线性代数自考知识点汇总
自考本线性代数知识点总结
自考本线性代数知识点总结一、向量和矩阵1. 向量的定义向量是有向线段的数学表示，通常用加粗的小写字母来表示，如a、b等。
向量有大小和方向，可以表示为一组有序的数值，例如a=(a1, a2, ..., an)。
2. 向量的运算向量可以进行加法、数乘和内积运算。
加法是指对应位置上的数值相加，数乘是指一个标量与向量的每个分量相乘，内积是指两个向量对应位置上的数值相乘后再相加得到一个标量。
3. 矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。
矩阵通常用大写字母来表示，如A、B 等，可以表示为一个矩形数表格。
4. 矩阵的运算矩阵可以进行加法、数乘和乘法等运算。
矩阵的加法是指对应位置上的元素相加，数乘是指一个标量与矩阵的每个元素相乘，矩阵的乘法则是一种复杂的运算，需要满足一定的规则。
5. 矩阵的转置和逆矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，用A^T表示。
矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得A与B的乘积为单位矩阵。
二、行列式和特征值1. 行列式行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来描述矩阵线性变换前后的面积或体积的缩放比例。
行列式的计算是一个重要的线性代数知识点，非常重要。
2. 特征值和特征向量特征值是矩阵的一个重要性质，它是矩阵A的一个标量λ，使得矩阵A减去λ乘以单位矩阵的行列式为0。
特征向量是对应于特征值的非零向量，它可以用来描述矩阵线性变换的方向。
三、线性方程组和矩阵的应用1. 线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程组，它可以用矩阵的形式表示为AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
2. 矩阵的应用矩阵在各个领域都有着广泛的应用，如在工程学中可以用来描述结构的受力分布，计算机科学中用来表示图像和二维图形的变换，物理学中用来描述物质的状态等。
四、线性变换和空间1. 线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足两个性质：对于所有的向量u和v以及标量c，有T(u+v) = T(u) + T(v)，T(cu) = cT(u)。
自考线性代数经管类笔记
自考线性代数经管类笔记线性代数是一门应用广泛的数学学科，对于经管类专业的学生来说尤为重要。
本篇笔记将详细介绍线性代数的基本概念和常用方法，以及其中涉及到的经管类应用。
一、向量和矩阵1.1 向量的定义和运算向量是由有序的一组数按照一定顺序排列而成的对象，常用于表示多维度的数据。
向量的加法和数乘是基本的运算操作，能够实现向量之间的合成和缩放。
1.2 矩阵的定义和运算矩阵是由多个向量按行或按列排列而成的矩形数组。
矩阵的加法、数乘和乘法是常见的运算操作，通过这些运算可以实现线性方程组的求解和数据的变换。
二、线性方程组2.1 线性方程组的概念线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合，可以用矩阵和向量的形式表示。
线性方程组通常用来描述多个变量之间的关系。
2.2 线性方程组的解法高斯消元法是求解线性方程组的常用方法，通过矩阵的初等行变换将线性方程组化为简化的行阶梯形式，从而得到方程组的解。
三、矩阵的应用3.1 线性变换线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的一种特殊变换，可以用矩阵表示。
在经管类问题中，线性变换常用于描述经济模型、市场规模和供求关系等。
3.2 特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是描述矩阵性质的重要指标，可以用来判断矩阵的稳定性和变换的特征。
四、行列式4.1 行列式的概念行列式是一个与矩阵相关的标量，可以用来判断矩阵的可逆性、求解线性方程组和计算面积、体积等几何量。
4.2 行列式的性质行列式具有一系列重要的性质，包括行列式的展开性质、可逆矩阵的行列式性质和矩阵乘法的行列式性质等。
五、矩阵的特殊类型5.1 对称矩阵对称矩阵是指矩阵的转置矩阵等于矩阵本身，具有特殊的性质和应用，常用于描述系统的对称程度和分析力学中的刚体问题。
5.2 正定矩阵正定矩阵是指矩阵的所有特征值都大于零，是优化问题和概率论中常见的矩阵类型。
六、线性代数的应用6.1 经济学中的应用线性代数在经济学中有广泛的应用，如求解均衡价格、计算生产函数、分析供求关系等。
自考复习专题：线性代数第2章
第二部分矩阵本章概述矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。
主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。
在自学考试中，所占比例是各章之最。
按考试大纲的规定，第二章占26分左右。
而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。
以改版后的三次考试为例，看下表按考试大纲所占分数07.4 07.7 07.10 直接考矩阵这一章的26分左右31分34分38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数51分53分67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。
2.1 线性方程组和矩阵的定义2.1.1 线性方程组n元线性方程组的一般形式为特别若，称这样的方程组为齐次方程组。
称数表为该线性方程组的系数矩阵；称数表为该线性方程组的增广矩阵。
事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m×(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。
例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组【答疑编号12020102】2.1.2 矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1 我们称由mn个数排成的m行n列的数表为m×n阶矩阵，也可记为为矩阵A第i行，第j列的元素。
注意:矩阵和行列式的区别。
二、几类特殊的矩阵1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。
例如都是零矩阵。
2.若A的行数m=1，则称为行矩阵，也称为n维行向量。
若A的列数n=1，则称为列矩阵，也称为m维列向量。
3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。
如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。
4.称n阶方阵为n阶对角阵。
特别若上述对角阵中，，称矩阵为数量矩阵，如果其中λ=1，上述数量阵为，称为n阶单位阵。
5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。
自考线性代数(经管类)-考点
