中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案

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初中数学中考特殊四边形证明及计算

一•解答题

1. (1)如图①，？ABCD勺对角线AC, BD交于点0,直线EF过点0,分别交AD BC于点E, F.

求证：AE=CF

(2)如图②，将？ABCD(纸片)沿过对角线交点 0的直线EF折叠，点A落在点A i处，点B落在点B i处，设

CD于点G, A i B i分别交CD DE于点H, I .

考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换(折叠问题)

分析：(1 )由四边形ABCD是平行四边形，可得 AD// BC, 0A=0C又由平行线的性质，可得 /仁/ 2，继而利用ASA即可证得△ AOE^A C0F则可证得 AE=CF

(2)根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A i E=CF / A i=Z A=Z C, / B i=Z B=Z D,继而可证得

△ A i IE◎△ CGF 即可证得 EI=FG.

解答：证明：(i) •••四边形ABCD是平行四边形，

••• AD// BC, 0A=0C

•••/ 仁/ 2,

在厶A0E和△ COF中，

^Z1=Z2

PARC , AOE^A C0F(ASA), • AE=CF

(2) •••四边形 ABCD是平行四边形，A=Z C, / B=Z D,由(i )得 AE=CF

由折叠的性质可得： AE=AE, / A i=Z A, / B i=Z B,

•A i E=CF / A i=Z A=Z C, / B i=Z B=Z D,又仁/2, 3=Z 4，•― 5=Z 3, / 4=Z 6，•/ 5=Z 6 , 在厶A i IE与厶CGF中，

S］二ZC

*Z5=Z6 , •••△A i IE◎△ CGF(AAS, •- EI=FG.

A 芒二CF

点评: 2 .在△ ABC 中，AB=AC 点P 为厶ABC 所在平面内一点，过点 P 分别作PE// AC 交AB 于点E, PF// AB 交BC 于点D, 交AC 于点F.若点P 在BC 边上（如图1）,此时PD=0可得结论：PD+PE+PF=AB 请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P 分别在△ ABC 内（如图2）, △ ABC#（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， PD, PE, PF 与AB 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证

考点：平行四边形的性质. 专题：探究型.

分析：在图2中，因为四边形 PEAF 为平行四边形，所以 PE=AF 又三角形FDC 为等腰三角形，所以

FD=PF+PD=FC 即 PE+PD+PF=AC=AB 在图 3 中, PE=AF 可证，FD=PF- PD=CF 即 PF- PD+PE=AC=AB 解答：解：图2结论：

PD+PE+PF=AB

证明：过点P 作MN/ BC 分别交AB, AC 于 M N 两点， •/ PE// AC, PF// AB,

•••四边形AEPF 是平行四边形， •/ MN/ BC, PF// AB

•四边形BDPM 是平行四边形，

• AE=PF , / EPM 2 ANM M C,

•/ AB=AC

• / EMP 2 B , • / EMP 2 EPM • PE=EM

• PE+PF=AE+EM=AM

•••四边形BDPM 是平行四边形，

• MB=PD • P

D+PE+PF=MB +AM=A B

即

PD+PE +PF=A

B

图

3

结

此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质•此题难度适中，注意掌握 折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用.

论：PE+PF- PD=AB

点评：此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键.

3. 如图，△ ABC是等边三角形，点 D是边BC上的一点，以 AD为边作等边△ ADE过点C作CF// DE交AB于点F.

(1) 若点D 是BC 边的中点(如图 ①)，求证：EF=CD (2) 在(1)的条件下直接写出 △ AEF 和厶ABC 的面积比；

(3) 若点D 是BC 边上的任意一点(除 B 、C 外如图②)，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，

请给出证明; 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

证明题.

(1) 根据△ ABC^n^ AED 是等边三角形，D 是BC 的中点，ED// CF,求证△ ABD^A CAF,进而求证四 边形EDCF 是平行四边形即

可；

在(1)的条件下可直接写出 △ AEF 和厶ABC 的面积比；

根据ED// FC,结合/ ACB=60,得出/ ACF=/ BAD 求证△ ABD^A CAF,得出ED=CF 进而求 EF=DC

••• AD 丄 BC,且 / BAD= / BAC=30 ,

2

•••△ AED 是等边三角形， • AD=AE / ADE=60,

• / EDB=90 - / ADE=90 - 60°=30°

•/ ED// CF,

• / FCB=Z EDB=3C °, v/ ACB=60,

ACF=/ ACB- / FCB=30,

• /ACF=Z BAD=30, 在 △ ABD 和 △ CAF 中, i r

ZBAD=ZACF

• AB=CA

,

t

,ZFAC=ZB

• △ ABD^A CAF (ASA , •- AD=CF v AD=ED

• ED=CF 又v ED// CF, •四边形EDCF 是平行四边形， • EF=CD

(2)

解：△ AEF 和厶ABC 的面积比为：1 : 4

；

考点

专题

分析

•/△ ABC 是等边三角形,

图②

D 是BC 的中点,

(2)

(3) 证四边形EDCF 是平行四边形，即可证明

解答:

(1)证明: