第十一章本章优化总结
最优化理论与算法(第十一章)
第十一章约束最优化问题的可行方向法§1 Frank-Wolf方法一、问题形式（11.1）其中为矩阵，，。
记并设一阶连续可微。
二、算法基本思想是一个凸多面体，任取，将在处线性展开用或（11.2）逼近原问题，这是一个线性规划问题，设是其最优解。
1）若，则也是线性规划问题（11.2）的最优解，此时可证为原问题的K-T点。
2）若，则由是（11.2）的最优解，故必有从而即为在处的下降方向，沿此方向作有约束的一维搜索设最佳步长因子为，令当充分小时用取代，重复以上计算过程。
三、算法迭代步骤1）给定初始点，允许误差，。
2）求解线性规划问题，得最优解。
3）若，Stop,；否则go to 4)。
4）进行一维搜索，得最优步长因子；令，，go to 2)四、算法收敛性定理设非线性规划问题（11.1）的最优解存在，且对算法产生的点列，线性规划问题（11.3）的最优解总存在。
则1）若迭代到某步，有，则为问题（11.1）的K-T点；2）若情形1）总不发生，则算法产生一有界无穷点列，其任意极限点都是原问题（11.1）的K-T点。
证明：若情形1）出现，则也是问题（11.3）的最优解，故满足（11.3）的K-T条件：（11.4）而(11.1)的K-T条件：（11.5）（11.4）表明，，一起满足K-T条件（11.5），故是原问题的K-T点。
2）由点列包含在的极点的凸组合中，而均为的极点，故、均为有界点列。
设为的任一极限点，即存在子列，使得：注意到点列满足：考虑点列、、，不失一般性，设，，否则，可以通过反复抽取子序列，使上式对某个子序列成立。
由是的最优解，故，有且再由及取极限，有（11.6）不等式组（11.6）等价于：（11.7）若能证明即为问题的最优解，由本定理的第一部分可知，为原问题K-T点。
下证：，若不然，由（11.7）即知必有故为处的下降方向，因而当充分小时，有进而有：（11.8）但为单调下降的有界序列，故存在而且即与（11.8）矛盾，故必有。
高中物理必修三第十一章知识点总结
高中物理必修三第十一章知识点总结高中物理必修三第十一章主要涉及到电流和电阻的相关知识。
本章内容包括电流、电阻的定义和性质、欧姆定律、串联和并联电阻的计算、电功率和电能的计算等。
一、电流电流是电荷的流动，是电荷在导体中的移动形成的。
电流的单位是安培（A），1A等于1库仑/秒。
电流的方向由正电荷的流动方向决定。
二、电阻电阻是导体阻碍电流通过的程度，是导体抵抗电流流动的特性。
电阻的单位是欧姆（Ω）。
电阻与导体材料、导体的长度和截面积有关。
三、欧姆定律欧姆定律是描述电流、电压和电阻之间关系的定律。
它表明在恒温下，电流与电压成正比，与电阻成反比。
数学表达式为：I = U/R。
四、串联电阻串联电阻是指多个电阻依次连接，电流依次流过各个电阻的情况。
串联电阻的总电阻等于各个电阻之和，即R = R1 + R2 + ... + Rn。
五、并联电阻并联电阻是指多个电阻同时连接在电路中，电流在各个电阻中分流的情况。
并联电阻的总电阻满足倒数之和等于倒数和，即1/R = 1/R1 + 1/R2 + ... + 1/Rn。
六、电功率电功率是电流通过电路时所做的功，表示电能转化的速率。
电功率的单位是瓦特（W），1W等于1焦耳/秒。
电功率可以通过电流和电压计算得到，P = UI。
七、电能电能是电流通过电路时所转化的能量，是电功率与时间的乘积。
电能的单位是瓦特时（Wh），1Wh等于1瓦特乘以1小时。
电能可以通过电功率和使用时间计算得到，E = Pt。
总结：本章主要介绍了电流和电阻的基本概念和性质，以及与之相关的欧姆定律、串联和并联电阻的计算、电功率和电能的计算等知识。
了解这些知识可以帮助我们理解电流和电阻在电路中的作用和计算方法，为解决相关问题提供了基础。
同时，通过掌握这些知识，我们也可以更好地理解和应用电路中的其他内容，为进一步学习和研究电路提供了基础。