线性代数第一章行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1．二阶行列式由4个数得到下列式子：称为一个二阶行列式，其运算规则为2．三阶行列式由9个数得到下列式子：称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3．余子式及代数余子式设有三阶行列式对任何一个元素，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素的余子式，记成例如，，再记，称为元素的代数余子式.例如，那么，三阶行列式定义为我们把它称为按第一列的展开式，经常简写成4．n阶行列式一阶行列式n阶行列式其中为元素的代数余子式.5．特殊行列式上三角行列式下三角行列式对角行列式（二）行列式的性质性质1 行列式和它的转置行列式相等，即性质2 用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.推论1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.性质4 行列式可以按行（列）拆开.性质5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.定理1（行列式展开定理）n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即或前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理2 n阶行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即或（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：例1 计算行列式解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.例2 计算行列式解：方法1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子，再将后三行都减去第一行：方法2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与有相同值的五阶行列式：这样得到一个“箭形”行列式，如果，则原行列式的值为零，故不妨假设，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零.例3 三阶范德蒙德行列式（四）克拉默法则定理1（克拉默法则）设含有n个方程的n元线性方程组为如果其系数行列式，则方程组必有唯一解：其中是把D中第j列换成常数项后得到的行列式.把这个法则应用于齐次线性方程组，则有定理2 设有含n个方程的n元齐次线性方程组如果其系数行列式，则该方程组只有零解：换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有，在教材第二章中，将要证明，n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.第二章矩阵（一）矩阵的定义1．矩阵的概念由个数排成的一个m行n列的数表称为一个m行n列矩阵或矩阵当时，称为n阶矩阵或n阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，用或O表示2．3个常用的特殊方阵：①n阶对角矩阵是指形如的矩阵②n阶单位方阵是指形如的矩阵③n阶三角矩阵是指形如的矩阵3．矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“”与矩阵记号“”也不同，不能用错.（二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵，，若，，则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等，即，则称矩阵A与B相等，记为因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2．矩阵的加、减法设，是两个同型矩阵则规定注意：只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.3．数乘运算设，k为任一个数，则规定故数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意数k与行列式D 的乘积，只是用k乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.4．乘法运算设，，则规定其中由此定义可知，只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：①不满足交换律，即②在时，不能推出或，因而也不满足消去律.特别，若矩阵A与B满足，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.5．方阵的乘幂与多项式方阵设A为n阶方阵，则规定特别又若，则规定称为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵6．矩阵的转置设A为一个矩阵，把A中行与列互换，得到一个矩阵，称为A的转置矩阵，记为，转置运算满足以下运算律：，，，由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义设A为一个n阶方阵，若A满足，则称A为对称矩阵，若A满足，则称A为反对称矩阵.7．方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念.设为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式，称为方阵A的行列式，记为方阵的行列式具有下列性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则①；②③（三）方阵的逆矩阵1．可逆矩阵的概念与性质设A为一个n阶方阵，若存在另一个n阶方阵B，使满足，则把B称为A的逆矩阵，且说A为一个可逆矩阵，意指A是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A的逆矩阵B记为，从而A与首先必可交换，且乘积为单位方阵E.逆矩阵具有以下性质：设A，B为同阶可逆矩阵，为常数，则①是可逆矩阵，且；②AB是可逆矩阵，且；③kA是可逆矩阵，且④是可逆矩阵，且⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即设P为可逆矩阵，则2．伴随矩阵设为一个n阶方阵，为A的行列式中元素的代数余子式，则矩阵称为A的伴随矩阵，记为（务必注意中元素排列的特点）伴随矩阵必满足（n为A的阶数）3．n阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法定理：n阶方阵A可逆，且推论：设A，B均为n阶方阵，且满足，则A，B都可逆，且，例1 设（1）求A的伴随矩阵（2）a，b，c，d满足什么条件时，A可逆？此时求解：（1）对二阶方阵A，求的口诀为“主交换，次变号”即（2）由，故当时，即，A为可逆矩阵此时（四）分块矩阵1．分块矩阵的概念与运算对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A的列分块方式与右矩阵B的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A的各子块分别左乘B的对应的子块.2．准对角矩阵的逆矩阵形如的分块矩阵称为准对角矩阵，其中均为方阵空白处都是零块.若都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且（五）矩阵的初等变换与初等方阵1．初等变换对一个矩阵A施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，（1）交换A的某两行（列）；（2）用一个非零数k乘A的某一行（列）；（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“”连接前后矩阵.初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2．初等方阵由单位方阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为，和，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.3．初等变换与初等方阵的关系设A为任一个矩阵，当在A的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等行变换；在A的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等列变换.4．矩阵的等价与等价标准形若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为对任一个矩阵A，必与分块矩阵等价，称这个分块矩阵为A的等价标准形.即对任一个矩阵A，必存在n阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得5．用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵设A为任一个n阶可逆矩阵，构造矩阵（A，E）然后注意：这里的初等变换必须是初等行变换.例2 求的逆矩阵解：则例3 求解矩阵方程解：令，则矩阵方程为，这里A即为例2中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘，得也能用初等行变换法，不用求出，而直接求则（六）矩阵的秩1．