2018届高考数学一轮复习精选试题：数系的扩充与复数的引入(解答题)
浙江版2018年高考数学一轮复习(讲练测)：专题5.5数系的扩充和复数的引入(测)有解析
第05节 数系的扩充和复数的引入班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.） 1.【2017届浙江台州期末】已知复数的虚部1，则 ( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】因为，所以，应选答案A.。
2.若复数()21(ai i -为虚数单位,a R ∈) 是纯虚数, 则a =（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．1± 【答案】D 【解析】3. 【2017浙江湖州、衢州、丽水三市4月联考】已知复数()2z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( )【答案】B【解析】()22z i i i i =-=-==，故选B ．4.设复数1z i =--（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则|(1)|z z -⋅=（ ）A ．2 C D ．1 【答案】A 【解析】因1z i =--,故i z i z +-=+=-1,21,所以i i i z z +-=+-+=-3)1)(2()1(,则10|)1(|=-z z ,应选A. 5.已知复数10512aiz i-=-的实部与虚部之和为4，则复数z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B 【解析】6.设i 是虚数单位，则复数25()2i i-+=+（ ）A ．22i -B ．1i -C ．3i -D ．115i - 【答案】B 【解析】25()1212i i i i-+=-+-=-+，选B. 7.复数z =5310512i i -+在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A 【解析】 因i i i i i z 345)2)(21(521)2(5+=-+=--=,故应选A.8.设i 是虚数单位，若复数z 与复数012z i =-在复平面上对应的点关于实轴对称，则0z z ⋅=（ ） A ．5 B ．3- C ．14i + D ．14i - 【答案】A 【解析】因为复数z 与复数012z i =-在复平面上对应的点关于实轴对称，所以，12z i =+，故05z z ⋅=，故选A. 9.i 为虚数单位，已知复数a ＋3i1－2i 为纯虚数，则实数a ＝( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6 【答案】D 【解析】10.已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 【答案】D 【解析】由题得z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i＝－i(1－i)＝－1－i.故选D.11.【浙江卷】已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a＝b ＝1”是“(a＋bi)2＝2i ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若a ＝b ＝1，则 (a ＋bi)2＝(1＋i)2＝2i ；反之，若(a ＋bi)2＝2i ，则a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，故“a＝b ＝1”是“(a＋bi)2＝2i ”的充分不必要条件．故选A.12.若复数()()312z bi i =++-是纯虚数()b R ∈，则z =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】因为()()312z bi i =++-()13b b i =-++是纯虚数()b R ∈，所以10b -=，1b =，4z i =，4z =，故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.【2016高考江苏卷】复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________ ________. 【答案】5 【解析】(12)(3)55z i i i =+-=+，故z 的实部是5.14.【2016年高考北京理数】设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.【答案】1-. 【解析】(1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-，故填：1-.15.复数14z i =+（i 为虚数单位），则2z z +=______． 【答案】5 【解析】234z z i +=+，∴25z z +=．16.若11z ii i+=-（i 为虚数单位），则复数z 的值为 ． 【答案】2i - 【解析】二、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.复数z ＝（m 2+5m ＋6）＋（m 2-2m －15）i （m∈R），求满足下列条件的m 的值． （1）z 是纯虚数；（2）在复平面内对应的点位于第三象限． 【答案】（1）2m =-（2）23-<<-m 【解析】试题分析：（1）由若Z 是纯虚数，可回到复数的定义即要求；实部为零，虚部不为零．建立方程可解出． （2）由若Z 在复平面内对应的点在第三象限，则实部小于零，虚部小于零，再解两个不等式可求出实数 m 的范围．试题解析：（1）若z 是纯虚数， 则；⎩⎨⎧≠--=++015206522m m m m ， 解得；2m =-．（2）若z 在复平面内对应的点位于第三象限， 则；⎩⎨⎧<--<++015206522m m m m解得，23-<<-m ．18.已知复数()()21312i i z i-++=-，若21z az b i ++=-.（1）求z ；（2）求实数,a b 的值.【答案】（1）1z i =+；（2）3,4a b =-=. 【解析】（2）()()2111i a i b i ++++=-，得()21a b a i i +++=-,解得3,4a b =-=.19.已知,a b 为实数，i 为虚数单位，且满足()()11231ia bi i i i++=+-+-. （1）求实数,a b 的值；（2）若复数()()z m a m b i =-+-在复平面所对应的点在直线2y x =上，求实数m 的值. 【答案】（1）5a =，6b =；（2）4m =. 【解析】试题分析：（1）本小题主要考查复数的相等的概念，可以先把()()11231ia bi i i i++=+-+-的右边也化为m ni +的形式，再利用复数相等的定义即可求得结果；（2）先找出复数()()z m a m b i =-+-在复平面所对应的点的坐标，再将其代入直线2y x =中，即可求出m 的值. 试题解析：（1）因为()()1123561ia bi i i i i++=+-+=+-，所以5,6a b ==（2）因为()()()()56z m a m b i m m i =-+-=-+-对应的点是()5,6m m -- 在直线2y x =上，所以()6254m m m -=-∴=. 20．已知i 是虚数单位，复数z 满足（z ﹣2）i=﹣3﹣i ． （1）求z ； （2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数x 的取值范围．【答案】（1）i z 31+=；（2）)31,3(-. 【解析】试题分析：（1）由i i z --=-3)2(得i i z +-=3，分母实数化可得；（2）由i xx z i x 1031103-++=+，得⎩⎨⎧>->+03103x x ，解不等式.所以解得﹣3＜x ＜．所以，实数x 的取值范围是（﹣3，）．。
考点54 数系的扩充与复数的引入-2018版典型高考数学试
考点54 数系的扩充与复数的引入【考纲要求】1.理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示． 4．会进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 【命题规律】分析近几年的高考命题不难发现复数是每年高考必须考查的内容之一，通常是第2题，分值5分，预计2018年仍会保持往年的命题规律，主要涉及到复数的概念、复数的运算、复数的几何意义等方面得知识，且不会与其它的知识相交汇． 【典型高考试题变式】 （一）复数的有关概念例1 （1）【2015高考重庆，文11】复数(12i)i +的实部为________. 【答案】2-【解析】由于2(12i)i 22i i i +=+=-+，故知其实部为2-． （2）【2013，安徽文1】设i 是虚数单位，若复数103ia --(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为 ( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 【答案】D【方法技巧归纳】复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实数和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．【变式1】【变为根据复数为纯虚数求参数】设i 是虚数单位，若复数21ia i+-（a R ∈）是纯虚数，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2 【答案】B【解析】由题意： ()()()21212111i i ia a a i i i i ++=+=-+--+，满足题意时10a -=，解得： 1a =，故选B ．【变式2】【变求复数的实部为求含有参数的复数的虚部】已知复数13aiz i+=-是纯虚数（其中i 为虚数单位，a R ∈），则z 的虚部为（ ）A ．1B ．1-1C ．iD ．i - 【答案】A 【解析】()()3311310a a i ai z i -+++==-．∵复数13aiz i +=-是纯虚数，∴30a -=，∴z i =，∴z 的虚部为1，故选A ． （二）复数的几何意义例2 【2017课标Ⅲ】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】由题意：12z i =--，在第三象限. 所以选C ．【方法技巧归纳】复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．复数对应的点的坐标就是向量OZ 的坐标，对于复数()z a bi a b =+∈R ，，其对应的点的坐标是()a b ，． 【变式1】【变确定复数对应的点所在象限为确定共轭复数对应的点】已知复数z 满足()2112i z i -⋅=+，则在复平面内复数z 对应的点为（ ） A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】复数z 满足()2112i z i -⋅=+， ()()2212121221122221i i ii i z i i i i +++-+=====-+---, 112z i =--, 在复平面内复数z 对应的点为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故选A ．【变式2】【变为根据复数对应的点所在象限求参数】复数()11a R ai∈+在复平面内对应的点在第一象限，则a 的取值范围是（ ）A ．0a <B ．01a <<C ．1a >D ．1a <- 【答案】A【解析】由题意可得：2211111a i ai a a =-+++，满足题意时： 2210,011aa a>-<++，据此可得： a 的取值范围是0a <，故选A ． （三）复数的代数运算例3 【2017课标Ⅱ】(1i)(2i)++=（ ） A.1i - B.13i + C.3i + D.33i + 【答案】B【解析】由题意2(1)(2)2313i i i i i ++=++=+，故选B ．【方法技巧归纳】（1）把i 看作一个字母，复数的代数形式的四则运算类似于多项式的四则运算；（2）在只含有z 的方程中，z 类似于代数方程中的x ，可直接求解；（3）在含有,,,z z z 中至少两个的复数方程中，可设,z a bi a b =+∈R ，，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于,a b 的方程组，求出,a b ，从而得出复数z ．【变式1】【变乘法运算为除法运算】复数z 满足13434z ii i-=+-（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．75i -- B ．75i -+ C ．75i + D ．75i- 【答案】C【解析】（1）因为()()()()()134513473434345i ii i iz ii i -+-++===--+，故选C ． 【变式2】【变为乘法与除法混合运算】若复数12,z z 在复平面内对应的点关于x 轴对称，且112z i =+，则1122z z z z +⋅=___________． 【答案】22455i +【数学思想】1．方程思想的应用：在复数的概念、运算、几何意义中涉及到参数的求值问题，通常要通过建立方程（组）来解决；2．数形结合思想的应用：复数(),z a bi a b R =+∈与平面上的点(),Z a b 是一一对应的，因此有一些复数问题，可考虑其几何意义，将涉及到的相关问题转化为平面坐标系中点、线的位置关系问题，利用图形的直观性求解，如满足()2z a bi r -+=的点是复平面上以点(),a b 为圆心，以r 为半径的圆．【典例试题演练】1．【四川省成都市第七中学2018届高三上学期一诊模拟】复数2iz i+=（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A. 2- B. i C. 2i - D. 1 【答案】A【解析】复数()i 2i 2i 12i i i i-++==--⋅的虚部为2-，故选A. 2．【河南省豫南豫北2018届高三第二次联考联评】若原命题为：“若12,z z 为共轭复数，则12z z =”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ） A. 真真真 B. 真真假 C. 假假真 D. 假假假 【答案】C【解析】由题意得原命题为真，由于模相等的复数不一定共轭，所以逆命题为假命题，从而否命题为假命题，逆否命题为假命题。