八年级下册数学第十一章总结
本章总结一、知识网络回顾二、 重点专题讲解【专题1】与平行线有关的角度计算问题与平行线有关的角度计算问题,是一类重要的题型,其解题的基本思路是,利用平行线的性质得出角相等或互补的关系,以此沟通已知角与未知角的联系,从而解决问题.下面举例予以说明.【例1】(08·菏泽)如图1,已知AB ∥CD,BE 平分∠ABC,∠CDE= 150,则∠C=____.分析:由∠CDE 与∠CDB 互补,可得∠CDB= 180-∠CDE= 180- 150= 30.由AB ∥CD,得∠ABD=∠CDB= 30.又BE 平分∠ABC,所以∠ABC=2∠ABD=60.再由AB ∥CD,可得∠C+∠ABC= 180,所以∠C= 180-∠ABC= 180- 60= 120.点拨:本题中的∠ABD 是∠C 与∠CDE 之间联系的桥梁,故运用平行线的性质求出∠ABD 的度数是解题的关键所在.【例2】(08年天门) 如图11-C-1,AB ∥CD,AE 与CP 相交于点P,且∠1＝105°, ∠2＝140°,则∠3的度数是（ ）.A .75°B .65°C .55°D .50°分析:题中虽有平行的条件,但没有同位角、内错角或同旁内角,所以不能直接运用平行线的性质.为了找到∠3与∠1、∠2的联系,可过P 点作PM ∥AB.因为AB ∥CD,所以 PM ∥CD.由PM ∥AB,得∠MPE=∠1＝105°.由PM ∥CD,得∠2+∠MPC=180°, 所以∠MPC=180°-∠2=180°-140° =40°.所以∠3=∠MPE -∠MPC=105°-40°=65°.故选B. 点拨：本题通过作已知直线的平行线,构造出了含有相等角或互补角的基本图形,从而为角度的计算创造了条件.这是一 A B C D E 图1 A B C D P M 1 2 3 E 图11-C-1种常用的解题技巧,希望同学们能够认真体会.【专题2】数学思想方法（一）分类思想分类思想方法是一种重要的数学思想方法,正确、合理、严谨的分类,可将一个复杂的问题简单化,达到化繁为简、化难为易、分而治之的目的。
必修三第十一章知识点总结
必修三第十一章知识点总结本章主要讲述了社会主义初级阶段的理论和实践，探讨了社会主义初级阶段的基本特征、基本矛盾和基本任务，深入分析了我国社会主义初级阶段的基本国情和基本状况，以及在这种基本国情和基本状况下，社会主义初级阶段的总路线和基本纲领，指出了全党全军全国各族人民团结奋斗、坚持稳定、密切联合、以经济建设为中心的方针，处理好社会主义初级阶段的各种矛盾。
一、本章要点（一）社会主义初级阶段1、社会主义初级阶段的基本特征社会主义初级阶段是指进入社会主义制度的国家在生产力不发达、经济文化落后的情况下，必须经历的一个相对长的历史时期。
它的主要特征是：我国是世界上最大的发展中国家，人口众多，还处于城乡差距大、区域发展不平衡、生产力比较薄弱、物质文明和精神文明都比较落后的国情。
因此它是在我国国情和国际条件下确立的历史阶段。
2、社会主义初级阶段的基本矛盾社会主义初级阶段的基本矛盾是**生产关系和生产力之间的矛盾**。
生产关系和生产力的矛盾，在经济基础中具体表现为：我国经济社会的总体生产力比较落后，同生产关系发展的需要不相适应，出现了严重的矛盾。
3、社会主义初级阶段的基本任务关于社会主义初级阶段的基本任务，既要坚持马克思主义的基本原则，又要根据我国具体国情，以发展生产力为中心。
我国的基本国情是我国是世界上最大的发展中国家，人口众多，粮食短缺任务繁、生产力落后，还处于城乡差距大、区域发展不平衡、物质文明和精神文明都比较落后的国情。
因此，发展生产力仍然是解放生产力，解决人民日益增长的需要的根本动力。
（二）社会主义初级阶段的总路线和基本纲领1、社会主义初级阶段的总路线社会主义初级阶段的总路线是：在社会主义初级阶段，发展社会主义社会生产力，解决人民日益增长的物质和文化需要，发展社会主义的先进文化，建设社会主义的先进政治制度。