秩的定义设A为矩阵，把A中非零子式的最高阶数称为A的秩，记为秩或零矩阵的秩为0，因而，对n阶方阵A，若秩，称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.2．秩的求法由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A，只要用初等行变换把A化成阶梯形矩阵T，则秩(A)=秩(T)=T中非零行的行数.3．与满秩矩阵等价的条件n阶方阵A满秩A可逆，即存在B，使A非奇异，即A的等价标准形为EA可以表示为有限个初等方阵的乘积齐次线性方程组只有零解对任意非零列向量b，非齐次线性方程组有唯一解A的行（列）向量组线性无关A的行（列）向量组为的一个基任意n维行（列）向量均可以表示为A的行（列）向量组的线性组合，且表示法唯一.A的特征值均不为零为正定矩阵.（七）线性方程组的消元法.对任一个线性方程组可以表示成矩阵形式，其中为系数矩阵，为常数列矩阵，为未知元列矩阵.从而线性方程组与增广矩阵一一对应.对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.第三章向量空间（一）n维向量的定义与向量组的线性组合1． n维向量的定义与向量的线性运算由n个数组成的一个有序数组称为一个n维向量，若用一行表示，称为n维行向量，即矩阵，若用一列表示，称为n维列向量，即矩阵与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.2．向量的线性组合设是一组n维向量，是一组常数，则称为的一个线性组合，常数称为组合系数.若一个向量可以表示成则称是的线性组合，或称可用线性表出.3．矩阵的行、列向量组设A为一个矩阵，若把A按列分块，可得一个m维列向量组称之为A的列向量组.若把A按行分块，可得一个n维行向量组称之为A的行向量组.4．线性表示的判断及表出系数的求法.向量能用线性表出的充要条件是线性方程组有解，且每一个解就是一个组合系数.例1 问能否表示成，，的线性组合？解：设线性方程组为对方程组的增广矩阵作初等行变换：则方程组有唯一解所以可以唯一地表示成的线性组合，且（二）向量组的线性相关与线性无关1．线性相关性概念设是m个n维向量，如果存在m个不全为零的数，使得，则称向量组线性相关，称为相关系数.否则，称向量线性无关.由定义可知，线性无关就是指向量等式当且仅当时成立.特别单个向量线性相关；单个向量线性无关2．求相关系数的方法设为m个n维列向量，则线性相关m元齐次线性方程组有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数矩阵的秩小于m例2 设向量组，试讨论其线性相关性.解：考虑方程组其系数矩阵于是，秩，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为令，得一个非零解为则3．线性相关性的若干基本定理定理1 n维向量组线性相关至少有一个向量是其余向量的线性组合.即线性无关任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.定理2 如果向量组线性无关，又线性相关，则可以用线性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.定理4 无关组的接长向量组必无关.（三）向量组的极大无关组和向量组的秩1．向量组等价的概念若向量组S可以由向量组R线性表出，向量组R也可以由向量组S线性表出，则称这两个向量组等价.2．向量组的极大无关组设T为一个向量组，若存在T的一个部分组S，它是线性无关的，且T中任一个向量都能由S线性表示，则称部分向量组S为T的一个极大无关组.显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质：定理1 向量组T与它的任一个极大无关组等价，因而T的任意两个极大无关组等价.定理2 向量组T的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.3．向量组的秩与矩阵的秩的关系把向量组T的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组T的秩.把矩阵A的行向量组的秩，称为A的行秩，把A的列向量组的秩称为A的列秩.定理：对任一个矩阵A，A的列秩=A的行秩=秩（A）此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵A，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.例3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵易见B的秩为4，A的秩为4，从而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相应地为向量组的一个极大无关组，而且（四）向量空间1．向量空间及其子空间的定义定义1 n维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实n维向量空间，记作定义2 设V是n维向量构成的非空集合，若V对于向量的线性运算封闭，则称集合V是的子空间，也称为向量空间.2．向量空间的基与维数设V为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间V的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.显然，n维向量空间的维数为n，且中任意n个线性无关的向量都是的一个基.3．向量在某个基下的坐标设是向量空间V的一个基，则V中任一个向量都可以用唯一地线性表出，由r个表出系数组成的r维列向量称为向量在此基下的坐标.第四章线性方程组（一）线性方程组关于解的结论定理1 设为n元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是定理2 当n元非齐次线性方程组有解时，即时，那么（1）有唯一解；（2）有无穷多解.定理3 n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是推论1 设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组有非零解推论2 设A为矩阵，且，则n元齐次线性方程组必有非零解（二）齐次线性方程组解的性质与解空间首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.考虑由齐次线性方程组的解的全体所组成的向量集合显然V是非空的，因为V中有零向量，即零解，而且容易证明V对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V成为n维列向量空间的一个子空间，我们称V为方程组的解空间（三）齐次线性方程组的基础解系与通解把n元齐次线性方程组的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系.当n元齐次线性方程组有非零解时，即时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为求基础解系与通解的方法是：对方程组先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.例1 求的通解解：对系数矩阵A，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：，有非零解，取为自由未知量，可得一般解为写成向量形式，令，为任意常数，则通解为可见，为方程组的一个基础解系.（四）非齐次线性方程组1．非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系设为一个n元非齐次线性方程组，为它的导出组，则它们的解之间有以下性质：性质1 如果是的解，则是的解性质2 如果是的解，是的解，则是的解由这两个性质，可以得到的解的结构定理：定理设A是矩阵，且，则方程组的通解为其中为的任一个解（称为特解）,为导出组的一个基础解系.2．求非齐次线性方程组的通解的方法对非齐次线性方程组，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解.例2 当参数a，b为何值时，线性方程组有唯一解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解.解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：_当时，，有唯一解；当时，，，无解；当时，，有无穷多解.此时，方程组的一般解为令为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为。