2018高考一轮数学浙江专版练习第4章 第4节 数系的扩充
第四节 数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )平面向量OZ →＝(a ，b )．3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i. z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图4-4-1所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.图4-4-11．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)中，虚部为b i.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2. (教材改编)如图4-4-2，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()图4-4-2A．A B．BC．C D．DB[共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝()A．0 B．2C．2i D．2＋2iC[(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.]4．复数1＋2i2－i＝()A．i B．1＋i C．－i D．1－iA[法一：1＋2i2－i＝(1＋2i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝5i5＝i.法二：1＋2i2－i＝i(1＋2i)i(2－i)＝i(1＋2i)2i＋1＝i.]5．复数i(1＋i)的实部为________．－1[i(1＋i)＝－1＋i，所以实部为－1.](1)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i(2)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． (1)C (2)－2[(1)因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4i z z －1＝4i 4＝i.故选C. (2)由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.][规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解．[变式训练1] (1)(2017·嘉兴二次质检)已知i 为虚数单位，复数z ＝i2＋i的虚部为( )A ．－15B ．－25 C.15D.25(2)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝( )A.12B.22C.32D ．2(1)D (2)B [(1)复数z ＝i 2＋i ＝i (2－i )(2＋i )(2－i )＝1＋2i 5＝15＋25i ，则其虚部为25，故选D.(2)z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.]A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________.【导学号：51062150】(1)C (2)2 [(1)∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i ＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C. (2)∵(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，∴1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，∴ab ＝2.][规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．[变式训练2] (1)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i(2)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＝________. (1)D (2)1＋i [(1)由(1－i )2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ，故选D.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＝i 8＋i 1 009＝1＋i 4×252＋1＝1＋i.](1)数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i(1)A (2)A [(1)由题意知⎩⎨⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．(2)∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2,1)即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.][规律方法] 1.复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[变式训练3] (2017·湖州二次质检)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，bc ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i －i ，2i ＝0的复数z 对应的点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B [由题意得z ×2i －(1＋i)(－i)＝0，所以z ＝(1＋i )(－i )2i ＝－12－12i ，则z ＝－12＋12i 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，位于第二象限，故选B.][思想与方法]1．复数分类的关键是抓住z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的虚部：当b ＝0时，z 为实数；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，且b ≠0时，z 为纯虚数．2．复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．3．化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．[易错与防范]1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．两个虚数不能比较大小．3．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，应注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．4．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．课时分层训练(二十五)数系的扩充与复数的引入A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·宁波一模)在复平面内，复数(1＋3i)·i对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B[复数(1＋3i)i＝－3＋i在复平面内对应的点为(－3，1)，位于第二象限，故选B.]2．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝()A．－3 B．－2C．2 D．3A[(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.]3．若复数z＝21－i，其中i为虚数单位，则z－＝()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－iB[∵z＝21－i ＝2(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(1＋i)2＝1＋i，∴z－＝1－i.]4．设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝() A．1 B.2C.3D．2B[∵(1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]5．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0C [实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由z 2≥0，得⎩⎨⎧ab ＝0，a 2－b 2≥0，，则b ＝0，或a ，b 都为0，即z 为实数，故选项A 为真，同理选项B 为真；选项C 为假，选项D 为真．]6．若i 为虚数单位，图4-4-3中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )图4-4-3A ．EB ．FC ．GD ．HD [由题图知复数z ＝3＋i ，∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i. ∴表示复数z1＋i的点为H .] 7．已知复数z ＝1＋2i1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0D [z ＝1＋2i1－i ＝1＋2i (1＋i )2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019＝1×(1－z 2 020)1－z＝1－i 2 0201－i ＝1－i 4×5051－i＝0.]二、填空题8．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 5 [因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.] 9．已知a ∈R ，若1＋a i 2－i 为实数，则a ＝________. 【导学号：51062151】－12 [1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a 5i. ∵1＋a i 2－i为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12.] 10．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________． 3 [∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.] B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是 ( ) A ．z 21＝z 2 B ．|z 1|＝|z 2|C ．z 31－z 32＝1D ．z 1，z 2互为共轭复数C [依题意，注意到z 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A 正确；注意到|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；注意到z 1＝－12－32i ＝z 2，因此选项D 正确；注意到z 31＝z 21·z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C.] 2．设f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n(n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．无数个C [f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…， ∴集合中共有3个元素．]3．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________. 【导学号：51062152】3或6 [∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3， 解得m ＝6或m ＝3.]4．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i ，则z 1·z 2＝________.12＋32i [z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i ＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋32i.]。
