直线与平面平行的性质ppt课件
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直线与平面平行的判定公开课ppt课件
AD
AE AF
上的点，若 EB ，FD则EF与平面BCD的位置关系是
_E_F_/_/_平_面__B_C_D____.
利用平行线定理 证线线平行.
A F
E D
B
C
2.如图，四棱锥A-DBCE中，O为底面
正方形DBCE对角线的交点，F为AE的
中点. 求证: AB//平面DCF.
分析: 连结OF.
A F
一、知识回顾：
空间中直线与平面有几种位置关系？
a
直线在平面内 α
有无数个公共点
直线与平面相交 α
a
.P 有且只有一个公共点
a 直线与平面平行
α
没有公共点
二、引入新课
怎样判定直线与平面平行呢？
a
三、实例感受
在门扇的旋转过程中: 直线AB在门框所在的平面外 直线CD在门框所在的平面内 直线AB与CD始终是平行的
因为E，F分别是AB，
E
F D
C
B
AD 的中点,所以EF//BD
因为 EF 平面BCD, BD 平面BCD
由直线与平面平行的判断定理得:
EF//平面BCD.
小结：在平面内找(作)一条直线与平面外的直线平行时可以通过 三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的性质等来完成。
变式练习
1. 如图，在空间四边形ABCD中，E、F 分别为AB、
AD的中点.
∴EH∥BD且EH= 1 BD
同理GF
2
∥BD且GF=
1 2
BD
EH ∥GF且EH＝GF
H E
D
B
G
∴E、F、G、H四点共面。
F C
（2） AC ∥平面EFGH
直线与平面平行 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
1
∴AM＝2DC，AM∥DC，
∴AM∥GN，AM＝GN，∴四边形AMNG为平行四边形，
∴MN∥平面PAD.
∴MN∥AG.又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，
课堂小结
1.直线与平面平行的判定定理
线线平行
线面平行
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与
此平面平行.
2.直线与平面平行的性质定理
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.
3、等角定理
定理 如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
复习回顾
4、直线与平面有哪些位置关系？
(1)直线在平面内——有无数个公共点；
⊂
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点； ∩ =
直线在平面外
(3)直线与平面平行——没有公共点.
线线平行Βιβλιοθήκη 线面平行一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么
该直线与交线平行.
3．应用线面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤：
（1）利用性质定理在面内找平行线;
（2）证明直线与直线平行；
（3）说明两线与平面的位置关系（一条在面内，一条不在面内）；
（4）得出结论.
E
证明： 连接BD.
F
∵ AE EB,AF FD,
∴ EF / / BD.
又 EF 平面BCD,BD 平面BCD,
D
B
C
∴ EF / / 平面BCD.
今后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一
条与此直线平行的直线就可以了.
巩固训练
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，
∴AM＝2DC，AM∥DC，
∴AM∥GN，AM＝GN，∴四边形AMNG为平行四边形，
∴MN∥平面PAD.
∴MN∥AG.又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，
课堂小结
1.直线与平面平行的判定定理
线线平行
线面平行
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与
此平面平行.
2.直线与平面平行的性质定理
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.
3、等角定理
定理 如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
复习回顾
4、直线与平面有哪些位置关系？
(1)直线在平面内——有无数个公共点；
⊂
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点； ∩ =
直线在平面外
(3)直线与平面平行——没有公共点.
线线平行Βιβλιοθήκη 线面平行一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么
该直线与交线平行.
3．应用线面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤：
（1）利用性质定理在面内找平行线;
（2）证明直线与直线平行；
（3）说明两线与平面的位置关系（一条在面内，一条不在面内）；
（4）得出结论.
E
证明： 连接BD.
F
∵ AE EB,AF FD,
∴ EF / / BD.
又 EF 平面BCD,BD 平面BCD,
D
B
C
∴ EF / / 平面BCD.
今后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一
条与此直线平行的直线就可以了.
巩固训练
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，
1.5.2.1《直线与平面平行的性质》课件(北师大版必修2)
【解析】选A.对于①，若a∥b,bα, 则应有a∥α或aα,所以①不正确; 对于②，若a∥平面α，bα,则应有a∥b或a与b异面，故② 不正确; 对于③，若a∥b,a∥α,则应有b∥α或bα,因此③也不正 确； 对于④，若a∥α,b∥α,则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，
因此④是错误的.
