直线方程的应用(习题)
(完整版)直线与方程练习题及答案详解
直线与方程练习题及答案详解一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1 B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________;若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________;若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________; 3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。
4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________. 5．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。
直线的参数方程及其应用举例
-.直线的参数方程及应用问题1：〔直线由点和方向确定〕求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向〕过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点.1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P| 那么P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos αQ P ＝0y y -∴0y y -=t sin α 即⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从点P 0(00,y x )到点P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t|① 当t>0时，点P 在点P 0的上方；② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合；③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方；特别地，假设直线l 的倾斜角α＝0⎧+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合；⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系.xx- . 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ，那么P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t－t ∣问题4：假设P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，P 1、P 2 参数分别为t 1、t 2 ，那么t 1、t 2 根据直线l 参数方程t 的几何意义，P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，∴|P 1P|＝|P 2P| P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2<0 一般地，假设P 1、P 2、P 3是直线l 上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2 那么t 3＝221t t +〔∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t 的几何意义，∴P 1P 3= t 3－t 1,P 2P 3=t 3－t 2,∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) 〕总结：1、 直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 〔t 为参数〕t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点.(2)假设P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，那么P 1P 2=t 2－t 1∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 假设P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3那么P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)假设P 0为P 1P 2的中点，那么t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<02、 直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为ab k =的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 〔t 为参数〕 x例题：1、参数方程与普通方程的互化例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义.解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－31=－33 设倾斜角为α，tg α=－33,α=π65, cos α =－23, sin α=21 1l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231 〔t 为参数〕t 是直线1l 上定点M 0〔1，0〕到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的数量.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-(2) 21(1) 231t y t x (1)、(2)两式平方相加,得222)1(t y x =+-∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣是定点M 0〔1，0〕到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2：化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t 313y t x 〔t 为参数〕为普通方程，并求倾斜角， 说明∣t ∣的几何意义.解：原方程组变形为⎩⎨⎧=-=+ (2) t31 (1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ， 得)3(31+=-x y (点斜式) 可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3π 普通方程为 01333=++-y x(1)、(2)两式平方相加,得2224)1()3(t y x =-++∴∣t ∣=2)1()3(22-++y x ∣t ∣是定点M 0〔3，1〕到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长的一半.点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231即⎪⎩⎪⎨⎧=+=ππ65sin 65cos 1t y t x 是直线方程的标准形式，(-23)2+(21)2=1, t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.