历年联赛题-2005年全国高中数学联赛
2005-2016高中数学联赛试题汇总
2005年全国高中数学联赛试卷1．使关于x 的不等式x －3+6－x ≥k 有解的实数k 的最大值是2．空间四点A 、B 、C 、D 满足|→AB |＝3，|→BC |＝7，|→CD |＝11，|→DA |＝9．则→AC ·→BD 的取值有 个 3．△ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1，则AA 1·cos A 2+BB 1·cos B 2+CC 1·cosC2sin A +sin B +sin C的值为4．如图，ABCD －A 'B 'C 'D '为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则 ( ) A ．S 为定值，l 不为定值 B ．S 不为定值，l 为定值 C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值5．方程x 2sin 2－sin 3+y 2cos 2－cos 3＝1表示的曲线是焦点在 轴上的 6．记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6}，M ＝{a 17+a 272+a 373+a 474| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4}，将M 中的元素按从大到小排列，则第2005个数是 ( )A ．57+572+673+374B ．57+572+673+274C ．17+172+073+474D ．17+172+073+3747．将关于x 的多项式f (x )＝1－x +x 2－x 3+…－x 19 +x 20表为关于y 的多项式g (y )＝a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 19y 19+a 20y 20，其中y ＝x －4，则a 0+a 1+…+a 20＝ ； 8．已知f (x )是定义在(0，+∞)上的减函数，若f (2a 2+a +1)＜f (3a 2－4a +1)成立，则a 的取值范围 是 ； 9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x ∈R ，cos(x +α)+cos(x +β)+cos(x +γ)＝0，则γ－α＝10．如图，四面体DABC 的体积为16，且满足∠ACB ＝45︒，AD +BC +AC2＝3，则CD ＝11．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x －17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上，则该正方形面积的最小值为12．如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”．将所有“吉 祥数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n ＝2005，则a 5n ＝13．数列{a n }满足a 0＝1，a n +1＝7a n +45a n 2－362，n ∈N ，证明：⑴ 对任意n ∈N ，a n 为正整数；⑵ 对任意n ∈N ，a n a n +1－1为完全平方数．14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S ，求使S 达到最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法)15．过抛物线y ＝x 2上一点A (1，1)作抛物线的切线，分别交x 轴于点D ，交y 轴于点B ，点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AE EC ＝λ1；点F 在线段BC 上，满足BFFC ＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD 与EF 交于点P ，当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．A'B'C'D'DC B A 45°ADCB加试卷一、如图，在△ABC 中，设AB ＞AC ，过点A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以点A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于点D ；交直线l 于点E 、F ．证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心．二、设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足cy +bz ＝a ，az +cx ＝b ，bx +ay ＝c ．求函数f (x ，y ，z )＝x 21+x +y 21+y +z 21+z 的最小值．三、对每个正整数n ，定义函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，当n 为完全平方数，[1{n }]，当n 不为完全平方数．(其中[x ]表示不超过x 的最大整数，{x }＝x －[x ])．试求k ＝1∑240f (k )的值．2006年全国高中数学联合竞赛试题1．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，||→BA －t →BC ≥||→AC ，则△ABC 形状为 ．2．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 的取值范围为 3． A ＝{x |5x －a ≤0}，B ＝{x |6x －b ＞0}，a ，b ∈N ，且A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a ，b )的个数为 ． 4．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为 ． 5．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的 条件 6．数码a 1，a 2，a 3，…，a 2006中有奇数个9，则2007位十进制数－2a 1a 2…a 2006的个数为 ． 7. 设f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ，则f (x )的值域是 ．8. 