指数函数对数函数和幂函数知识点归纳

一、幂函数
1、幂的有关概念
正整数指数幂：
...()
n
n
a a a a n N
=∈
零指数幂：
01(0)
a a
=≠
负整数指数幂：
1
(0,) p
p
a a p
N
a
-=≠∈
分数指数幂：正分数指数幂的意义是：
(0,,,1)
m
n m
n
a a a m n N n
=>∈>
且
负分数指数幂的意义是：
1
(0,,,1)
m
n
m n m
n
a a m n N n
a
a
-
==>∈>
且
2、幂函数的定义
一般地,函数
a
y x
=叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)．
3、幂函数的图象
幂函数a
y x
=
当
11
,,1,2,3
32
a=
时的图象见左图；当
1
2,1,
2
a=---
时的图象见上图：
由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质:
a y x =有下列性质： （1)0a >时：
①图象都通过点(0,0)，(1,1);
②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)；
②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．
二、指数函数
①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x
且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；
3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a .
5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=
三、对数函数
如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b =
log b a a N N b =⇔=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质
()log log log a a a MN M N =+． log log log a
a a M
M N N
=-．
log log n a a M n M =．(00M N >>，，0a >，1a ≠）b m
n
b a n a
m log log =（ a, b 〉 0且均不为1）
2．换底公式：log log log m a m N
N a
=
（ a 〉 0 ， a ≠ 1 ；0,1m m >≠) 常用的推论：
（1）log log 1a b b a ⨯= ；1log log log =⋅⋅a c b c b a ．
（2)log log m n
a a n
b b m
=
(a 、0b >且均不为1）
．1
log log 1N N a a m
n n m
==． （3）01log =a ，1log =a a （4)对数恒等式N a N a =log ．
一、对数函数的图像及性质
① 函数log a y x =（0a >,1a ≠)叫做对数函数
② 对数函数的性质:定义域:(0,)+∞； 值域:R ； 过点(1,0)，即当1x =时，
0y =．
当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时,在(0,+∞)上是减函数．
二、对数函数与指数函数的关系
对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法)
()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法)
()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= （取对数法）。