指数函数、对数函数、幂函数 经典课件(最新)

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1
(2)[(－2)6]2－(－1)0＝(26)2－1＝8－1＝7.
答案：(1)ba－－ab（（aa<≥bb））， (2)7
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3．含指数式的方程或不等式的求解方法：换元法． 方程 4x－2x＋1－3＝0 的解是________． 解析：设 t＝2x>0，则原方程即为 t2－2t－3＝0， 解得 t＝3 或 t＝－1(舍去)，所以 x＝log23. 答案：x＝log23
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(2)①10 lgN ②e lnN (ⅲ)0 1
(3)⇔
(4)①logaM＋logaN ②logaM－logaN
③nlogaM
n mlogaM
(5)①N
②llooggccba
1 logba
2．(0，＋∞) R (1，0)
增函数
减函数
3．y＝x
(三)1.y＝xα
2．(1)(0，0)和(1，1) (1，1) (2)增函数 减函数
在 R 上是________
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(二)对数函数 1．对数 (1)对数：如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的________，记作 x＝ ________，其中 a 叫做对数的________，N 叫做________． (2)两类重要的对数 ①常用对数：以________为底的对数叫做常用对数，并把 log10N 记作________； ②自然对数：以________为底的对数称为自然对数，并把 logeN 记作________．
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※(3)在第一象限内，当
α>1 时，图象下凸；当
※在第一象限内，图象都下凸
0<α<1 时，图象上凸
※(4)形如
m y＝xn 或
y＝x－mn (m，n
为互质的正整数)类型函数的奇偶性判
断：当 m，n 都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当 m 为奇数，
n 为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当 m 为偶数，n 为奇
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一般地，logamMn＝________________； (5)换底公式及对数恒等式
①对数恒等式：alogaN＝________； ②换底公式：logab＝________(a>0，且 a≠1；c>0，且 c≠1；b>0)．特别地，logab ＝________． 2．对数函数的图象及性质
数时，幂函数在定义域上为偶函数.
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答案
(一)1.(1)n 次方根
①正
负
n a
②两
相反数
n a
－n a
n ±a
④0
n 0＝0
(2)根指数 被开方数 (3)a |a|
2．(1)1
≠
1 (2)an
n (3)
am
1 (4)
n am
(5)0 没有意义 (6)ar＋s ars arbr
3．R (0，＋∞) (0，1) 增函数 减函数 (二)1.(1)对数 logaN 底数 真数
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2．根式化简与指数运算的误区：混淆“n an”与“(n a)n”；误用性质．
(1) 4 （a－b）4＝________；
1 (2)化简[(－2)6]2－(－1)0 的结果为________．
解析：(1)4 （a－b）4＝|a－b|＝ab－ －ba（ （aa≥ <bb））. ，
m (3)正分数指数幂：an ＝________(a>0，m，n∈N*，且 n>1)． (4)负分数指数幂：a－mn ＝________(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
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(5)0 的正分数指数幂等于________，0 的负分数指数幂________．
(6)有理指数幂的运算性质
aras＝ （ar）s＝ （ab）r＝
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4．幂函数概念的误区：系数为 1；指数为常数． 已知幂函数 f(x)＝(m2－m－1)xm－3，则 m 的值为________． 解析：函数 f(x)为幂函数， 则mm2－－3m≠－0，1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1. 答案：2 或－1
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5．函数 y＝log2(x＋1)的单调递增区间是________． 解析：由 x＋1>0 得 x>－1，又函数 y＝log2(x＋1)在定义域内是增函数，所以单调递 增区间是(－1，＋∞)． 答案：(－1，＋∞)
338－π0；
(2)4b23a＋43－238aab13＋b a32÷(a－32－23a b)× 5
a×3 a2 .
a×3 a
【解】
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＝52－32－1＝0.
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【反思·升华】 指数幂的运算应注意：(1)运算的先后顺序；(2)化负数指数幂为正数 指数幂；(3)化根式为分数指数幂；(4)化小数为分数．
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[强化训练 1.1] 计算：
(1)8
2 3
×100

1 2
×(14)－3×(1861)

3 4
；
(2)0.75－1×(
3 2)
1 2
×(643)
1 4
＋10(
3－2)－1＋(3100)