2020版自考线性代数(经管类)重要考点
2020版线性代数（经管类）重要考点第一章 行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1．二阶行列式由4个数)2,1,(=j i a ij 得到下列式子：11122122a a a a 称为一个二阶行列式，其运算规则为2112221122211211a a a a a a a a -=2．三阶行列式由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到下列式子：333231232221131211a a a a a a a a a称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3．余子式及代数余子式设有三阶行列式 3332312322211312113a a a a a a a a a D =对任何一个元素ij a ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ij a 的余子式，记成ij M例如 3332232211a a a a M =，3332131221a a a a M =，2322131231a a a a M =再记 ij ji ij M A +-=)1( ，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 那么 ，三阶行列式3D 定义为我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常简写成∑∑=+=-==3111131113)1(i i i i i i i M a A a D4．n 阶行列式一阶行列式 11111a a D ==n 阶行列式 1121211111212222111211n n nnn n n nn A a A a A a a a a a a a a a a D +++==其中(,1,2,,)ij A i j n =为元素ij a 的代数余子式.5．特殊行列式上三角行列式111212*********n n nn nn a a a a a a a a a =下三角行列式1122112212000nn n n nn a a a a a a a a a =21对角行列式1122112200000nn nna a a a a a =（二）行列式的性质性质1 行列式和它的转置行列式相等，即TD D =性质2 用数k 乘行列式D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD ，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.推论1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.3131212111113332312322211312113A a A a A a a a a a a a a a a D ++==性质4 行列式可以按行（列）拆开.性质5 把行列式D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D. 定理1（行列式展开定理）n 阶行列式nij a D =等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++= 或),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=前一式称为D 按第i 行的展开式，后一式称为D 按第j 列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值. 定理 2 n 阶行列式nij a D =的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即)(02211k i A a A a A a kn in k i k i ≠=+++ 或)(02211s j A a A a A a ns nj s j s j ≠=+++（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k 时，必须在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：例1 计算行列式 52072325121314124-=D解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是112=a ，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.42141214156231212115062150********3(2)1725025********312251100813757375D -+⨯=---+-⨯+⨯=行行按第二列展开行行7 列列按第二行展开例2 计算行列式 ab b bb a b b b b a bb b b a D =4 解：方法1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为b a 3+（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子b a 3+，再将后三行都减去第一行：3131(3)31311000(3)000000a b b b a b b b b b b b b a b b a b a b b a b ba b b b a b a b b a b b a b b b b aa b b b ab b ab b ba b a b a b a b++==+++-=+-- 3))(3(b a b a -+=方法2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b ，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与4D 有相同值的五阶行列式：112345411010000100001000010b b b b b b b b ab b ba b b b a b b a b b D b a b b a b b b a bb b a b a b b b bab b b aa b⨯-+--===------行（），，，行这样得到一个“箭形”行列式，如果b a =，则原行列式的值为零，故不妨假设b a ≠，即0≠-b a ，把后四列的ba -1倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零.4410000400001()(3)()00000000b b b b ba b a b b a b a b a b a b a b a b a b3+--⎛⎫=-=+-=+- ⎪-⎝⎭--例3 三阶范德蒙德行列式 ))()((1112313122322213213x x x x x x x x x x x x V ---==（四）克拉默法则定理1（克拉默法则）设含有n 个方程的n 元线性方程组为11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 如果其系数行列式0≠=nija D ，则方程组必有唯一解：n j DD x j j ,,2,1, ==其中j D 是把D 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 后得到的行列式. 把这个法则应用于齐次线性方程组，则有定理2 设有含n 个方程的n 元齐次线性方程组1111221211222211220,0,0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩如果其系数行列式0≠D ，则该方程组只有零解：021====n x x x换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有0=D ，在教材第二章中，将要证明，n 个方程的n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.第二章 矩阵（一）矩阵的定义1．矩阵的概念由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成的一个m 行n 列的数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211 称为一个m 行n 列矩阵或n m ⨯矩阵当n m =时，称()nn ija A ⨯=为n 阶矩阵或n 阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，用n m O ⨯或O 表示2．