这是在我国社会主义初级阶段总路线的基础上提出的基本纲领。
它概括了我国社会主义初级阶段发展的战略任务。
八年级数学上册 第十一章 梯形知识点总结 (新版)新人教版
八年级数学上册第十一章梯形知识点总
结 (新版)新人教版
1. 梯形的定义
梯形是指有两条平行边的四边形。
其中，较长的两边叫做上底和下底，两条连接上底和下底的斜边叫做腰，而两条腰的交点叫做顶点。
2. 梯形的分类
根据上底和下底的长度关系，梯形可以分为以下几类：
- 等腰梯形：上底和下底长度相等的梯形。
- 直角梯形：腰和底边之间有直角的梯形。
- 一般梯形：除了等腰梯形和直角梯形以外的其他梯形。
3. 梯形的性质
- 梯形的对边平行：一条边和与之不共顶点的另一条边平行。
- 梯形的底角和顶角互补：底边的两个邻角和顶边的两个邻角互补，即它们的和为180度。
- 等腰梯形的性质：等腰梯形的底角相等，顶角相等，且底边中点连线与顶边中点连线平行。
4. 梯形的面积计算
梯形的面积可以用以下公式计算：
面积 = [(上底 + 下底) ×高] ÷ 2
5. 梯形的周长计算
梯形的周长可以用以下公式计算：
周长 = 上底 + 下底 + 两条腰的长度
以上是八年级数学上册第十一章梯形的基本知识点总结，希望对您的研究有所帮助！。
论语第十一章先进篇心得总结
论语第十一章先进篇心得总结的第十一章先进篇，读来真让我感触颇多。
这一章里，孔子和他弟子们的言行举止，就像是一幅幅生动的画面，在我眼前不断展开。
先来说说这一章中的一些具体内容吧。
里面提到了颜回的安贫乐道，子路的直率勇敢，还有孔子对于不同弟子的评价和教导。
这让我不禁想到了自己生活中的点点滴滴。
就拿我身边的一个朋友小宁来说吧。
小宁啊，那可真是个特别的人，跟颜回有点相似之处呢。
小宁的家庭条件不算好，但是他从来没有抱怨过，每天都是乐呵呵的。
他住在一个小小的出租屋里，房间简陋得很，一张旧床，一个掉了漆的书桌，还有一把坐上去嘎吱嘎吱响的椅子。
可他却把那小房间收拾得干干净净，还在墙上贴了自己写的励志话语。
有一次我去他那里，一进门就被那股积极向上的氛围给感染了。
他正在那张书桌上认真地学习，台灯的光洒在他专注的脸上。
我好奇地问他：“小宁，你这条件这么艰苦，咋还这么有劲头呢？”他抬起头，笑着对我说：“这算啥艰苦呀，能有个地方让我安安静静学习，我就很满足啦。
”他的眼神里透着坚定，那一刻，我突然明白了颜回那种“一箪食，一瓢饮，在陋巷，人不堪其忧，回也不改其乐”的境界。
小宁在学习上也特别刻苦。
每天早上天不亮就起来背单词，晚上我们都出去玩了，他还在那里做练习题。
记得有一次，我们几个朋友约好一起去看电影，大家都到齐了，就差小宁。
打电话一问，他居然还在图书馆查资料，为了一道难题在那钻研呢。
等他赶到电影院的时候，电影都快结束了。
我们都埋怨他，他却一脸不好意思地说：“哎呀，那道题我要是不弄明白，心里就不踏实。
”还有一次，学校组织了一场知识竞赛。
小宁毫不犹豫地报了名。
比赛前的那几天，他几乎是废寝忘食，把所有的时间都花在了准备上。
我们都劝他别太拼了，可他却说：“这是个难得的机会，我得好好把握。
”比赛那天，他在台上镇定自若，对答如流，最终赢得了比赛的冠军。
那一刻，他站在领奖台上，笑容灿烂得像阳光一样。
再回过头来看中的先进篇，我觉得孔子对于弟子们的教导，其实就是在告诉我们，人生的道路上，无论处于何种境遇，都要有自己的坚守和追求。
最新人教版八年级物理下册第十一章《功和机械能》知识点总结与对应练习
则在此过程中（
）
A、推力做了 1000J 的功 B、推力的功率为 20W C、重力做了 100 好的功 D、摩擦力为 50N
3. 一建筑工人用 50N 的水平推力推小车，使小车在水平地面上匀速前进了 15m，小车受到的
阻力为
N．撤去推力，小车仍然能继续向前运动 0．5m，这是由于小车具有
．在
上述小车前进的过程中，建筑工人对小车做的功为
，
动能
；离地球中心最近的一点叫近地点，这里卫星的势能
，动能
.
