快速幂快速乘C++函数模板
实现快速幂算法(Python)
实现快速幂算法（Python）快速幂算法是一种快速计算幂运算的方法，它通过将指数进行二进制拆分，从而减少计算次数。
在计算机领域中，快速幂算法被广泛应用于算法设计和优化中。
快速幂算法的基本思想是利用指数的二进制拆分，以减少乘法的次数。
假设要计算x的n次幂，其中n为整数。
可以将n的二进制表示拆分为若干个2的幂次。
例如，对于n=25，可以将其拆分为20+4+1。
然后，利用幂运算的基本性质，即x的a+b次幂等于x的a次幂乘以x 的b次幂，就可以用较少的乘法完成指数的计算。
具体而言，快速幂算法的步骤如下：1.初始化结果为1，指数为n。
2.当指数n大于0时，执行以下步骤：-若n的最后一位为1，将结果乘以x。
-将指数n右移一位（相当于将最后一位舍弃）。
-将底数x的平方赋值给x。
3.返回最终结果。
下面是用Python实现快速幂算法的代码：```pythondef fast_power(x, n):result = 1while n > 0:if n % 2 == 1:result *= xx *= xn //= 2return result```让我们来解释一下这段代码是如何实现快速幂算法的。
首先，我们传入两个参数x和n，其中x是底数，n是指数。
我们初始化结果为1，并通过循环逐步进行指数计算。
在每次循环中，我们判断指数n的最后一位是否为1，如果是，则将结果result乘以底数x。
接下来，将底数x平方并赋值给x，以备下一次循环使用。
最后，将指数n右移一位（相当于将其除以2），以继续下一次循环。
重复上述步骤直到指数n为0，循环结束。
最终，我们返回结果result，即为底数x的n次幂。
通过使用快速幂算法，我们能够快速计算出较大指数的幂运算结果，而不需要进行大量的乘法计算。
快速幂算法的时间复杂度为O(log n)，其中n为指数的位数。
由于每次循环中，指数n都会减半，所以循环次数最多为指数的位数。
因此，使用快速幂算法可以显著提高幂运算的效率，特别是对于大指数的情况。
c语言幂函数怎么写
c语言幂函数怎么写c语言幂函数怎么写：C语言中math.c库文件提供了幂函数pow()。
但今天我们来简单实现一个幂函数。
我们分为几个步骤来实现。
一、分析算法求正整数的幂，需要把整数n相乘，如2的3次幂，即2*2*2，将整数2相乘3次。
多个数反复执行相同的操作，自然就会想到使用循环。
如何进行循环，看如下代码示例for(i = 1; i<=p;i++)pow *= n;上述示例中，n值表示的是所求的数，pow则是n的p次幂，p为幂。
带入数字进行验证，假设n=2，p=3，表示求2的3次幂第一次循环，pow = pow*n，即pow = 1*2 = 2第二次循环，pow = pow*n，即pow =2 * 2 = 4第三次循环，pow = pow*n，即pow = 4 * 2 = 8二、函数实现使用函数实现，主要考虑两个问题：1.函数的参数是什么函数的参数可以从功能考虑，主要是求某个数的多少次方，那参数其实就两个：一个是数值，另一个是多少次幂。
在这个例子中，使用double类型表示所求数值，可以求整数或浮点数；使用int表示求整数次幂。
2.函数的返回值是什么在该例子中，使用函数后肯定会返回一个结果，对于整数是整型，对于浮点数是double型，所以返回值使用return返回double类型。
所有函数声明如下：double power(double n, int p);三、代码实现运行结果：四、结语C语言中math.c提供了更为强大的幂函数pow()。
本例中主要是通过一个简单版的幂函数实现，分析一个函数如何实现。
mod n大数幂乘的快速算法
mod n大数幂乘的快速算法
快速幂乘算法利用了指数的二进制表示方式来加速计算。
具体算法如下：
1. 初始化结果为1：result = 1
2. 将指数按二进制拆分为若干个二次幂：将指数n转换为二进制表示形式，例如n=13，二进制表示为1101，可以拆分为
2^0、2^2、2^3。
3. 从最低位开始遍历二进制位：
- 若当前位为1，则计算当前二次幂的乘积并累乘到结果中：result *= base^(2^i)，其中base为底数，i为当前二进制位位置。
- 若当前位为0，则不做处理。
4. 返回结果。
例如，计算2^13的值：
拆分指数为2^0、2^2、2^3，可以得到2^13 = 2^0 * 2^2 * 2^3
= 2 * 4 * 8 = 128。
Python代码示例：
```python
def power(base, n):
result = 1
# 将指数n转换为二进制表示形式
binary_n = bin(n)[2:]
# 从最低位开始遍历二进制位
for i in range(len(binary_n)):