若对一切θ∈R ，复数z ＝(a ＋cos θ)＋(2a －sin θ)i 的模不超过2，则实数a 的取值范围为 ． 9．已知椭圆x 216＋y 24＝1的左右焦点分别为F 1与F 2，点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上. 当∠F 1PF 2取最大值时，比|PF 1||PF 2|的值为 ．10．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3． 11．方程(x 2006＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2004)＝2006x 2005的实数解的个数为 ．12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 ．13. 给定整数n ≥2，设M 0(x 0，y 0)是抛物线y 2＝nx －1与直线y ＝x 的一个交点. 试证明对于任意正整数m ，必存在整数k ≥2，使(x 0m ，y 0m)为抛物线y 2＝kx －1与直线y ＝x 的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5之和．记S ＝1≤i ＜j ≤5Σx i x j ．问：⑴ 当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最大值；⑵ 进一步对任意1≤i ，j ≤5有||x i －x j ≤2，当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最小值.说明理由．15．设 f (x )＝x 2＋a . 记f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f (f n －1(x ))，n ＝1，2，3，…，M ＝{a ∈R |对所有正整数n ，||f n (0)≤2}．证明，M ＝[－2，14]．2006年全国高中数学联合竞赛加试试题一、以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0为半径作圆弧P 0Q 0⌒交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0为半径作圆弧Q 0P 1⌒交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1为半径作圆弧P 1Q 1⌒交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1为半径作圆弧Q 1P 0'⌒，交AB 0的延长线于P 0'. 试证：⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒相内切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆．二、已知无穷数列{a n }满足a 0＝x ，a 1＝y ，a n ＋1＝a n a n －1＋1a n ＋a n －1，n ＝1，2，…．⑴ 对于怎样的实数x 与y ，总存在正整数n 0，使当n ≥n 0时a n 恒为常数？ ⑵ 求通项a n ．三、解方程组⎩⎨⎧x －y ＋z －w ＝2，x 2－y 2＋z 2－w 2＝6，x 3－y 3＋z 3－w 3＝20，x 4－y 4＋z 4－w 4＝66，B 1B 0C 1P 1P 0Q 1Q 0AC 02007年全国高中数学联合竞赛一试试卷1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C的平面角的余弦值为_______2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数 x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是_______3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
2005年全国高中数学联赛试题及解答
2
BC) (BC CD), 即 2 AC BD AD2 BC2 AB2 CD 2 0, AC BD 只 有 一
2
2
2 3
2
, cos(
2 ) cos( 3 ), 2 2
又
0 2
, 3 , cos 2 0, cos 3 0, cos 2 cos 3 0, 2 2
6
方
程表示的曲线是椭圆。
(sin 2 sin 3 ) (cos 2 cos 3 ) 2 2 sin 2 3 2 3 sin( ) () 2 2 4
x2 y2 1 表示的曲线是 sin 2 sin 3 cos 2 cos 3
A. 焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的椭圆
B. 焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线
a3 a4 4 ai T , i 1,2,3,4 ，将 3 7 7
二〇〇五年高中数学联赛试卷
一、选择题 1. 使关于 x 的不等式 x 3 6 x k 有解的实数 k 的最大值是 A. 6 3 B. 3 C. 6 3 D. 6 2. 空间四点 A, B, C, D ，满足 | AB | 3 、 | BC | 4 、 | CD | 11、 | DA | 9 ， 则 AC BD 的取值 A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 D. 有无穷多个
3
二○○五年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设 6 分和 0 分 两档，填空题只设 9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请 严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其 它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤 正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
2005年全国高中数学联赛试题及解答
1 1 0 4 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
D．
1 1 0 3 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
ak p 表示 k 位 p 进制数，将集合 M 中的每个数乘以 7 4 ，得