⑸滚摆上升下落过程中，如果不计空气阻力，机械能守恒。上升动能转化为重力势 能，下降重力势能转化为动能，最低点速度最大，动能最大，最高点重力势能最大， 动能最小，下降过程反之。考虑空气阻力，滚摆每次上升高度减小，机械能转化为 内能。
4
六、水能和风能的利用
（3）该实验中斜面的作用是为了控制钢球_____的大小，木块的作用是为了比较钢球___的大 小。
（4）本次实验采用物理最常用的一种实验方法是____________。
（甲）
（乙）
4．机械能：动能和势能统称为机械能。 理解： ①有动能的物体具有机械能； ②有势能的物体具有机械能； ③同时具有动能和势能的物体具有机械能。
J．
4．动能与势能转化问题的分析：
⑴首先分析决定动能大小的因素，决定重力势能（或弹性势能）大小的因素──看
动能和重力势能（或弹性势能）如何变化——质量，速度，高度，弹性形变
⑵还要注意动能和势能相互转化过程中的能量损失和增大──如果除重力和弹力外
没有其他外力做功（即：没有其他形式能量补充或没有能量损失），则动能势能转化
2．知识结构：
（2）将（甲）与（乙）两实验比较可知，小球动能的大小与小球的_______有关. 将（甲）与（丙）两实验比较可知，小球动能的大小与小球的_______有关.
初中物理第十一章知识点总结归纳
初中物理第十一章知识点总结归纳第一节电流的概念与电路图符号电流是流经导体的电荷数量。
用字母I表示，单位是安培（A）。
在电路图中，电流用箭头表示，箭头指向表示电流的方向。
第二节电流的方向与电子的运动方向电流方向是指正电荷（正离子）的运动方向，与电子的运动方向相反。
第三节电流的测量电流可以使用安培表进行测量，将安培表连接在待测电路的路径上，读数即为电流值。
第四节电阻的概念与测量电阻是物体阻碍电流通过的特性。
用字母R表示，单位是欧姆（Ω）。
电阻可以使用欧姆表进行测量，将欧姆表连接在待测电阻两端，读数即为电阻值。
第五节常用导体与非导体的特性常用导体如铜、铝等，它们具有低电阻，能够很好地传导电流。
非导体如橡胶、塑料等，它们具有高电阻，不易传导电流。
第六节串联电路与并联电路串联电路是指电流从一个元件流过，再流向下一个元件。
在串联电路中，总电阻等于各个元件电阻之和。
并联电路是指电流同时通过多个元件。
在并联电路中，总电阻等于各个元件电阻的倒数之和的倒数。
第七节电压的概念与测量电压是电荷在电路中的能量转换，也称为电势差。
用字母U表示，单位是伏特（V）。
电压可以使用电压表进行测量，将电压表连接在待测电路的两点之间，读数即为电压值。
第八节电阻与电压的关系根据欧姆定律，电阻与电压成正比，电流与电压成正比。
公式为：U = I * R。
其中，U表示电压，I表示电流，R表示电阻。
第九节欧姆定律的应用欧姆定律可以应用于解决电路中的电流、电压和电阻之间的关系问题。
通过欧姆定律，我们可以计算出电流、电压或电阻的未知值。
第十节电功与功率电功是电能转换的体现，用字母W表示，单位是焦耳（J）。
功率是电功转化的速率，用字母P表示，单位是瓦特（W）。
功率等于电流乘以电压，即P = I * U。
第十一节并联电路中的电流计算在并联电路中，总电流等于各个元件所受电压之和除以总电阻。
第十二节串联电路中的电压计算在串联电路中，总电压等于各个元件电压之和。
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本章优化总结
机械振动
⎩