9.(10分)如图，已知，四棱锥A—BCDE中，M为AB中点，底面
BCDE为梯形，其中CD∥BE，试判断直线EM是否平行于平面ACD，
并说明理由.Biblioteka 【解析】EM与平面ACD不平行.
理由：假设EM∥平面ACD.
∵BE∥CD,CD 平面ACD，BE 平面ACD.
∴BE∥平面ACD.
又∵BE∩EM=E.∴平面AEB∥平面ACD. 而A∈平面AEB，A∈平面ACD.与平面AEB∥平面ACD矛盾. ∴假设不成立，∴EM与平面ACD不平行.
4.如图，四棱锥S-ABCD的所有的
棱长都等于2,E是SA的中点，过 C,D,E三点的平面与SB交于点F,
则四边形DEFC的周长为(
(A)2+ 3 (C)3+2 3
)
(B)3+ 3 (D)2+2 3
【解析提示】先证明EF∥AB，再根据三角形中位线等知识求
解.
【解析】选C.∵AB=BC=CD=AD=2， ∴四边形ABCD为菱形，∴CD∥AB. 又CD 平面SAB,AB 平面SAB∴CD∥平面SAB. 又CD 平面CDEF,平面CDEF∩平面SAB=直线EF ∴CD∥EF.∴EF∥AB.
【证明】连接A1C交AC1于点E，连接DE.
∵A1B∥平面AC1D. A1B 平面A1BC.平面A1BC∩平面AC1D=DE. ∴A1B∥DE, 又四边形ACC1A1为平行四边形.∴E为A1C中点.
2025届高中数学一轮复习课件《直线、平面平行的判定及性质》ppt
本题的核心条件，特殊的位置关系，必有点 F 特殊的数量关系．
(1)求证：EF∥平面 ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥 P-ABC 的体积．此条件暗示 △POF 的特殊性，即平面 POF⊥平面 ABC.
高考一轮总复习•数学
第18页
(1)证明：如图，连接 DE.设 AF＝tAC，t∈[0,1]，则B→F＝B→A＋A→F＝(1－t)B→A＋tB→C，A→O＝ －B→A＋12B→C.由 BF⊥AO，AB⊥BC，
第25页
高考一轮总复习•数学
∵∠DAB＝120°，AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD＝30°，∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝60°＋30°＝90°， ∴AD⊥CD，∴MB∥AD. 又 MB⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， ∴MB∥平面 PAD. ∵EM∩MB＝M，EM，MB⊂平面 EMB， ∴平面 EMB∥平面 PAD，∵EB⊂平面 EMB，∴EB∥平面 PAD.
高考一轮总复习•数学
第28页
题型
面面平行的判定与性质
典例 2(2024·四川绵阳中学月考)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点．求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 思考判定定理，即需要两组平行线的关系．
高考一轮总复习•数学
第32页
对点练 2(2024·四川达州一诊)如图所示，设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，P 是 棱 AD 上一点，且 AP＝a3，过 B1，D1，P 的平面交平面 ABCD 于 PQ，Q 在直线 CD 上，则 PQ＝( )
A.2 3 2a B. 3 2a C. 2 2a D.2 3 3a
(1)求证：EF∥平面 ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥 P-ABC 的体积．此条件暗示 △POF 的特殊性，即平面 POF⊥平面 ABC.
高考一轮总复习•数学
第18页
(1)证明：如图，连接 DE.设 AF＝tAC，t∈[0,1]，则B→F＝B→A＋A→F＝(1－t)B→A＋tB→C，A→O＝ －B→A＋12B→C.由 BF⊥AO，AB⊥BC，
第25页
高考一轮总复习•数学
∵∠DAB＝120°，AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD＝30°，∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝60°＋30°＝90°， ∴AD⊥CD，∴MB∥AD. 又 MB⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， ∴MB∥平面 PAD. ∵EM∩MB＝M，EM，MB⊂平面 EMB， ∴平面 EMB∥平面 PAD，∵EB⊂平面 EMB，∴EB∥平面 PAD.