M = a1 73 + a2 72 + a3 7 + a4 | ai T , i = 1,2,3,4 = a1a2 a3a4 7 | ai T , i = 1,2,3,4 ．
DA2 = DA = AB + BC + CD
2
(
)
2
= AB 2 + BC 2 + CD 2 + 2 AB BC + BC CD + CD AB
(
)
= AB 2 − BC 2 + CD 2 + 2 BC + AB BC + BC CD + CD AB
(
2
)
= AB2 − BC 2 + CD2 + 2 AB + BC BC + CD ，即 2 AC BD = AD 2 + BC 2 − AB 2 − CD 2 = 0, AC BD 只有
(sin 2 − sin 3) − (cos 2 − cos 3) = 2 2 sin −
2
2− 3 2 + 3 3 3 2+ 3 2− 3 0， ， + ． 0 ，∴ sin 2 2 2 4 4 2 4 2 2+ 3 + ) 0 ，∴ ()式 0. 2 4
5 +1 ． 6 解：由题设知， f ( x) 和式中的各项构成首项为 1，公比为 − x 的等比数列，由等比数列的求和公式，得：
2005年全国高中数学联赛山东赛区预赛
- 1 -2005年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题一、选择题（每小题6分，共60分） 1．数集{x x x -2,}中x 的取值范围是（ ）A ．),(+∞-∞B ．),0()0,(+∞⋃-∞C ．),2()2,(+∞⋃-∞D ．),2()2,0()0,(+∞⋃⋃-∞2．若012=++z z ，则2005z的值是（ ）A ．1B ．1-C ．i 2321± D ．i 2321±- 3．函数x x y 24sin cos +=的最小正周期为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．π24．随机抛掷一颗6个面分别刻有1，2，3，4，5，6个点的骰子，其出现（即向上一面）的 点数的数学期望值为 （ ） A ．3 B ．3.5 C ．4 D ．4.5 5．函数cx bx ax x f ++=23)(的图像如图，则下面关于c b a ,,符号判断正确的是 （ ）A ．0,0,0<<>c b aB ．0,0,0>>>c b aC ．0,0,0><<c b aD ．0,0,0<><c b a6．16666101192111011111-++++C C C 被8除所得余数是（ ）A ．0B ．2C ．3D ．5 7．不等式31|1log 1|31>+x 的解集为（ ）A ．)81,91(B ．)27,31(C ．)27,3()3,31(⋃ D ．)81,3()3,91(⋃8．当22ππ≤≤-x 时，函数)(x f 满足x x f x f 2sin )(sin 3)sin (2=+-，则)(x f 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数- 2 - 9．点P 在双曲线222a y x =-的右支上，21,A A 21122A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于（ ） A ．30 B ．5.27C ． 25D ． 5.2210．正四面体ABCD 中，CD CF AB AE 41,41==，则直线DE 和BF 所成角是 （ ）A ．134arccosB ．133arccosC ．134arccos -πD ．133arccos -π二、填空题（每小题6分，共24分）11．已知函数⎩⎨⎧≤<+-<≤---=10,101,1)(x x x x x f ，则1)()(->--x f x f 的解集为 . 12．数列{n a }的前n 项和n S 满足n n a n S 2=，若10031=a ，则2005a 等于 .13．设平面内的两个向量,互相垂直，12==，又k 与t 是两个不同时为零的实数， 若向量b t a x )3(-+=与b t a k y 2+-=互相垂直，则k 的极大值为 .14．在某次商品的有奖销售活动中，有n 人获三等奖（4≥n ），三等奖的奖品共有四种，每 个三等奖获得者随意从四种奖品中挑选了一种，结果有一种奖品无人挑选的概率是 . 三、解答题（共5小题，计66分） 15．（12分）某人购房向银行贷款s 元，年利率为p ，每两年向银行返还一次本息，十年还清，要求每次向银行的付款数相同，那么十年付款的总额是多少？16．（12分）如图，斜三棱柱111C B A ABC -的侧面C C AA 11的面积为23的菱形，1ACC ∠ 为锐角，侧面11A ABB ⊥侧面C C AA 11，且11===AC AB B A .ABC1A 1B 1C- 3 -（1）求证11BC AA ⊥； （2）求11B A 到平面ABC 的距离.17．（12分）设c bx x x f ++=2)(（c b ,为常数），方程x x f =)(的两个实数根为21,x x ，且满足01>x ，112>-x x .（1）求证：)2(22c b b +>；（2）若10x t <<，比较1x 与)(t f 的大小.18．（15分）如图，过原点O 作抛物线px y 22=（0>p ）的两条互相垂直的弦OB OA ,， 再作AOB ∠的平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程.- 4 -19．（15分）圆周上有800个点，依顺时针方向标号依次为800,,2,1 .它们将圆周分成800个间隙.任意选定一点染成红色，然后按如下规则逐次染红其余的一些点：若第k 号点已被染红，则可按顺时针方向经过k 个间隙，将所到达的那个点染红.如此继续下去，试问圆周上最多可得到多少个红点？证明你的结论.。
2005年全国高中数学联赛试卷及解答
特征方程为x2－7x+1＝0．
解得：x＝ ＝ ＝ ．
令an＝α +β ．由a0＝1，a1＝5解得
α＝ ，β＝ ；
得an＝ [ + ]⑤
注意到 · ＝1， + ＝ ．
有，anan+1－1＝ [ + ]·[ + ]－1
＝ [ பைடு நூலகம் + + －5]
＝ [ + ]2
15．过抛物线y＝x2上一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足 ＝λ1；点F在线段BC上，满足 ＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD与EF交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．
加试卷
一、如图，在△ABC中，设AB＞AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于点D；交直线l于点E、F．