# 若当前位为1，则计算当前二次幂的乘积并累乘到结果中
if binary_n[i] == '1':
result *= base ** (2 ** i)
return result
# 测试
print(power(2, 13)) # 输出：128
```
快速幂乘算法的时间复杂度为O(logn)，比普通的循环累乘要更高效。
该算法在计算大数的幂乘时特别有效，能够减少计算次数，提高计算速度。
快速幂算法例子
快速幂算法例子以下是 6 条关于快速幂算法例子的内容：1. 哎呀呀，你想想看，计算 2 的 10 次方。
常规方法得一个一个乘过去，多麻烦呀！但用快速幂算法，就像找到了捷径一样！就好比你本来要走很多弯路才能到目的地，突然有条近道出现了。
哇塞，那感觉简直太棒了！比如计算 2 的 10 次方，快速幂算法一下子就得出结果啦！2. 嘿哟喂，比如你要算 3 的 8 次方，要是用普通办法得乘老半天呢。
但有了快速幂算法，这就如同给了你一双翅膀，一下子就飞过去了！就像你本来在慢吞吞爬楼梯，结果有了电梯，嗖的一下就到啦！用快速幂算法算 3 的 8 次方，那速度，杠杠的！3. 哇哦，你能想象计算 5 的 15 次方有多麻烦吗？嘿嘿，这时候快速幂算法闪亮登场啦！它就像你在黑暗中突然找到的那盏明灯，指引你快速找到答案。
就好像你在迷宫里迷路了很久，突然看到了出口指示牌一样惊喜！试试用快速幂算法算算 5 的 15 次方，你就知道有多厉害啦！4. 哈哈，说到快速幂算法，来看看计算 7 的 12 次方。
普通算法可能会让你头疼，但是有了这个神奇的快速幂算法，一切都变得不一样啦！这就如同给你的大脑开了外挂呀！像你跑步跑得气喘吁吁的时候，突然有人给了你一辆自行车，那感觉，爽翻啦！用快速幂算法去算 7 的 12 次方，绝对给你惊喜！5. 哟呵，假如要算 11 的 9 次方，不用快速幂算法，那可真是要累死人。
但有了它呀，哇，那简直是太方便啦！就跟你有了超能力一样，可以轻松解决难题。
好比你面对一堆杂乱的线团无从下手，突然找到了线头一样兴奋！用快速幂算法算 11 的 9 次方，感受一下它的魅力吧！6. 哇塞呀，计算 13 的 7 次方要是不用快速幂算法，那得费多大劲呀？有了它，就像拥有了秘密武器！就像你在大海里漂泊突然看到了陆地一样开心。
快速幂算法算 13 的 7 次方，那速度，绝对让你惊叹不已！我的观点结论就是：快速幂算法真的是太厉害啦，能让计算变得轻松又快捷，大家一定要好好掌握呀！。
c语言调用幂函数的程序
c语言调用幂函数的程序以C语言调用幂函数的程序在C语言中，我们可以使用库函数来计算幂函数。
幂函数是指以一个数为底数，另一个数为指数，计算结果为底数的指数次方的数学函数。
在数学中，幂函数的定义为y = a^x，其中a为底数，x为指数，y为计算结果。
要调用幂函数，我们需要包含math.h头文件，并使用pow()函数。
pow()函数的原型为：double pow(double x, double y);其中x为底数，y为指数。
该函数的返回值为x的y次幂。
下面是一个示例程序，演示了如何使用C语言调用幂函数：```c#include <stdio.h>#include <math.h>int main() {double base, exponent, result;printf("请输入底数：");scanf("%lf", &base);printf("请输入指数：");scanf("%lf", &exponent);result = pow(base, exponent);printf("%lf 的%lf 次幂为%lf\n", base, exponent, result);return 0;}```在上述程序中，我们首先定义了三个变量：base（底数）、exponent （指数）和result（计算结果）。
然后，通过使用printf()函数和scanf()函数，分别提示用户输入底数和指数，并将用户输入的值保存到相应的变量中。
接下来，我们使用pow()函数计算底数的指数次幂，将结果保存到result变量中。
使用printf()函数将计算结果输出给用户。
需要注意的是，pow()函数的参数和返回值都是double类型的，因此我们使用%lf格式控制符来打印double类型的变量。
位运算与MOD快速幂详细知识点
位运算与MOD快速幂详细知识点最近写的⼀些题⽬设计到了数论的取模如下题 时间限制：C/C++ 1秒，其他语⾔2秒 空间限制：C/C++ 262144K，其他语⾔524288K 64bit IO Format: %lld题⽬描述 ⽜可乐有七个整数 a,b,c,d,e,f,g.并且他猜想a d +b e+c f =g 但是⽜可乐⽆法进⾏如此庞⼤的计算。
请验证⽜可乐的猜想是否成⽴。