3个常用的特殊方阵：①n 阶对角矩阵是指形如 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn a a a A0000002211的矩阵 ②n 阶单位方阵是指形如 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001n E 的矩阵③n 阶三角矩阵是指形如 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n nn n n a a a a a a a a a a a a2122211122*********,000的矩阵3．矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而n 阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“*”与矩阵记号“()*”也不同，不能用错.（二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵n m ij a A ⨯=)(，λ⨯=k ij b B )(，若k m =，λ=n ，则说A 与B 是同型矩阵.若A 与B 同型,且对应元素相等，即ij ij b a =，则称矩阵A 与B 相等，记为B A =因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2．矩阵的加、减法设n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(是两个同型矩阵则规定n m ij ij b a B A ⨯+=+)( n m ij ij b a B A ⨯-=-)(注意：只有A 与B 为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.3．数乘运算设n m ij a A ⨯=)(，k 为任一个数，则规定n m ij ka kA ⨯=)(故数k 与矩阵A 的乘积就是A 中所有元素都乘以k ，要注意数k 与行列式D 的乘积，只是用k 乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.4．乘法运算设k m ij a A ⨯=)(，n k ij b B ⨯=)(，则规定n m ij c AB ⨯=)(其中kj ik j i j i ij b a b a b a c +++= 2211 ),,2,1;,,2,1(n j m i ==由此定义可知，只有当左矩阵A 的列数与右矩阵B 的行数相等时，AB 才有意义，而且矩阵AB 的行数为A 的行数，AB 的列数为B 的列数，而矩阵AB 中的元素是由左矩阵A 中某一行元素与右矩阵B 中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地： ①不满足交换律，即BA AB ≠②在0=AB 时，不能推出0=A 或0=B ，因而也不满足消去律.特别，若矩阵A 与B 满足BA AB =，则称A 与B 可交换，此时A 与B 必为同阶方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.5．方阵的乘幂与多项式方阵设A 为n 阶方阵，则规定m A AAA =m 个特别E A =0又若1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++，则规定1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++称)(A f 为A 的方阵多项式，它也是一个n 阶方阵6．矩阵的转置设A 为一个n m ⨯矩阵，把A 中行与列互换，得到一个m n ⨯矩阵，称为A 的转置矩阵，记为T A ，转置运算满足以下运算律：A A T =T )(，T T TB A B A +=+)(，T T kA kA =)(，T T T A B AB =)(由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义设A 为一个n 阶方阵，若A 满足A A T =，则称A 为对称矩阵，若A 满足A A T -=，则称A 为反对称矩阵.7．方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n 阶方阵，有方阵的行列式的概念. 设)(ij a A =为一个n 阶方阵，则由A 中元素构成一个n 阶行列式nij a ，称为方阵A 的行列式，记为A方阵的行列式具有下列性质：设A ，B 为n 阶方阵，k 为数，则①A A T =； ②A k kA n= ③B A AB ⋅=（三）方阵的逆矩阵1．可逆矩阵的概念与性质设A 为一个n 阶方阵，若存在另一个n 阶方阵B ，使满足E BA AB ==，则把B称为A 的逆矩阵，且说A 为一个可逆矩阵，意指A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A 的逆矩阵B 记为1-A ，从而A 与1-A 首先必可交换，且乘积为单位方阵E.逆矩阵具有以下性质：设A ，B 为同阶可逆矩阵，0≠k 为常数，则①1-A 是可逆矩阵，且A A =--11)(；②AB 是可逆矩阵，且111)(---=A B AB ；③kA 是可逆矩阵，且111)(--=A kkA ④TA 是可逆矩阵，且T TA A )()(11--=⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即设P 为可逆矩阵，则B A PB PA =⇔= B A BP AP =⇔=2．伴随矩阵设)(ij a A =为一个n 阶方阵，ij A 为A 的行列式nij a A =中元素ij a 的代数余子式，则矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nn n n A A A A A A A A A 212221212111称为A 的伴随矩阵，记为*A （务必注意*A 中元素排列的特点）伴随矩阵必满足E A A A AA ==** 1*-=n AA （n 为A 的阶数）3．n 阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法定理：n 阶方阵A 可逆⇔0≠A ，且*11A AA=- 推论：设A ，B 均为n 阶方阵，且满足E AB =，则A ，B 都可逆，且B A =-1，A B =-1例1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c b a A （1）求A 的伴随矩阵*A（2）a ，b ，c ，d 满足什么条件时，A 可逆？此时求1-A解：（1）对二阶方阵A ，求*A 的口诀为“主交换，次变号”即⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=a cb d A * （2）由bc ad dc b a A -==，故当0≠-bc ad 时，即0≠A ，A 为可逆矩阵此时⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-a c b d bc ad A A A 11*1（四）分块矩阵1． 分块矩阵的概念与运算对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A 的列分块方式与右矩阵B 的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A 的各子块分别左乘B 的对应的子块.2．准对角矩阵的逆矩阵形如 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r A A A 21的分块矩阵称为准对角矩阵，其中r A A A ,,,21 均为方阵空白处都是零块.若r A A A ,,,21 都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11211121r r A A A A A A（五）矩阵的初等变换与初等方阵1．初等变换对一个矩阵A 施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，（1）交换A 的某两行（列）；（2）用一个非零数k 乘A 的某一行（列）；（3）把A 中某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“→”连接前后矩阵.