填 ．
解：V＝ × AC×BCsin45×h≤ AC×BC×ADsin45．
即AC×BC×ADsin45≥1 ×BC×AD≥1．
而3＝AD+BC+ ≥3 ＝3，等号当且仅当AD＝BC＝ ＝1时成立，
故AC＝ ，且AD＝BC＝1，AD⊥面ABC．CD＝ ．
11．若正方形ABCD的一条边在直线y＝2x－17上，另外两个顶点在抛物线y＝x2上，则该正方形面积的最小值为；
A． + + + B． + + + C． + + + D． + + +
二、填空题：
2005年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2005年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为A.36- B.3C.36+ D.6◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x，可得62≤y，即6max =y，所以6≤k 2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的取值A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个◆答案：A★解析：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++CD BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即,022222=--+=⋅CD AB BC AD BD AC ⋅∴只有一个值为0，故选A。
2005*3、ABC ∆内接于单位圆，三个内角C B A ,,的平分线延长后分别交此圆于111,,C B A .则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++++的值为A.2B.4C.6D.8◆答案：A★解析：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A A B C B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =-所以B C B C A C B A A C B A AA sin sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22cos 1+=-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=，C A B BB sin sin 2cos 1+=,B A CCC sin sin 2cos 1+=。
所以()C B A CCC B BB A AA sin sin sin 22cos 2cos 2cos 111++=++，即可求得。
2005年全国高中数学联赛试题及答案
二○○五年全国高中数学联合竞赛试题一.选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于xk 有解的实数k 的最大值是（ ） A． BC ．63+D ．62．空间四点A 、B 、C 、D 满足||3,||7,||11,||9,AB BC CD DA ====则AC BD ⋅的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个 3．ABC ∆内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于1A 、1B 、1C 。
则CB A CCC B BB A AA sin sin sin 2cos2cos 2cos 111++⋅+⋅+⋅ 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，D C B A ABCD ''''-为正方体。
任作平面α与对角线C A ' 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面 多边形的面积为S ，周长为l .则（ ）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值5.方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a aa M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++C ．43274707171+++ D ．43273707171+++二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
2005年全国高中数学联赛(浙江赛区)预赛试卷及详细解答
(D) 4
2 是以任何正实数为周期的周期函数；
1
f 2 ( x) 不是周期函数。 因为 sin x 是以 T1 2 为周期的周期函数, cos 2 x 是以 T2
为周期的周期函数, 而 T1 与 T2 之比不是有理数，故 f 2 ( x ) 不是周期函数。
2 2
f 3 ( x) 不是 周期 函数 。因 为 sin T2 2 2
2
(C)
12
2
(D) 13
2 2
答： 【 C 】
c t1 a t 2 b c 6t1 8t 2 t1 t 2
169 (t1 3) 2 (t 2 4) 2 25 144 (t1 3) 2 (t 2 4) 2 144
当 t1 3, t 2 4 时， c t1 a t 2 b
联合（1） （2）消去 f ( ) ，可得
――――――――― （2）
1 x
f ( x) x 和命题 Q: 对任何 x R ， x 4cx 1 0 有且仅有一个成立，则实 数 c 的取值范围是
2
2
1 1 , 0 , 1 。 2 2
1 1 a1 a12 ，而 a1 0 ，故 a1 1 。 2 2
因此第 2005 个等边三角形的边长为 a 2005 2005 。 y 12. 根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从 原点 O 沿正东偏北 （ 0
）方向行走一段时 2
P(x,y) A
间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不 定。假定机器人行走速度为 10 米/分钟，则机器人行走 2 分钟时的可能落点区域的面积是 。
a n 1
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中等数学
2005 年全国高中数学联赛
一 、选择题 (每小题 6 分 ,共 36 分) 1. 使关于 x 的不等式 x - 3 + 6 - x ≥k
有解的实数 k 的最大值是 ( ) .