2018高考数学一轮复习限时集训(二十九)数系的扩充与复数的引入理新人教A版 精品
限时集训(二十九) 数系的扩充与复数的引入(限时：45分钟 满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2018·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2018·新课标全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 43．已知f (x )＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面中复数f 1＋i3＋i对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．(2018·临汾模拟)复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－iD ．1＋i5．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2iD ．1＋2i6．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( ) A ．－25B ．－25iC.25D.25i 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2018·湖北高考)若3＋b i1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.8．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7＝________.9．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．计算：(1) －1＋i 2＋ii 3； (2) 1＋2i 2＋3 1－i 2＋i ；(3)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i 2； (4)1－3i 3＋i2. 11.实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴上方． 12．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z －1＋z 2是实数，求实数a 的值．答 案限时集训(二十九) 数系的扩充与复数的引入1．B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7．3 8.0 9.(1,2)10．解：(1) －1＋i 2＋i i 3＝－3＋i－i ＝ －1－3i.(2) 1＋2i 2＋3 1－i2＋i＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i 2－i 5＝15＋25i.(3)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i 2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (4)1－3i 3＋i 2＝ 3＋i －i 3＋i 2＝－i3＋i＝ －i 3－i 4＝－14－34i.11．解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解之得m ＝－1.(2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16. 解之得m ＝1.(3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0， 解之得m ＜－3或m ＞5.12．解：z －1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i＝a －13 a ＋5 a －1＋(a 2＋2a －15)i.∵z －1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0.解得a ＝－5或a ＝3. ∵分母a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.。
2018年高考理科数学数系的扩充与复数的引入100题(含答案解析)
2018年高考理科数学数系的扩充与复数的引入精编100题（含答案解析）1.复数z 满足z （1﹣i ）=﹣1﹣i ，则|z+2|=（ ）A ．3B ．1C ．D ． 2. 已知z 为复数z 的共轭复数，()1i 2i z -=，则z =（A ）1i --（B ）1i -+ （C ）1i -（D ）1i +3.如图，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则复数2z =（ ）．A ．34i --B ．54i +C ．54i -D ．34i - 4. 复数31i i +（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5. 复数421i i-=+（ ） A.13i + B.13i - C.13i -+ D.13i -- 6.若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞7.已知i 是虚数单位，若复数z 满足（1+i ）z=2i ，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣iD ．i8.设i 是虚数单位，，则实数a=（ ）A ．B ．C ．﹣1D ．1 9.已知复数（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标是（ ）A ．（3，3）B ．（﹣1，3）C ．（3，﹣1）D ．（﹣1，﹣3）10.已知复数z=i43i 34+-，则z 的共轭复数|z |=（ ） A ．5 B ．1C ．54D ． 53 11.若z=ii 43+，则|z|=（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5 12.复数z 满足（3+4i ）z=5﹣10i ，则=（ ）A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ． +2iD ．﹣2i 13.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ﹣2bi 与1+4i 互为共轭复数，则|a+bi|=（ ）A ．B ．C ．2D ． 14.i 表示虚数单位，则复数=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣15.设i 为虚数单位，则(－1+2i)(2－i)=（ ）A ．5iB ．－5iC ．5D ．-516.计算： i21)i 1)(i 2(2--+=（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．2i D ．﹣2i17. 复数i1i 13--（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．iB ．1C ．﹣iD ．﹣1 18.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ﹣i 与2+bi 互为共轭复数，则（a+bi ）2=（ ）A ．5﹣4iB ．5+4iC ．3﹣4iD ．3+4i19.设复数z 1=23+21i ，z 2=3+4i ，其中i 为虚数单位，则|z ||z |220161=（ ） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 20. 若i是虚数单位，复数的虚部为（ ）A．B． C． D． 21. 已知复数z 满足z=1+i （i 为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i22.在复平面内，复数（i 是虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限23.欧拉公式e ix =cosx+isinx （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e ﹣i表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限24.复数z=（3+2i ）2（i 为虚数单位），则在复平面上z的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限25.已知复数z满足（z+1）•i=1﹣i，则z=（）A．﹣2+i B．2+i C．﹣2﹣i D．2﹣i26.复数z满足z（3i﹣4）=25（i是虚数单位），则z的共轭复数=（）A．4+3i B．4﹣3i C．﹣4+3i D．﹣4﹣3i27.i为虚数单位，则=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．128.复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A．3 B．﹣3 C．﹣3i D．229.已知x，y∈R，i为虚数单位，若1+xi=（2﹣y）﹣3i，则|x+yi|=（）A． B． C．3 D．30.设2ii(,)12ix y x y+=+∈+R，则ix y+=（）．A．1BC D．231.若复数z满足（1﹣z）（1+2i）=i，则在复平面内表示复数z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限32.复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限33.设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i34.若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）35.复数的共扼复数是（）A．﹣ +i B．﹣﹣i C．﹣i D． +i36.复数的虚部（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣137.设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|（1﹣z）•|=（）A．B．2 C． D．138.设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i39.在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i40.复数z满足z（1﹣i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限41.复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限42.已知z=（m﹣3）+（m+1）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）43.已知122iia bi+=-+（i为虚数单位，a，b R∈），在||a bi-=（）A．i-B．1C．2D44.设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（）45.复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限46.当＜m＜1时，复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限47.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限48.若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限49.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限50.已知i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）=1+i，则z的共轭复数是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i51.设i是虚数单位，若，则复数z的虚部是（）A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i52.若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数m等于（）A．﹣1 B．C．D．153.若z=1﹣i，则复数z+z2在复平面上对应的点的坐标为（）A．