高考一轮总复习•数学
第28页
题型
面面平行的判定与性质
典例 2(2024·四川绵阳中学月考)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点．求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 思考判定定理，即需要两组平行线的关系．
高考一轮总复习•数学
第32页
对点练 2(2024·四川达州一诊)如图所示，设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，P 是 棱 AD 上一点，且 AP＝a3，过 B1，D1，P 的平面交平面 ABCD 于 PQ，Q 在直线 CD 上，则 PQ＝( )
A.2 3 2a B. 3 2a C. 2 2a D.2 3 3a
《直线与平面平行》课件
的稳定性和美观性。
02
建筑测量
在建筑测量中，直线与平面平行的概念对于确定建筑物是否垂直和水平
非常重要。测量师使用铅锤和水平仪等工具来确保建筑物的基础、柱子
和横梁等结构与地面平行。
03
建筑结构分析
在建筑结构分析中，直线与平面平行的概念对于评估结构的稳定性和安
全性至关重要。工程师使用这些概念来分析建筑物的支撑结构和受力情
电子设备制造
在电子设备制造中，直线与平面平行的概念对于确保电子设备的精确度和质量非常重要。制造商使用这些概念来控制 装配和焊接过程，以确保电子元件的放置和连接正确。
电子设备维修
在电子设备维修中，直线与平面平行的概念对于检查和调整电子元件的位置非常重要。维修人员使用这 些概念来检查设备的平行度和垂直度，以确保设备的正常运行和性能。
文字描述
如果一条直线与一个平面平行， 那么这条直线与此平面内的任何 直线都平行。
解释
这个定理说明了直线与平面平行 的条件，即直线必须与平面内的 所有直线都平行，才能判定该直 线与该平面平行。
直线与平面平行判定定理的数学公式
数学公式
若直线$l$与平面$alpha$平行，则对于任意直线$m$在平面$alpha$上，都有 $l parallel m$。
02
若直线$l$与平面$alpha$平行， 则对于任意点$P$在平面$alpha$ 上，有$l cap P = emptyset$。
直线与平面平行性质定理的图形解释
当直线与平面平行时，该直线与平面 内的所有直线都保持平行关系，没有 交点。
在图形中，可以标出一些具体的点来 解释该性质定理，例如选择平面上的 一些点并观察它们是否与直线有交点 。
可以通过作一条与已知直线平行的直 线来验证该性质定理，观察新作的直 线是否与平面内的其他直线平行且无 交点。
直线与平面平行判定定理课件
A
平面CC’D’D 答：1）平面 ）平面A’B’C’D’, 平面 答：2）平面 ）平面A’B’C’D’，平面 ，平面ADD’A’
答：3）平面 ）平面ADD’A’
问问1 问问2 问问3
D' B'
M D N
C'
若 M， N分 分 ， 分 为 D'A，D'B的 ， 的 中 中 ， 则 MN 与 平 平_____ 平 平？
如何判断直线与平面平行？ 如何判断直线与平面平行？
• 思考1：请大家利用手中的模型， 思考1 请大家利用手中的模型， 看看有哪些直线与平面是平行的， 看看有哪些直线与平面是平行的， 理由又是什么？ 理由又是什么？
如何判断直线与平面平行？ 如何判断直线与平面平行？
• 思考2：观察门扇转动，或者翻动 思考2 观察门扇转动， 书的封面这一运动变化过程中， 书的封面这一运动变化过程中，有 没有某些直线与某些平面平行？ 没有某些直线与某些平面平行？为 什么？ 什么？ • 观察演示，想想在转动过程中，橡 观察演示，想想在转动过程中， 皮筋所在的直线与底面是否平行？ 皮筋所在的直线与底面是否平行？ 如何摆就能使它们平行？ 如何摆就能使它们平行？
• 例1、求证：空间四边形相邻两 、求证： 边中点的连线平行于经过另外 两边所在的平面。 两边所在的平面。
A E B C F D
例2：P是平行四边形ABCD所在平面外 是平行四边形ABCD所在平面外 ABCD 一点， PA的中点 求证：PC//平 的中点， 一点，Q是PA的中点，求证：PC//平 面BDQ.