(A) 6 - 3
(B) 3
(C) 6 + 3
(D) 6
2. 空间四点 A 、B 、C 、D 满足| AB | = 3 ,
A 2
+ BB1 cos
B 2
+ CC1 cos
C 2
sin A + sin B + sin C
的值为 ( ) .
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
4. 如图 1 , ABCD - A′B′C′D′为正方体. 任 作平面 α 与对角线
AC′垂直 ,使得 α 与正
方体 的 每 个 面 都 有 公
a1 7
+
a2 72
+
a3 73
+
a4 74
|
ai ∈T , i = 1 ,2 ,3 ,4
.
将
M 中的元素按从大到小的顺序排列 ,则第
2 005 个数是 ( ) .
(A)
5 7
+
5 72
+
6 73
+
3 74
(B)
5 7
+
5 72
+
6 73
+
2 74
(C)
1 7
+
1 72
+
0 73
+
4 74
(D)
2005 年第 12 期
2 a2 + a + 1 > 3 a2 - 4 a + 1. 所以 , a2 - 5 a < 0. 故 0 < a < 5.
结合
a>1或
a<
1 3
,知 0 <
a<
1 3
或
1
<
a < 5.
9. 4π3 .
设 f ( x) = cos ( x +α) + cos ( x +β) + cos ( x +γ) .
| BC| = 7 ,| CD | = 11 ,| DA| = 9. 则 AC·BD
的取值 ( ) .
(A) 只有一个
(B) 有二个
(C) 有四个
(D) 有无穷多个
3. △ABC 内接于单位圆 , 三个内角 A 、
B 、C 的平分线延长后分别交此圆于点 A1 、
B1 、C1 . 则
AA1 cos
1 7
+
1 72
+
0 73
+
4 74
.
二
、7.
521 + 6
1
.
由题设知 ,f ( x) 的表达式中的各项构成首项为
1 、公比为 - x 的等比数列.
由等比数列的求和公式得
f ( x)
=
(
-
x) 21 x-
1
1
=
x21 x
+1 +1
.
令
x
=
y + 4 ,得
g ( y)
=
(y
+ 4) 21 y +5
+ 1.
,当 β-
α=
γ-
β=
2π时 3
,有 β=α+
2π 3
,
γ=α+ 4π3 . 对任意的 x ∈R ,记 x +α=θ. 由于三点
(cos θ,sin θ) ,
cos
θ+
2π 3
,sin
θ+
2π 3
,
cos
θ+
4π 3
,sin
θ+
4π 3
构成单位圆 x2 + y2 = 1 上正三角形的三个顶点 ,其
中心位于原点 ,显然 ,有
cos ( x +γ) = 0 ,则 γ- α=
.
10. 如图 2 ,四面体
DAB C
的体积为
1 6
,且
2005 年第 12 期
满足 ∠ACB = 45°,
AD + BC + AC = 3. 2
则 CD =
.
