电动力学考研试题

2000年电子科技大学电动力学考研试题一、6个小题，每题5分，应届生必作（3）（4）（5）（6）题，在职生可在其中任选4题做（其中 m E ,0及p 为常矢量,r xi yj zk =++,r y z =++χ222）（1）求∇r（2）求∇⨯r（3）求⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯∇3r r m(不等于0)（4）求()[]r k E⋅⋅∇sin 0（5）求证:()ϕϕ∇⋅=∇⋅p p（6）应用高斯定理证明:⎰⎰⎰⎰⎰⨯=⨯∇vsfs d dv f解:()1222222222∇=++++++++=++=r x y z i yxyzj zxyz kx r i y r j z r k r r∂∂χ∂∂∂∂(2)∇⨯=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪= r z y y z i y z j y y k ∂∂∂∂∂χ∂∂∂χ∂∂χ∂χ∂0 ()()()()()()()311333333333335∇⨯⨯⎛⎝ ⎫⎭⎪=⋅∇⎛⎝ ⎫⎭⎪+∇⋅⎛⎝ ⎫⎭⎪-⋅∇-∇⋅=∇⋅⎛⎝ ⎫⎭⎪-⋅∇=-⋅∇=-⋅∇-⋅∇=⋅-m r r r r m r r m m r r m rrr r m m r rm r r r m r rm rr m rrm r 3()[]()()()()()sin ()sin()sin()sin cos 400000∇⋅=∇⋅⋅+⋅∇⋅=⋅⋅⋅∇⋅⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=⋅⋅E k r E k r E k r E d k r d k r k r E k k r()()(5)pp p y p z p xp yp zp p x i y j z k p x p y p z p x y z xyzxyz⋅∇=++⎛⎝ ⎫⎭⎪=++⋅∇=⋅++⎛⎝ ⎫⎭⎪=++=⋅∇ϕ∂∂χ∂∂∂∂ϕ∂∂ϕ∂∂ϕ∂∂ϕϕ∂∂ϕ∂∂ϕ∂∂ϕ∂∂ϕ∂∂ϕα∂ϕϕ（6）以任意常矢量C 点乘右端，得()()()()()C ds f ds f C f c dsf c dv f c dv f c dvc fdv⋅⨯=⨯⋅=⨯⋅=∇⋅⨯=∇⨯⋅-⋅∇⨯=⋅∇⨯⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 因c 是任意常矢量，故有∇⨯=⨯⎰⎰⎰⎰⎰fdv ds f二、两小题每题20分，应届生必做（1），在职生可在其中任选一题做（1）试证明单位时间内流入闭曲面的电磁能量等于该闭曲面内运动电荷机械能的增量 之和.（2）试证明同轴传输线通过内导线表面进入导线内的能流，等于导线的损耗功率。

证明：（1）电磁场对运动电荷所做的功，等于运动电荷机械能的增量，故：()()dw dtf v d E v B v d E v d j f Ed E v B d E H E P t m v vvvvv=⋅=+⨯⋅=⋅=⋅=+⨯=⋅∇⨯-⋅⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰τρρτρττρρτ∂∂()因()()()∇⨯=∇⨯-∇⨯=-⎛⎝ ⎫⎭⎪-∇⨯E H H E E H H B t E H ()∂∂故()dw dtH B T E H E D T d t E D H B E H d t E D H B E H d tW d S d m VV V V=--∇⨯-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⋅+⋅-∇⨯=-⋅+⋅-⋅=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂τ∂∂∂∂σ∂∂τσ(){[()]()}[()]1212∑∑∴-=+⎰⎰⎰⎰⎰ S d dw dt w td mVσ∂∂τ∑（2）设同轴传输线内导线半径为a ，电导为σ，载有电流I （设沿J向）；该导线内电场为E ，电流密度为J 则有：ze a I J E σπσ2==由于电场切向分量连续，故知紧贴导线表面附近亦存在同样电场分量： E E Ia e z z==πσ2而紧贴导线表面附近的磁场H I ae =2πθ故能流密度矢量具有垂直指向内导线的分量：S E H Ia Iae al IaIRIall n z r =⨯==-==πσπσπσππ22232222122()∴⋅=22πac s RIl三、真空中有一接地导体球壳半径为r 0，距球心a 处有一电偶极子 p ql =,且p 垂直于球心与电偶极子中心的连线，又a l >>,求空间的电势分布及电场分布。

