-⋃+∞,()g x =定义域为[)1,+∞,故错误;对于B 选项,()f x x =与()g x =R ,且()g x x =,满足,故正确; 对于C 选项,函数()xf x x =与()1,01,0xg x x >⎧=⎨-<⎩的定义域均为{}0x x ≠,且()1,01,0x x f x x x >⎧==⎨-<⎩,满足,故正确;对于D 选项,()21f x x x =-+与()21g t t t =-+的定义域与对应关系均相同,故正确.故选:BCD11.已知函数)123f x =,则( )A .()17f =B .()225f x x x =+C .()f x 的最小值为258-D .()f x 的图象与x 轴只有1个交点 【答案】AD【分析】利用换元法求出()f x 的解析式,然后逐一判断即可.故()225f x x x =+,[)1,x ∞∈-+,()17f =,A 正确,B 错误.()2252525248f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭,所以()f x 在[)1,-+∞上单调递增,()()min 13f x f =-=-,()f x 的图象与x 轴只有1个交点,C 错误,D 正确.故选:AD12.已知函数1|ln(2),2()12,22x x x f x x -⎧-⎪=⎨+≤⎪⎩,下列说法正确的是( )A .函数()f x 的单调递增区间是[1,2][3,)+∞B .若函数()()g x f x m =-恰有三个零点,则实数m 的取值范围是35,22⎧⎫⎛⎫+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭C .若函数()()g x f x m =-有四个零点123,,x x x ,4x ,则3355222212346,6x x x x e e e e --⎛⎤+++∈++++ ⎥⎝⎦D .若函数2()[()]2()g x f x af x =-有四个不同的零点,则实数a 的取值范围是35,44⎧⎫⎛⎫⋃+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭【答案】BCD【分析】根据函数图象变换作出函数图象即可判断选项A ,数形结合将问题转化为()f x 的图象与直线y m =有三个交点即可判断选项B ,根据题意,作出图象,确定有四个交点时122x x +=,43122x x =+-,利用双勾函数性质求出34x x +的取值范围,即可求解选项C ,根据一元二次方程的根结合()f x 的图象,数形结合可判断选项D. 【详解】利用函数图象变换,作图如下:由图可知,函数()f x 的单调递增区间是[1,2],[3,)+∞,故A 错误; 函数()()g x f x m =-恰有三个零点,即()f x 的图象与直线y m =有三个交点,所以3m =或5m >,故B 正确;函数()()g x f x m =-有四个零点,则3522m <≤, 不妨设123x x x <<<4x , 令3|ln(2)|2x -=,解得32e 2x -=+或32e 2+, 令5|ln(2)|2x -=,解得52e 2x -=+或52e 2+, 所以由图可知, 53352222123401,12,e2e2,e 2e 2x x x x --≤<<≤+≤<++<≤+,则有12|1||1|112222x x --+=+,即1211112222x x -+-+=+, 所以1211x x -+=-,所以122x x +=,34|ln(2)||ln(2)|x x -=-,即34ln(2)ln(2)x x --=-, 则43122x x =+-,所以3433331122422x x x x x x +=++=-++--, 设532232e ,e t x --⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭,则对钩函数1()4f t t t =++在5322e ,e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减,所以555333222222max ()(e )e e4,()(e )e e4f t f f t f ----==++>=++,所以335522224()4,f e e t e e --⎛⎤++++ ⎝∈⎥⎦,即33552242234,4x e e x e e --⎥+⎛⎤+++∈+ ⎝⎦又因为122x x +=,所以3355222212346,6x x x x e e e e --⎛⎤+++∈++++ ⎥⎝⎦,故C 正确;令2[()]2()0f x af x -=,解得()0f x =或()2f x a =, 由()0f x =解得3x =,所以()2f x a =有三个不同的解,由B 选项分析过程可知322a =,或522a >,解得34a =,或54a >,所以实数a 的取值范围是35,44⎧⎫⎛⎫⋃+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭,故D 正确;故选:BCD.有三个交点,选项C 中,根据()f x 的图象与直线y m =有四个交点,确定四个零点分布的位置,并根据解析式确定122x x +=和43122x x =+-,利用换元思想将34x x +变为单变量函数,利用双勾函数性质求范围,属于综合性较强的问题.三、填空题13.已知函数()()2f x g x =()()⋅f x g x __________.【答案】()()(()2,f x g x x x =∈-+∞【分析】相乘后得到新函数,定义域需要也需要求解.【详解】()()2f x gx x ⋅=10x x +>⎧⎪⎨⎪⎩,所以(()2,x ∈-+∞.【点睛】利用已有的函数求解新的函数解析式时,一定要注意函数的定义域,若定义域非实数集一定要记得将定义域写在末尾.14.已知函数2()x f x e ax =-,对任意12,(,0)x x ∈-∞且12x x ≠,都有()()()()21210x x f x f x --<,则实数a 的取值范围是_______. 【答案】(,]2e-∞【分析】确定函数为偶函数,再判断函数的单调性得到2xe a x≤在(0,)+∞上恒成立,令()x e g x x =,求导得到单调区间,计算最值得到答案.【详解】|()|2||2()()()x x f x e a x e ax f x --=--=-=,即()f x 为偶函数, 又对120,0x x <<且12x x ≠,都有2121()(()())0x x f x f x --<, 知()f x 在(,0)-∞上单调递减,故()f x 在(0,)+∞上单调递增, 则当0x >时,()20x f x e ax '=-≥,即2xe a x≤在(0,)+∞上恒成立, 令()x e g x x =,0x >,则2(1)()x e x g x x '-=,当1x >时,()0g x '>,()g x 单调递增,当01x <<时,()0g x '<,()g x 单调递减, ∴当1x =时,()g x 取得极小值也是最小值(1)1e g e ==, ∴2a e ≤,即2e a ≤.