输⼊描述: 第⼀⾏⼀个正整数 T，表⽰有 T 组数据。
每组数据输⼊⼀⾏七个整数a,b,c,d,e,f,g 。
保证 1≤T≤1000 , −109≤a,b,c,g≤109, 0≤d,e,f≤109保证不会出现指数和底数同为 0 的情况。
输出描述:每组数据输出⼀⾏，若猜想成⽴，输出 Yes ，否则输出 No。
⽰例： 输⼊： 2 1 1 4 5 1 4 258 114514 1919810 1 2 3 4 1 输出： Yes No 说明： 15+11+44=258 1145142+19198103+14 ≠ 1这⼀题设计数论中的取模知识，现实运⽤则是快速幂（这题就是快速幂的模板题），然后快速幂就涉及位运算，所以此⽂就以此题为扩展，浅谈MOD 运算快速幂与位运算。
暴⼒：1 #include<bits/stdc++.h>2using namespace std;3int main(){4long long n,a,b,c,d,e,f,g;5 cin>>n;6while(n--){7 cin>>a>>b>>c>>d>>e>>f>>g;8long long x=pow(a,d),y=pow(b,e),z=pow(c,f);9if(x+y+z==g)cout<<"Yes"<<endl;10else cout<<"No"<<endl;11 }12return0;13 } 快速幂：1 #include <bits/stdc++.h>2using namespace std;3 typedef long long ll;4const int mod=252585;5 ll qk(ll a,ll b)6 {7 ll res=1;8while(b)9 {10if(b&1) res=res*a%mod;11 a=a*a%mod;12 b>>=1;13 }14return res;15 }16int main()17 {18int t;19 cin >>t;2021while(t--)22 {23 ll a,b,c,d,e,f,g;24 cin >>a>>b>>c>>d>>e>>f>>g;25if(((qk(a,d)+qk(b,e))%mod+qk(c,f))%mod==g%mod) cout <<"Yes"<<endl;26else cout <<"No"<<endl;27 }2829 }位运算： 基本运算符： ‘&’ 实际运⽤： （1）判断奇偶 因为⼆进制中偶数最后⼀位必定是0，奇数必定是1，所以对对⼀个数进⾏&运算等价于%=2 （2）清零 若想对⼀个存储单元清零，即使其全部⼆进制位为0，只要找⼀个⼆进制数，其中各个位符合⼀下条件： 原来的数中为1的位，新数中相应位为0。
费马小定理，积模分解公式，高效幂，快速幂模及米勒-拉宾检验
费马⼩定理，积模分解公式，⾼效幂，快速幂模及⽶勒-拉宾检验转载⾃好⽂章，整理收藏。
1.费马⼩定理：有N为任意正整数，P为素数，且N不能被P整除（显然N和P互质），则有：N^P%P=N(即：N的P次⽅除以P的余数是N) 或 (N^(P-1))%P=1互相变形：原式可化为：(N^P-N)%P=0(N*(N^(P-1)-1))%P=0所以，N*(N^(P-1)-1)是N和P的公倍数⼜因为 N与P互质，⽽互质数的最⼩公倍数为它们的乘积所以⼀定存在正整数M使得等式成⽴：N*(N^(P-1)-1)=M*N*P所以N^(P-1)-1=M*P因为M是整数所以(N^(P-1)-1)%P=0即：N^(P-1)%P=12.积模分解公式引理， 若：X%Z=0，则(X+Y)%Z=Y%Z 设有X、Y和Z三个正整数，则必有：(X*Y)%Z=((X%Z)*(Y%Z))%Z证明：1. 当X和Y都⽐Z⼤时，必有整数A和B使下⾯的等式成⽴： X=Z*I+A（1） Y=Z*J+B（2）除模运算的性质 将（1）和（2）代⼊(X*Y)modZ得： ((Z*I+A)(Z*J+B))%Z 所以 (Z*(Z*I*J+I*A+I*B)+A*B)%Z（3） 所以 Z*(Z*I*J+I*A+I*B)能被Z整除 概据引理，（3）式可化简为：(A*B)%Z ⼜因为：A=X%Z，B=Y%Z，代⼊上式，成为原式右边。
2. 当X⽐Z⼤⽽Y⽐Z⼩时： X=Z*I+A 代⼊(X*Y)%Z得： (Z*I*Y+A*Y)%Z 根据引理，转化得：(A*Y)%Z 因为A=X%Z，⼜因为Y=Y%Z，代⼊上式，即得到原式右边。
同理，当X⽐Z⼩⽽Y⽐Z⼤时，原式也成⽴。
3. 当X⽐Z⼩，且Y也⽐Z⼩时，X=X%Z，Y=Y%Z，所以原式成⽴。
3.快速乘⽅算法unsigned Power(unsigned n, unsigned p) //n^p{unsigned ans = 1;while (p > 1){if (( p & 1 )!=0) ans *= n;n *= n;p /= 2;}return n * ans;}4."蒙格马利”快速幂模算法__int64 Montgomery(__int64 n, __int64 p, __int64 m){ // 快速计算 (n ^ p) % m 的值，与power算法极类似__int64 r = n % m; // 这⾥的r可不能省__int64 k = 1;while (p > 1){if ((p & 1)!=0){k = (k * r) % m; // 直接取模}r = (r * r) % m; // 同上p /= 2;}return (r * k) % m; // 还是同上}蒙格马利极速版：unsigned Montgomery(unsigned n,unsigned p,unsigned m){ //快速计算(n^p)%m的值unsignedk=1;n%=m;while(p!=1){if(0!=(p&1))k=(k*n)%m;n=(n*n)%m;p>>=1;}return(n*k)%m;}5.素数判断根据费马⼩定理，对于两个互质的素数N和P，必有：N^(P-1)%P=1费马测试算法思路是这样的：对于N，从素数表中取出任意的素数对其进⾏费马测试，如果取了很多个素数，N仍未测试失败，那么则认为N是素数。
矩阵快速幂求斐波那契数列c语言
矩阵快速幂求斐波那契数列c语言矩阵快速幂求解斐波那契数列——C语言实现斐波那契数列是一种经典的数学问题，在计算机领域中应用广泛。
其定义是：第1项和第2项为1，第n项为前两项的和。
即F(1)=1,F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
在计算斐波那契数列时，最通用的方法是递归算法，但是该算法效率低下。
当n变得较大时，递归算法的时间复杂度将指数级增长。
为了提高计算效率，我们可以采用矩阵快速幂算法。
矩阵快速幂算法原理：我们将斐波那契数列看成一维矩阵，用矩阵乘法的方法来求解斐波那契数列。
矩阵乘法的规则是：若A与B是n行m列和m行p列的矩阵，则它们的乘积C为n行p列的矩阵，其中C[i][j]的值是A[i][1]*B[1][j]+ A[i][2]*B[2][j] + …+ A[i][m]*B[m][j]。
例如，若我们要求F(10)，则可将其表示为如下矩阵的形式：| F(10) | = |F(n-1) F(n-2)| * | 1 1 || 1 0 |其中，矩阵 | 1 1 | 称为矩阵A，矩阵 | 1 0 | 称为矩阵B。
可以发现，在右边的矩阵乘积中，第一项是F(n-1)和矩阵A相乘，第二项是F(n-2)和矩阵B相乘，恰好对应斐波那契数列的定义。
根据矩阵乘法规则，我们可以得到：F(10) = F(9)·A = F(8)·A·A =F(2)·A^8·A = A^9，其中A^8表示A的8次方。
这样，我们就将乘法拆分成了多个矩阵乘法，从而提高计算效率，减少了递归过程中的重复计算。
C语言实现：下面是C语言的实现代码：#include <stdio.h>#define N 2void matrixMul(int a[N][N], int b[N][N], int c[N][N]){int i, j, k;for(i = 0; i < N; i++){for(j = 0; j < N; j++){c[i][j] = 0;{c[i][j] += a[i][k]*b[k][j];}}}}void matrixPow(int A[N][N], int n, int B[N][N]) {int i, j;int C[N][N], D[N][N];for(i = 0; i < N; i++)for(j = 0; j < N; j++){if(i == j) B[i][j] = 1;else B[i][j] = 0;}for(i = 0; i < N; i++)for(j = 0; j < N; j++)C[i][j] = A[i][j];while(n > 0){if(n % 2 == 1){matrixMul(B, C, D);for(i = 0; i < N; i++)B[i][j] = D[i][j];}matrixMul(C, C, D);for(i = 0; i < N; i++)for(j = 0; j < N; j++)C[i][j] = D[i][j];n = n/2;}}int main(){int A[N][N] = {{1, 1}, {1, 0}};int B[N][N];matrixPow(A, 10, B);printf("F(10) = %d\n", B[0][1]);return 0;}该实现代码中，matrixMul函数实现了矩阵乘法，matrixPow函数实现了矩阵快速幂算法，最后在主函数中调用matrixPow函数即可求解F(10)的值。