（1，﹣3）B．（﹣3，1）C．（1，1）D．（﹣1，1）54.设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B． C． D．255.已知复数z满足=1﹣i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣156.已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A．B． i C．﹣D．﹣ i57.已知复数Z=（i是虚数单位），则复数Z的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．D．58.若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限59.复数等于（）A．4 B．﹣4 C．4i D．﹣4i60.复数z=的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限61.已知复数z=，则z的共轭复数的虚部为（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i62.是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i63.如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数z2=（）A ．﹣3﹣4iB ．5+4iC ．5﹣4iD ．3﹣4i 64.复数在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限65.复数z 满足：（3﹣4i ）z=1+2i ，则z=（ ）A ．i 5251+-B ．i 5251-C ．i 5251--D ．i 5251+ 66. 若复数ii 32z +-=，i 是虚数单位，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限67.已知△ABC 中内角A 为钝角，则复数（sinA ﹣sinB ）+i （sinB ﹣cosC ）对应点在（ ）A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限68.复数+i 的共轭复数的虚部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i69.若复数z 满足z （﹣1+2i ）=|1+3i|2，（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限70.已知复数z 满足（1+i ）z=2i （i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限71.己知复数z=cos θ+isin θ（i 是虚数单位），则=（ ）A ．cos θ+isin θB ．2cos θC ．2sin θD ．isin2θ 72.已知=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|=（ ）A ．3B ．2C ．5D ．73.已知x ∈R ，i 为虚数单位，若为纯虚数，则x 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣274.已知复数，则的虚部为（ ）A ．﹣3B ．3C ．3iD ．﹣3i75.若复数z 满足i i43+=i 1z+，则z 等于（ ）A ．7+iB ．7﹣iC ．7+7iD ．﹣7+7i76.设z=1+i （i 是虚数单位），则=（ ）A ．2﹣2iB ．2+2iC ．﹣3﹣iD ．3+i77.已知复数为纯虚数，那么实数a=（ ）A ．﹣1B ．C ．1D ．78.已知复数z 满足：i 1i 2i )i 1(z 3-=-+则复数z 的虚部为（） A ．i B ．﹣i C ．1 D ．﹣179.计算+（2﹣i ）2等于（ ）A ．4﹣5iB ．3﹣4iC ．5﹣4iD ．4﹣3i80.若复数，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限81.复数的共轭复数在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限82.设复数z 满足（1+i ）•z=1﹣2i 3（i 为虚数单位），则复数z 对应的点位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限83.若复数z 1=a+i （a ∈R ），z 2=1﹣i ，且21z z 为纯虚数，则z 1在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题 84.复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=-，则12z z 实部的最大值__________，虚部的最大值__________．85.设a ∈R ，若复数(1i)(+i)a +在复平面内对应的点位于实轴上，则a =__________． 86.设a ∈R ，若i(1i)2i a +=+，则a =__________．87.已知复数z 满足（1+i ）z=2，则z= ．88.复数z=i12-，（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 ． 89.依次填人下面一段文字横线处的语句，衔接最恰当的一组是（3分）如果说河对岸的草原上万籁无声， ,使所有的色调融合为浑然一体, 使所有的声音汇成合唱，那是多么奇伟的声音，多么壮观的景象!①各种声响使这荒野的世界充满一种亲切而粗犷的和谐 ②鸟喙击橡树干的笃笃声 ③可是，当微风吹进丛林，摇晃这些飘浮的物体，使白色、蓝色、绿色的生物混杂交错④野兽穿越丛林的沙沙声 ⑤动物吞啮食物或咬碎果核的咂咂声⑥河这边却是一片骚动和聒噪A.③①⑥⑤②④ B ．⑥②③⑤①④ C.⑥②④⑤①③ D ．③②①④⑤⑥90.已知z 1=a+3i ，z 2=3﹣4i ，若21z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ． 91.已知复数z=（5+2i ）2（i 为虚数单位），则z 的实部为 ．92.复数所对应的点在复平面内位于第 象限． 93.设i 为虚数单位，复数，则|z|= ． 94.设i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 的值为 ．95. 设复数z 1=2+ai ，z 2=2﹣i （其中a ＞0，i 为虚数单位），若|z 1|=|z 2|，则a 的值为 ． 96.若复数z 满足z （1﹣i ）=2i （i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z = ． 97.计算：|3﹣i|= ，i3i 10 = ．三、解答题（ 98.复数z=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限99.已知复数，又，而u 的实部和虚部相等，求u ．100.已知关于x 的方程x 2+4x+p=0（p ∈R ）的两个根是x 1，x 2．（1）若x 1为虚数且|x 1|=5，求实数p 的值；（2）若|x 1﹣x 2|=2，求实数p 的值．答案1.D【考点】复数求模．【分析】化简z （1﹣i ）=﹣1﹣i ，z=﹣i ，从而解得．【解答】解：∵z （1﹣i ）=﹣1﹣i ，∴z （1﹣i ）（1+i ）=﹣（1+i ）2，∴2z=﹣2i ，∴z=﹣i ，∴z+2=2﹣i ，∴|z+2|=， 故选：D ，2.A【命题意图】本小题主要考查复数的运算、共轭复数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算． 【试题简析】因为22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+，所以1z i =--，故选（A ）. 【错选原因】错选B ：求出1z i =-+，忘了求z ；错选C ：错解1i z =+；错选D ：错解1i z =-.3.D由题意2i z =-+，所以222(2i)4i 4i=34i z =-+=+--．故选D ．4.B 复数31i i(1i)1i i +=+=-+，其在复平面上对应的点为(1,1)-，该点位于第二象限． 故选B ．5.B6.C复数(1i)(i)a -+，2i i i a a =-+-，(1)(1)i a a =++-，对应点(1,1)a a +-在第四象限，1010a a +>⎧⎨-<⎩， 解出1a >．故选C ．7.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1+i ）z=2i ，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i ）z=2i ，得=， 则z 的虚部是：1．故选：A ．8.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案． 【解答】解：由===，得，解得a=﹣．故选：A ．9.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、复数的几何意义即可得出．【解答】解：∵复数==（1+2i ）（1+i ）=﹣1+3i ，则z 的共轭复数=﹣1﹣3i在复平面内对应点的坐标是（﹣1，﹣3）．故选：D．10.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．【解答】解：∵z==，∴，则||=|i|=1．故选：B．11.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解： =，则|z|=．故选：D．12. B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（3+4i）z=5﹣10i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简z，则的答案可求．【解答】解：由（3+4i）z=5﹣10i，得=，则=﹣1+2i．故选：B．13.D【考点】复数求模．【分析】利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义即可得出【解答】解：∵a﹣2bi与1+4i互为共轭复数，∴a=1，﹣2b+4=0，解得a=1，b=2．∴|a+bi|=|1+2i|==．故选：D14.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解： =，故选：D．15.Ai i i. 故选A.-+-=(12)(2)516.A【分析】先求出（1﹣i）2的值，代入所求式子，利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质进行化简．【解答】解： ===2，故选 A．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．17.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵ =，∴复数的虚部是1．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．18.D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．19.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知求出，在求出|z2|，代入得答案．【解答】解：∵，∴，∵z2=3+4i，∴|z2|=5，∴=．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．20.D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：复数===+i，∴复数的虚部为，故选：D．21.A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知求得，则答案可求．【解答】解：∵z=1+i，∴，则复数z的共轭复数的虚部为﹣1．故选：A．22.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解： =，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第四象限．故选：A．23.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由欧拉公式e ix=cosx+isinx，可得e﹣i=cos（﹣1）+isin（﹣1），结合三角函数的符号，即可得出结论．【解答】解：由欧拉公式e ix=cosx+isinx，可得e﹣i=cos（﹣1）+isin（﹣1），∵cos（﹣1）＞0，sin（﹣1）＜0，∴e﹣i表示的复数在复平面中位于第四象限．故选D．【点评】本题考查欧拉公式，考查三角函数知识，比较基础．24.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=（3+2i）2=9﹣4+12i=5+12i，则在复平面上z的共轭复数=5﹣12i对应的点（5，﹣12）位于第四象限．故选：D．25.C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵（z+1）•i=1﹣i，∴（z+1）•i•（﹣i）=﹣i•（1﹣i），化为z+1=﹣i﹣1∴z=﹣2﹣i．