如何判断直线与平面平行？ 如何判断直线与平面平行？
a
• 思考4： 思考4 如果平面外 b α 的一条直线a 的一条直线a与 平面内的直线b 平面内的直线b 平行，那么a 平行，那么a平行于平面α吗？
直线和平面平行的判定定理ppt课件
判定定理二：向量
03
共线法
向量共线法原理
定义
若两向量方向相同或相反，则称这两 向量共线。
性质
应用
在直线与平面平行判定中，通过判断 直线的方向向量与平面上两不共线向 量的关系，确定直线与平面的位置关 系。
共线的向量可以表示为同一基向量的 倍数。
向量运算规则
加法运算
向量加法满足平行四边形 法则或三角形法则。
$l parallel alpha$。
实例二
若直线$l$的方向向量$vec{a}$ 与平面$alpha$的法向量
$vec{n}$满足$vec{a} cdot vec{n} = 0$，则$l parallel
alpha$。
讨论
通过实例分析，我们可以发现向 量共线法在直线与平面平行判定 中的重要作用。同时，需要注意 判定条件的充分性和必要性，以
及特殊情况的处理。
判定定理三：距离
04
相等法
距离相等法原理
直线与平面平行时，直线上任意一点 到平面的距离都相等。
利用这一性质，可以通过比较直线上 不同点到平面的距离是否相等来判断 直线与平面是否平行。
点到直线距离公式
点$P(x_0, y_0, z_0)$到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$的距 离公式为
直线与平面的距离为零
当直线上的任意一点到平面的距离都为零时，直线与平面平行。可 以通过计算点到平面的距离公式来判断。
复杂问题简化策略
转化为基本问题
将复杂问题转化为判断直线与平面是否平行的基本问题，以便运 用上述方法进行求解。
利用已知条件
充分利用题目中给出$d = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
人教A版高中数学必修第二册教学课件PPT-第八章 -8-5-2直线与平面平行
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D解析 由题图知正方体的前、后、左、右四个面都与EF平行.
高中数学 必修第二册 RJ·A
4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，
DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
A解析 ∵EH∥FG，EH⊄平面BDC，FG⊂平面BDC， ∴EH∥平面BDC， 又EH⊂平面ABD且平面ABD∩平面BDC＝BD， ∴EH∥BD.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与 已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.
高中数学 必修第二册 RJ·A
跟踪训练
如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分 别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.
所以 a∥EG，即 BD∥EG，所以AACF＝AAEB.
又EBGD＝AAEB，所以AACF＝EBGD， 于是 EG＝AFA·CBD＝55×＋44＝290.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
(1)利用线面平行的性质定理找线线平行，利用线线平行得对应线段成比例即 可求线段长度. (2)通过定理的运用和平行的性质，提升直观想象和逻辑推理素养.
高中数学 必修第二册 RJ·A
典例剖析
一、直线与平面平行的判定定理的应用
例1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点， 求证：EF∥平面AD1G.
高中数学 必修第二册 RJ·A
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P
M G D H
O A
C B
1、如图，在六面体 ABCD A1B1C1D1 中，
AA1 // CC1 ， A1B A1D ， AB AD .
求证： BB1 // DD1 .
D1 A1
C1 B1
D A
C B
.
课堂小结
1、直线与平面的位置关系； 2、直线与平面平行的判定定理及性质定理；
3、证线面平行的基本方法：
直线和平面平行的性质 定理
直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条
直线的平面和这个平面相交，那么这条直线
和交线平行．
已知： l // ，l ，I m
求证：l // m ．
l
证明：I m．
m
m
l //
l I m
又l
l
//
m
m
例题讲解：
例2．一个长方体如图所示．要经过平面A1C1内 一点Ｐ和棱ＢＣ将木块锯开，应该怎样画线？
PE
P
E
B
A
O
C
D
.
1、如图所示，四边形 EFGH 为空间四边 形 ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形。 求证： AB ∥平面 EFGH ， CD ∥平面 EFGH ；
.
课堂练习
2、ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点， M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平 面交平面BDM于GH。求证：AP∥GH
D1
A1 D
A
．Ｆ C1 Ｐ
Ｅ
B1 C
B
1、如图，在四棱锥 P ABCD 中， BC//平面 PAD． 求证： AD// 平面 PBC ；
P
A
D
B
C
.
1、如图，在四棱锥 P－ABCD 中，O 为 AC 与 BD 的交点，
DC//AB，DA＝DC＝2AB.若点 E 为棱 PA 上一点， 且 OE∥平面 PBC，求A4、证线线平行的基本方法：
线面平行
线线平行