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧简谐运动
⎩
⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧特点⎩⎪⎨⎪⎧受力特点：F ＝－
kx 运动特点：a ＝－kx
m （变加速运动）
振动位移随时间的变化规律：正弦（或余弦）规律，x ＝A sin （ωt ＋φ0）
描述
⎩
⎪⎨⎪⎧物理量⎩⎪⎨⎪⎧位移x ：以平衡位置为参考点
振幅（A ） ⎭⎬⎫周期（T ）频率（f ）T ＝1
f
相位
振动图象⎩
⎪⎨⎪
⎧正弦（或余弦）曲线
物理意义
图象信息振动能量：动能和势能之和
理想化模型⎩⎨
⎧弹簧振子
单摆：（在摆角很小，θ≤10°时）T ＝2π
l g
外力作用下的振动⎩⎪⎨⎪
⎧阻尼振动⎩⎨
⎧振幅逐渐减小
振动能量逐渐转化为其他形式的能
受迫振动⎩
⎪⎨⎪
⎧周期性驱动力作用下的振动受迫振动的频率等于驱动力的频率共振：当f 驱
＝f 固
时，振幅A 最大的现象
振动图象及其应用
1．图线的物理意义：反映了质点做简谐运动时位移随时间变化的关系，即x －t 关系． 2．振动图线不是质点的运动轨迹． 3．图象的作用
如下图表示一质点做简谐运动的图象．从图象中可以知道：
(1)任一时刻质点的位移．例如，在t ＝0时，x ＝0，在t ＝t 1时，图线上对应点为P ，其纵坐标为7 cm ，则表示t 1时刻质点的位移为x ＝7 cm.
(2)振幅A .最大的位移的值就是振幅A ＝10 cm.
(3)确定振动的周期和频率．振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的
“长度”表示周期．由上图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期T＝0.2 s，频率f＝1
T＝5 Hz.
(4)速度方向：由图线随时间的延伸就可以直接看出．譬如，t1时刻质点的位移为7 cm，图线向上延伸，说明质点是向x轴正方向运动的．由此可总结为：顺着时间走，上坡向上，下坡向下．
(5)回复力和加速度：由F＝－kx，a＝F/m知F和a均与位移大小成正比，而方向总与位移方向相反．只要从振动图象中认清位移(大小和方向)随时间变化的规律，加速度随时间变化的情况就迎刃而解了．例如在0到t1的过程中，x为正向，F和a均为负向，x增大，则F和a随之增大．
(6)已知某段时间的振动图象，可画下一段时间的振动图象，只要将原图象按正弦或余弦图象的规律“延伸”即可．如下图所示．
(2015·成都七中高二月考)如图是某弹簧振子在水平面内做简谐运动的位移－时间
图象，则振动系统在()
A．t1和t3时刻具有相同的动能和速度
B．t3和t5时刻具有相同的势能和速度
C．t1和t5时刻具有相同的加速度
D．t2和t5时刻振子所受回复力大小之比为2∶1
[解析]由题图知，t1和t3时刻质点的位置相同，但运动方向不同，所以具有相同的动能，而速度是矢量，方向不同，故A错误；t3和t5时刻的位置相对于平衡位置对称，所以势能是相同的，位移虽然不同，但具有相同的速度，故B正确；t1和t5时刻相差半个周期，处于相
对于平衡位置对称的两个位置，由a＝－kx
m
知加速度大小相同而方向相反，故C错误；由回复力的公式：F＝－kx，知t2和t5时刻位移大小分别是6 cm和3 cm，则振子所受回复力大小之比为2∶1，故D正确．
[答案]BD
[方法总结]在振动图象中以位移这个矢量及位移的变化来分析一系列的物理量，当位。