直线2l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-= t 313y t x 是非标准的形式，12＋(3)2=4≠1，此时t 的几何意义是有向线段M M 0的数量的一半.你会区分直线参数方程的标准形式吗？例3：直线l 过点M 0〔1，3〕，倾斜角为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211〔t 为参数〕和方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x 〔t 为参数〕是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l 的的普通方程 0333=+--y x ，所以，以上两个方程都是直线l 的参数方程，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211 cos α =21, sin α=23，是标准形式，参数t 是有向线段M M 0的数量.，而方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x 是非标准形式，参数t 不具有上述的几何意义. 点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能区分其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.问题5：直线的参数方程⎩⎨⎧+=+= t 331y t x 能否化为标准形式？ 是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)⎩⎨⎧+=+= t 331y t x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=))3(1()3(13 3))3(1()3(11122222222t y t x 令t '=t 22)3(1+ 得到直线l 参数方程的标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t 233211y t x t '的几何意义是有向线段 M M 0的数量.2、直线非标准参数方程的标准化一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00〔t 为参数〕， 斜率为a b tg k ==α(1)当22b a +＝1时，那么t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.(2) 当22b a +≠1时，那么t 不具有上述的几何意义.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+ 那么可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a b y y t b a a x x 220220 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量.例4：写出经过点M 0〔－2，3〕，倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且 求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标. 解：直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=ππ43sin 343cos 2t y t x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 223222〔t 为参数〕〔1〕 设直线l 上与点M 0相距为2的点为M 点，且M 点对应的参数为t, 那么| M 0M|＝|t| =2, ∴t=±2 将t 的值代入(1)式当t=2时，M 点在 M 0点的上方，其坐标为〔－2－2，3＋2〕；当t=-2时，M 点在 M 0点的下方，其坐标为〔－2＋2，3－2〕.点拨：假设使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦， 而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较 容易.例5：直线⎩⎨⎧-=+= 20cos 420sin 3t y t x 〔t 为参数〕的倾斜角 . 解法1：消参数t,的34--x y ＝－ctg20°=tg110°解法2：化为标准形式：⎩⎨⎧-+=-+= 110sin )(4110cos )(3t y t t x 〔－t 为参数〕 ∴此直线的倾斜角为110°根底知识测试1：1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、 直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-=25cos 225sin 1t y t x 〔t 为参数〕，那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°3、 直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 521511〔t 为参数〕的斜率和倾斜角分别是( ) A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21) C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 21 4、 直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 〔t 为参数〕上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P 分线段BA 所成的比为λ〔λ≠－1〕，那么P 所对应的参数是.5、直线l 的方程： ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 〔t 为参数〕A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣ B22b a +∣t 1－t 2∣ C 2221b a t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣ 6、 直线l ：⎩⎨⎧+-=+= t 351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离.