故选：C．26.C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z（3i﹣4）=25，∴z（3i﹣4）（﹣3i﹣4）=25（﹣3i﹣4），∴z=﹣4﹣3i则z的共轭复数=﹣4+3i．故选：C．27.A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入计算得答案．【解答】解：，则=i2007=（i4）501•i3=﹣i．故选：A．28.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：z==，复数z=（i为虚数单位）的虚部为：﹣3．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．29.D【分析】由复数相等的条件求出x，y的值，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由1+xi=（2﹣y）﹣3i，得，解得．∴|x+yi|=．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．30.A∵2i(2i)(12i)43i43i 12i(12i)(12i)555--===--++++，∴|1x y+，∴选择A．31.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数，求出对应点的坐标即可．【解答】解：复数z满足（1﹣z）（1+2i）=i，可得1﹣z===，z=，复数的对应点的坐标（，﹣）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．32. B【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数的几何意义即可得出．【解答】解： ==在复平面上对应的点位于第二象限．故选：B．33.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z=1+i，∴z2=2i，则+z2===1﹣i+2i=1+i，故选：A．34.C【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出．【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．35.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==的共扼复数是+i．故选：D．36.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣i的虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．37.A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】给出z=﹣1﹣i，则，代入整理后直接求模．【解答】解：由z=﹣1﹣i，则，所以=．故选A．38.C【考点】A6：复数代数形式的加减运算．【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，∴z=3﹣2i，∴=3+2i，故选：C39.A【考点】复数的基本概念．【分析】由复数z对应的点是Z（1，﹣2），得z=1﹣2i，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：由复数z对应的点是Z（1，﹣2），得z=1﹣2i．则复数z的共轭复数=1+2i．故选：A．40.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：z（1﹣i）=|1+i|，∴z（1﹣i）（1+i）=（1+i），∴z=+i，则复数z的共轭复数+i在复平面内的对应点位于第四象限．故选：D．41.B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数====+i在复平面内对应的点（，）位于第二象限．故选：B．42.B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=（m﹣3）+（m+1）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣3＜0，m+1＞0，解得﹣1＜m＜3．则实数m的取值范围是（﹣1，3）．故选：B．43.B试题分析：由122iia bi+=-+得()()()()12212222i iia bi ii i i++++===--+，所以||1a bi-=，故选B.考点：复数的运算.44.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数（2﹣i）z=1+i，∴（2+i）（2﹣i）z=（2+i）（1+i），∴z=则z的共轭复数=﹣i在复平面中对应的点在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．45.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解： =，则复数在复平面上对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．46.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】当＜m＜1时，复数z的实部3m﹣2∈（0，1），虚部m﹣1∈．即可得出．【解答】解：当＜m＜1时，复数z的实部3m﹣2∈（0，1），虚部m﹣1∈．复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点（3m﹣2，m﹣1）位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、不等式的性质、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．47.D【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），从而得出结论．【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故选D．48.B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】化简复数，根据纯虚数的定义求出a的值，写出复数2a+2i对应复平面内点的坐标，即可得出结论．【解答】解：复数==（a+1）+（﹣a+1）i，该复数是纯虚数，∴a+1=0，解得a=﹣1；所以复数2a+2i=﹣2+2i，它在复平面内对应的点是（﹣2，2），它在第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的化简与代数运算问题，也考查了纯虚数的定义与复平面的应用问题，是基础题．49.B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解： ==，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．50.D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由z（1﹣i）=1+i，得，则z的共轭复数是：﹣i．故选：D．51.C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解： =，则复数z的虚部是：﹣1．故选：C．52.D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求得m值．【解答】解：∵为纯虚数，∴，得m=1．故选：D．53.A【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把z=1﹣i代入z+z2，然后利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=1﹣i，∴z+z2=1﹣i+（1﹣i）2=1﹣i﹣2i=1﹣3i，则复数z+z2在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣3）．故选：A．54.A【考点】A8：复数求模．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．55.A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z满足=1﹣i，∴z=﹣1+2i（1﹣i）=1+2i，∴z的虚部为2．故选：A．56.A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得Z后得答案．【解答】解：由==，得，∴复数Z的虚部是．故选：A．57.D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数Z得答案．【解答】解：Z==，则复数Z的共轭复数是：．故选：D．58.A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，可得z==1﹣i，复数对应点为（1，﹣1），在复平面内z的共轭复数对应的点（1，1）．故选：A．59.B【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】由完全平方公式，知=，由此利用虚数单位的性质能够求出结果．【解答】解： ==﹣1﹣2﹣1=﹣4，故选B．60.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z===的共轭复数为在复平面上对应的点为在第四象限．故选：D．61.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z===1+i．复数z=，则z的共轭复数1﹣i的虚部为﹣1．故选：A．62.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由题，先求出z﹣=﹣2i，再与z+=2联立即可解出z得出正确选项．【解答】解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①又z+=2 ②由①②解得z=1﹣i故选D．63.D【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】在复平面内，点A对应的复数为z=﹣2+i，再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：在复平面内，点A对应的复数为z=﹣2+i，则复数z2=（﹣2+i）2=3﹣4i．故选：D．64.C【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】根据题意，由复数的计算公式可得==﹣﹣i，进而由复数的几何意义可得该复数对应的点的坐标，即可得答案．【解答】解：根据题意， ==﹣﹣i，则该复数对应的点为（﹣，﹣），对应点在第三象限；故选：C．65.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵（3﹣4i）z=1+2i，∴（3+4i）（3﹣4i）z=（3+4i）（1+2i），∴25z=﹣5+10i，则z=﹣+i．故选：A．66.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z==3+2i，则z的共轭复数=3﹣2i在复平面内对应的点（3，﹣2）在第四象限．故选：D．67.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】①△ABC中内角A为钝角，可得A＞B，A=π﹣（B+C），∴sinA﹣sinB=sin（B+C）﹣sinB，根据A为钝角，可得0＜B＜B+C＜，利用正弦函数的单调性即可得出sinA﹣sinB＞0．②由0＜B+C＜，可得0＜B＜﹣C，可得sinB＜sin（﹣C）=cosC．即可复数（sinA﹣sinB）+i（sinB﹣cosC）对应点（sinA﹣sinB，sinB﹣cosC）在第四象限．【解答】解：①∵△ABC中内角A为钝角，∴A＞B，A=π﹣（B+C），∴sinA﹣sinB=sin[π﹣（B+C）]﹣sinB=sin（B+C）﹣sinB，∵A为钝角，∴0＜B＜B+C＜，∴sin（B+C）＞sinB，即sin（B+C）﹣sinB＞0，则sinA﹣sinB＞0．②∵0＜B+C＜，∴0＜B＜﹣C，∴sinB＜sin（﹣C）=cosC，∴sinB＜cosC，∴复数（sinA﹣sinB）+i（sinB﹣cosC）对应点（sinA﹣sinB，sinB﹣cosC）在第四象限．故选：D．68.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数+i得答案．【解答】解： +i=，则复数+i的共轭复数的虚部是：﹣1．故选：B．69.C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：由z（﹣1+2i）=|1+3i|2，得=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（﹣2，﹣4），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．70.A【考点】复数的基本概念．【分析】由复数的除法运算化简复数z，得到对应点的坐标得答案．【解答】解：由，得=．