11. 若 正 方 形
ABCD 的一条 边 在
图2
直线 y = 2 x - 17 上 ,另外两个顶点在抛物线
1 7
+
1 72
+
0 73
+
3 74
二 、填空题 (每小题 9 分 ,共 54 分)
7. 将关于 x 的多项式
f ( x) = 1 - x + x2 - x3 + …- x19 + x20
表为关于 y 的多项式
g ( y) = a0 + a1 y + …+ a20 y20 ,
其中 y = x - 4. 则 a0 + a1 + … + a20 =
cos θ+ cos
θ+
2π 3
+ cos
θ+
4π 3
=0,
即 cos ( x +α) + cos ( x +β) + cos ( x +γ) = 0.
2+ 2
3
+
π 4
.
①
因为
-
π 2
<
22
3
<
0
,
3π 4
<
2+ 2
3
+
π 4
<π,
所以 ,sin
22
3 < 0 ,sin
故式 ①< 0.
2+ 2
3
+
π 4
> 0.
因此 ,sin 2 - sin 3 < cos 2 - cos 3. 则曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆.
6. C. 用[ a1 a2 …ak ] p 表示 k 位 p 进制数 ,将集合 M 中的每个数乘以 74 ,得 M′= { a1 ×73 + a2 ×72 + a3 ×7 + a4| ai ∈T , i = 1 ,2 ,3 ,4} = { [ a1 a2 a3 a4 ]7 | ai ∈T , i = 1 ,2 ,3 ,4}. M′中的最大数为[ 6 666 ]7 = [2 400 ]10 . 在十进制数中 ,从 2 400 起按从大到小顺序排列 的第 2 005 个数是 2 400 - 2 004 = 396. 而 [ 396 ]10 = [1 104 ]7 ,将此数除以 74 ,便得 M 中的数为
y = x2 上 , 则 该 正 方 形 面 积 的 最 小 值 为
.
12. 如果自然数 a 的各位数字之和等于
7 ,那么 ,称 a 为“吉祥数”. 将所有吉祥数从
小到 大 排 成 一 列 a1 , a2 , a3 , …, 若 an =
2 005 ,则 a5 n =
.
三 、解答题 (每小题 20 分 ,共 60 分)
3. A. 如图 4 ,联结 BA1 ,则
AA1 = 2sin
B
+
A 2
= 2cos
B 2
-
C 2
.
图4
28
故 AA1 cos
A 2
= 2cos
B 2
-
C 2
·cos
A 2
π
π
= cos 2 - C + cos 2 - B
= sin C + sin B .
同理 , BB1 cos
B 2
= sin A + sin
点 B . 点 C 在抛物线上 ,点 E 在线段 AC 上 ,
满足
AE EC
= λ1
,点
F
在线段
BC
上
,满足
BF FC
=
λ2 ,且 λ1 + λ2 = 1 ,线段 CD 与 EF 交于点 P.
当点 C 在抛物线上移动时 ,求点 P 的轨迹
方程.
加试题
一 、(50 分) 如图 3 ,在 △ABC 中 ,设 AB
C,
CC1 cos
C 2
=
sin
A
+
sin
B.
则 AA1 cos
A 2
+ BB1 cos
B 2
+ CC1 cos
C 2
= 2 (sin A + sin B + sin C) .
ห้องสมุดไป่ตู้
4. B.
如图 5 ,将正方体切
去两 个 正 三 棱 锥 A -
A′BD与 C′- D′B′C 后 ,得
到一个以平行平面 A′BD
放置在圆周的九个等分点上 ,每个等分点上
各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码
之差的绝对值之和为 S . 求使 S 达到最小值
的放法的概率. (注 :如果某种放法 ,经旋转或
镜面反射后可与另一种放法重合 ,则认为是
相同的放法)
15. 过抛物线 y = x2 上的一点 A (1 ,1) 作
抛物线的切线 ,分别交 x 轴于点 D ,交 y 轴于
13. 数列{ an }满足
a0 = 1 , an + 1 = 7 an +