初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2．初等方阵由单位方阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为ij P ，)(k D i 和)(k T ij ，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.3．初等变换与初等方阵的关系设A 为任一个矩阵，当在A 的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A 作同类型的初等行变换；在A 的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A 作同类型的初等列变换.4．矩阵的等价与等价标准形若矩阵A 经过若干次初等变换变为B ，则称A 与B 等价，记为B A ≅对任一个n m ⨯矩阵A ，必与分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O O E r 等价，称这个分块矩阵为A 的等价标准形.即对任一个n m ⨯矩阵A ，必存在n 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O E PAQ r5．用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵设A 为任一个n 阶可逆矩阵，构造n n 2⨯矩阵（A ，E ） 然后 ),(),(1-→A E E A注意：这里的初等变换必须是初等行变换.例2 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=421412311A 的逆矩阵解：()()()122113211311213322113100113100(,)214010012210124001011101101110100421012210010412001311001311A E ⨯-+⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯+--⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎪⎪→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭行行行行行行行行行行行行则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-1132141241A例3 求解矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----213411421412311X解：令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=213411,421412311B A ，则矩阵方程为B AX =，这里A 即为例2中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘1-A ，得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==-2052032134111132141241B A X也能用初等行变换法，不用求出1A -，而直接求B A 1-),(201005201003001214213441211311),(1B A E B A -=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-2052031B A X（六）矩阵的秩1．秩的定义设A 为n m ⨯矩阵，把A 中非零子式的最高阶数称为A 的秩，记为秩)(A 或)(A r 零矩阵的秩为0，因而{}n m A ,m in )(0≤≤秩，对n 阶方阵A ，若秩n A =)(，称A 为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.2． 秩的求法由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A ，只要用初等行变换把A 化成阶梯形矩阵T ，则秩(A)=秩(T)=T 中非零行的行数.3．与满秩矩阵等价的条件n 阶方阵A 满秩⇔A 可逆，即存在B ，使E BA AB ==⇔A 非奇异，即0≠A ⇔A 的等价标准形为E⇔A 可以表示为有限个初等方阵的乘积 ⇔齐次线性方程组0=AX 只有零解⇔对任意非零列向量b ，非齐次线性方程组b AX =有唯一解⇔A 的行（列）向量组线性无关⇔A 的行（列）向量组为n R 的一个基⇔任意n 维行（列）向量均可以表示为A 的行（列）向量组 的线性组合，且表示法唯一. ⇔A 的特征值均不为零 ⇔A A T 为正定矩阵.（七）线性方程组的消元法.对任一个线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********可以表示成矩阵形式b AX =，其中n m ij a A ⨯=)(为系数矩阵，Tm b b b b ),,,(21 =为常数列矩阵，Tn x x x X ),,,(21 =为未知元列矩阵.从而线性方程组b AX =与增广矩阵),(b A A =一一对应.对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.第三章 向量空间（一）n 维向量的定义与向量组的线性组合1． n 维向量的定义与向量的线性运算由n 个数组成的一个有序数组称为一个n 维向量，若用一行表示，称为n 维行向量，即n ⨯1矩阵，若用一列表示，称为n 维列向量，即1⨯n 矩阵与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.2．向量的线性组合设m ααα,,,21 是一组n 维向量，m k k k ,,,21 是一组常数，则称m m k k k ααα+++ 2211为m ααα,,,21 的一个线性组合，常数m k k k ,,,21 称为组合系数.若一个向量β可以表示成m m k k k αααβ+++= 2211则称β是m ααα,,,21 的线性组合，或称β可用m ααα,,,21 线性表出.3．矩阵的行、列向量组设A 为一个n m ⨯矩阵，若把A 按列分块，可得一个m 维列向量组称之为A 的列向量组.若把A 按行分块，可得一个n 维行向量组称之为A 的行向量组.4．线性表示的判断及表出系数的求法.向量β能用m ααα,,,21 线性表出的充要条件是线性方程组βααα=+++m m x x x 2211有解，且每一个解就是一个组合系数.例1 问T )5,1,1(-=β能否表示成T)3,2,1(1=α，T )4,1,0(2=α，T )6,3,2(3=α的线性组合？解：设线性方程组为 βααα=++332211x x x对方程组的增广矩阵作初等行变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==110020101001564313121201),,,(),(321βαααβA则方程组有唯一解1,2,1321-===x x x所以β可以唯一地表示成321,,ααα的线性组合，且3212αααβ-+=（二）向量组的线性相关与线性无关1．线性相关性概念设m ααα,,,21 是m 个n 维向量，如果存在m 个不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得02211=+++m m k k k ααα ，则称向量组m ααα,,,21 线性相关，称m k k k ,,,21 为相关系数.否则，称向量m ααα,,,21 线性无关.由定义可知，m ααα,,,21 线性无关就是指向量等式02211=+++m m k k k ααα 当且仅当021====m k k k 时成立.特别 单个向量α线性相关⇔0=α；单个向量α线性无关⇔0≠α2．求相关系数的方法设m ααα,,,21 为m 个n 维列向量，则m ααα,,,21 线性相关⇔m 元齐次线性方程组02211=+++m m x x x ααα 有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数⇔矩阵),,,(21m A ααα =的秩小于m例2 设向量组123(2,1,7),(1,4,11),(3,6,3)T T Tααα=-==-，试讨论其线性相关性.