概率统计大题总结
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结2024高考数学压轴题——概率与统计的挑战与应对随着高考的临近，数学科目的复习也进入了关键阶段。
2024年的高考数学压轴题将会涉及到概率与统计的内容，这不仅考察学生的基本数学知识，更侧重于考察学生的逻辑思维能力、实际应用能力和问题解决能力。
本文将针对这一部分的常见题型、解题思路和知识点进行总结，希望能为广大考生提供一些帮助和指导。
一、常见题型的解题思路1、概率计算：在解决概率计算问题时，学生需要明确事件的独立性、互斥性和概率公式的应用。
尤其是古典概率和条件概率的计算，需要学生熟练掌握。
对于涉及多个事件的概率计算，学生需要理清事件的关联关系，采用加法、乘法或全概率公式进行计算。
2、随机变量及其分布：这部分要求学生掌握离散型和连续型随机变量的分布律及分布函数，理解并掌握几种常见的分布，如二项分布、泊松分布和正态分布等。
对于随机变量的数字特征，如期望、方差和协方差等，学生需要理解其含义并掌握计算方法。
3、统计推断：在统计推断问题中，学生需要掌握参数估计和假设检验的基本方法。
对于点估计，学生需要理解矩估计法和最大似然估计法的原理，并能够进行计算。
对于假设检验，学生需要理解显著性检验的原理，掌握单侧和双侧检验的方法。
4、相关与回归分析：相关与回归分析要求学生能够读懂散点图，理解线性相关性和线性回归的概念，掌握回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
二、概率与统计的相关知识点总结1、概率的基本概念：事件、样本空间、事件的概率、互斥事件、独立事件等。
2、随机变量及其分布：离散型随机变量和连续型随机变量，二项分布、泊松分布和正态分布等。
3、统计推断：参数估计、假设检验、点估计、置信区间、单侧和双侧检验等。
4、相关与回归分析：线性相关性和线性回归的概念，回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
三、示例分析下面我们通过一个具体的示例来演示如何分析和解决一道概率与统计的压轴题。
高考文科概率统计大题
高考文科概率统计大题高考文科概率统计大题一、引言高考作为中国教育体系的重要组成部分，对于学生来说意义重大。
其中，文科概率统计是一道常见的考题，对学生的数学思维能力和概率统计知识的掌握程度提出了挑战。
本文将从基本概念、计算方法和实际应用三个方面来探讨高考文科概率统计大题。
二、基本概念在开始解答概率统计大题之前，首先需要了解一些基本概念。
概率是指某一事件发生的可能性或者程度大小，而统计学则是利用样本数据推断总体的特征。
在解答概率题时，常见的概念包括样本空间、事件、频率和概率等。
理解这些基本概念，能够为我们后续的计算和分析打下基础。
三、计算方法在文科概率统计大题中，计算方法是解决问题的关键。
常见的计算方法包括排列、组合、加法原理、乘法原理等。
通过正确运用这些方法，我们可以快速准确地计算出答案。
此外，还需要掌握条件概率、贝叶斯定理等进阶计算方法，以应对更复杂的问题。
不同的计算方法适用于不同的场景，学生们需要掌握并善于选择合适的方法。
四、实际应用概率统计在实际生活中有着广泛的应用。
在文科概率统计大题中，常涉及到投资、风险评估、信用评分、调查统计等实际问题。
学生们需要通过解答这些实际应用题，了解并应用概率统计在现实生活中的重要性和实用性。
此外，还需要培养对问题分析和解决的能力，将概率统计知识与实际应用相结合。
五、答题技巧解答概率统计大题不仅要掌握基本概念和计算方法，还需要具备一定的答题技巧。
首先，学生们要仔细审题，理解问题要求和限制条件；其次，要对题目进行归类，将抽象问题具象化；还要善于利用已知条件，简化计算过程。
另外，还要注意答题过程中的合理化推测和合理性判断，确保答案的准确性。
六、总结综上所述，高考文科概率统计大题是一道考察学生数学思维和概率统计知识的重要题目。
通过理解基本概念、熟练掌握计算方法、应用实际问题和灵活应用答题技巧，学生们便能够在高考中应对这一考题。
希望本文的内容能够对广大考生在备战高考中有所帮助，实现更好的成绩。
概率统计总复习
例2、掷一枚骰子4次至少出现一次六点的概率是多少？ 掷一双骰子24次至少出现一次双六点的概率是多少？
例3：将一枚均匀骰子掷两次，观察骰子面的出现情况以 及骰子点数之和出现的情况。
条件概率的计算：(包括三大公式) 例1、一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两
F(x)
P{X
x}
1/ 3， 1/ 2，
0 x 1 1 x 2
1， x 2
P{X 1} F(1) 1 2 23
P{1
X
3} 2
P{X
3} P{X 2
1}
1 2
1 3
1 6
P{1 X 3} P{1 X 3} P{X 3} 1
2
2
26
0， x 0
F(x)
P{X
x}
则P(
A
B)
P(A B)
P(A B)
3、若P(AB)= ，且P(A)=1/3，求P(B)
4、P(若A事B )件 A与B互不相容，P(AP)(=A 0.B5) ,，P(AB)= 0.8、 则
设总体X 服从正态分布N (， 2 ) ，X1, X 2, , X n 为X 的一个样本。 当 2未知时，的估计区间为
随机变量的概率分布：
例 1 设 X 的概率分布为
X0
1
2
P 1/3 1/6 1/2
求：（1） X 的分布函数；
（2） P{ X 1}、 P{1 X 3}、 P{1 X 3}。
2
2
2
3
p X
EX
1
2
例2、设随机变量的概率密度为 f (x) Acosx
概率统计常见题型及方法总结
常见大题： A 全概率公式和贝叶斯公式问题 呂看做“结果”，有多个“原因或者条件宀”可以 导 致呂这个“结果”发生，考虑结果呂发生的概率， 或者求 在号发生的条件下，源于某个原因宀的概率问 题
全概率公式:
P(B) = f P(AJP(BI4)
/-I
贝叶斯公式:
P(4IB) = P(A)P(3l
Fv (x)二 P{X <x}=
‘
< =£}二①(二
aa
a
② 若 X〜Ng a2\ Y = 士上〜N(0」)
a
P(a<X < b) =
<Y< 匕纬
(7
(7
“b-卩、“ci_ 卩、
=0(― )-0(―)
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
二、分布函数的性质 F(x) = P{X < x}
离散型
连续型
0 < F(x) < 1 (— oc < x < +x)
（/）求收到模糊信号“X’的概率；
（刃当收到模糊信号时，以译成哪个信号为好？为什么？
解 设发出信号汁（/=04）, P(A0 ) = 0.6, p(Aj = 0・4,
收到信号汁（i = 0 丄 X）。由题意知
」 P(B 4J) = 0・2, P(BV I ^) = 0.1 o
(/)由全概率公式得
P(B J = P(Bxl A0)P(A)) + P(BX I A)P(A)
a + b a + b+ \ a + h a + b+ \ a + b
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依次类推
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高中数学概率统计大题
高中数学概率统计大题1. 概率的基本概念首先，咱们得搞清楚什么是概率。
简单来说，概率就是某个事情发生的可能性。
比如说，你今天去学校，碰到你喜欢的人，那能不能说这件事的概率很高呢？当然，前提是你们都是同班同学。
如果班里只有一两个同学是你的菜，哎呀，那概率就低多了。
用个公式来表示，就是概率 = 有利事件数 / 可能事件总数。
听起来是不是很简单？但这就是概率的精髓所在。
1.1 概率的计算讲到概率的计算，这就像是做一道数学题，得动动脑筋。
比如，抛一个硬币，正面朝上的概率是多少？很简单嘛，正面和反面的机会各一半，所以是1/2。
再换个方式，如果你有一袋子五种不同颜色的糖果，想抽出一颗红色的，那么这个概率就是1/5。
你会发现，生活中的很多事情，其实都可以用概率来解释，真是妙不可言。
1.2 概率的应用说到应用，概率在生活中的用处可多了。
比如买彩票，大家都想中大奖，但实际上，中奖的概率就像在沙漠中找水源，几乎是微乎其微。
不过，很多人还是愿意花钱去买，因为“中奖”这个梦太诱人了，就像是泡面加蛋，简单却又能满足。
再比如，天气预报，听说今天下雨的概率是70%，其实这就给了你一个选择：是带伞还是不带。
说到底，概率在我们的生活中无处不在，哪怕是吃饭选择菜品的时候，心中也在暗自权衡哪个更好吃。
2. 统计的基本概念说完概率，咱们再聊聊统计。
统计就像是一位聪明的侦探，负责收集和分析数据，帮助我们理解世界的真相。
想象一下，你在班里做了个调查，问大家喜欢什么运动，最后发现大部分人都喜欢打篮球。
那这就是统计告诉你的结果，通过数据，让你更清楚大家的喜好。
2.1 数据的收集收集数据的方式有很多种，像问卷调查、观察记录等等。
就像你在聚会上，听大家说笑话，心里默默记下最受欢迎的几个，回去可以和朋友们分享。
数据收集就像是打基础，只有把这些信息搜集齐全，才能在后面进行分析。
2.2 数据的分析数据分析就像是烹饪，你得把收集到的食材进行处理，最后做出美味的菜肴。
高考数学统计与概率大题解题模板
