勾股定理常考题型整理
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b abc c b a E D C B A②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数）毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数）柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．题型一：直接考查勾股定理例1.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例3.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长 21E DCBA例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m 。
勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形， ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， ② 若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形； ③ 若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：cba HG F EDCBA bacba c ca bcab a bc c baE D CBA221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例 4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积ABC30°DCB A ADBCCB DA21EDCBA题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =勾股定理练习一．填空题：1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，则S △ABC =________。
(完整版)八年级勾股定理题型总结
《勾股定理》典型例题解析一、知识重点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：假如直角三角形的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形： a2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。
2、勾股定理的逆定理假如三角形 ABC的三边长分别是a， b， c，且知足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意办理好以下几个重点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②知足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .③获得的结论：这个三角形是直角三角形，而且最大边的对角是直角.④假如不知足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数知足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数一定是正整数，不可以是分数或小数。
②一组勾股数扩大同样的正整数倍后，还是勾股数。
常有勾股数有：（3，4，5 ） (5 ，12， 13 ) ( 6， 8， 10 )( 7，24， 25 ) ( 8，15， 17 )(9 ， 12，15 )4、最短距离问题：主要运用的依照是两点之间线段最短。
二、考点解析考点一：利用勾股定理求面积1、求暗影部分面积：（1）暗影部分是正方形；（ 2）暗影部分是长方形；（ 3）暗影部分是半圆．2.如图，以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，尝试究三个半圆的面积之间的关系．3、以下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、 S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1S 3S 1S 24、四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。
勾股定理知识点与常见题型总结
第18章勾股定理复习一.知识归纳1・勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为「方，斜边为C,那么/+庆=疋勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方2・勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的而积不同的表示方法，列出等式，推导岀勾股定理常见方法如下：方法—：+ S正方形MG" = SjE方矽A BO F 4 x —cib + (b- a)~ = c~)化11U 可证•方法二四个直角三角形的面积及小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积及小正方形面积的和为S=4x1" +宀加十?2大正方形面积为S = (a + b)2=a 2+2ab + b 2所以 a 2 +b 2 =c 2方法二：S^ = ^(a+b)-(a+h), S 梯形=2S®+5沁=2•如+ 扫‘3 •勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三 角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾 股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4 .勾股定理的应用化简得证b a①己知直角三角形的任意两边长，求第三边在A4BC 中，ZC = 90°,贝lJc = x/7+F, b = Jd? , a = ^c2-b2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系勾股定理知识点与常见题型总结③可运用勾股定理解决一些实际问题5 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长°, b, C满足那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和/+戻及较长边的平方』作比较，若它们相等时，以—为三边的三角形是直角三角形；若/+戸<云，时，以£为三边的三角形是钝角三角形；若,r+/r>c2,时，以/,, c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a, b, c及/+戸=疋只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长—满足/+—那么以…，c为三边的三角形是直角三角形，但是方为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形6 •勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，°, 方，c为正整数时，称°, b, c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25等③用含字母的代数式表示“组勾股数：n2 -\.2njr +1 （n>2, n为正整数）；2n + l,2n2+2n,2n2+2n+l（“为正整数）m2 - n~, 2/nnjir + n2（m > n t m , n为正整数）7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.8 ..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和及最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和及第三边的平方比较而得到错误的结论.9 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.