解：考虑方程组0332211=++αααx x x其系数矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==0001102013117641312),,(321αααA于是，秩32)(<=A ，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为⎩⎨⎧=-=+0023231x x x x 令13=x ，得一个非零解为1,1,2321==-=x x x 则02321=++-ααα3．线性相关性的若干基本定理定理1 n 维向量组m ααα,,,21 线性相关⇔至少有一个向量是其余向量的线性组合.即m ααα,,,21 线性无关⇔任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.定理2 如果向量组m ααα,,,21 线性无关，又m αααβ,,,,21 线性相关，则β可以用m ααα,,,21 线性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.定理4 无关组的接长向量组必无关.（三）向量组的极大无关组和向量组的秩1．向量组等价的概念若向量组S 可以由向量组R 线性表出，向量组R 也可以由向量组S 线性表出，则称这两个向量组等价.2．向量组的极大无关组设T 为一个向量组，若存在T 的一个部分组S ，它是线性无关的，且T 中任一个向量都能由S 线性表示，则称部分向量组S 为T 的一个极大无关组.显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质： 定理1 向量组T 与它的任一个极大无关组等价，因而T 的任意两个极大无关组等价.定理2 向量组T 的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.3．向量组的秩与矩阵的秩的关系把向量组T 的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组T 的秩.把矩阵A 的行向量组的秩，称为A 的行秩，把A 的列向量组的秩称为A 的列秩. 定理：对任一个矩阵A ，A 的列秩=A 的行秩=秩（A ）此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵A ，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.例3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：)3,4,4,2(),3,4,1,2(),6,6,1,1(),9,2,,2,1(),7,2,1,1(54321==--=---=-=ααααα解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个54⨯矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵()B A TT T T T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------==1000001100010100000133697446224112122111,,,,54321ααααα 易见B 的秩为4，A 的秩为4，从而秩{}4,,,,54321=ααααα，而且B 中主元位于第一、二、三、五列，那么相应地5321,,,αααα为向量组的一个极大无关组，而且324ααα--=（四）向量空间1．向量空间及其子空间的定义定义1 n 维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实n 维向量空间，记作nR定义2 设V 是n 维向量构成的非空集合，若V 对于向量的线性运算封闭，则称集合V 是nR 的子空间，也称为向量空间.2． 向量空间的基与维数设V 为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间V 的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.显然，n 维向量空间nR 的维数为n ，且nR 中任意n 个线性无关的向量都是nR 的一个基.3． 向量在某个基下的坐标设r ααα,,,21 是向量空间V 的一个基，则V 中任一个向量α都可以用r ααα,,,21 唯一地线性表出，由r 个表出系数组成的r 维列向量称为向量α在此基下的坐标.第四章 线性方程组（一） 线性方程组关于解的结论定理1 设b AX =为n 元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是)(),(A r b A r =定理2 当n 元非齐次线性方程组b AX =有解时，即r A r b A r ==)(),(时，那么（1）b AX =有唯一解⇔n r =； （2）b AX =有无穷多解⇔n r <.定理3 n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充要条件是n r A r <=)( 推论1 设A 为n 阶方阵，则n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解⇔0=A 推论2 设A 为n m ⨯矩阵，且n m <，则n 元齐次线性方程组必有非零解（二）齐次线性方程组解的性质与解空间首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.考虑由齐次线性方程组0=AX 的解的全体所组成的向量集合{}0==ξξA V显然V 是非空的，因为V 中有零向量，即零解，而且容易证明V 对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V 成为n 维列向量空间nR 的一个子空间，我们称V 为方程组0=AX 的解空间（三）齐次线性方程组的基础解系与通解把n 元齐次线性方程组0=AX 的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系.当n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解时，即n r A r <=)(时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为r n -求基础解系与通解的方法是：对方程组0=AX 先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.例1 求⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+-+0022*********43214321x x x x x x x x x x x x 的通解解：对系数矩阵A ，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：12212310341034321211110145111111110000A ⨯⨯⨯⨯---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭行(-1)+2行行(-1)+3行3行(-1)+1行1行(-1)+2行42)(<=A r ，有非零解，取43,x x 为自由未知量，可得一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-=-=4433432431,54,43x x x x x x x x x x 写成向量形式，令13k x =，24k x =为任意常数，则通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1054014321k k X 可见，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1054,014321ξξ为方程组的一个基础解系. （四）非齐次线性方程组1． 非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系设b AX =为一个n 元非齐次线性方程组，0=AX 为它的导出组，则它们的解之间有以下性质：性质1 如果21,ηη是b AX =的解，则21ηηξ-=是0=AX 的解性质2 如果η是b AX =的解，ξ是0=AX 的解，则ηξ+是b AX =的解由这两个性质，可以得到b AX =的解的结构定理：定理 设A 是n m ⨯矩阵，且r A r b A r ==)(),(，则方程组b AX =的通解为r n r n k k k X --++++=ξξξη 2211*其中*η为b AX =的任一个解（称为特解）,r n -ξξξ,,,21 为导出组0=AX 的一个基础解系.2．