统计与概率大题解题模板 一、随机抽样和用样本估计总体模板一、频率分布直方图1、频率分布直方图的性质：（1）小矩形的面积=组距×频率/组距=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小； （2）在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1； （3）频数/相应的频率=样本容量.2、频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.3、频率分布直方图中的纵坐标为频率组距，而不是频率值.例1-1.某城市100户居民月平均用电量(单位：度)，以[160180)，、[180200)，、[200220)，、[220240)，、[240260)，、[260280)，、]280[300，分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[220240)，、[240260)，、[260280)，、]280[300，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220240)，的用户中应抽取多少户？ 【解析】（1）由(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=得：0.0075x =，∴直方图中x 的值是0.0075；（2）月平均用电量的众数是2202402302+=，∵(0.0020.00950.011)200.450.5++⨯=<，∴月平均用电量的中位数在[220240)，内，设中位数为a ， 由(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a ++⨯+⨯-=得：224a =， ∴月平均用电量的中位数是224；（3）月平均用电量为[220240)，的用户有0.01252010025⨯⨯=户， 月平均用电量为[240260)，的用户有0.00752010015⨯⨯=户， 月平均用电量为[260280)，的用户有0.0052010010⨯⨯=户， 月平均用电量为]280[300，的用户有0.0025201005⨯⨯=户， 抽取比例11125151055==+++，∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取12555⨯=户.模板二、茎叶图1、绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，如数据是两位数，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数时，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶.2、利用茎叶图进行数据分析时，一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来考虑. 例1-2.某中学高二（2）班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下： 甲：95、81、75、91、86、89、71、65、76、88、94、110、107； 乙：83、86、93、99、88、103、98、114、98、79、78、106、101. 画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较. 【解析】甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的， 中位数是98；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是88， 乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好.模板三、散点图1、两个变量的关系2、散点图：将样本中n 个数据点()i i x y ，(1i =，2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形.3、正相关与负相关：（1）正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关.（2）负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关. 4、最小二乘法：设x 、y 的一组观察值为()i i x y ，(1i =，2，…，n )，且回归直线方程为ˆˆˆybx a =+.当x 取值i x (1i =，2，…，n )时，y 的观察值为i y ，差ˆi i y y -(1i =，2，…，n )刻画了实际观察值i y 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即21()ni i i Q y a bx ==--∑作为总离差，并使之达到最小.这样，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条.由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法. 5、回归直线方程的系数计算公式例1-3.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：（1）y 与x 是否具有线性相关关系？（2）如果y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程. 审题路线图：→→→【解析】（1）画散点图如下：由图可知y 与x 具有线性相关关系；（2）列表、计算：1102211055950105591.70.66838500105520ˆ1iii ii x y x ybxx ==⋅-⋅⋅-⨯⨯==≈-⨯-⋅∑∑，91.70.668ˆ55.6ˆ549ay bx =-=-⨯=，即所求的回归直线方程为：0.66859ˆ 4.6y x =+.构建答题模板：第一步：列表i x 、i y 、i i x y ；第二步：计算x ，y ，21ni i x =∑，1ni i i x y =∑；第三步：代入公式计算ˆb 、ˆa 的值； 第四步：写出回归直线方程；第五步：反复回顾，查看是否有重复或遗漏情况，明确规范书写答题.模板四、古典概型例1-4.袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号为1、2、3；蓝色卡片两张，标号为1、2. （1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（2）向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标点之和小于4的概率.审题路线图：确定概率模型→列出所有取卡片的结果(基本事件)→构成事件的基本事件→求概率. 规范解答：【解析】（1）标号为1、2、3的三张红色卡片分别记为A 、B 、C ， 标号为1、2的两张蓝色卡片分别记为D 、E ， 从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10种，由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的， 从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：AD 、AE 、BD ，共3种，∴这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310；（2）记F 是标号为0的绿色卡片，从六张卡中任取两张的所有可能的结果为：AB 、AC 、AD 、AE 、AF 、BC 、BD 、BE 、BF 、CD 、CE 、CF 、DE 、DF 、EF 共15种，用于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的， 从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：AD 、AE 、BD 、AF 、BF 、CF 、DF 、EF ，共8种， ∴这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815. 构建答题模板：第一步：列出所有基本事件，计算基本事件总数；第二步：将所求事件分解为若干个互斥的事件或转化为其对立事件(也许不用分解，但分解必要注意互斥)；第三步：分别计算每个互斥事件的概率；第四步：利用概率的加法公式求出问题事件的概率；第五步：反复回顾，查看是否有重复或遗漏情况，明确规范书写答题.二、概率与统计之超几何分布与二项分布离散型随机变量的分布列、数学期望与方差1、关于离散型随机变量分布列的计算方法如下： （1）写出ξ的所有可能取值；（2）用随机事件概率的计算方法，求出ξ取各个值的概率； （3）利用（1）、（2）的结果写出ξ的分布列. 