大学微积分经济管理类

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Hale Waihona Puke 4.1 微分中值定理4.1.1 罗尔定理 4.1.2 拉格朗日中值定理 4.1.3 柯西中值定理 4.1.4 泰勒公式
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4.1.1 罗尔定理
首先介绍发现于微积分产生之初的一个著名定理——费马引 理, 它具有重要的应用．
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罗尔 (Rolle) 定理 设函数 y = f (x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a,b) 上可导, 且 f (a) = f (b), 则 ξ∈(a, b), 使得 f (ξ) = 0．
从几何上来看, 这时的曲线Γ 或者就是直线段 AB, 此时 AB 上的任意一点的切线都是水平的；若Γ 不是直线段, 则Γ 必有 “谷底” 或 “峰顶”, 设这样的点为 C(ξ, f (ξ)), 则ξ∈(a,b), 且由 费马引理, 必有 f (ξ) = 0．
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通常称导数 f (x) 等于零的点为函数 f (x) 的驻点（或稳定点、 临界点）. 所以费马引理中的点 x0 是 f (x) 的驻点．
罗尔 (Rolle) 定理 设函数 y = f (x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a,b) 上可导, 且 f (a) = f (b), 则 ξ∈(a, b), 使得 f (ξ) = 0．
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导数概念刻画了函数的一种局部特性．联系导数和函数的纽 带是微分中值定理, 它是用导数来研究函数性态的理论基础, 从 而也成为导数应用的理论基础．
本章首先介绍微分中值定理, 随后以之为基础介绍了导数的 几个重要应用：求未定式的值（洛必达法则）, 函数的单调性和 曲线的上、下凸性（函数的凹凸性）及拐点的判定, 函数的极值 和最值的求法, 以及绘制函数图形的基本方法．
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小知识
费马(P.deFermat,1601—1665), 法国数学家．与笛卡儿 (R.Descartes,1596—1650)同时创立了解析几何，也是 创立微积分的一位先驱．1629年他创造了求切线的方法, 但直到1637年才在他的手稿《求最大值和最小值的方法》 中被发现.费马初学法律,博览群书,年近30岁才利用公务 之余钻研数学，在数论、概率论等方面均有重大贡献.被 誉为“业余数学家之王”,他只发表了很少几篇论文,在 去世后，其子把他遗留在旧纸堆里、书页空白处和给朋 友的书信中的很多论述汇集成书，于1679年分两卷出版.
费马 (Fermat) 引理
设函数
y
=
f
(x)
在点
x0
的一个邻域
图 4-1
U(x0)
上有定义, 并在 x0 点可导．如果
f (x) ≥ f (x0) (或 f (x) ≤ f (x0)) (x∈U(x0))，
则 f (x0) = 0．
这个引理的几何含义是：在引理的假设下, 点 P0( x0, f ( x0) )
数学是科学的大门和钥匙. ——培根（R.Bacon，1214—1294）
数学是科学和技术的基础；没有强有力的数学就不 可能有强有力的科学．
——美国国家研究委员会
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小知识
R.培根，英国方济各会修士，哲学家、科学家和教 育改革家，号称“万能博士”．他深知获取可靠知 识的方法．在数学、力学、 光学、天文学、地理学、 化学、音乐、医学、文法、哲学、伦理学和神学等 方面都有不平凡的著作，他强调数学和实验，在他 的著作《大作》中曾企图证明所有科学都需要数学. 但他也充分认识到实验对科学发现和验证理论的作 用和重要性, 并预见科学造福于人类的伟大前景.
罗尔定定理理的证只明是就说是明上在述给几定何的条件下, 函数事f实(x的) 在解析(a表,b)述中, 必在有此从驻略点., 没有说明 ξ如何确定以及有多少个, 但尽管如此, 定理还是有其重要的理论价值．
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位于曲线 C：y = f (x) (x∈U(x0)) 的 “谷底”（或 “峰顶”）
（如图 4-1）, 这时 C 在点P0 的切线必是水平的．
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费马 (Fermat) 引理 设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域 U(x0)
上有定义, 并在 x0 点可导．如果
Δy = f (x0＋Δx) －f (x0) ≥ 0,
故当Δx > 0 时 y ≥ 0 ,当Δx < 0 时 y ≤ 0 由. 极限的保号性质, 有
x
x
f ( x 0 ) l x i m 0 y x ≥ 0 ,f ( x 0 ) l x i m 0 y x ≤ 0 .
因 f (x) 在 x0 可导, 故 f( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) ,所以必有 f (x0) = 0.
f (x) ≥ f (x0) (或 f (x) ≤ f (x0)) (x∈U(x0))，
则 f (x0) = 0．
对于 f (x) ≤ f (x0)
证 设自变量 x 在点 x0 处有改变量Δx, 且(x0x＋∈ΔUx (∈x0)U) 的(x情0),形由,
假设, f (x0 ＋Δx) ≥ f (x0), 从而函数 f (x) 相应的可增以量同样证明.
这个定理的几何意义是：如果光
滑曲线Γ：y = f (x) (x∈[a, b]) 的两个
端点 A 和 B 等高, 即其连线 AB 是水
平的, 则在Γ上必有一点C(ξ, f (ξ))
(ξ∈(a, b) ), Γ 在 C 点的切线是水
平的（如图 4-2）．
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图 4-2
普通高等教育“十一五”家级规划教材
微 积 分 (经济管理类)
章学诚 刘西垣 编著
第四章
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第四章 微分中值定理和导数的应用
4.1 微分中值定理 4.2 洛必达法则 4.3 函数的单调性 4.4 曲线的上、 下凸性和拐点 4.5 函数的极值与最值 4.6 渐近线和函数作图
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第四章 微分中值定理和导数的应用