例6：直线l 过点P 〔2，0〕，斜率为34，直线l和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M,求： (1)P 、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|解：(1)∵直线l 过点P 〔2，0〕，斜率为34,设直线的倾斜角为α，tg α=34 cos α =53, sin α=54∴直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 54532〔t 为参数〕* ∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程x y 22=中，整理得 8t 2－15t －50＝0 Δ=152+4×8×50>0,设这个二次方程的两个根为t 1、t 2,由韦达定理得 t 1＋t 2＝815, t 1t 2＝425- ，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得| PM|＝221t t +＝1615 ∵中点M 所对应的参数为t M =1615,将此值代入直线的标准参数方程*， M 点的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧=•==•+=4316155416411615532y x 即 M 〔1641，43〕 (3) |AB|＝∣t 2－t 1∣＝ 222114)(t t t t -+＝7385 点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t 的几何意义，在解决诸如直线l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比拟灵活和简捷. 例7：直线l 经过点P 〔1,－33〕,倾斜角为3π， (1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ|；(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.解：(1)∵直线l 经过点P 〔1,－33〕,倾斜角为3π,∴直线l 的标准参数方 程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=3sin 333cos 1ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 2333211〔t 为参数〕代入直线l '：32-=x y 得032)2333()211(=-+--+t t 整理，解得t=4+23 t=4+23即为直线l 与直线l '的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几 何意义可知：|t|=| PQ|,∴| PQ|=4+23.(2) 把直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 2333211〔t 为参数〕代入圆的方程22y x +＝16，得16)2333()211(22=+-++t t ,整理得：t 2－8t+12=0， Δ=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t 1、t 2 那么t 1t 2=12根据参数t 的几何意义，t 1、t 2 分别为直线和圆22y x +＝16的两个交点A, B 所对应的参数值，那么|t 1|=| PA|,|t 2|=| PB|,所以| PA|·| PB|=|t 1 t 2|=12点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘- . 积〔或商〕的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右， 直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为〔a ，2〕 方程为(y ―2)2=2P(x －a ) (P>0) ①∵点B(－1,－2)在抛物线上，∴(―2―2)2=2P(－1－a )a P=－8－P 代入① 得(y ―2)2=2P x ＋2P+16 ②将直线方程y=2x +7化为标准的参数方程tg α=2,α为锐角，cos α =51, sin α=52 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 525511〔t 为参数〕 ③ ∵直线与抛物线相交于A ，B, ∴将③代入②并化简得：75212542--+t P t ＝0 ，由Δ=355)6(42+-P >0,可设方程的两根为t 1、t 2， 又∵|AB|=∣t 2－t 1∣＝ 222114)(t t t t -+＝4104354]4)212(5[2⨯+-P =(410)2 化简，得(6－P)2=100 ∴ P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y ―2)2=32x ＋48点拨：(1)〔对称性〕由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程〔含P 一个未知量，由弦长AB 的值求得P 〕.(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。
直线方程练习题
直线方程练习题一、选择题1. 已知直线l过点A(2,3)且与直线3x-4y+5=0平行，求直线l的方程。
A. 3x-4y-1=0B. 3x-4y+13=0C. 4x-3y+6=0D. 4x-3y-6=02. 直线l1: ax+by+c=0与直线l2: cx+dy+e=0平行，那么以下哪个条件是正确的？A. ad-bc=0B. ac-bd=0C. a/c=b/dD. a/c≠b/d3. 已知直线l的方程为y=kx+b，若该直线过点(1,0)且斜率为1，则k 的值为：A. 0B. -1C. 1D. 24. 直线方程x+y-2=0与x-y+2=0的交点坐标是：A. (0,2)B. (2,0)C. (-2,0)D. (0,-2)5. 已知直线l1: 2x-3y+4=0与直线l2: x+y-2=0，求它们之间的距离。
A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题1. 若直线方程为ax+by=c，且a、b不全为0，则直线的斜率k=______。
2. 直线方程y=2x+3与x轴的交点坐标为______。
3. 若直线l过点(-1,2)且斜率为-2，则直线l的方程为______。
4. 已知直线方程为x-2y+4=0，求与该直线垂直的直线方程。
5. 已知直线方程为3x+4y-5=0，求直线上点(1,-1)到该直线的距离。
三、解答题1. 已知直线l1: 2x-y+3=0与直线l2: x+y+1=0，求它们所围成的三角形的顶点坐标。
2. 已知直线l1: ax+by+c1=0与直线l2: cx+dy+c2=0相交，求交点坐标。
3. 已知直线l1: 3x+4y-7=0与直线l2: 6x-8y+15=0，判断它们是否平行或重合，并说明理由。
4. 已知直线l: y=-2x+5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求点A和点B的坐标。
5. 已知直线l1: 2x-y+1=0与直线l2: x-2y+2=0，求它们所成的角的正切值。
四、证明题1. 证明：若直线l1: ax+by+c1=0与直线l2: cx+dy+c2=0垂直，则有ad+bc=0。
高中直线方程练习题
高中直线方程练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 直线方程 \( y = -3x + 2 \) 与 \( x \) 轴的交点坐标是：A. (0, -2)B. (0, 2)C. (2, 0)D. (-2, 0)2. 已知直线 \( l \) 过点 A(-1, 3) 且与直线 \( 2x - 3y + 4 = 0 \) 平行，求直线 \( l \) 的方程。
3. 若直线 \( 3x + 4y - 5 = 0 \) 与 \( x \) 轴相交于点 P，求点P 的坐标。
4. 直线方程 \( y = kx + b \) 与直线 \( y = 2x \) 平行，求斜率\( k \) 的值。
5. 直线 \( x - 2y + 5 = 0 \) 与 \( y \) 轴相交于点 Q，求点 Q 的坐标。