故答案为:(,]2e-∞.15.已知集合sin 2,,123A y y x x ππ⎧⎫⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,{}cos ,0B y y x x π==<<,则A B =_______.【答案】112⎛⎫⎪⎝⎭, 【分析】分别求两个集合,再求交集.【详解】,123x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,22,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,1sin 2,12y x ⎛⎤∴=∈ ⎥⎝⎦,()0,x π∈ ()cos 1,1y x ∴=∈-,所以1,12A ⎛⎤= ⎥⎝⎦,()1,1B =-,所以1,12A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为:1,12⎛⎫⎪⎝⎭16.函数()2()lg 2f x x x =+-定义域是___________.【答案】(1,]2π-【解析】利用余弦函数的性质、结合对数的定义进行求解即可.【详解】由题意可知:2cos 022()12220212x k x k k Z x x x x πππππ⎧≥-≤≤+∈⎧⎪⇒⇒-<≤⎨⎨+->⎩⎪-<<⎩. 故答案为:(1,]2π-四、解答题17.计算:(1)112416254-⎛⎫ ⎪⎝⎭;(2)3332log 2log32log 8-+;(3) (4)2345log 3log 4log 5log 2⨯⨯⨯. 【答案】(1)1;(2)0;(3)18;(4)1.【解析】利用指数与对数的运算性质以及换底公式即可求解. 【详解】(1)11224162522514-⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭.(2)3333333342log 2log 32log 8log log 32log 8log 8log 10324⎛⎫-+=+=⨯== ⎪⎝⎭-.(3)111362233 1.512⨯⨯⨯⨯111136623233342⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭22318=⨯=.(4)234513141512log 3log 4log 5log 2112131415g g g g g g g g ⨯⨯⨯=⋅⋅⋅= 【点睛】本题考查了指数、对数的运算性质、换底公式,掌握运算性质是解题的关键,属于基础题. 18.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图: (1)cos 2y x =+; (2)4sin y x =; (3)1cos32y x =;(4)π3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)答案见解析;(4)答案见解析. 【分析】(1)根据五点法列表描点作图即可; (2)根据五点法列表描点作图即可; (3)根据五点法列表描点作图即可; (4)根据五点法列表描点作图即可; 【详解】解:(1)列表描点,并用光滑的曲线连接即可cos 2y x =+在[]0,2π上的图象,(2)列表 x2π π32π2πsin y x =0 10 1-0 4sin y x =4 04-描点,并用光滑的曲线连接即可得4sin y x =在[]0,2π上的图象,(3)列表3x2π π32π2πx6π3π 2π23π1cos32y x =1212-12描点,并用光滑的曲线连接即可得1cos32y x =在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象,(4)列表π26x -2π π32π2πx12π3π712π56π1312ππ3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 033-描点,并用光滑的曲线连接即可得π3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在13,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象,19.已知函数()243f x ax x =++.(1)若关于x 的不等式2430ax x ++>的解集为{}1x b x <<,求,a b 的值. (2)求关于x 的不等式()1f x ax >--的解集. 【答案】(1)7a =-;37b =-(2)答案见解析【分析】(1)由一元二次不等式解的特点可得1x =与x b =是方程2430ax x ++=的两根,由此可代入1x =求得7a =-,再将7a =-代入不等式求得37b =-;(2)由题意得()()410ax x ++>,对0a =,a<0,04a <<,4a =与4a >五种情况分类讨论即可得到结果.【详解】(1)因为2430ax x ++>的解集为{}1x b x <<, 所以1x =与x b =是方程2430ax x ++=的两根,且a<0, 将1x =代入2430ax x ++=,得430a ++=,则7a =-,所以不等式2430ax x ++>为27430x x -++>,转化为()()1730x x -+<, 所以原不等式解集为317xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣,所以37b =-.(2)因为()243f x ax x =++,所以由()1f x ax >--得2431ax x ax ++>--,整理得()2440ax a x +++>,即()()410ax x ++>,当0a =时,不等式为440x +>,故不等式的解集为{}1x x >-; 当0a ≠时,令()()410ax x ++=,解得4x a=-或=1x -, 当a<0时,()4410a a a ----=>,即41a ->-,故不等式的解集为41x x a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣; 当04a <<时,41a -<-,故不等式的解集为4x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >-;当4a =时,41a-=-,不等式为()210x +>,故其解集为{}1x x ≠-; 当4a >时,41a->-,故不等式的解集为{1x x <-或4x a ⎫>-⎬⎭;综上:①当a<0时,原不等式解集为41xx a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣; ②当0a =时,原不等式解集为{}1x x >-;③当04a <<时,原不等式解集为4x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >-;④当4a =时,原不等式解集为{}1x x ≠-; ⑤当4a >时,原不等式解集为{1x x <-或4x a ⎫>-⎬⎭.20.在①()()()b a b a c b c +-=-;②4AB AC ⋅=;③2sin 22cos122A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,求ABC 的面积.问题:已知ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且sin 2sin C B =,2b =,_________?【答案】条件选择见解析,【分析】选①:结合正弦求出边c ,利用余弦定理求出角A ,结合三角形的面积公式即可求出结果; 选②:合正弦求出边c ,利用平面向量数量积的定义求出角A ,结合三角形的面积公式即可求出结果;选③:合正弦求出边c ,利用二倍角公式以及降幂公式得到关于角A 的方程,进而解方程求出角A ,结合三角形的面积公式即可求出结果;【详解】解:因为sin 2sin C B =,2b =,所以24c b ==, 选①:因为()()()b a b a c b c +-=-,所以222b c a bc +-=,所以2221cos 22b c a A bc +-==,又因为(0,)A π∈,所以3A π=,所以ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯=选②:若4AB AC ⋅=,故||||cos 4AB AC A ⋅⋅=, 则1cos 2A =,∵(0,)A π∈,故3A π=,所以ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯=选③:若2sin 22cos 122A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭,则cos2cos 0A A +=, 故22cos cos 10A A +-=,解得1cos 2A =(cos 1A =-舍去), ∵(0,)A π∈,故3A π=.所以ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯=21.若{},0,1A a =-,1,,1B c b b a ⎧⎫=+⎨⎬+⎩⎭,且A B =,()2f x ax bx c =++. (1)求()f x 解析式;(2)若[]1,2x ∈-时,求()f x 的值域;(3)若[]1,x m ∈时,()[]1,f x m ∈,求实数m 的值.【答案】(1)()222f x x x =-+;(2)[] 1,5;(3)2. 【分析】(1)由集合相等,可求得,,a b c ,从而求得函数解析式; (2)简单二次函数的值域求解,配方即可;(3)由对称轴知,二次函数在该区间上单调递增,则该二次函数过点()1,1和(),m m ,解方即可. 【详解】(1)由A B =,可得:1a =,1b a +=-,0b c +=,解得:1,2,2a b c ==-=,故:()222f x x x =-+.(2)()222f x x x =-+=()211x -+故:当1x =时,取得最小值1; 当1x =-时,取得最大值5.故该函数的值域为[]1,5.(3)由解析式可得,对称轴为:1x =, 故该二次函数在[]1,m 上单调递增,故: ()()11f f m m ⎧=⎪⎨=⎪⎩整理得21122m m m =⎧⎨-+=⎩ 解得1m =或2m =,又1m >, 故2m =.【点睛】本题考查集合的相等、二次函数的值域、二次函数的基本性质,属基础题.22.某工厂第一季度某产品月生产量分别为100件、120件、130件.为了估测以后每个月的产量,以这3个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y (单位:件)与月份x 的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数x y ab c =+(其中a ,b ,c 为常数).已知4月份的产量为136件,问:用以上哪个函数作为模拟函数较好?为什么?【答案】135件比130件更接近于4月份的产量136件,选用指数型函数,()800.5140x g x =-⨯+作为模拟函数较好.【分析】利用待定系数法得到函数的表达式,即可作出判断.【详解】解:选二次函数作为模拟函数时,设2()(0)f x px qx r p =++≠,由已知1004212093130p q r p q r p q r ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,解得53570p q r =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,故2()53570f x x x =-++,2(4)5435470130f =-⨯+⨯+=件;选指数型函数()(0)x g x ab c a =+≠作为模拟函数时,由已知23100120130ab c ab c ab c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,解得800.5140a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,故()800.5140x g x =-⨯+,4(4)800.5140135g =-⨯+=件,经比较可知,135件比130件更接近于4月份的产量136件,故选用指数型函数 ()800.5140x g x =-⨯+作为模拟函数较好.。
高一数学月考试题答案

1 4
2log2 3
lg25
lg
1 4
1 25
3
2
3
1.
3
(2) 92 (2
3
1)0
1 64
1 3
32
3 2
1
1 4
3
1 3
27 1
4
32
.
18.解(1)当 a 2 时,M x 2 x 5, N x 3 x 5, ðR N x x 3或x 5,
M (ðRN ) x 2 x 3;
所以广告费用为 22 万元时,厂家的年利润最高.
22.(1) f (x) a(x 1)2 a b(a 0) ,
f (1) 1
a 1
因为
a
0
,故
f
(4)
10
,解得
b
2
.
(2)由已知可得
g
(x)
x
2 x
2
,设
2 x1 x2 ,
∵
g ( x1 )
g(x2)
( x1
x2 )(1
2 x1x2
又由当 x 3时,函数 f x x2 8x 18 (x 4)2 2 ,
当 x 4 时,函数取得最小值
f
x min
f
(4)
2
所以由图象可得 y f (x) 与 y 2 的图象有 2 个交点, 即函数 g (x) f (x) 2 恰有 2 个零点.
故答案为: 2 .
三、解答题
17.解(1) lg
3, x x 3,
( ,1) x [1,3]
(3,
),
由 f x 的图象知,当 x 3 时,由 x2 4x 3 1 可得 x 2 2 .
北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题(含答案)

北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题1.已知集合,,则( ){}51A x x =-<≤{}29B x x =≤A B ⋃=A .B .C .D .[)3,1-[]3,1-(]5,3-[]3,3-2.已知函数()3sin 2f x x =,将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移8π个单位长度,得到函数()y g x =的图象,则函数()g x 的解析式为( )A .()π3sin 28g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B .()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C .D .()π3sin 28g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π3sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3.设0m n <<,则下列不等关系中不能成立的是( )A .m n>B .33m n<C .11m n >D .11m n m>-4.已知函数26()(1)f x x x =+-,则下列区间中含有()f x 的零点的是( )A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4)5.已知0.50.65log 0.5,5,0.5a b c ===,则( )A .a c b<<B .a b c <<C .c<a<b D .b<c<a 6.下列函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是()A .2xy =B .ln ||y x =C .3y x =D .tan y x=7.设x ∈R ,则“()10x x +>”是“01x <<”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件8.设()f x 是奇函数,且在()0,∞+内是减函数,又()30f -=,则()0x f x ⋅<的解集是( )A .{30xx -<<∣或3}x >B .{3xx <-∣或03}x <<C .{30x x -<<∣或03}x <<D .或{3xx <-∣3}x >9.已知函数()()1104f x x x x =++>,则( )A .当且仅当12x =,时,()f x 有最小值32B .当且仅当12x =时,()f x 有最小值2C .当且仅当1x =时,()f x 有最小值32D .当且仅当1x =时,()f x 有最小值.210.已知函数()y f x =图象是连续不断的,并且是R 上的增函数,有如下的对应值表A .()00f <B .当2x >时,()0f x >C .函数()f x 有且仅有一个零点D .函数()()g x f x x=+可能无零点11.函数(01)||x xa y a x =<<的图像的大致形状是( )A .B .C .D .12.分贝(dB )、奈培(Np )均可用来量化声音的响度,其定义式分别为01dB =10lgA A ,011Np =ln 2A A ,其中A 为待测值,0A 为基准值.如果1dB =Np(R)t t ∈,那么t ≈( )(参考数据:lg e 0.4343≈)A .8.686B .4.343C .0.8686D .0.115二、填空题(本大题共6小题)13.命题“0x ∀>,20x>”的否定是.14.已知函数()38log xf x x=+,则13f ⎛⎫=⎪⎝⎭.15.函数()()ln 31x f x x +=+的定义域为.16.若函数()sin y A x ωϕ=+(0,0π)ωϕ>≤<的部分图象如图所示,则此函数的解析式为.17.已知函数21,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩,那么((3))f f -= ;当方程()f x a =有且仅有3个不同的根时,实数a 的取值范围是.18.设函数()f x 的定义域为D ,若()f x 满足:“1x D ∀∈,都存在2x D ∈,使得()()120f x f x +=”则称函数()f x 具有性质τ,给出下列四个结论:①函数()f x x =具有性质τ;②所有奇函数都具有性质τ;③若函数()f x 和函数都具有性质,则函数也具有性质;()g x τ()()f x g x +τ④若函数,具有性质,则.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ2a =-其中所有正确结论的序号是 .三、解答题(本大题共6小题)19.已知全集U =R ,{2A x x a =≤-或}x a ≥,{}250B x x x =-<.(1)当1a =时,求()U A B A B A B ⋂⋃⋂,,ð;(2)若A B B = ,求实数a 的取值范围.20.已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边经过点()1,3P -.(1)求sin2cos2tan2ααα、、的值;(2)求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭、πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值;(3)求sin 2cos 2cos 3sin αααα+-的值.21.设函数()2cos cos (02)f x x x x ωωωω=⋅+<<,从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式;(2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上的值域;(3)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.条件①:函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭;条件②:函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =;条件③:函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2.22.已知函数()24x f x x =+.(1)判断函数()f x 奇偶性,并证明你的结论;(2)判断函数()f x 在()0,2上的单调性,并证明你的结论;(3)若在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立,求m 的取值范围.23.函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭部分图象如图所示,已知41πx x -=.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式;(2)求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程;(3)设0α>,若函数()()g x f x α=+为奇函数,求α的最小值.条件①:1π12x =;条件②:2π6x =;条件③.3π2x =注:如果选择多个条件组合分别解答,则按第一个解答计分.24.设A 是实数集的非空子集,称集合{|,B uv u v A=∈且}u v ≠为集合A 的生成集.(1)当{}2,3,5A =时,写出集合A 的生成集B ;(2)若A 是由5个正实数构成的集合,求其生成集B 中元素个数的最小值;(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ,使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =,并说明理由.答案1.【正确答案】C【分析】解29x ≤得出集合B ,然后根据并集的运算,即可得出答案.【详解】解29x ≤可得,33x-≤≤,所以{}3|3B x x =-≤≤.所以,{}{}{}51|3353A B x x x x x x ⋃=-<≤⋃-≤≤=-<≤.故选:C.2.【正确答案】B【分析】根据平移变换的性质即可求解.【详解】将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度,得到ππ33si 2πn 88sin(24f x x x ⎛⎫⎛-=⎫=- ⎪⎪- ⎝⎭⎝⎭,故()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故选:B3.【正确答案】D【分析】利用不等式的性质判断ABC ,举反例判断 D.【详解】对于A :0m n << ,0m n ∴->->,即m n>,A 正确;对于B :0m n << ,33m n ∴<,B 正确;对于C :0m n << ,0mn ∴>,m n mn mn ∴<,即11m n >,C 正确;对于D :取2,1m n =-=-,满足0m n <<,但11112m n m =-<=--,D 错误.故选:D.4.【正确答案】B 【分析】先判断26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增,再根据零点存在性定理求解即可.【详解】因为函数26(,1)y x x y +==-在(0,)+∞上都递增,所以26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增,又因为()260(1)(11)201f f <=+-=-<,()4(3)f f >>26(2)(21)602f =+-=>,所以()1(2)0f f <,所以区间(1,2)含有()f x 的零点,故选:B.5.【正确答案】A【分析】利用指对数函数性质判断大小关系即可.【详解】由0.600.5055log 0.5log 100.55150.5a c b <==<=<<===,即a c b <<.故选:A6.【正确答案】C【分析】利用指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质、正切函数的图象与性质分析即可得解.【详解】解:对于选项A ,指数函数2xy =是非奇非偶函数,故A 错误;对于选项B ,函数ln ||y x =是偶函数,故B 错误;对于选项C ,幂函数3y x =既是奇函数,又是定义域R 上的增函数,故C 正确;对于选项D ,正切函数tan y x =在每个周期内是增函数,在定义域上不是增函数,故D 错误.故选:C.7.【正确答案】B【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果.【详解】解不等式()10x x +>可得0x >或1x <-;显然{}1|0x x <<是{0xx 或}1x <-的真子集,所以可得“()10x x +>”是“01x <<”的必要不充分条件.故选:B8.【正确答案】D【分析】根据题意,得到函数()f x 在(0,)+∞为减函数,且()30f =,结合不等式()0x f x ⋅<,分类讨论,即可求解.【详解】由函数()f x 是奇函数,且在()0,∞+内是减函数,可得函数()f x 在(),0∞-为减函数,又由()30f -=,可得()()330f f =--=,因为不等式()0x f x ⋅<,当0x >时,则()0f x <,解得3x >;当0x <时,则()0f x >,解得3x <-,所以不等式()0x f x ⋅<的解集为{3xx <-∣或3}x >.故选:D.9.【正确答案】B【分析】根据题意,由基本不等式,代入计算,即可得到结果.【详解】因为0x >,则()11124f x x x =++≥=,当且仅当14x x =时,即12x =时,等号成立,所以当且仅当12x =时,()f x 有最小值 2.故选:B10.【正确答案】D【分析】根据函数的单调性,结合表格中的数据判断AB ;利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A ,因为函数()y f x =是R 上的增函数,所以()()010.240f f <=-<,正确;对于B ,因为函数()y f x =是R 上的增函数,所以当2x >时,()()2 1.210f x f >=>,正确;对于C ,因为函数()y f x =是R 上的增函数,()10f <且()20f >,即()()120f f <,所以函数()f x 有且仅有一个在区间()1,2的零点,正确;对于D ,因为函数()()g x f x x=+连续,且()()()()()0010,1110g f f g f =<<=+>,即()()010g g <,所以函数()()g x f x x=+在区间()0,1上一定存在零点,错误,故选:D.11.【正确答案】D【分析】化简函数解析式,利用指数函数的性质判断函数的单调性,即可得出答案.【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<<,0,0x xa x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩ 01a <<,∴xy a =是减函数,x y a =-是增函数.(01)||x xa y a x =<<在(0)+∞,上单调递减,在()0-∞,上单调递增故选:D.本题主要考查了根据函数表达式求函数图象,解题关键是掌握指数函数图象的特征,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.12.【正确答案】A【分析】结合题意得到00110lgln 2A A t A A =⨯,再利用换元法与换底公式即可得解.【详解】因为01dB =10lgA A ,011Np =ln 2A A ,1dB =Np(R)t t ∈,所以00110lgln 2A A t A A =⨯,令0A x A =,则110lg ln 2x t x=⨯,所以lg ln e lg e2020lg 20lg 20lg e 200.43438.686ln ln lg x t x x x x x =⋅=⋅=⋅=≈⨯=.故选:A.13.【正确答案】000,20x x ∃>≤【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可;【详解】命题“0x ∀>,20x>”为全称命题,又全称命题的否定为特称命题,故其否定为“000,20x x ∃>≤”故000,20x x ∃>≤14.【正确答案】1【分析】结合指数与对数的运算法则,计算即可.【详解】结合题意.()113333118log 2121133f ⎛⎫=+=-=-= ⎪⎝⎭故答案为.115.【正确答案】()()3,11,---+∞ 【分析】根据对数的真数大于零,分母不等于零列不等式求解.【详解】由已知得3010x x +>⎧⎨+≠⎩,解得3x >-且1x ≠-,即函数定义域为()()3,11,---+∞ .故答案为.()()3,11,---+∞ 16.【正确答案】π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】根据图象,可得()3332A --==,πT =,图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭,且在π3x =附近单调递减.进而可求出2ω=,π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ,根据ϕ的范围即可解出ϕ,进而得到解析式.【详解】由已知可得,函数最大值为3,最小值为-3,所以()3332A --==.又由图象知,5πππ2632T =-=,所以πT =.因为0ω>,所以2ππT ω==,所以2ω=,所以()3sin 2y x ϕ=+.又由图象可推得,图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭,且在π3x =附近单调递减,所以有π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ,解得π2π,3k k ϕ=+∈Z .又0πϕ≤<,所以.π3ϕ=所以,函数的解析式为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭17.【正确答案】2[)0,1【分析】入解析式即可求出((3))f f -;方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点,结合()y f x =图象,即可得出答案.