2、常见的特殊离散型随机变量的分布列：（1）两点分布，分布列为(0p -、1q -)，其中01p <<，且1p q +=；（2）二项分布，分布列为(00p 、11p 、22p 、…、k kp 、…、n np )，其中k k n kk n p C p q -=，0k =、1、2、…、n ，且01p <<，1p q +=，k k n k k n p C p q -=可记为(,,)b k n p .3、对离散型随机变量的期望应注意：（1）期望是算术平均值概念的推广，是概念意义下的平均；（2）()E ξ是一个实数，由ξ的分布列唯一确定，即作为随机变量ξ是可变的，可取不同值，而()E ξ是不变的，它描述ξ取值的平均状态；（3）()1122n n E x p x p x p ξ=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅直接给出了E ξ的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加.4、对离散型随机变量的方差应注意：（1）()D ξ表示随机变量ξ对()E ξ的平均偏离程度，()D ξ越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之()D ξ越小，ξ的取值越集中，在()E ξ来描述ξ的分散程度.（2）()D ξ与()E ξ一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定.模板一、超几何分布——离散型随机变量的分布列、期望与方差（1）超几何分布的特征：①在小范围内不放回的随机抽取；②每次抽取相互影响；③每次抽取的可能性一直变化；（2）超几何分布的题型：在含有M 件次品的N 件产品中任取n 件(n M N ≤≤)，其中恰有X 件次品；（3）超几何分布的分布列、期望与方差：①分布列：()k n k M N MnNC C P X k C --⋅==，012k n =⋅⋅⋅，，，，，k ∈N ；②期望：0()[()]nk nME X k P X k N ===⋅=∑； ③{}22()()()[()]()(1)nk nM N M N n D X k E x P X k N N =--==-⋅=-∑. 例2-1.已知一个袋中装有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同.（1）每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望()E ξ；（2）每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的分布列、数学期望和方差()D η.审题路线图：取到红球为止→取球次数的所有可能1、2、3、4→求对应次数的概率→列分布列→求()E ξ.取出后放回，这是条件→每次取到红球的概率相同→三次独立重复试验→利用公式. 规范解答：【解析】（1）ξ的可能取值为1、2、3、4，31(1)62P ξ===，333(2)6510P ξ==⨯=， 3233(3)65420P ξ==⨯⨯=，32131(4)654320P ξ==⨯⨯⨯=，故ξ的分布列为：17()123421020204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）取出后放回，取球3次，可看作3次独立重复试验，∴1~(2)2B η，，η的可能取值为0、1、2、3，0033111(0)()()228P C η==⋅⋅=，1123113(1)()()228P C η==⋅⋅=，2213113(2)()()228P C η==⋅⋅=，3303111(4)()()228P C η==⋅⋅=，故ξ的分布列为：∴()322E η=⨯=，113()3224D η=⨯⨯=. 构建答题模板：第一步：确定离散型随机变量的所有可能性； 第二步：求出每个可能性的概率； 第三步：画出随机变量的分布列； 第四步：求期望和方差；第五步：反复回顾，查看是否有重复或遗漏情况，明确规范书写答题.如本题可重点查看随机变量的所有可能值是否正确；根据分布列性质检查概率是否正确.模板二、二项分布及其应用（1）二项分布的特征：①在小范围内有放回的随机抽取或在大范围内任意随机抽取；②每次抽取相互独立；③每次抽取的可能性保持不变；（2）二项分布的题型：在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ；（3）二项分布的分布列、期望与方差：①分布列：~(,)X B n p ，n 为试验次数，p 为试验成功率，()(1)k kn k n P X k C p p -==-，0,1,2,,k n =⋅⋅⋅，k ∈N ；②期望：()E X np =； ③()(1)D X np p =-.例2-2.某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求3≤X 的概率； （2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【解析】（1）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“5X =”， ∵224(5)3515P X ==⨯=，∴11()1(5)15P A P X =-==， 即这两人的累计得分3≤X 的概率为1115； （2）设小明小红都选择方案甲抽奖中奖次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1()2E X ⨯， 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2()3E X ⨯，由已知可得12~(2)3X B ，，22~(2)5X B ，，∴124()233E X =⨯=，224()255E X =⨯=，从而18()23E X ⨯=，212()35E X ⨯=，∴12()2()3E X E X ⨯>⨯，∴他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.模板三、统计概率的综合应用例2-3.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位：克)重量的分组区间为，(495500]，，…，(510515]，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量.（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为重量超过505克的产品数量，求X 的分布列及期望.（3）在上述抽取的40件产品中任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率. 【解析】（1）重量超过505克的产品数量是40(0.0550.015)12⨯⨯+⨯=件； （2）X 的所有可能取值为0、1、2，021********(0)130C C P X C ⋅===，11122824056(1)130C C P X C ⋅===，20122824011(2)130C C P X C ⋅===， X 的分布列为：X 的期望561139()01213013013065E X =⨯+⨯+⨯=； （3）设在上述抽取的40件产品中任取5件产品，恰有2件产品的重量超过505克为事件A ，则322812540231()703C C P A C ⋅==. 变式1：第三问改为：从流水线上任取5件产品，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列、期望、方差.【解析】从流水线上任取5件产品服从二项分布：Y 可取：0、1、2、3、4、5；超过505克的产品发生的概率为0.3p =，则~(50.3)Y B ，， 005055(0)(1)0.70.16807P Y C p p -==-==， 115111455(1)(1)0.30.70.36015P Y C p p C -==-=⨯=，225222355(2)(1)0.30.70.3087P Y C p p C -==-=⨯=，335333255(3)(1)0.30.70.1323P Y C p p C -==-=⨯=，44544455(4)(1)0.30.70.02835P Y C p p C -==-=⨯=，555555(5)(1)0.30.00243P Y C p p -==-==，则Y 的分布列为：Y 的期望()50.3 1.5E Y =⨯=，方差()50.30.7 1.05D Y =⨯⨯=.变式2：某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条抽流水线上各抽取40件产品作为样本算出他们的重量(单位：克).重量落在(495510]，的产品为合格品，否则为不合格.表一为甲流水线样本频率分布表，图一为乙流水线样本的频率分布直方图.（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从乙流水线上任取5件产品，恰有3件产品为合格品的概率；（3）由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.附：下面的临界值表供参考：(参考公式：22()()()()()n ad bcKa b a c c d b d-=++++，其中n a b c d=+++).