二、填空题（每题3分，共15分）6. 直线 \( 2x + y - 6 = 0 \) 与 \( x \) 轴相交于点 \( (3, 0) \)，求直线的斜率。
7. 若直线 \( ax + by + c = 0 \) 与 \( x \) 轴平行，求斜率\( b \) 的值。
8. 已知直线 \( 3x - 4y + 12 = 0 \) 与 \( y \) 轴相交于点 B，求点 B 的坐标。
9. 直线方程 \( y = 5x - 1 \) 与 \( x \) 轴相交于点 R，求点 R 的坐标。
10. 若直线 \( x + y - 3 = 0 \) 与 \( y \) 轴相交于点 S，求点S 的坐标。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知直线 \( l_1 \) 方程为 \( x + 2y - 4 = 0 \)，直线\( l_2 \) 方程为 \( 3x - y + 1 = 0 \)，求两直线的交点坐标。
12. 直线 \( l \) 经过点 M(1, 2) 并且与直线 \( y = 4x - 5 \) 垂直，求直线 \( l \) 的方程。
直线与方程练习题(精选)
直线与方程练习题一、选择题1.若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ）A ．0≠mB ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 2.下列说法的正确的是（ ）A ．经过定点()P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x ayb+=1表示 D ．经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121表示3.若()()P a b Q c d ，、，都在直线y mx k =+上，则PQ 用a c m 、、表示为（ ）A ．()a c m ++12B ．()m a c -C ．a c m-+12D ． a c m -+124.△ABC 中，点(4,1)A -,AB 的中点为(3,2)M ,重心为(4,2)P ，则边BC 的长为（ ）A ．5B ．4C ．10D ．85.若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．360x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y +-=D ．320x y -+=6.直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是（ ）Ａ．[]2,2- Ｂ．(][)+∞⋃-∞-,22,Ｃ．[)(]2,00,2⋃- Ｄ．()+∞∞-,7.直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（ ）A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝08.若y ＝a ｜x ｜的图象与直线y ＝x ＋a （a ＞0）有两个不同交点，则a 的取值范围是（ ）A ．0＜a ＜1B ．a ＞1C ．a ＞0且a ≠1D ．a ＝19.直线xcos θ＋y ＋m =0的倾斜角范围是（ ）A. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦10已知点)2,1(-A ，)2,2(-B ，)3,0(C ，若点),(b a M )0(≠a 是线段AB 上的一点，则直线CM 的斜率的取值范围是( ) (A)[－25,1] (B)[－25,0]∪(0,1) (C)[－1,25] (D) ][)+∞⋃--∞,125,(11.已知直线l 过点P(－2,1),且倾斜角α满足sin α＋cos α=－51,则l 的方程是( )(A)3x ＋4y ＋2=0 (B)3x －4y －2=0 (C)3x －4y ＋2=0或3x ＋4y ＋2=0 (D)3x ＋4y －10=0 12.点P （x ,y ）在直线x +2y +1=0上移动，函数f(x ,y )=2x +4y 的最小值是 ( )(A)22(B) 2 (C)22(D)4213.若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为( )A ．23B ．32C ．33D ．24 14.点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为（ ）A. (4,0)B. (13,0)C. (5,0)D. (1,0)15.设a,b,c 分别是△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的边长，则直线sinA ·x+ay+c ＝0与bx-sinB ·y+sinC ＝0的位置关系是( )A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直16过点P (1,2)且与原点O 距离最大的直线l 的方程（ ）.A.250x y +-= B. 240x y +-= C.370x y +-= D.350x y +-=二、填空题1.光线从点(2,1)A 出发射入y 轴上点Q , 再经y 轴反射后过(4,3)B , 则点Q 的坐标是2.已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，则顶点A 的坐标是 ．3.已知直线31y kx k =++.（33x -≤≤）上的点都在x 轴上方，则实数k 的取值范围是 .4.将直线1y x =绕它上面一点（115°得到的直线方程是 .5.已知直线l 在y 轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l 的方程 .6.直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，当m = 时，12l l ⊥7.（1）若a b c -+=，则直线ax by c ++=必经过一个定点是 .（2）已知直线方程为(2+λ)x +(1-2λ)y +4-3λ=0必过定点 .8.（1）已知1122234,234x y x y -=-=，则过点1122(,),(,)A x y B x y 的直线l 的方程是（2）一直线被两直线1l ：460x y ++=，2l ：3560x y --=截得的线段的中点恰好是坐标原点，则该直线方程是9.已知直线l 过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l 的方程为 .10.已知点(3,8)A -、(2,2)B ，点P 是x 轴上的点，当AP PB+最小时点P的坐标是 ． 11.若y ＝kx2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，直线l 的倾斜角的取值范围 .12.已知(1,0)(1,0)M N -、，点P 为直线210x y --=上的动点．则22PM PN +的最小值 ． 13.已知函数()f x =，设,a b R ∈，且a b ≠，则|()()|f a f b -，||a b -的大小关系 .14.直线2x －y －4=0上一点P 与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值是 15.在函数24y x =的图象上一点P 到直线45y x =-的最短的距离是 .16.直线30x y +=上一点P 到原点的距离与到直线320x y +-=的距离相等.则点P 的坐标 17.△ABC 中，(3,3),(2,2),(7,1)A B C --. 