【详解】因为()21,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩,所以()()23363f -=--=,所以()((3))32f f f -==;画出函数()fx 的图象,方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点,由图可得.01a ≤<故2;[)0,1.18.【正确答案】①②④【分析】根据函数具有性质τ,知函数的值域关于原点对称,从而依次判断得结论.【详解】由题知,若()f x 满足性质τ即:“1x D ∀∈,都存在2x D ∈,使得()()120f x f x +=”则()f x 的值域关于原点对称.对于①,函数()f x x =,值域为R 关于原点对称,显然具有性质τ,故正确;对于②,因为所有的奇函数对应定义域内任意x 的都有()()f x f x -=-,则值域关于原点对称,显然具有性质τ,故正确;对于③,设2()1f x x =-,x ⎡∈⎣,值域为[]1,1-,具有性质τ,()1g x =+,x ⎡∈⎣,值域为[]1,1-,具有性质τ,2()()f x g x x +=,x ⎡∈⎣,值域为,不具有性质,故错误;1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦τ对于④,若函数,具有性质,则的值域关于原点对称.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ()f x 又 ,时,的值域为,2()f x x a =+[2,1]x ∈-()f x [,4]a a +则,解得,故正确.40a a ++=2a =-故答案为:①②④.19.【正确答案】(1){}15A B x x ⋂=≤<,{1A B x x ⋃=≤-或}0x >,(){}01UA B x x ⋂=<<ð(2)(][),07,-∞+∞ 【分析】(1)代入数据计算得到集合A 和B ,再根据的交并补运算计算得到答案.(2)确定B A ⊆,再根据集合的包含关系计算得到答案.【详解】(1)1a =时,{1A x x =≤-或}1x ≥,{}{}25005B x x x x x =-<=<<,{}15A B x x ⋂=≤<,{1A B x x ⋃=≤-或}0x >,{}11U A x x =-<<ð,故(){}01UA B x x ⋂=<<ð.(2)A B B = ,则B A ⊆,{2A x x a =≤-或}x a ≥,{}05B x x =<<,则25a -≥或0a ≤,解得0a ≤或7a ≥,即(][),07,a ∈-∞+∞ .20.【正确答案】(1)343sin 2,cos 2,tan 2554ααα=-=-=(2)π1πtan ,tan 2424αα⎛⎫⎛⎫+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)111-【分析】(1)已知角α的终边上一点(),P x y ,则sin αα==再结合二倍角公式代入运算即可;(2)已知角α的终边上一点(),P x y ,则tan ,y x α=再结合正切两角和差公式运算即可;(3)通过sin tan ,cos ααα=构造齐次式分式,再代入正切值运算即可.【详解】(1) 角α的终边经过点()1,3P -,sin αα∴====3sin 22sin cos 2,5ααα⎛∴==⨯=- ⎝224cos 22cos 121,5αα=-=⨯-=-sin 23tan 2.cos 24ααα==(2)由题得3tan 3,1α-==-()πtan 1311tan ,41tan 132ααα+-+⎛⎫∴+===- ⎪---⎝⎭()πtan 131tan 2.41tan 13ααα---⎛⎫-=== ⎪++-⎝⎭(3)由(2)知tan 3,α=-()sin 2cos tan 2321.2cos 3sin 23tan 23311αααααα++-+∴===----⨯-21.【正确答案】(1)()1sin 262πf x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭;(2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(3)π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】(1)根据三角函数的恒等变换可得()π1sin 262f x x ω⎛⎫=++⎪⎝⎭,分别选择条件①,②,③都可得到1ω=,从而可得()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭;(2)通过换元法并结合正弦函数的图象与单调性,求解值域即可.(3)通过换元法并结合正弦函数的单调性即可求解()f x 在[]0,π上的单调递增区间.【详解】(1)结合题意可得:()211cos cos 2cos 2,22f x x x x x x ωωωωω=⋅+=++所以()π1sin 2,(02)62f x x ωω⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭,若选条件①:因为函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭,所以5π5ππ11sin 21212622f ω⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即5ππsin 0sin π66k ω⎛⎫+== ⎪⎝⎭,所以5πππ,Z 66k k ω+=∈,即6155k ω=-,Z k ∈,因为02ω<<,所以当1k =时,1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件②:因为函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =;所以πππ2π662k ω⨯+=+,Z k ∈,即31k ω=+,Z k ∈,因为02ω<<,所以当1k =时,1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件③:因为函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2,所以π,22T =即πT =,由周期公式可得2ππ2T ω==,解得,满足题意,1ω=故函数的解析式为.()f x ()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭(2)由(1)问可得,()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令,因为,所以,π26t x =+π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ7π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知:1sin 2y t =+在上单调递增,在单调递减;1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦当,即时,;π2t =π6x =()max ππ13sin 26622f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭当,即时,.7π6t =π2x =()minππ1sin 20262f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭所以在上的值域为.()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)由(1)问可得,()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令,因为,所以,π26t x =+[]0,πx ∈ππ13π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知:1sin 2y t =+①在上单调递增, 1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以,解得:,所以在单调递增;πππ2662x ≤+≤π06x ≤≤()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦②在单调递增,1sin 2y t =+3π13π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以,解得:,所以在单调递增;63ππ13π262x ≤+≤2ππ3x ££()f x 2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数在上的单调递增区间为,.