在平面直角坐标系中做出频率分布直方图，甲流水线样本的频率分布直方图如下：（2）由图1知，乙样本中合格品为：(0.060.090.03)54036++⨯⨯=，故合格品的频率为360.940=， ∴可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率0.9P =，设ξ为从乙流水线上任取5件产品中的合格品数，则~(50.9)B ξ，， ∴3325(3)0.90.10.0729P C ξ===，即从乙流水线上任取5件产品，恰有3件产品为合格品的概率为0.0729； （3）22⨯列联表如下：∵22()80(120360) 3.117 2.706()()()()66144040n ad bc K a b a c c d b d -⨯-==≈>++++⨯⨯⨯， ∴有90%的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.课后作业1. 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数.(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主.)（1）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；（2）根据以上数据完成下列22⨯列联表：（3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析.【答案】（1）30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主；（2）表格见解析；（3）有，分析见解析.【解析】【分析】（1）根据茎叶图，分析题中数据即可得出结果.（2）根据茎叶图，补充完善列联表，计算观测值即可求解.【详解】（1）30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主；（2）补全22⨯列联表：（3）230(42168)10 6.63512182010K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.2. 某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了50份，暴雨前的投票也收集了50份，所得统计结果如下表：已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为25. （1）求列联表中的数据x ､y ､A ､B 的值；（2）绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？（3）能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？ 【答案】（1）40x =，10y =，60A =，40B =；（2）条形统计图答案见解析，暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；（3）有99.9%把握.【解析】【分析】（1）先求出y的值，再求,,B x A的值；（2）先求出暴雨前后的支持率和不支持率，画出条形统计图，再通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度.（3）利用独立性检验求解即可.【详解】（1）设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件A，由已知得302()1005yP A+==，∴10y=，40B=，40x=，60A=；（2）由（1）知北京暴雨后支持为404505=，不支持率为41155-=，北京暴雨前支持率为202505=，不支持率为23155-=，条形统计图如图：由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；（3）22100(30402010)5016.7810.828505040603K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故至少有99.9%把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关.【点睛】方法点睛：独立性检验的解题步骤：（1）2*2列联表；（2）提出假设：设p与q没有关系；（3）根据列联表中的数据2K计算的值；（4）根据计算得到的随机变量2K的观测值作出判断.3. 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.附：22()()()()()n ad bcKa b a c c d b d-=++++【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）7 10 .【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，计算体育迷的人数，再结合条件依次填入22⨯列联表，并计算2K ，并和临界值3.841比较后进行判断；（2）首先由频率分布直方图计算“超级体育迷”的人数，在通过编号列举的方法，利用古典概型的计算公式计算概率.【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成22⨯列联表如下：将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得22100(30104515)100 3.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）由频率分布直方图可知“超级体育迷”为5人，设123,,a a a 是3名男超级体育迷，12,b b 是2名女超级体育迷，从而一切可能结果所组成基本事件为：12()a a ，､13()a a ，､23()a a ，､11()a b ，､12()a b ，､ 21()a b ，､22()a b ，､31()a b ，､32()a b ，､12()b b ，，则由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的， 用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A 由11()a b ，､12()a b ，､21()a b ，､22()a b ，､31()a b ，､32()a b ，､12()b b ， 这7个基本事件组成，因而7()10P A =.4. 2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，大学生小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[02000),、[2000,4000)、[4000,6000)、[6000,8000)、[800010000],五组作出频率分布直方图，如图：（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表格，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ.若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望()E ξ和方差()D ξ.【答案】（1）答案见解析，有；（2）分布列见解析，()0.9E ξ=，()0.63D ξ=. 【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可求出抽取的100户中，经济损失不超过4000元的户数，经济损失超过4000元的户数， 从而可补全列联表，进而可求出2K ，得出结论；（2）由题意知ξ的取值可能有0、1、2、3，符合二项分布，则3~(3)10B ξ，，从而利用二项分布的概率公式求出各自对应的概率，进而可得ξ的分布列，期望()E ξ和方差()D ξ. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有1002000(0.000150.00020)70⨯⨯+=户，则经济损失超过4000元的有30户， 则表格数据如下：22100(60102010) 4.76280207030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵4.762 3.841>，2( 3.841)0.05P K ≥=，∴有95%以上把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关； （2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知ξ的取值可能有0、1、2、3，符合二项分布，则3~(3)10B ξ，，003337343(0)()()10101000P C ξ==⋅⋅=，112337441(1)()()10101000P C ξ==⋅⋅=，221337189(2)()()10101000P C ξ==⋅⋅=，33033727(3)()()10101000P C ξ==⋅⋅=，从而ξ的分布列为：3()30.910E np ξ==⨯=，37()(1)30.631010D np p ξ=-=⨯⨯=. 5. 私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（1）完成被调查人员的频率分布直方图．（2）若从年龄在[15,25)（[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率．（3）在(2)在条件下，再记选中的4人中不赞成．．．