∴z在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点．故选：A．71.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】z=cosθ+isinθ代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=cosθ+isinθ，∴====．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了三角函数的化简求值，是基础题．72.D【考点】复数求模．【分析】通过复数的相等求出a、b，然后求解复数的模．【解答】解： =1﹣bi，可得a=1+b+（1﹣b）i，因为a，b是实数，所以，解得a=2，b=1．所以|a﹣bi|=|2﹣i|==．故选：D．73. C【考点】复数的基本概念．【分析】对已知式子分子分母同乘以i，可得（2﹣x）﹣i，由纯虚数的定义可得其实部2﹣x=0，解之可得答案．【解答】解： ==（x﹣2）i2﹣i=（2﹣x）﹣i由纯虚数的定义可得2﹣x=0，故x=2故选C74.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，求得后得答案．【解答】解：由=，得，∴的虚部为3．故选：B．75.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解： =，∴z==7+i，故选：A76.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出．【解答】解： ==+1﹣i=1﹣i+1﹣i=2﹣2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．77.C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数==为纯虚数，∴a﹣1=0，1+a≠0，解得a=1．故选：C．78.C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．【解答】解：∵，∴z（1+i）（﹣i）=（2﹣i）（1﹣i），∴z（1﹣i）=1﹣3i，∴z（1﹣i）（1+i）=（1﹣3i）（1+i），∴2z=4﹣2i，∴z=2﹣i．则复数=2+i的虚部为1．故选：C．79.A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】同乘分母共轭复数，（2﹣i）2去括号，化简即可．【解答】解： +（2﹣i）2=﹣i（1+i）+4﹣1﹣4i=4﹣5i，故选：A．80.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），在第四象限．故选：D．81.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数除法法则，算出z=的值，结合共轭复数的定义找到的值，再根据复数的几何意义，不难找到在复平面内的对应点所在的象限．【解答】解：∵z1=3+i，z2=1﹣i∴复数z===（3+3i+i+i2）=1+2i因此z的共轭复数=1﹣2i，对应复平面内的点P（1，﹣2），为第四象限内的点故选D。
[推荐学习]2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的
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2018版高考数学一轮总复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 数系的扩充与复数的引入模拟演练 文[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2B ． 3C ． 2D ．1答案 B解析 解法一：由已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|1－a i|＝2.∴1＋a 2＝2.∵a >0，∴a ＝ 3.解法二：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝|a ＋i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝ 3. 2．[2016·北京高考]复数1＋2i2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i答案 A 解析 1＋2i 2－i＝＋＋2－i2＋i＝2＋i ＋4i ＋2i 24－i 2＝5i 5＝i ，故选A. 3．[2016·全国卷Ⅲ]若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i答案 C解析 ∵z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4i z z －1＝4i4＝i ，故选C.4．[2015·湖南高考]已知－2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 D 解析 由－2z＝1＋i ，得z ＝－21＋i＝－2i 1＋i ＝－－1＋i 1－i＝－1－i. 5．[2017·安徽模拟]设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 A解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ·z i ＋2＝2z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，所以2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i.6．[2016·天津高考]i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________． 答案 1解析 ∵z ＝21＋i＝1－i ，∴z 的实部为1.7．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.答案5解析 ∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，0＝1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋－2＝ 5.8．[2014·湖南高考]满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数是________． 答案 12－i2解析 由已知得z ＋i ＝z i ，则z (1－i)＝－i ， 即z ＝－i1－i＝－＋－＋＝1－i 2＝12－i2. 9．[2017·金华模拟]已知z ∈C ，解方程z ·z －－3i z －＝1＋3i.解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i.根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.10．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝b i －－1＋i 1－i＝b －＋b ＋2＝b －22＋b ＋22i.又因为z －21＋i 是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0.解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．复数z 为实数的充分不必要条件是( ) A ．z ＝z B ．|z |＝z C ．z 2为实数 D ．z ＋z 为实数答案 B解析 z ＝z ⇔z ∈R .|z |＝z ⇒z ∈R ，反之不行，例如z ＝－2.z 2为实数不能推出z ∈R ，例如z ＝i.对于任何z ，z ＋z 都是实数．故选B.12．复数m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i ，设在复平面内对应的点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －2，y ＝m －1，消去m 得x －3y －1＝0，因为直线x －3y －1＝0经过第一、三、四象限，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选B.13．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．答案3解析 ∵|z －2|＝x －2＋y 2＝ 3∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmax ＝31＝ 3. 14．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解 存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， 则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2i. 又z ＋3＝a ＋3＋b i 实部与虚部互为相反数，z ＋5z是实数，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ⎝⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。
高考文数考点解析 数系的扩充与复数的引入
数系的扩充与复数的引入一、选择题1.(2018·全国卷I高考理科·T1) 同(2018·全国卷I高考文科·T2)设z=+2i,则= ()A.0B.C.1D.【解析】选C.因为z=+2i=+2i=+2i=i,所以|z|==1.2.(2018·全国卷II高考理科·T1)= ()A.--iB.-+IC.--iD.-+i【命题意图】本题考查复数的运算与性质,重在考查基本运算求解能力,难度较小.【解析】选D.===-+i.3.(2018·全国卷II高考文科·T1)i= ( )A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i【命题意图】本题考查复数的乘法运算,重在考查基本运算求解能力,难度较小.【解析】选D.i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T2)同 (2018·全国Ⅲ高考文科·T2)=() A.-3-i B.-3+I C.3-i D.3+i【命题意图】本题考查复数的乘法运算,考查运算求解能力,体现了数学运算的核心素养.试题难度:易.【解析】选D.(1+i)(2-i)=2-i2-i+2i=3+i.5.(2018·北京高考理科·T2)同 (2018·北京高考文科·T2)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【命题意图】本小题主要考查共轭复数与复数的几何意义,意在考查代数与几何的转化以及基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】选D.复数z=====+i,所以z的共轭复数=-i,对应的点为,位于第四象限.6.(2018·浙江高考T4)复数(i为虚数单位)的共轭复数是()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【命题意图】考查复数的运算及共轭复数的概念.【解析】选B.===1+i,所以其共轭复数为1-i.7.(2018·天津高考理科·T9)同 (2018·天津高考文科·T9)i是虚数单位,复数=.【命题意图】本题考查复数的概念以及复数的四则运算法则,考查学生的运算能力.【解析】===4-i.答案:4-i8.(2018·江苏高考·T2)若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为.【解析】设z=a+b i,则i·(a+b i)=a i+b i2=a i-b=1+2i,故a=2,b=-1,故z=2-i,实部为2.答案:2。
【数学】2014-2018年高考数学(理)五年真题分类第十六章数系的扩充与复数的引入
1＝ 2＋ i，则 12
27.(2014 天·津， 1)i 是虚数单位，复数
7＋i ＝( 3＋ 4i
)
A.1 －i
B.－ 1＋ i
C.
1275＋
31 25i
D.
－
177＋
25 7i
27.A
[
7＋ i 3＋4i
＝
（ 7＋ i）（ 3－ 4i） （ 3＋ 4i）（ 3－ 4i）
＝
25－ 25i 25
＝
1－
ab=________ ． 36. 5 ； 2 a、 b∈ R，（ a+bi） 2=3+4i （i 是虚数单位） ，∴ 3+4i=a2﹣ b2+2abi ，
32.(2014 广·东， 2)已知复数满足 (3＋ 4i) ＝25，则＝ ( )
A. － 3＋ 4i B. － 3－ 4i C.3＋ 4i D.3 － 4i
32.D
[(3 ＋4i) ＝ 25?
＝
25 3＋ 4i
＝（
25（ 3－ 3＋ 4i）（
4i ） 3－4i
）
＝
3－
4i.
选
D.]
6+7 i
33．（ 2018 天津， 9） i 是虚数单位，复数
1 的共轭复数对应的点位于
1-??
(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
1
1+??
11
11
11
5.D
=
= + ?的? 共轭复数为 - ?，? 对应点为 ( , - ) ，在第四象限，故选 D.