则∠A的平分线AD 所在直线的方程是 .18.已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0，点N 到直线PM 的距离为1．则直线PN 的方程 ．19.光线从A （－3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点D （－1，6），则BC 所在直线的方程是 .20.已知直线,32:1+=x y l若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________ ;若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________ . 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________ ;22.点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.23.直线l 过原点，且平分□ABCD 的面积，若B (1, 4)、D (5, 0)，则直线l 的方程是 ．24.方程1=+y x 所表示的图形的面积为_________。
直线的方程练习题(中职)
直线的方程练习题1.已知A(-4,5)，B(8,1)，则AB中点的坐标是线段AB的长度是2.已知M(0,3)，N(2,3),线段MN的长度是MN中点的坐标是3.若点B(5,6)，线段BC的中点坐标是O(2,1)，点C的坐标是4.已知∆ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-2)、B(0,1)、C(1,4)，BC边上的中线AD长度是5.若点R(1,1)、S(a,3)，且线段SR=2√5,则a=6.已知直线的倾斜角是120°，该直线的斜率是7.若直线l经过点A(1,-2)、B(4,2)，斜率是8.已知一条直线经过M(1,√3)、N(2,2√3)该直线的倾斜角是9.若直线平行于x轴，该直线的斜率为；若垂直于x轴，则斜率10.已知直线经过点P(5,-4)、Q(a,-3)，倾斜角是45°，则a的值是11.若直线经过点A(2,-1)，且斜率为3，直线的方程是12.直线经过两点A(1,4)，B(-2,5)，直线的方程是13.经过点（-7，1）且垂直于x轴的直线方程是14.经过点（5，3）且平行于x轴的直线方程是15.若直线的方程是3x+5y-8=0，直线在x轴上的截距是；在y轴上的截距是16.已知直线的方程是x+2y+5=0，方程的斜截式是；17.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4,1)、B(2,3)、C(-2,5)，则AC边上的中线DC的方程是18.若直线的的方程是y=-2x-5，该直线的斜率是，纵截距是19.若点（a,1）在直线3x+y-6=0上,则a=20.判断点（2，-3）是否在直线2x+y+1=0上，选填（“是”或“不是”）21.已知直线的横截距是3，纵截距是-1，直线的方程是22.判断下列直线的位置关系（选填：“相交不垂直”、“垂直”、“平行”、“重合”）(1).l1:x+y=0,l2:2x−3y+1=0; (2).l1:y=−x−2,l2:2x+2y+4=0(3).l1:−3x=2y,l2:4x−3y−1=0; (4).l1:y=3,l2:x+2=0(5).l1:x+y=0,l2:2x−3y+1=0; (6).l1:y=−3x−4,l2:x−3y+4=0(7).l1:2x+5y−8=0,l2:x−y+1=0; (8).l1:x−y−1=0,l2:2x−2y−2=023.直线2x+3y-6=0与x-2y+1=0的交点坐标是24.已知直线l1的倾斜角是30度，则过点（3，1）且垂直于l1的直线方程是25.过点（-3，2），平行于直线4x-2y+1=0的直线方程是26. 过点（-3，2），且垂直于直线4x-2y+1=0的直线方程是27. 已知∆ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-2)、B(0,1)、C(1,4)，BC边上的高AD的方程是28.若直线y=3x-1与直线x+ay+2=0垂直，则实数a的值是29.点（3，2）到直线6x-8y+7=0的距离是30.设P为y轴上一点，且P到直线3x-4y+6=0的距离为5，则点P的坐标是31. 已知∆ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-2)、B(0,1)、C(1,4)，求∆ABC的面积。
直线方程习题
4 直 例 、 线 l过 P( 4,1)且 x、y正 轴 正 点 与 正 的 正 A、B两 ， 点 1 求 （ ） S∆OAB的 的 的 的 线 的 的 的 直 2 （ ）l在 坐 轴 在 在 两 标 在 在 在 l方 ； 方
的 的 的 的 l方 的 的 的 方
(3)当|PA||PB| 的的的的时直线 y的方方 当 的的的的时直线l 的方方.
的 的 的 的 l方 的 的 的 方
(3)当|PA||PB| 的的的的时直线 y的方方 当 的的的的时直线l 的方方.
解（ ）由题意知直线l斜率存在 1
B
•
设直线方方为y − 1 = k ( x − 4) 1 ∴ A(4 − ,0), B (0,1 − 4k ) (k < 0) k
P(4,1 )
A
0
直线方程的习题课
直线的方方：
（ ）点斜式：y − y0 = k ( x − x0 ) 1
斜在式：y = kx + b
y − y1 x − x1 （2）两点式： = y2 − y1 x2 − x1
x y 在在式： + = 1 a b
（3）一般式：Ax + By + C = 0
直线
， l1 : y = k1 x + b1，l2 : y = k 2 x + b2 的条件是什么？ （2）l1 ⊥ l2 的条件是什么？ ）
•
P(4,1 )
A x
|PA||PB|= | PA || PB |= − PA • PB = −(a − 4,−1) • (−4, b − 1) = 4a + b − 17
4 1 4b 4a = (4a + b)( + ) − 17 = + ≥8 a b a b
直线方程的应用
（14/5，7/5）
且由题意知， k＜0.
S AOB
1 2
(1
2k )(2
1) k
1 2
4
(
4k )
(
1) k
4，
当且仅当 4k 1 ，即k 1 时取最小值，
k
2
故l 的方程为y 1 1 ( x 2)，即x 2 y 4 0. 2
一、线段中点坐标公式
1、已知点A(6,0),O(0,0),则线段OA中点M的坐 标是( 3，0 )
4.直线与二元一次方程的关系： 直线的方程都是二元一次方程；
任何一个关于x，y的二元一次方程都表 示一条直线。
问题2：直线方程归纳
名称 已知条件
标准方程
使用范围
点斜式
斜率k和一点
P0 ( x0 , y0 )
y
y0
k( x x0 )
不包括y轴及与 y轴平行的直线
斜截式
斜率k和y轴 上的截距b
y kx b
22
二、对称问题 1、点与点的中心对称
练1：点A(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点A/ 的坐标是( -4,-1)
练2：过点P(1,3)与两坐标轴交成的线段以 P为中点的直线方程_____
分析：用中点坐标公式可求的直线在坐 标轴的截距分别为2和6用截距式写出方 程为x/2+y/6=1即3x+y-6=0
2、直线关于点的中心对称问题 例1：求直线2x-3y+6=0关于点A（1，2）对 称的直线方程
方法：用相关点法——设直线上的点为 P(x1,y1),点P关于A点的对称点为P/(x,y),利 用中点坐标公式推出用x,y表示x1,y1的表 达式后代入直线方程化简即可.