“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）见解析（2（2275（3）见解析 【解析】【详解】试题分析：（1）根据频率等于频数除以总数，再求频率与组距之比得纵坐标，画出对应频率分布直方图．（2）先根据2人分布分类，再对应利用组合求概率，最后根据概率加法求概率，（3）先确定随机变量，再根据组合求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望. 试题解析：（1（（2（由表知年龄在[)15,25内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[)25,35 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：()11122464442222510510C C C C C 4246666222C C C C 1025104522575P ξ==⋅+⋅=⋅+⋅==（（3（ ξ的所有可能取值为：0（1（2（3（()226422510C C 45150C C 22575P ξ==⋅==（()21112646442222510510C C C C C 415624102341C C C C 1045104522575P ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅==（ ()124422510C C 461243C C 104522575P ξ==⋅=⋅==（ 所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望5E ξ=（ 6. 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．【答案】（1）（2）X的分布列为EX==4元【解析】【详解】（1）设A i表示摸到i个红球，B i表示摸到i个蓝球，则与相互独立（i=0，1，2，3）∴P（A1）==（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=∴X的分布列为EX==4元7. 以下茎叶图记录了甲､乙两组个四名同学的植树棵树､乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.（1）如果8X=，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果9X=，分别从甲､乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望.【答案】（1）平均数为354，方差为1116；（2）分布列答案见解析，数学期望：19.【解析】【分析】（1）利用平均数和方差公式求出即可；（2）根据题意可得Y 的可能取值为17，18，19，20，21，分别求出Y 取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望.【详解】（1）当8X =时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， ∴平均数为889103544x +++==，方差为2222213535353511[(8)(8)(9)(10)]4444416s =-+-+-+-=；（2）当9X =时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11， 乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10，分别从甲､乙两组中随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果， 这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21，事件“17Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”， ∴该事件有2种可能的结果，21(17)168P Y ===， 事件“18Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树9棵”， ∴该事件有4种可能的结果，41(18)164P Y ===， 事件“19Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树10棵， 或甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树8棵”， ∴该事件有224+=种可能的结果，41(19)164P Y ===， 事件“20Y =”等价于“甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树9棵”， ∴该事件有4种可能的结果，41(20)164P Y ===， 事件“21Y =”等价于“甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树10棵”， ∴该事件有2种可能的结果，21(21)168P Y ===，∴随机变量Y 的分布列为：∴11()17181920211984448E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.8. 语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135的则认为特别优秀.（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望.(附公式：若2~(,)X N μσ，则()0.68P X μσμσ-<≤+=，(22)0.96P X μσμσ-<≤+=).【答案】（1）语文有10人，数学有12人；（2）分布列见解析，98.【解析】【分析】（1）利用正态分布的对称性求出语文成绩特别优秀的概率，从而可估计出语文成绩特别优秀人数，由频率分布直方图可求出数学成绩特别优秀的频率，用频率来衡量概率，从而可求出数学成绩特别优秀的人数；（2）结合（1）可知数学语文单科优秀的有10人，则X 的所有可能取值为0、1、2、3，然后求出各自对应的概率即可列出分布列，求得数学期望【详解】（1）∵语文成绩服从正态分布2(10017.5)N ，，∴语文成绩特别优秀概率为11(135)(10.96)0.022P P X =≥=-⨯=， ∴数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244P =⨯⨯=， ∴语文特别优秀的同学有5000.0210⨯=人，数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=人； （2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0、1、2、3，3103163(0)14C P X C ===，2110631627(1)56C C P X C ⋅===， 1210631615(2)56C C P X C ⋅===，363161(3)28C P X C ===， ∴X 的分布列为：19()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 9. 张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会(选一题答一题)，若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为12. （1）求张明进入下一轮的概率；（2）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望. 【答案】（1）12；（2）分布列答案见解析，数学期望：9316. 【解析】 【分析】（1）分情况讨论张明进入下一轮的概率；（2）由条件可知4,5,6,7ξ=，理解随机变量对应的事件，写出概率分布列，计算数学期望.。
高考大题规范解答—概率统计
分)
8
xi－－x yi－－y
i＝1
＝
8
xi－－x 2
8
yi－－y 2
i＝1
i＝1
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
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由于|r|>0.75 且 r 非常接近 1，所以 y 与 x 具有很强的线性相关关系．(5 分)
8
^ i＝1
经计算可得b＝
xi－－x
yi－－y
8
11×335＝670.(12 分)
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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4．(2024·云南三校联考)(12分)某企业拥有甲、乙两条零件生产线， 为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零 件，测量其尺寸(单位：mm)得到如下统计表，其中尺寸位于[55,58)的零 件为一等品，位于[54,55)和[58,59)的零件为二等品，否则零件为三等品.