常见图形:题型一：直接考查勾股定理例 1 .在SABC中，ZC = 90° .⑴已知AC = 6, BC=8.求AB的长⑵己知AB = 17, AC = 15,求BC的长分析：直接应用勾股定理^+/?=c2解：(1)/仏=(力+砧=10(2) BC =J AB^A F=8题型二：应用勾股定理建立方程例2 .(1)在AABC 中,ZACB = 90°, AB=5 cm , BC = 3 cm , CD 丄AB「D , CD =⑵己知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为⑶己知直角三角形的周长为30⑷，斜边长为13®,则这个三角形的而积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边及斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解解:(l)AC = y/AB2-BC2 =4 , CD=AC -iC =2.4ABA(2)设两直角边的长分别为弘,4R・・・(3b + (4幻—52，•上=3, 5 = 54⑶设两直角边分别为a , b ,则a+b = l7 , a2+b2=2S9 ,可得ab = 60 :.S = —ab = 30 cm22例3•女口图WC 中，ZC = 90°, Z1 = Z2, CD = 1.5, BD = 2.5 ,求AC 的长分析：此题将勾股定理及全等三角形的知识结合起来解：作DE1AB于E,•・・ Z1 = Z2, ZC = 90°・•・ DE = CD = L5在中・・・ ABED = 90。
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
勾股定理的证明常用拼图的方法。
通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。
2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。
3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。
勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。
在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。
同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。
如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。
勾股定理的实际应用有很多。
例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。
现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。
同时梯子的顶端B下降至B′。
那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。
又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。
勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型
勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (3)1.勾股定理： (3)2.勾股定理的逆定理： (3)3.勾股定理的证明 (3)4.含特殊角的直角三角形三边的关系 (3)5.逆命题与逆定理 (4)三、常考题型 (5)1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长 (5)2. 勾股定理在几何计算中的应用-坐标平面内两点的距离 (6)3. 勾股定理在几何计算中的应用-面积问题 (8)4.构造直角三角形 (9)5.勾股定理的逆定理的应用 (11)四、重难点题型 (14)1.利用勾股定理解计算问题 (14)2勾股数组 (15)3.与线段平方关系有关的证明题 (16)4.矩形和直角三角形中的折叠问题 (18)二、基础知识点1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2注：1）仅在直角三角形中存在勾股定理2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边两直角边的平方和，避免出现这样的错误2.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是以c为斜边的直角三角形。
注：在同一个三角形中，大边对大角，小角对小边3.勾股定理的证明方法一：方法二：4.含特殊角的直角三角形三边的关系勾股数：1）a=3，b=4，c=52）a=5，b=12，c=13特殊直角三角形①a=x，c=2x，b=√3x②a=x，b=x，c=√2x③AC=x，DC=x，AD=√2x，BD=√2x④AC=x，AF=2x，DC=√3x，BD=2x5.逆命题与逆定理命题与定理命题：判断一件事的语句定理：经过我们一定推理，得到的真命题互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反的命题。
若将其中一个叫做原命题，则另一个就是它的逆命题逆定理：若一个定理的逆命题成立，则这个定理与原定理互为逆定理三、常考题型1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长解析：应用勾股定理，在直角三角形中，“知二求一”。
勾股定理题型
"勾股定理"常考题型归纳"勾股定理"是初中数学中重要的几何定理之一，也是中考和高考中经常出现的题型之一。
以下是一些常见的"勾股定理"考题类型归纳：1.求直角三角形的斜边长或某一直角边长：给出一个直角三角形的两个边长，让你求第三个边长。
例如：已知一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边长是多少？2.判断一个三角形是否为直角三角形：通过已知的三角形边长或角度来判断这个三角形是否为直角三角形。
例如：已知一个三角形的三个内角分别为30°、60°和90°，问这个三角形是否为直角三角形？3.判断一个三角形是否为等腰直角三角形：通过已知的三角形边长或角度来判断这个三角形是否为等腰直角三角形。
例如：已知一个三角形的两个直角边长相等，问这个三角形是否为等腰直角三角形？4.求直角三角形内某个角的正弦、余弦、正切值：已知直角三角形的两个直角边，求其中一个角的正弦、余弦、正切值。
例如：已知一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求其中一个角的正弦值。
5.求一个非直角三角形的某个角的大小：已知一个三角形的三个角度或三个边长，求其中一个角的大小。
例如：已知一个三角形的三个内角分别为30°、60°和90°，求这个三角形中30°角的大小。
6.求某个角为直角的三角形的某一边长：已知一个三角形中一个角为直角，另一个角度或边长，求第三个角度或边长。
例如：已知一个三角形中一个角为直角，另一个角为30°，其中一条直角边长为3cm，求斜边长是多少？这些是"勾股定理"经常出现的一些考题类型，学好这些考题类型可以更好地掌握"勾股定理"。
勾股定理常见题型总结
典型题型题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中,90C ∠=︒．⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC =题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC , 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E,12∠=∠,90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 mAB C D E分析：根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m在Rt ADE ∆中,由勾股定理得10AD答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23c =解：①22221.52 6.25a b +=+=,222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=,22516a =,222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=,且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线,5BD DC ∴==cm在ABD ∆中,22169AD BD +=,2169AB =222AD BD AB ∴+=, 90ADB ∴∠=︒,222169AC AD DC ∴=+=,13AC =cm ,AB AC ∴=。