()f x []0,ππ0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦22.【正确答案】(1)奇函数,证明见解析(2)单调递增,证明见解析(3)14m <-【分析】(1)通过判断()(),f x f x -的关系得奇偶性;(2)任取()12,0,2x x ∈,且12x x >,通过计算()()12f x f x -的正负来确定单调性;(3)将恒成立问题转化为最值问题,利用奇偶性和单调性求出()f x 在区间[]2,0-上的最小值即可.【详解】(1)函数()f x 为奇函数.证明:由已知函数()24xf x x =+的定义域为R ,又()()()2244xxf x f x x x --==-=-+-+,所以函数()f x 为奇函数;(2)函数()f x 在()0,2上单调递增.证明:任取()12,0,2x x ∈,且12x x >,则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++,因为()12,0,2x x ∈,且12x x >,所以1212400,x x x x <--<,所以()()120f x f x ->,即()()12f x f x >,所以函数()f x 在()0,2上单调递增;(3)在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立,即()min f x m >,又由(1)(2)得函数()f x 在[]2,0-上单调递增,故()()min 212444f x f -=-==-+,所以14m <-.23.【正确答案】(1)选择条件①②或者①③或者②③均可求得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)最小正周期π,T =对称轴方程为ππ,Ζ32k x k =+∈(3)π12【分析】(1)根据图像得函数()f x 的一个周期为π,从而求得ω=2,选择两个条件,根据五点法求函数解析式参数的方法代入求解即可.(2)根据函数解析式,代入2π,T ω=求得最小正周期;根据正弦函数的对称轴为ππ,Ζ,2k k +∈代入求得()f x 的对称轴方程.(3)根据()g x 的解析式,结合()11sin sin ,Ζx k x k π+=±∈,可得若()g x 为奇函数,则π2π,Ζ,6k k α'='-∈再进行计算即可.【详解】(1)根据图像和41πx x -=,2ππ,0,2,T ωωω∴==>∴= ()()sin 2.f x A x ϕ∴=+若选条件①②,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件①③,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()3ππsin 21,2,26f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件②③,则当23π23x x x +==时,()f x 取得最大值A ,∴根据五点法得πππ2,,326ϕϕ⨯+=∴=-()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫∴=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭(2)()π2sin 2,6f x x ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭ 最小正周期2ππ.2T ==令ππ2π,Ζ,62x k k -=+∈解得ππ,Ζ,32k x k =+∈∴()f x 的对称轴方程为ππ,Ζ.32k x k =+∈(3)由题得()()()ππ2sin 22sin 22,66g x f x x x ααα⎡⎤⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()g x 为奇函数,π2π,Ζ,6k k α∴'='-∈解得ππ,Ζ.122k k α''=+∈0,α>∴ 当0k '=时,α取得最小值π.1224.【正确答案】(1){}6,10,15B =(2)7(3)不存在,理由见解析【分析】(1)利用集合的生成集定义直接求解.(2)设{}12345,,,,A a a a a a =,且123450a a a a a <<<<<,利用生成集的定义即可求解;(3)不存在,理由反证法说明.【详解】(1){}2,3,5A =Q ,{}6,10,15B ∴=(2)设{}12345,,,,A a a a a a =,不妨设123450a a a a a <<<<<,因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<,所以B 中元素个数大于等于7个,又{}254132,2,2,2,2A =,{}34689572,2,2,2,2,2,2B =,此时B 中元素个数等于7个,所以生成集B 中元素个数的最小值为7.(3)不存在,理由如下:假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =,使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =,不妨设0a b c d <<<<,则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==,其4个正实数的乘积32abcd =;也有3,10ac bd ==,其4个正实数的乘积30abcd =,矛盾;所以假设不成立,故不存在4个正实数构成的集合A ,使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =关键点点睛:本题考查集合的新定义,解题的关键是理解集合A 的生成集的定义,考查学生的分析解题能力,属于较难题.。
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内蒙古集宁一中2017-2018学年高一数学12月月考试题 理
本试卷满分为150分,考试时间为120分钟 第一卷 (选择题 共60分)
一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是最符合题意 每小题5分,共60分。
) 1. 设集合U ={x |x <5,x ∈N *
},M ={x |x 2
-5x +6=0},则∁U M =( ).
A .{3,4}
B .{1,5}
C .{2,3}
D .{1,4}
2. 下列各组几何体中是多面体的一组是( )
A .三棱柱、四棱台、球、圆锥
B .三棱柱、四棱台、正方体、圆台
C .三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥
D .圆锥、圆台、球、半球 3. .设
,则
大小关系正确的是( ) A.
B.
C.
D.
4. 用长为4,宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱,此圆柱轴截面面积为
( )
A .8 B.8πC.4π D.2
π
5. 已知函数
,若
,则( )
A. B. 0 C. 2 D. 3
6.若函数f (x )=a x
+log a (x +1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ,则a 的值为( )
A.14
B. 4 C .2 D. 1
2
7. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A .12π B.32
3πC .8πD .4π
8. 函数
的零点所在的大致区间是( )
A. B. C. D.
9. 一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()
A .1+3
B .1+22
C .2+3
D .2 2
10. .用二分法求方程
的近似解(精确度0.01),先令
则根
据下表数据,方程的近似解可能是( )
A.2.512
B.2.522
C.2.532
D.2.542
11. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.