1-?? (1-??)(1+??) 2 2
【高考复习】2018年高考数学总复习：第5章第4讲 数系的扩充与复数的引入(含解析)
第4讲 数系的扩充与复数的引入最新考纲 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知 识 梳 理1.复数的有关概念复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ→.3.复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic 2＋d 2(c ＋d i ≠0).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A.－3B.－2C.2D.3解析 因为(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ，所以a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3，故选A. 答案 A3.(选修2－2P112A2改编)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i解析 ∵A (6，5)，B (－2，3)，∴线段AB 的中点C (2，4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i. 答案 C4.(2015·全国Ⅱ卷)若a 为实数，且2＋a i 1＋i ＝3＋i ，则a 等于( )A.－4B.－3C.3D.4解析 由2＋a i1＋i＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.故选D. 答案 D5.已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析 ∵z ＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝10－5i5＝2－i ， ∴z ＝2＋i. 答案 2＋i6.(2017·温州调研)设a ∈R ，若复数a ＋i1＋i (i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＝________，|z |＝________. 解析 复数a ＋i 1＋i ＝（a ＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝a ＋1＋（1－a ）i 2，由于复数a ＋i1＋i(i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则a ＋1＝1－a ，解得a ＝0，则z ＝12－12i ，则|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.答案 0 22考点一 复数的有关概念【例1】 (1)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A.iB.－iC.1D.－1(2)(2017·东阳中学期末)设i 是虚数单位，复数a ＋i2－i 是纯虚数，则实数a ＝( )A.2B.12C.－12D.－2解析 (1)因为i 607＝(i 2)303·i ＝－i ，－i 的共轭复数为i.所以应选A. (2)∵a ＋i 2－i＝（a ＋i ）（2＋i ）5＝（2a －1）＋（a ＋2）i5是纯虚数，∴2a －1＝0且a ＋2≠0，∴a ＝12，故选B. 答案 (1)A (2)B规律方法 (1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部. 【训练1】 (1)(2016·河南六市联考)如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( ) A.－6B.23C.－23D.2(2)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析 (1)由2－b i 1＋2i＝（2－b i ）（1－2i ）5＝2－2b －（b ＋4）i5，由2－2b ＝b ＋4，得b ＝－23.(2)因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－b 2i 2＝a 2＋b 2＝3. 答案 (1)C (2)3 考点二 复数的几何意义【例2】 (1)(2014·全国Ⅱ卷)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A.－5B.5C.－4＋iD.－4－i(2)(2016·全国Ⅱ卷)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A.(－3，1) B.(－1，3) C.(1，＋∞)D.(－∞，－3)解析 (1)由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，故选A.(2)由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限得⎩⎨⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1，故选A.答案(1)A(2)A规律方法因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.【训练2】(1)(2016·邯郸一中月考)复数z＝i(1＋i)在复平面内所对应点的坐标为()A.(1，1)B.(－1，－1)C.(1，－1)D.(－1，1)(2)(2016·北京卷)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.解析(1)因为z＝i(1＋i)＝－1＋i，故复数z＝i(1＋i)在复平面内所对应点的坐标为(－1，1)，故选D.(2)(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1.答案(1)D(2)－1考点三复数的运算【例3】(1)(2016·全国Ⅲ卷)若z＝1＋2i，则4iz z－1＝()A.1B.－1C.iD.－i(2)(2015·全国Ⅱ卷)若a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，则a＝()A.－1B.0C.1D.2解析(1)4izz－1＝4i（1＋2i）（1－2i）－1＝i.(2)因为a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.答案(1)C(2)B规律方法(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.(2)记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i；②1＋i1－i＝i；③1－i1＋i＝－i；④a＋b ii＝b－a i；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).【训练3】 (1)(2016·北京卷)复数1＋2i2－i ＝( )A.iB.1＋iC.－iD.1－i(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)1＋2i 2－i ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝2＋i ＋4i ＋2i 24－i 2＝5i 5＝i ，故选A.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)A (2)－1＋i[思想方法]1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. [易错防范]1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比较大小.3.注意复数的虚部是指在a ＋b i(a ，b ∈R )中的实数b ，即虚部是一个实数.基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.(2015·福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( )A.3，－2B.3，2C.3，－3D.－1，4解析 (1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，∴a ＝3，b ＝－2，故选A. 答案 A2.(2016·四川卷)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A.0B.2C.2iD.2＋2i解析 (1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，故选C. 答案 C3.(2016·山东卷)若复数z ＝21－i，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i解析 ∵z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选B.答案 B4.(2015·安徽卷)设i 为虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( ) A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝3＋i. 答案 C5.复数1－i 2－i 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 复数1－i 2－i ＝（1－i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝35－15i ，∴其对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限，故选D. 答案 D6.(2017·北京东城综合测试)若复数(m 2－m )＋m i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.－1B.0C.1D.2解析 因为复数(m 2－m )＋m i 为纯虚数，所以⎩⎨⎧m 2－m ＝0，m ≠0，解得m ＝1，故选C. 答案 C7.已知复数z＝1＋2i2－i(i为虚数单位)，则z的虚部为()A.－1B.0C.1D.i解析∵z＝1＋2i2－i＝（1＋2i）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝5i5＝i，故虚部为1.答案 C8.设z是复数，则下列命题中的假命题是()A.若z2≥0，则z是实数B.若z2＜0，则z是虚数C.若z是虚数，则z2≥0D.若z是纯虚数，则z2＜0 解析举反例说明，若z＝i，则z2＝－1＜0，故选C.答案 C9.(2015·全国Ⅰ卷)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i解析由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.答案 C10.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A.若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B.若z1＝z2，则z1＝z2C.若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D.若|z1|＝|z2|，则z21＝z22解析A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z1＝z2，成立.B中，z1＝z2，则z1＝z2成立.C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z1z1＝z2z2，C正确.D不一定成立，如z1＝1＋3i，z2＝2，则|z1|＝2＝|z2|，但z21＝－2＋23i，z22＝4，z21≠z22.答案 D11.(2017·浙江省三市联考)若复数z＝a＋3ii＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是()A.－4B.－3C.1D.2解析因为z＝a＋3ii＋a＝(3＋a)－a i在复平面上对应的点在第二象限，所以a<－3，选A.答案 A12.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A.1B. 2C. 3D.2解析 由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎨⎧x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B. 答案 B 二、填空题13.(2016·江苏卷改编)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________；z 的虚部是________.解析 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5，虚部为5. 答案 5 514.(2015·四川卷)设i 是虚数单位，则复数i －1i ＝________. 解析 i －1i ＝i －ii 2＝2i. 答案 2i15.(2015·江苏卷)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________. 解析 设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，a ，b ∈R ，则⎩⎨⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4(a ，b ∈R )，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－1，则z ＝±(2＋i)，故|z |＝ 5. 答案 516.(2017·丽水质测)若3＋b i1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＝________；b ＝________. 