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第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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P(X＝500)＝P(A)P(C1)＝185×CC2624＝24285＝7156，(9 分) 所以 X 的分布列是：
X 0 100 400 500
P
7 75
71 225
17 45
16 75
E(X)＝0×775＋100×27215＋400×4157＋500×7156＝28913.(12 分)
x3
3
4
5
5
6
6
8
y 10 12 13 18 19 21 24 27
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
概率论与数理统计重点总结及例题解析
概率论与数理统计重点总结及例题解析(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--概率论与数理统计重点总结及例题解析一：全概率公式和贝叶斯公式例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%, 12% 。
现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。
（同步45页三、1）解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，则A1，A2，A3为一个完备事件组。
P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6,P(B| A1)＝，P(B| A2)＝，P(B| A3)＝。
由全概率公式P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 由贝叶斯公式：P(A1| B)＝P(A1B)/P(B) = 4/9练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。
若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少（同步49页三、1）【】练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（同步29页三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。
解：设事件i A ={从第i 箱取的零件}，i B ={第i 次取的零件是一等品}（1）P(1B )=P(1A )P(1B |1A )+P(2A )P(1B |2A )=52301821501021=+ （2）P(1B 2B )=194.02121230218250210=+C C C C ,则P(2B |1B )=)()(121B P B B P = 二、连续型随机变量的综合题例：设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=othersx x x f 020)(λ求：（1）常数λ；（2）EX ；(3)P{1<X<3}；（4）X 的分布函数F(x)（同步47页三、2）解：(1)由⎰⎰==∞+∞-201)(xdx dx x f λ得到λ＝1/2 (2)3421)(22===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf EX (3)⎰⎰===<<31214321)(}31{xdx dx x f x P(4)当x<0时，⎰∞-==xdt x F 00)( 当0≤x<2时，⎰⎰⎰∞-∞-=+==xxx tdt dx dt t f x F 00241210)()( 当x ≥2时，F （x ）=1故201()02412x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩练习：已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=others x b ax x f 010)( 且E(X)=7/12。
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概率与统计大题总结一、知识点汇编：1.线性回归分析（1）函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．（2）线性回归分析：方法是画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R 2越接近于1，表示回归的效果越好．如果对某组数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析，也可以通过比较几个R 2，选择R 2大的模型作为这组数据的模型．说明：r 只能用于线性模型，R 2则可用于任一种模型. 对线性回归模型来说，22=R r .3、独立性检验（1）对于性别变量，其取值为男和女两种．这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量． （2）假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{}11x ,y 和{}12y ,y 其样本频数列联表称为y 1 y 2 总计x 1 a b a ＋b x 2c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d（3）构造随机变量()()()()()()22+++-=++++a b c d ad bc K ,a b c d a c b d 利用K 2的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，这种方法称为如：如果k ＞7.879，就有99.5％的把握认为“X 与Y 有关系”. 4、概率 事件的关系：⑴事件B 包含事件A ：事件A 发生，事件B 一定发生，记作B A ⊆； ⑵事件A 与事件B 相等：若A B B A ⊆⊆,，则事件A 与B 相等，记作A=B ； ⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生或B 发生，记作B A ⋃（或B A +）； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生且B 发生，记作B A ⋂（或AB ） ；⑸事件A 与事件B 互斥：若B A ⋂为不可能事件（φ=⋂B A ），则事件A 与互斥；⑹对立事件：B A ⋂为不可能事件，B A ⋃为必然事件，则A 与B 互为对立事件。
概率公式：⑵古典概型：基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P =)(；⑶几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( ；5、统计案例 抽样方法：⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为Nn ； ②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数⨯Nn注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等频率分布直方图与茎叶图：⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。
⑵当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。
总体特征数的估计：⑴样本平均数∑==+⋅⋅⋅++=ni i n x nx x x n x 1211)(1；⑵样本方差])()()[(1222212x x x x x x n S n -+⋅⋅⋅+-+-=21)(1x x nni i -=∑= ；⑶样本标准差])()()[(122221x x x x x x n S n -+⋅⋅⋅+-+-==21)(1x x nni i-∑=大题训练1．(本小题满分12分)某中学准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师生素质进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数)，如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为815.(1)求该小组中女生的人数；(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率为34，每个男生通过的频率为23.现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3个人过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．解析 (1)设该小组有n 个女生，根据题意，得C 1n C 110－nC 210＝815，(3分)解得n ＝6或n ＝4(舍去)．(5分) ∴该小组中有6个女生．(6分)(2)由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝13×13×14＝136，(7分)P (ξ＝1)＝C 12×23×13×14＋(13)2×34＝736，(8分) P (ξ＝2)＝C 12×23×13×34＋(23)2×14＝49，(9分)P (ξ＝3)＝(23)2×34＝13.(10分)∴ξ的分布列为 (11分)∴E (ξ)＝0×136＋1×736＋2×49＋3×13＝2512.(12分) 2．