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勾股定理易错题型整理：
易错点1：错误理解勾股数
例1：下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）
A、a2:b2:c2=1:2:3
B、a:b:c=3:4:5
C、∠A＋∠B=∠C
D、∠A：∠B：∠C=3：4：5
易错点2：求最短距离时展开图数据错误或展开错误
例1：在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且>AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，求一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路．
例2：如图①是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1．
(1)一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，那么它所行走的最短路线的长是______．
(2)这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为______．
例3：如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）
A．20cm B．14cm C．10cm D．无法确定
易错点3：忽略分类讨论或多解
例1：直角三角形两边长分别是3和4，则第三边长为______．
例2：直角三角形两直角边长分别是3和4，则第三边长为______．
例3：直角三角形两边长分别是3和4，则最长边为______．
易错题型3：作图错误
例1：如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14km，C，D为两村庄(可看为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少km处？
例2：如图，牧童在A处放牛，其家在C处，A、C到河岸l的距离分别为AB=2km，BD=8km，且CD=4km。
（1）牧童从A处将牛牵到河边P处饮水后再回到家C，试确定P在何处，所走路程最短？请在图中画出饮水的位置（保留作图痕迹），不必说明理由。
（2）求出（1）中的最短路程。
（6分）
必考知识点1：最短距离问题
例1：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝5，BC＝12，求CD的长度。
例2：在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是______．
必考知识点:2：最短距离问题
例1：将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，如图①～③所示，设筷子露在杯子外面的部分的长为h，则h的取值范围是什么？
例2：如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短路径的长为．
例3：如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是．
必考题型3：折叠问题求线段长
例1：如图，把长方形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处.已知∠MPN ＝90°，且PM＝3，PN＝4，那么长方形纸片ABCD的面积为.
例2：在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝cm.
例3：如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8。
（1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处，（如图（1）），设DE、BC相交于点F，求BF的长；
（2）将矩形纸片如图(2)折叠，使点B与点D重合，折痕为GH，求GH的长。
拓展题型1：数形结合
例1：我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
直角三角形的两直角边分别为a 、b ，那么(a ＋b )2的值是。
例2：如图(8)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图(9)所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．
例3：图3是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1+S 2+S 3=12，则S 2的值是()
A ．12
B ．8
C ．6D
．4
例4：如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，D、E 分别为BC、AC 的中点，AD=5，210BE 求AB 的长．
A
B
C 图(8)图(9)
拓展题型2：勾股树结构
例1：如图，Rt△ABC的三边长分别是3、4、5，以这三边长分别为腰作等腰直角三角形，其面积分别为x、y、z，若△ABC的面积表示为w，则下列结论正确的是() A．x＋x＝w＋y B．w＋x＝z C．3x＋4y＝5z D．x＋y＝z
例2：如图，分别以△ABC的三边为边向外作3个正方形，面积分别为1，2，3，则此△
ABC________(填“是”，“不是”)直角三角形．
例3：如图，已知1号、4号两个正方形的面积为为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个方形的面积和为()
A．11B．15C．10D．22
例4：(1)小明在玩积木游戏时，把三个正方形积木摆成一定的形状，俯视图如图①，
问题(1)：若此中的三角形△DEF为直角三角形，P的面积为9，Q的面积为15，则M的面积为。
问题(2)：若P的面积为36cm2，Q的面积为64cm2同时M的面积为100cm2，则△DEF为三角形。
(2)图形变化：I．如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，你能找出这三个半圆的面积之间有什么关系吗？请说明理由。
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面I中的结论求出阴影部分的面积吗？阴影部分面积为。
（直接写出答
案）
拓展题型3：勾股定理与全等
例1：如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．(1)求证：CE＝CF，∠BCE＝∠DCF；
(2)在图中，若G在AD上，且∠GCE＝45º，则GE＝GF成立吗？为什么？
(3)在（2）的条件下若AE＝4，AG＝3，求正方形ABCD的面积．
例2：已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D为BC边上一点．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）若AC=8,CD=1，求ED的长．
拓展题型3：动点存在性问题
例1：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出所有BP的值.
例2：如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q 两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ 把△ABC的周长分成相等的两部分？。