【重点推荐】新高中数学 课时分层作业10 双曲线的简单几何性质 新人教A版选修1-1练习试卷

课时分层作业(十) 双曲线的简单几何性质(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414 B.324 C.32 D.43C [由题意知a 2＋5＝9，解得a ＝2，故e ＝32.]2．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条B [因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.]3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2C [由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C.]4．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )【导学号：97792092】A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等D [若0<k <5，则5－k >0,16－k >0，故方程x 216－y 25－k＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.] 5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，且直线l 过(a,0)和(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( ) A.233B. 2C. 3D ．2D [直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，原点到直线l 的距离d ＝ab a 2＋b 2＝abc＝34c 即ab ＝34c 2，所以a 2(c 2－a 2)＝316c 4. 整理得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43又b >a >0，所以e 2＝1＋b 2a2>2，故e ＝2.]二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y ＝0垂直，则双曲线方程为________．x 24－y 2＝1 [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，故所求双曲线方程为x 24－y 2＝1.]7．若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是________.【导学号：97792093】(1，2) [e 2＝1＋1a2，由a >1得1<e 2<2.所以1<e < 2.]8．若直线x ＝2与双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，且△AOB 的面积为8，则焦距为________．25 [双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则A (2,2b )，B (2，－2b )，|AB |＝4b ，从而S △AOB＝12×4b ×2＝8. 解得b ＝2，所以c 2＝5，从而焦距为2 5.] 三、解答题9．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．[解] 由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上，∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ，∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a2＝1.又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1.由a 2＝24，c 2＝48，得e 2＝c 2a2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.10．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围.【导学号：97792094】[解] (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2，即k 2≠13且k 2<1.①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1， 于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. [能力提升练]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.355B.62C.32D.55A [曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3,0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，不妨取y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b 2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.]2．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0D [由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y＝0，故选D.]3．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过点F 作x轴的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________．±1 [不妨设点B 在第一象限，则A 1(－a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，A 2(a,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以A 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ，b 2a ，A 2C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ，－b 2a .因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B →·A 2C →＝0，所以c 2－a 2－b 4a 2＝0，整理得，b 2a 2＝1，即ba＝1，所以渐近线的斜率为±1.]4．已知直线l ：x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则实数m 的值是________.【导学号：97792095】±1 [由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0x 2－y 22＝1，消去y 得x 2－2mx －m 2－2＝0.则Δ＝4m 2＋4m 2＋8＝8m 2＋8>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝4m ，所以线段AB 的中点坐标为(m,2m )．又点(m,2m )在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5，得m ＝±1.]5．直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点． (1)求线段AB 的长；(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？新人教部编版初高中精选试题。