(2014·红色六校二次联考)(本小题满分12分)某企业招聘工作人员，设置A ，B ，C 三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加A 组测试，丙、丁两人各自独立参加B 组测试．已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为13，丙、丁两人各自通过测试的概率均为12.戊参加C 组测试，C 组共有6道试题，戊会其中4题．戊只能且必须选择4题作答，至少答对3题则竞聘成功．(1)求戊竞聘成功的概率；(2)求参加A 组测试通过的人数多于参加B 组测试通过的人数的概率； (3)记A 、B 组测试通过的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望． 解析 (1)设戊竞聘成功为A 事件，则P (A )＝C 44＋C 34C 12C 46＝1＋815＝35.(3分)(2)设参加A 组测试通过的人数多于参加B 组测试通过的人数为B 事件， 则P (B )＝C 12×13×23×(12)2＋13×13×(12)2＋13×13×C 12×(12)2＝736.(6分) (3)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4， P (ξ＝0)＝23×23×12×12＝19，P (ξ＝1)＝C 12×13×23×12×12＋23×23×C 12×12×12＝13，P (ξ＝2)＝13×13×12×12＋23×23×12×12＋C 12×13×23×C 12×12×12＝1336，P (ξ＝3)＝13×13×C 12×12×12＋C 12×13×23×12×12＝16，P (ξ＝4)＝13×13×12×12＝136.(10分)所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P1913133616136E (ξ)＝0×19＋1×13＋2×1336＋3×16＋4×136＝53.(12分) 3．(2014·一模)(本小题满分12分)现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为12，乙、丙应聘成功的概率均为t2(0<t <2)，且三个人是否应聘成功是相互独立的．(1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t 的值； (2)记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ为2时概率最大，求E (ξ)的取值围．解析 (1)由题意得2×t 2×(1－t 2)＝12，解得t ＝1.(3分)(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3， P (ξ＝0)＝(1－12)(1－t 2)(1－t2)＝2－t28，P (ξ＝1)＝12×(1－t 2)×(1－t 2)＋2×(1－12)×t 2×(1－t 2)＝4－t 28，P (ξ＝2)＝2×12×t 2×(1－t 2)＋(1－12)×t 2×t 2＝4t －t 28，P (ξ＝3)＝12×t 2×t 2＝t 28.故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P2－t 284－t 284t －t 28t 28(7分)所以E (ξ)＝t ＋12.(8分)由题意得P (ξ＝2)－P (ξ＝1)＝t －12>0，P (ξ＝2)－P (ξ＝0)＝－t 2＋4t －24>0，P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝2t －t 24>0.又因为0<t <2，所以t 的取值围是1<t <2.(11分) 所以32<E (ξ)<52.(12分)4．(本小题满分12分)周先生的船舱中装有6条小鱼和1条大鱼，由于在海上漂流，他计划从当天开始，每天从该船中捕捉1条鱼(每条鱼被抓到的概率相同)并吃掉来维持生计．若大鱼未被捕捉，则它每天要吃掉1条小鱼．(1)求这7条鱼中至少有6条被周先生吃的概率；(2)以ξ表示这7条鱼中被周先生吃掉的条掉，求ξ的分布列及其数学期望． 解析 (1)设周先生能吃到的鱼的条数为ξ，若周先生要吃到7条鱼，则必须在第一天吃掉大鱼，P (ξ＝7)＝17，若周先生要吃到6条鱼，则必须在第二天吃掉大鱼，P (ξ＝6)＝67×15＝635.故周先生至少吃掉6条鱼的概率是P (ξ≥6)＝P (ξ＝6)＋P (ξ＝7)＝1135.(4分)(2)周先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7，最坏的情况是只能吃到4条鱼：前3天各吃掉1条小鱼，其余3条小鱼被大鱼吃掉，第4天吃掉大鱼，其概率为P (ξ＝4)＝67×45×23＝1635，(6分)P (ξ＝5)＝67×45×13＝835，由(1)知P (ξ＝6)＝635，P (ξ＝7)＝17.(8分)所以ξ的分布列为(10分)故E (ξ)＝4×1635＋5×835＋6×635＋7×17＝5.(12分)5．(2014·)(每小题满分13分)明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X为明在这场比赛中的命中次数．比较E(X)与x的大小．(只需写出结论)思路(1)利用古典概型求概率；(2)利用互斥事件和独立事件概率计算公式求概率；(3)直接利用数学期望公式求解．解析(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(3分)(2)记事件A为“在随机选择的一场主场比赛中明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C＝A B∪A B，A，B独立．(5分)根据投篮统计数据，P(A)＝35，P(B)＝25.P(C)＝P(A B)＋P(A B)＝35×35＋25×25＝1325.(8分)所以在随机选择的一个主场和一个客场中，明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(9分)(3)E (X )＝x .(13分) 6．(本小题满分12分)我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A ，B 两城市之间开通高速列车，假设列车在试运行期间，每天在8：00－9：00,9：00－10：00两个时间段各发一趟由A 城开往B 城的列车(两车发车情况互不影响)，A 城发车时间及概率如下表所示：8：00和周日8：20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)(1)求甲、乙两人候车时间相等的概率；(2)设乙候车所需时间为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．解析 (1)由题意得，甲、乙两人的候车时间分别是10分钟，30分钟，50分钟的概率为P 甲(10)＝16，P 甲(30)＝13，P 甲(50)＝12；P 乙(10)＝13，P 乙(30)＝12，P 乙(50)＝16×16＝136.(4分)所以甲、乙两人候车时间相等的概率P ＝16×13＋13×12＋12×136＝1772.(6分)(2)ξ的所有可能取值为10,30,50,70,90，(单位：分钟) 所以ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝10×13＋30×12＋50×136＋70×118＋90×112＝2809.(12分)7．(本小题满分12分)考古工作人员在某遗址经过全面勘探、调查和试掘，判定该遗址有A ，B ，C ，D ，E ，F 六件珍贵物件，且这六件珍贵物件呈如图所示的位置在地底埋藏着，考古工作人员需挖掘出上面的某个物件后才能挖掘其相应位置下面的物件．(1)若要求先挖掘物件A ，B ，C ，E ，求物件E 第3次被挖掘到的概率； (2)设物件E 第X 次被挖掘到，求随机变量X 的分布列与数学期望．解析 (1)由题意，可将上述问题转化为：挖掘4个物件A ，B ，C ，E 进行了4个步骤，且挖掘B 步骤一定在挖掘E 步骤前，物件E 可在第2步、第3步或第4步被挖掘到．方法一 分类列举(不考虑D ，F )：若E 在第2步被挖掘到，则B 必在第1步被挖掘到，故有A 22＝2种情况；(1分)若E 在第3步被挖掘到，则B 在E 前选1步被挖掘到，故有C 12A 22＝4种情况；(3分)若E 在第4步被挖掘到，则有A 33＝6种情况．(4分) 故物件E 第3次被挖掘到的概率P ＝412＝13.(5分)方法二 排组计数(考虑了D ，F )：因为B 必在E 前，即B ，E 步骤顺序一定，故总的可能情况有C 24A 22A 22＝24种．(2分) 若E 在第3步被挖掘到，则B 在E 前选1步被挖掘到，故有C 12A 22A 22＝8种情况，(4分) 故物件E 第3次被挖掘到的概率P ＝824＝13.(5分)(2)由题意，可将上述问题转化为：挖掘6个物件A ，B ，C ，D ，E ，F 进行了6个步骤，且要求A 在D 前，B 在E 前，C 在F 前．则物件E 可在第2步、第3步、第4步、第5步、第6步被挖掘到，即X 的所有可能取值为2,3,4,5,6.P (X ＝2)＝C 24C 22C 26C 24C 22＝115，P (X ＝3)＝C 12C 24C 22C 26C 24C 22＝215，P (X ＝4)＝C 13C 24C 22C 26C 24C 22＝15，P (X ＝5)＝C 14C 24C 22C 26C 24C 22＝415，P (X ＝6)＝C 15C 24C 22C 26C 24C 22＝13.随机变量X 的分布列为X 2 3 4 5 6 P1152151541513(10分)所以E (X )＝2×115＋3×215＋4×15＋5×415＋6×13＝143.(12分)8．(2014·二次诊断)(本小题满分12分)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．