1 2
＋16
1 4
.
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高频考点 2 指数型复合函数的定义域和值域 【例 2.1】 求下列函数的定义域和值域． (1)y＝(23)－|x＋1|； (2)y＝2x2＋x 1；
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注：(ⅰ)无理数 e＝2.71 828…； (ⅱ)负数和零没有对数；
(ⅲ)loga1＝________，logaa＝________． (3)对数与指数之间的关系 当 a>0，a≠1 时，ax＝N________x＝logaN. (4)对数运算的性质 如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝______________________； ②logaMN ＝__________________； ③logaMn＝__________________；
y＝2
－x2－3x＋4
的值域为[1，4 2]．
【反思·升华】 指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的定义域为 R，所以 y＝af(x)的定义域与 f(x)的定义域相同；值域则要用其单调性来求，复合函数的单调性要注意“同增异减”的 原则．
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[强化训练 2.1] 求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝8
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定义
图 象
一般地，函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数
a>1
0<a<1
定义域 值域
性质
________
在(0，＋∞)上是 ______
________ 过定点________
在(0，＋∞)上是______
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3.对数函数与指数函数的关系 对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)与指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)互为反函数；它们 的图象关于直线________对称． (三)幂函数 幂函数的定义
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指数函数、对数函数、幂函数 课件
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【最新考纲】
1．指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． (3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． (4)知道指数函数是一类重要的函数模型．
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(3)令－x2－3x＋4≥0，解得－4≤x≤1，所以函数 y＝2 －x2－3x＋4的定义域为[－4，
1]．设 u＝ －x2－3x＋4(－4≤x≤1)，易得 u 在 x＝－23时取得最大值52，在 x＝－4 或 1
时取得最小值
0，即
0≤u≤52.所以函数
y＝2u
5 的值域为[20，22]，即函数
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2．对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或 常用对数；了解对数在简化运算中的作用． (2)理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． (3)知道对数函数是一类重要的函数模型． (4)了解指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax 互为反函数(a>0，且 a≠1)． 3．幂函数 (1)了解幂函数的概念． (2)结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况．
7．函数 f(x)＝lgxx－ ＋22的定义域是________，函数 g(x)＝lg(x－2)－lg(x＋2)的定义域是 ________．
解析：由xx－＋22>0，得 x>2 或 x<－2， 故函数 f(x)＝lgxx－＋22的定义域为{x|x>2 或 x<－2}． 由xx＋－22>>00，，得 x>2，所以函数 g(x)＝lg(x－2)－lg(x＋2)的定义域是{x|x>2}． 答案：{x|x>2 或 x<－2} {x|x>2}
(3)y＝2 －x2－3x＋4.
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【解】 (1)定义域为 R.因为－|x＋1|≤0， 所以 y＝(23)－|x＋1|≥(23)0＝1， 所以值域为[1，＋∞)．
(2)定义域为 R.又因为 y＝2x2＋x 1＝1－2x＋1 1，而 0<2x＋1 1<1，所以－1<2－x＋11<0，则 0<y<1，所以值域为(0，1)．
8．对数运算的常用结论 (1)logambn＝________； (2)logab＝________．
答案：mn logab
1 logba
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高频考点透析
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高频考点 1 指数幂的运算 【例 1.1】 (2019 年济宁测试)化简下列各式：
1 23 (1)[(0.0645)－2.5]3－
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(2)根式：式子n a叫做根式，这里 n 叫做________，a 叫做________． (3)根式的性质：n 为奇数时，n an＝________； n 为偶数时，n an＝________． 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝________．这里 a________0. (2)负整数指数幂：a－n＝________(a≠0，n∈N*)．
一般地，函数________叫做幂函数，其中 x 是自变量，α是常数.
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α>0
α<0
图 象
(1)图象过点________
图象过点________
性 (2)在第一象限内，函数值 在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，
质 随 x 的增大而增大，即在 即在(0，＋∞)上是________
(0，＋∞)上是________
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知识要点梳理
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(一)指数函数 1．根式 (1)n 次方根：如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的________，其中 n>1，且 n∈N*. ①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个________数；负数的 n 次方根是一个________ 数，这时 a 的 n 次方根用符号________表示． ②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有________个，这两个数互为________．这时， 正数 a 的正的 n 次方根用符号________表示，负的 n 次方根用符号________表示．正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并写成________． ③负数没有偶次方根． ④0 的 n(n ∈N*)次方根是________，记作________．
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6．(教材改编)函数 y＝loga(x－1)＋2(a>0，a≠1)的图象恒过定点________．
解析：因为对数函数 y＝logax 恒过定点(1，0)，所以函数 y＝loga(x－1)恒过定点(2， 0)，所以函数 y＝loga(x－1)＋2 恒过定点(2，2)．
答案：(2，2)
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2
1 x 1
；(2)y＝4x＋2x＋1＋1；
(3)y＝(12)x2－6x＋17. 解：(1)因为 2x－1≠0，所以 x≠21，所以原函数的定义域是xx≠12. 令 t＝2x－1 1，则 t∈R 且 t≠0， 所以由 y＝8t(t∈R，t≠0)得 y>0 且 y≠1. 所以，原函数的值域是{y|y>0 且 y≠1}． (2)定义域为 R，因为 y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，且 2x>0. 所以 y＝4x＋2x＋1＋1 的值域为{y|y>1}．
（a>0，r，s∈Q）， （a>0，r，s∈Q）， （a>0，b>0，r∈Q）.
3．指数函数的图象及性质
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定义
一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数
a>1 图
象
0<a<1
定义域Байду номын сангаас值域 性质
________
________
过定点________
在 R 上是________
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1．(教材改编)若 x＋x－1＝3，则 x2－x－2＝________．
解析：把 x＋x－1＝3 平方可得 x2＋x－2＝7， 所以(x－x－1)2＝x2－2＋x－2＝5，所以 x－x－1＝± 5，所以 x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1) ＝±3 5. 答案：±3 5