解：球内ϕ==00,E因a l >>,故可近似认为电偶极子两电荷到球心距离a ，由电像法可求得对应的两像电荷的电量、位置及两像电荷的距离'la rb q a r q 20,=-='220ar l a b l l ⋅=⋅='故知像电偶极矩'=''=-=-p q l r a q r a l r a p0022033∴球外电势()[]()[]()[]()[]ϕπεπεπεπε=+'''=⋅-++-+++'-++-++141414140303022*******32pr r p r r p x a i yj zk x a y z p x b i yj zk x b y z球外电场()[]()[]()E p rr p r r r p r r p r r p r r p r x a i yj zk p x b i yj zk x a =-∇=-∇⋅-∇'⋅''=⋅-⎛⎝ ⎫⎭⎪+''⋅''-''⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-++⋅-++-ϕπεπεπεπεπε141414314314303030330330{[]()[]()[]()[]()[]()[]222522223202225222232143++--+++-++'⋅-++-++-'-++y z px a y z x b i yj zk p x b i yj zk x b y z p x b y z}{}πε四、电荷q 均匀分布在半径为r 0的球面上，今球面绕直径之一以角速度 ω旋转，求磁标势以及球面内外的磁场。

解：设面电流密度为αf，则ααπθωϕϕf ze q rr e ==4200sinm dm r d r e qr d qr z ====⎰⎰⎰αθπθθωθωππ400020230243(sin )sin仅在球面上有电流分布，故可在球面内外分区引入磁标势ϕ，面电流的影响，以边值关系处理。

考虑到r →0时球面内磁标势有限；r →∞时球面外磁标势ϕ20→,故())(),(cos )(,cos 012001r r p rb r r R r a n n n n n nn n >∑=<∑=+∞=∞=θϕθϕ边值关系:()()()n H H e n B B rrr f r fr ⨯-=⨯∇-∇=-⋅-==2121210201000αϕϕαμ∂ϕ∂μ∂ϕ∂,,以ϕϕ12,和 αf代入,得-'+101r b p nrn n ∑(cos θ)(-sin θ)+140r Z a r p q r n nn '-=(cos )(sin )sin θθωπθ(1)-+==∞+=∞-∑∑n non n n n o n n n b rP na r P 0211()(cos )(cos )θθ(2)对（1）式积分得：11401r b r P r a P qw r co n n on n on n n o∑∑=∞+=∞-=+(cos )(cos )cos θθπθ(3)由（2）可得：-+=+-()n b rna r non n on 121,b n n r a n n n=-++121由（3）可得：b r ac 000-= （n =0）πω40121q r a r b =- (n =1) b r a r nn n n100+-= (n ≠01,)联立可解得:a cr 00=-，b 00=，a qw r 106=-π ，b qr w 10212=π，a b n n ==0 (n ≠01,)故:ϕπω1006=--⋅cr q r r（r r <0）ϕπω2102312=⋅qr rr（rr >0）B q r r q r 101000066=-∇=∇⋅=μϕμπωμπω() （r r <0）B qr r r r qr r r r r r 20200230025312123=-∇=-∇⋅=⋅-μϕμπωμωω()[()]（r r >0）五、试由亥姆霍兹方程求解矩行波导中的10TE 波电磁场,并描绘电磁场及管壁电流图示.解: 设电磁波沿z 轴传播,故可把电场写作:E x y z E x y e ik zz (,,)(,)= 代入亥姆霍兹方程∇+=220 E k E ,得:()(,)(,)(,)∂∂∂∂∂∂22222220xy E x y e z e E x y k E x y e ik z ik z ik zz z z +++=- ()(,)()(,)∂∂∂∂2222220xy E x y k k E x y z ++-=为矢量方程可分解为三个分量方程,用分离变量法求解: 令E x y x y x (,)()()=X Y 代入x 分量方程,得YXXYX Y ∂∂∂∂222222xy k k x y +++=()可分解为如下方程d dxk x 22XX +=及d dyk y 22YY +=而k k k kx y z 2222++=故可解得:E x y x y C k x D k x C k y D k y x x x y y (,)()()(cos sin )(cos sin )==++X Y 1122又由边值关系可得:yL n x L m A y k x k A y x E n m L n k L m k y x y x 211121sin cos sin cos ),(........)3.2.1.0,(,,ππππ=====故E x y z A k x k yex x y ik zz (,,)cos sin =1同理E x y z A k x k ye y x y ik z z(,,)sin cos =2E x y z A k x k yez x y ik zz (,,)sin sin =3对于TE 10波:m=1,n=0得212221,0,Lck k L k z y x πωπ-===E E x y z E E x y z A L xeE E x y z x x y y ik zz z z ======(,,),(,,)sin,(,,)0021π][)(z xy x yy y y e E e E i e E i E i B∂∂∂∂ωωω+--=⨯∇-=⨯∇-==z z ik x zik z e xe L L A i e xeL A k z z11212cos sin1ππωπω--∙⨯ EH E H 示意图α 示意图3.6 1999年国防科技大学电动力学考研试题一、Maxwell 方程组是电动力学最主要的理论基础。