2π3B .πC.4π
3
D .12π 12. 若定义在
R
上的偶函数
)(x f 满足)()2(x f x f =+,且当
[]x x f y x x f x 3log )(,)(1,0-==∈则函数时,的零点个数是 ( )
A .多于4个
B .4个
C .3个
D .2个
第二卷 (非选择题 共90分) 二、填空题(每小题5分,共20分)
13.两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为_______. 14. 函数)32(log )(2
2
1--=x x x f 的单调递增区间是_________.
15. 已知2a =5b
=10,则1a +1b
=________.
16. .若函数有两个零点,则实数的取值范围是______.
三、解答题(本大题6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分) 已知集合A =⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
6
x +1≥1,x ∈R ,B ={x |x 2-2x -m <0},若A ∩B
={x |-1<x <4},求实数m 的值.
18. (本小题满分12分)
求值:
(2) 已知=5,求:a 2
+a -2
;
19. (本小题满分12分) 已知幂函数y =f (x )经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2,18. (1)试求函数解析式;
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间.
20. (本小题满分12分)已知函数f (x )=3x
,f (a +2)=81,g (x )=1-a
x
1+a
x .
(1)求g (x )的解析式并判断g (x )的奇偶性; (2)用定义证明:函数g (x )在R 上是单调递减函数; (3)求函数g (x )的值域.
21. (本小题满分12分)已知一个圆锥的底面半径为2 cm ,高为6 cm ,在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱.
(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;
(2)当x 为何值时,S 最大?并求S 的最大值.
22. (本小题满分12分)已知函数f (x )=ln (3+x )+ln (3-x ).
(1)求函数y =f (x )的定义域; (2)判断函数y =f (x )的奇偶性;
(3)若f (2m -1)<f (m ),求m 的取值范围. 高一年级第三次月考理科数学参考答案 一、选择题 DCBBC DAACC AB 二、填空题
13. 4∶9 14. (-∞,-1) 15. 216.
三、解答题
17. 【解析】 由
6x +1≥1,得x -5x +1
≤0, ∴-1<x ≤5,∴A ={x |-1<x ≤5}.
又∵B ={x |x 2
-2x -m <0},A ∩B ={x |-1<x <4}, ∴有42
-2×4-m =0,解得m =8.
此时B ={x |-2<x <4},符合题意,故实数m 的值为8.
18. (1) 2 (2) 7
19【解】(1)由题意,得f (2)=2a =18
,即a =-3,故函数解析式为f (x )=x -3
.
(2)∵f (x )=x -3
=1x
3,∴要使函数有意义,则x ≠0,即定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
关于原点对称.
∵f (-x )=(-x )-3
=-x -3
=-f (x ), ∴该幂函数为奇函数.
当x >0时,根据幂函数的性质可知f (x )=x -3
,在(0,+∞)上为减函数,∵函数f (x )
是奇函数,∴在(-∞,0)上也为减函数,故其单调减区间为(-∞,0),(0,+∞). 20. 【解】 (1)由f (a +2)=3
a +2
=81,得a +2=4,故a =2,则g (x )=1-2
x
1+2
x ,
又g (-x )=1-2-x
1+2-x =2x
-1
2x
+1=一g (x ) 故g (x )是奇函数.
(2)证明:设x 1<x 2∈R ,g (x 1)-g (x 2)=112121x x +--222121x x +-=)
21)(21()
22(22
112x x x x ++- ∵x 1<x 2,∴21
22
x x <,
∴g (x 1)-g (x 2)>0,即g (x 1)>g (x 2),则函数g (x )在R 上是单调递减函数. (3)g (x )=1-2x
1+2x =2-+2
x
1+2
x
=
2
1+2
x -1. ∵2x >0,2x
+1>1,∴0<11+2x <1,0<21+2x <2,-1<21+2x -1<1,
故函数g (x )的值域为(-1,1).
21. 【解】 (1)如图,设圆柱的底面半径为r cm ,则由r
2=6-x 6,得r =6-x
3
,
∴S =-23
x 2
+4x (0<x <6).
(2)由S =-23x 2+4x =-23(x -3)2
+6,
∴当x =3时,S max =6 cm 2
.
22. 【解】 (1)要使函数有意义,则⎩
⎪⎨
⎪⎧
3+x >0
3-x >0,解得-3<x <3,
故函数y =f (x )的定义域为(-3,3).
(2)由(1)可知,函数y =f (x )的定义域为(-3,3),关于原点对称. 对任意x ∈(-3,3),则-x ∈(-3,3). ∵f (-x )=ln (3-x )+ln (3+x )=f (x ), ∴由函数奇偶性可知,函数y =f (x )为偶函数. (3)∵函数f (x )=ln (3+x )+ln (3-x )=ln (9-x 2
),
由复合函数单调性判断法则知,当0≤x <3时,函数y =f (x )为减函数. 又函数y =f (x )为偶函数,∴不等式f (2m -1)<f (m ),等价于|m |<|2m -1|<3, 解得-1<m <1
3或1<m <2.。