概率统计各大题型总结

1 1dx , 0 z 2 所以： z f X Y ( z ) 2 0 , 其他 z 1 , z [0,2] 2 0 , z [0,2]
0
1
x
5）显然，由问题(4)得：
3 P X Y 1 4
y
1 1
0
x
y
6）
1 2
0
解： 1）
因 故 即

0 1


f ( x )dx 1
1 0 0 1

0dx axdx 0dx 1
0
axdx 1 ax 2 / 2 1 1 a 2 0
2)
因 Y1 g ( X ) 2X 1
为单值函数
1 故 Y1 2X 1 x ( y 1) h( y ) 2 所以： fY1 ( y ) h ' ( y ) f X (h ( y )) 1 1 1 ' [ ( y 1)] f X ( ( y 1)) 0 x ( y 1) 1 2 2 2 1 1 1 2 ( y 1) ( y 1) 1 y 3 2 2 2 1 y [1,3] ( y 1), 所以： fY1 ( y ) 2 0, y [1,3]
1 2
x
P max(X , Y )
1 1 1 P max(X , Y ) 2 2 1 1 1 P{ X , Y } 2 2 1 1 1 3 1 P{ X }P{Y } 1 2 2 4 4
四、数学期望
例4：假设由自动生产线加工的某种零件 的内径X（单位：mm）服从 N ( ,1) ， 内径小于10mm或大12mm为不合格产品， 其余为合格产品。销售一件合格品获利， 销售不合格品亏损。已知销售利润T（元 /件）与销售零件的内径X有如下关系：
4) 因：{3 X 1 b} 0.5 P b 1 故： P{ X } 0 .5 3 即： 0.5
b 1 3 0
2 xdx x
b 1 2 3 0
b 1 3
2
3 2 b 3 1/ 2 1 1 2
1 5) 因： 每次试验事件{ X }出现的概率为： 4 1/4 1/4 1 1 P{ X } f ( x )dx 2 xdx 0 4 16 1 令Y 表示事件 { X }在5次重复独立试验中所 4 出现的次数，则Y ~ B(5,1 / 16), 1 故 事件{ X }出现两次的概率为： 4 3 1 3 15 10 2 1 2 P{Y 2} C5 ( ) (1 ) 0.032 5 16 16 16
取对数得： L( ) n ln( 1) ln xi ln
i 1 n n 求导得：d ln L( ) ln xi 1 i 1
n
令：d ln L( ) 0， n ˆ 1 得 是的极大似然估计量 n ln X i
i 1
六、假设检验
x 1dy 2 x, 0 x 1 x 0, 其它
fY ( y )

f ( x, y )dx
1 dx 1 y, 1 y 0 y 1 dx 1 y, 0 y 1 y 其它 0, 1 y , | y | 1 | y | 1 0,
P( AB) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) 0.9 0.98 0.994 0.877
思考题：
某卫生机构的资料表明：患肺癌的人 中吸烟的占90％，不患肺癌的人中 吸烟的占20％。据资料表明，患肺 癌的人占人群的0.1％，求在吸烟的 人中患肺癌的概率。（0.0045）

n
3）因为：
1 2 1 f X ( ) fY (0) 1 f ( , 0) 3 3 3
所以X与Y不相互独立。
4）因为
又
f X Y ( z )


f ( x, z x)dx,
z 2
1, 0 z 2 x且0 x 1 f ( x, z x ) 0, 其他
X 12
2) 选择检验统计量： U
3) 拒绝域为：K 0 u u1 u 1.64 4） 判断。计算统计量的样 本值，得： 12.8 12 u n 100 3.077 0 2. 6 故：拒绝原假设，接受 备择假设，即在显著性 水平 0.05下，可以认为这批木材 为一等品。 x 12
例6：有一批木材小头直径X（单位：cm） 2 服从 N ( ,2.6 ) ，按规格要求 12cm 才能算一等品。现随机抽测 100根，计算得小头直径平均值为 12.8cm。问能否认为这批木材属于一 等品( 0.05 )？
解：由题意知：总体 ~ N ( ,2.6 ) X
2
1)
2 2.6 2 , n 100, x 12.8 提出统计假设： 0 : 12, H1 : 12 H
g ( x ) f ( x )dx
12
10 20[ (12 ) (10 )] 5[1 (12 )] 25 (12 ) 21 (10 ) 5
f ( x )dx 20 f ( x )dx 5