现用A ，B 两种不同型号的节能灯做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示：以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．(1)现从大量的A ，B 两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率；(2)已知A 型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”．通过多年统计发现，A 型节能灯每件产品的利润y (单位：元)与其使用时间t (单位：千小时)的关系如下表：使用时间t (单位：千小时) t <4 4≤t <6 t ≥6每件产品的利润y(单位：元)－20 20 40A X X及数学期望．解析 (1)从A 型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P (A )＝12.(1分)从B 型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P (B )＝25.(2分)∴从A ，B 两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，恰有两件是优质品的概率P ＝C 12(12)1(12)1×C 12(25)1(35)1＋C 22(12)2×C 22(35)2×C 22(12)2×C 22(25)2＝37100.(6分) (2)据题意，知X 的可能取值为－40,0,20,40,60,80.(7分) ∵P (X ＝－40)＝C 22(110)2＝1100， P (X ＝0)＝C 12(110)1×(25)1＝225， P (X ＝20)＝C 12(110)1×(12)1＝110，P (X ＝40)＝C 22(25)2＝425， P (X ＝60)＝C 12(25)1×(12)1＝25，P (X ＝80)＝C 22(12)2＝14.∴X 的分布列为(10分)∴数学期望E (X )＝10(－4×1100＋0＋2×110＋4×425＋6×25＋8×14)＝52.(12分)9．(2014·)(本小题满分12分)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879附：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.思路(1)根据抽样比计算分层抽样中应抽取的人数；(2)利用对立事件或互斥事件的概率公式求运动时间超过4小时的概率；(3)根据K2的计算公式求解．解析(1)300×4 50015 0000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2分)(2)由频率分布直方图，得1－2×(0.025＋0.100)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(5分)(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：(7分) 每周平均体育运动时间与性别列联表男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过4小时165 60 225 总计21090300结合列联表可算得K 2＝300×45×60－165×30275×225×210×90＝10021≈4.762>3.841. 所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．(12分) 探究 知识：分层抽样、频率分布直方图、独立性检验．能力：根据频率分布直方图求概率、分层抽样计算女生的人数以及根据K 2进行独立性检验，考查运算求解能力、分析解决问题的能力、数据处理能力以及逻辑思维运算能力．试题难度：中等．10．(2014·六校联考)(本小题满分12分)为改善城市雾霾天气造成的空气污染，社会各界掀起净化、美化环境的热潮．某单位计划在办公楼前种植A ，B ，C ，D 四棵风景树，受本地地理环境的影响，A ，B 两棵树种成活的概率均为12，另外两棵树种的成活率都为a (0<a <1)．(1)若出现A ，B 有且只有一棵成活的概率与C ，D 都成活的概率相等，求a 的值； (2)当a ＝23时，记ξ为最终成活的树的数量，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．思路 本题以社会热点问题为命题背景，考查概率的计算、随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)的计算．(1)根据A ，B 有且只有一棵成活的概率与C ，D 都成活的概率相等列出等式即可求出a 的值；(2)考查离散型随机变量的期望值，求解离散型随机变量的问题，首先根据题意分别求出随机变量ξ的可能取值对应的概率，列出ξ的分布列，再根据期望公式计算E (ξ)的值．解析 (1)由题意，得2×12×(1－12)＝a 2，解得a ＝22.(4分)(2)依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4， 则P (ξ＝0)＝C 02×(1－12)2×C 02×(1－23)2＝136，P (ξ＝1)＝C 12×12×(1－12)×C 02×(1－23)2＋C 02×(1－12)2×C 12×23×(1－23)＝16，P (ξ＝2)＝C 22×(12)2×C 02×(1－23)2＋C 12×12×(1－12)×C 12×23×(1－23)＋C 02×(1－12)2×C 22×(23)2＝1336， P (ξ＝3)＝C 22×(12)2×C 12×23×(1－23)＋C 12×12×(1－12)×C 22×(23)2＝13，P (ξ＝4)＝C 22×(12)2×C 22×(23)2＝19.(9分)所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×136＋1×16＋2×36＋3×3＋4×9＝3.(12分) 11．(2014·二模)(本小题满分12分)某公司生产产品A ，产品质量按测试指标分为：指标大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元．现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：估计为他们生产产品A 为一等品、二等品、三等品的概率．(1)计算新工人乙生产三件产品A 给工厂带来盈利大于或等于100元的概率； (2)记甲、乙两人分别生产一件产品A 给工厂带来的盈利和为X ，求随机变量X 的概率分布和数学期望．解析 甲生产一件产品A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为310，610，110，(3分)乙生产一件产品A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为110，710，210.(6分)(1)记“新工人乙生产三件产品A 给工厂带来盈利大于或等于100元”为事件D ，则D 包含的情况有：三件都是一等品；两件是一等品，一件是二等品或一件是一等品，两件是二等品．故P (D )＝(110)3＋3×(110)2×710＋3×110×(710)2＝1691 000.(8分)(2)随机变量X 的所有可能取值为100,80,60,40,20，－20.P (X ＝100)＝310×110＝3100， P (X ＝80)＝310×710＋110×610＝27100， P (X ＝60)＝610×710＝42100＝2150， P (X ＝40)＝310×210＋110×110＝7100，P (X ＝20)＝610×210＋110×710＝19100， P (X ＝－20)＝110×210＝2100＝150. 所以随机变量X 的概率分布为(10分)E (X )＝300＋2 160＋2 520＋280＋380－40100＝56.(12分)12．(本小题满分12分)甲、乙、丙三人参加某次招聘会、假设甲能被聘用的概率是25，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙、丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．(1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率；(2)设ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与数学期望．解析 (1)记甲、乙、丙各自能被聘用的事件分别为A 1，A 2，A 3，由已知A 1，A 2，A 3相互独立，且满足.⎩⎪⎨⎪⎧P A 1＝25，[1－P A 1][1－P A 3]＝625，P A 2P A 3＝310.(3分)解得P (A 2)＝12，P (A 3)＝35.所以乙、丙两人各自能被聘用的概率分别为12，35.(6分)(2)ξ的所有可能取值为1,3.因为P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1 A 2 A 3) ＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋[1－P (A 1)][1－P (A 2)][1－P (A 3)] ＝25×12×35＋35×12×25＝625，(8分) 所以P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝3)＝1－625＝1925.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝1×1925＋3×625＝3725.(12分)ξ 1 3 P1925625。