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直线方程的应用（习题）
➢例题示范
例1：若过点A(4，0)的直线l与圆(x-2)2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_______________．
思路分析：
的位置关系为相切或相交，其中相切为临界状态．
计算直线与圆相切时直线的斜率：
如图，设圆心为点B，直线AM，AN分别与圆相切于点M，N，
则BM⊥AM，BN⊥AN，且BM=BN=1，AB=2，
所以∠MAB=∠NAB=30°，
进而可得
AM AN
k k
==
结合图形易得直线l的斜率的取值范围是[
33
-，．
例2：在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-4x=0．若直线l：y=k(x+1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是_______________．
思路分析：
由题意，圆C：(x-2)2+y2=4，圆心C(2，0)，半径r=2．
∵过点P的两条切线相互垂直，
∴过点P，C以及两切点组成的四边形是正方形，
∴对角线PC==
即l上存在一点到圆心的距离等于
∴圆心C到直线l：kx-y+k=0的距离小于或等于，
解得k
-≤．
➢巩固练习
1.若直线l：y kx
=2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）
A．[30°，60°) B．[30°，90°]
C．(60°，90°) D．(30°，90°)
2.已知点M(2，-3)，N(-3，-2)，若直线l：y=ax-a+1与线段MN相交，则实数
a的取值范围是（）
A．
3
4
4
a a-
≥≤
或B．
3
4
4
a
-≤≤
C．3
4
4
a
≤≤D．
3
4
4
a
-≤≤
3.若点P(x，y)在以A(-3，1)，B(-1，0)，C(-2，0)为顶点的△ABC的内部（不
包括边界），则
2
1
y
x
-
-
的取值范围是（）
A．
1
[1]
2
，B．
1
(1)
2
，C．
1
[1]
4
，D．
1
(1)
4
，
4.过点A(2，1)以及两直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点的直线方程是（）
A．2x+y-5=0 B．5x-7y-3=0
C．x-3y+5=0 D．7x-2y-4=0
5.过点(2，3)，且到原点的距离最大的直线方程是（）
A．3x+2y-12=0 B．2x+3y-13=0
C．x=2 D．x+y-5=0
6.已知点M(2，3)，N(4，-5)，直线l经过点P(1，2)，且点M，N到直线l的
距离相等，则直线l的方程是（）
A．4x+y-6=0
B．x+4y-6=0
C．3x+2y-7=0或4x+y-6=0
D．2x+3y-7=0或x+4y-6=0
7.直线2x-y+3=0关于定点M(-1，2)对称的直线方程是（）
A．2x-y+1=0 B．2x-y+5=0
C．2x-y-1=0 D．2x-y-5=0
8.点P(1，5)关于直线l：x-y+1=0的对称点的坐标是（）
A．(2，4) B．(4，2) C．(2，-4) D．(-4，2)
9.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，-1)，C(2，-3)两点，顶点D在
直线3x-y+1=0上移动，则顶点B的轨迹方程是（）
A．3x-y-20=0（x≠13）B．3x-y-10=0（x≠13）
C．3x-y-9=0（x≠-8）D．3x-y-12=0（x≠-8）
10.已知直线l：y=x+b，若圆x2+y2=4上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b
的值为____________．
11.过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线，切点分别为P，Q，则线段PQ
的长为____________．
12.过直线0
+-=上的一点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两切线的夹角
x y
是60°，则点P的坐标是_____________．
13.已知直线x-y+a=0与圆C：x2+y2+2x-4y-4=0相交于A，B两点，若AC⊥BC，
则实数a的值为___________．
【参考答案】
1. D
2. A
3. D
4. B
5. B
6. C
7. B
8. B
9. A
10.或
11.4
12.
13.0或6。