问
1, T g ( X ) 20, 5,
X 10 10 X 12 X 12
取 何值时平均销售利润最大?
解：
设f ( x )为X 的密度函数，则销售一件产品的 平均利润为： ET E ( g ( X ))
10
(12 ) 2 2 (10 ) 2 2
五、参数估计
例5：设总体X的密度函数为：
( 1) x , x (0,1) f ( x) x (0,1) 0,
X 其中 1 是未知参数， 1 , X 2 ,, X n 为取自总体X的容量为n的随机样本， 分别用矩估计法和极大似然估计法 求 的估计量。
3)
因 Y2 f ( X ) X 2 ( y 0) P{ y X y}
故： FY2 ( y ) P{Y2 y} P{ X 2 y}
y f ( x )dx 1 f ( x )dx 1 2 xdx 1, y 1 1 0 y y y f ( x )dx 2 xdx y , 0 y 1 y 0 0, y 0 1, y [0,1] ' 所以 : fY2 ( y ) FY2 ( y ) 0, y [0,1]
10
12
f ( x )dx
利用极值的必要条件， 由： dET d [25 (12 ) 21 (10 ) 5] d d 25 21 e e 2 2 dET 1 21 令： 0，得 11 ln d 2 25 1 21 因此， 11 ln 时销售一件产品的平均 利润最大。 2 25
P( B) P( B) P( B( A A )) P( BA BA ) P( BA) P( BA ) P( A) P( B A) P( A ) P( B A ) 0.9 0.98 0.1 0.05 0.887
（2）由贝叶斯公式，被认为合格的产 品确实合格的概率为：
三、二维随机变量及其函数变换
例3：设二维连续型随机变量的密度 函数为：
y
A f ( x, y ) 0 y x 1 其 .他
0
x
求： 1）常数A； 2）X、Y的边缘密度函数 f X ( x)和fY ( y) ； 3）判断X与Y是否相互独立； 4） Z X Y 的密度函数 f Z ( z) ； 5） P X Y 1 ； 6） 。 1
分析： 产品分类：
检验结果： 合格 不合格
合格
不合格
解: 设B:“一个产品检查被认为合格品”； A:“产品确实是合格产品”； 则 A与A 构成一个完备事件组，
P( A) 0.9, P( A ) 0.1 P( B A) 0.98, P( B A ) 0.05
（1）由全概率公式，一个产品被认 为合格的概率为：
解：
1)
1 因为： x( 1) x dx EX 2


令： EX X , ˆ (2 X 1) 是的矩估计量 得: (1 X )
2)
作似然函数：
n
n n ( 1) xi , 0 xi 1 ( 1) xi , 0 xi 1 L( ) i 1 i 1 0 , 其它 其它 0 ,
二、一维随机变量及其函数变换
例2:设随机变量X具有密度函数:
ax, f ( x) 0, x [0,1] x [0,1]
1) 2) 3) 4) 5)
求常数a; 求 Y1 2 X 1 的密度函数; 求 Y2 X 2 的密度函数; 求常数b,使得 P{3 X 1 b} 0.5 ; 求在5次独立重复试验中事件出现2次 的概率。
《概率论与数理统计》教案之：
主讲： 刘朝林
主 要 内 容
• • • • • • 一、全概率与贝叶斯公式 二、一维随机变量及其函数变换 三、二维随机变量及其函数变换 四、数学期望 五、参数估计 六、假设检验来自一、全概率与贝叶斯公式
例题1：已知某批产品的合格率为0.9，检 验员检验时，将合格品误认为次品的概 率为0.02，而一个次品被误认为合格的 概率为0.05。求： 1）检查任一产品被认为是合格品的概率； 2）被认为合格品的产品确实合格的概率。
P{max( X , Y ) } 2
解： （1）因为