解析3＋b i 1－i＝（3＋b i ）（1＋i ）2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b 2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－b2，b ＝3＋b 2，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.答案 0 3能力提升题组 (建议用时：20分钟)17.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i 的点是( )A.EB.FC.GD.H解析 由题图知复数z ＝3＋i ，∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i 2＝2－i.∴表示复数z1＋i 的点为H .答案 D18. z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i解析 法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i. 又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i. 答案 D19.(2014·全国Ⅰ卷)设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C.32D.2解析 ∵z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，故选B.答案 B20.(2017·温州月考)已知复数z ＝(cos θ－isin θ)·(1＋i)，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是( )A.θ＝π4B.θ＝π2C.θ＝3π4D.θ＝5π4解析 因为z ＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i ，所以当θ＝3π4时，z ＝－2i 为纯虚数，当z 为纯虚数时，θ＝k π－π4.故选C.答案 C21.(2017·哈尔滨六中期中)若复数z 满足i·z ＝－12(1＋i)，则z 的共轭复数的虚部是( )A.－12iB.12iC.－12D.12解析 i·z ＝－12(1＋i)⇒z ＝－12（1＋i ）i ＝－12（1＋i ）·i i·i ＝12(－1＋i)，则z 的共轭复数z ＝12(－1－i)，其虚部是－12.答案 C22.(2017·绍兴月考)i 是虚数单位，若2＋i 1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( )A.－2B.－1C.0D.12 解析 ∵（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋b i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b )＝lg 1＝0. 答案 C23.下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题： p 1：|z |＝2; p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i; p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( )A.p 2，p 3B.p 1，p 2C.p 2，p 4D.p 3，p 4解析 ∵z ＝2－1＋i ＝－1－i ， ∴|z |＝（－1）2＋（－1）2＝2，∴p 1是假命题；∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题；∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题；∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题.其中的真命题共有2个：p 2，p 4.答案 C24.(2017·广州综合测试)若1－i(i 是虚数单位)是关于x 的方程x 2＋2px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个解，则p ＋q ＝( )A.－3B.－1C.1D.3 解析 依题意得(1－i)2＋2p (1－i)＋q ＝(2p ＋q )－2(p ＋1)i ＝0，即⎩⎨⎧2p ＋q ＝0，p ＋1＝0，解得p ＝－1，q ＝2，所以p ＋q ＝1，故选C.答案 C25.复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________. 解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23 26.设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________. 解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 327.(2017·杭州调研)已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x 的最大值为________；最小值为________.解析 ∵|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min＝－ 3. 答案 3 － 328.定义运算＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝，则y ＝________. 解析 因为x ＝1－i 1＋i ＝（1－i ）22＝－i. 所以y ＝＝＝－2. 答案 －2。
浙江版2018年高考数学一轮复习专题5.5数系的扩充和复数的引入练20171128395
第05节数系的扩充和复数的引入A基础巩固训练1.已知集合A {1,i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）1B．i4A C．1i A．Ai 1i A D．|i | A【答案】C 【解析】1 i1(1)2i i i2i A,所以选项A错；i41A，所以选项B错；i A1i (1i )(1i)2，所以C正确；|i |1A，选项D错，故选C.2.如图，复平面上的点Z1,Z2,Z3,Z4到原点的距离都相等，若复数z所对应的点为Z，则复1数z i（i是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（）A．Z B．1Z C．2Z D．Z34【答案】B3.复数z 满足zi2i5，则z （）A．22i B．22i C．22i D．22i 【答案】D【解析】5z i 2 i5 zi 2 2i2 i，选 D.4.已知复数 z (1 i )(1 ai ) 是实数，则实数 a 的值为（）- 1 -A ．1B ．0C ．-1D ．1【答案】A 【解析】z (1 i )(1ai ) (1 a ) (1 a )i是实数，所以1a 0,a 1，选 A.5.已知i 是虚数单位，则 z = i 1- 2i在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】B 能力提升训练1. 6.已知 a 为实数，若复数 z (a29) (a 3)i 为纯虚数，则 ai 19 1i的值为 ()A.1 2i B ．1 2i C ．1 2i D ．1 2i【答案】B 【解析】2 9 0a因为复数 z (a 2 9) (a 3)i 为纯虚数，所以,a 3a 3 0，，所以a i 19 3i (3i )(1i )1 2i，故选 B ．1i1i 2 2.若复数 z 满足1iz 1i （i 为虚数单位），则 z（）A ． 2B ．2 2C ．2D ．1 【答案】D 【解析】1i 1i z1i 1i ,2z2i , zi , z 1.3.已知i 为虚数单位， aR ，若1ia为纯虚数，则复数 z (2a1) 2i 的模等于（ ）iA．2B．3C．6- 2 -D ． 11 【答案】D 【解析】 当 a1时， 1ii，故 z3 2i 11 .a i4.设复数 z 满足2 i z 5i （i 为虚数单位），则复数 z 在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】m 1 i 5.若复数1i2 是实数，则实数 m（）A ．1 2B ．1C ．3 2D ．2【答案】B 【解析】m1 i m (1i ) 1 i m1 1m 因为1 i 2(1 i )(1i )222i1m 是实数，所以20，即 m 1，故 选 B ．C 思维扩展训练1.已知复数 z 满足z i i 3i 5 ,则复数 z 在复平面上对应的点在（ ）3 210A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】由题意，得10i 10i (2 i )z 3i 3i2 4i3i 2 i 2 i (2 i )(2 i ) ，其在复平面上对应的点为(2,1) ，位于第一象限，故选 A ．2.“m1”是“复数(1m2)(1m)i（其中i是虚数单位）为纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B.- 3 -【解析】3.复数z2i 3i 2的实部与虚部之和为（）iA ．-3B ．4C ．3D ．-11 【答案】D 【解析】 232(4 7 )7 4ii i iiz7 4iiii i i，∴复数z2i 3i 2的实部和虚部i是11.故选 D ．4.已知i 是虚数单位， aR ，复数zai z i ，若 1 3,21 2zz 是纯虚数，则 a12（ ）A ．3 B ． 322C ． 6D ．6 【答案】A 【解析】 复数 zai z i ，∴ z z 3 ai 1 2i 3 2a6 a i 1 3 , 2 1 21是纯虚数，232 a 0∴，解得 6 a 03a．故选：A ．25.如果复数2bi 12i（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于 （）A．-6 B．C．2233D．2【答案】B【解析】- 4 -。
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数系的扩充与复数的引入02
解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．实数m 取什么值时，复数(1)(1)z m m m i =-+-是
(1）实数？ (2）纯虚数？
【答案】(1）m=1 (2）m=0
2．设复数()()
i m m m m z 2322lg 22+++--=，当m 取何实数时？ (1）z 是纯虚数；
(2）z 对应的点位于复平面的第二象限。
【答案】（1）z 是纯虚数当且仅当()
⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--023022lg 22m m m m ，
解得，3=m (2）由()
⎪⎩⎪⎨⎧>++<--023022lg 22m m m m ⎩⎨⎧->-<<<+-<<-⇒1
2331,311m m m m 或或
所以当<<+-<<-m m 31311或3时，
z 对应的点位于复平面的第二象限。
3．当实数m为何值时，复数z=(m2－8m+15)+(m2+3m－28)i(m∈R)在复平面内对应的点，(1)在x轴上？
(2)在第四象限？
(3)位于x轴负半轴上？
【答案】 (1)由已知得：m2+3m－28=0，∴(m+7)(m－4)=0，
解得：m=－7或m=4.
(2)由已知得：
2
2
m-8m+15>0
m+3m28<0
⎧⎪
⎨
-
⎪⎩
，∴
m<3m>5
7<m<4
⎧
⎨
-⎩
或
，∴－7<m<3.
(3)由已知得：
2
2
m-8m+15>0
m+3m28<0
⎧⎪
⎨
-
⎪⎩
，∴
3<m<5
m=7m=4
⎧
⎨
-
⎩或
，∴m=4.
4．已知复数z=(2m2+3m－2)+(m2+m－2)i，(m∈R)根据下列条件，求m值.
(1) z是实数；
(2)z是虚线；
(3) z是纯虚数；
(4)z＝0.
【答案】 (1)当m 2
+m －2=0，即m=－2或m=1时，z 为实数；
(2)当m 2+m －2≠0，即m ≠－2且m ≠1时，z 为虚数； (3)当222m +3m 2=0m +m 20⎧-⎪⎨-≠⎪⎩，解得1m =m =22m 2m 1
⎧-⎪⎨⎪≠-≠⎩或且， 即1m =2
时，z 为纯虚数； (4)当222m +3m 2=0m +m 20⎧-⎪⎨-=⎪⎩，解得1m =m =22m 2m 1
⎧-⎪⎨⎪=-=⎩或或，即m=－2时，z=0.
5． m 取何值时，复数226(215)3
m m z m m i m --=+--+ (1）是实数；
(2）是纯虚数.
【答案】
(1)
(2) 230603015222-==⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=--≠+≠--m m m m m m m 或
是纯虚数时，或当z 23-==∴m m .
5．已知复数()21332
z a i a =+-+，22(31)z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）。
(1）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围；
(2）若虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，求实数m 的值.
【答案】（1）由条件得，()21232342z z a a i a ⎛⎫-=-+-- ⎪+⎝⎭
因为12z z -在复平面上对应点落在第一象限，故有2320,2340
a a a ⎧->⎪+⎨⎪-->⎩ 2110,2,212214(4)(1)0,a a a a a a a a +⎧⎧<-<<-⎪⎪⇔⇔⇒-<<-+⎨⎨⎪⎪
<->-+>⎩⎩或
(2）因为虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根 所以11662z z a +==+，即1a =- 把1a =-代入，则1132,32z i z i =-=+ 所以1113m z z =⋅=。