求非齐次线性方程组的通解的方法对非齐次线性方程组b AX =，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解.例2 当参数a ，b 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x有唯一解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解.解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：()()23424111110111100122101221(,)01320010132110123110111012210010100010A b a b a b a a a b a +⨯++⨯+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪----+ ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎪⎪→ ⎪-+ ⎪-⎝⎭行行１行-3行行行2行-1行当1≠a 时，4)(),(==A r b A r ，有唯一解； 当1,1≠=b a 时，3),(=b A r ，2)(=A r ，无解； 当1,1-==b a 时，2)(),(==A r b A r ，有无穷多解.此时，方程组的一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++-=44334324312211x x x x x x x x x x令2413,k x k x ==为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10210121001121k k X1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6.对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nn k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基；⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nE OF O O ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()n nnn m n mmn n nnm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab C a bC b C a b -----=+=++++++=∑； 注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：。
线性代数自考(经管类)
3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.
4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型.
5.范德蒙行列式的计算公式
例6求4阶行列式的值.
测试点 行列式的计算
解
测试点 个维向量线性无关相应的行列式;
解
所以 且.
答案 且.
2. 关于线性相关的几个定理
1) 如果向量组线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.
矩阵的加、减、乘有意义的充分必要条件
例1设矩阵,， ，则下列矩阵运算中有意义的是（ ）
A． B．
C． D．
测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件
答案: B
例2设矩阵， ，则 =_____________.
测试点: 矩阵运算的定义
解 .
例3设矩阵， ，则____________.
3．转置 对称阵和反对称阵
1）转置的性质
2）若，则称为对称（反对称）阵
例4矩阵为同阶方阵，则=（ ）
A． B．
C． D．
答案: B
例5设令,试求.
测试点 矩阵乘法的一个常用技巧
解 因为,所以
答案
例6为任意阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）
1．向量组的线性相关性的定义和充分必要条件：
1）定义: 设是一组维向量.如果存在个不全为零的数，使得
,
则称向量组线性相关，否则，即如果，必有
，则称向量组线性无关.
2) 个维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.即线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.
线性代数自考知识点汇总
行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等TD D =.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.如a b ca b c 0a b c'''= 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．如a b ca b c 0ka kb kc'''= 性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++ 2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．如111213212223313233a a a a a a a a a ，元素23a 的余子式为1112233132a a M a a =，元素23a 的代数余子式为11122323233132a a A (1)M a a +=-=-.3. 行列式按行（列）展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==如111213212223313233a a a a a a a a a 111112121313a A a A a A =++ 定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==4. 行列式的计算 （1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =-（2）三阶行列式111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- （3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)1212n n(1)λλλλλλ-=-（4）三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnn a a a a a a a a a a a a a a a ==111,n 11n1nn(n 1)212,n 12,n 12n 21n 2,n 1n1n1n1n2nna a a a a a a a (1)a a a a a a a -----==-（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.矩阵1. 常见矩阵1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵.记作Λ. 2）单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵.记作E.3）上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如11121n 222n nn a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ 4）下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如112122n1n2nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5）对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，若TA A =，即ij ji a a =，则称A 为对称矩阵. 6）反对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，若TA A =-，即ij ji a a =- ，则称A 为反对称矩阵. 7）正交矩阵：设A 为ｎ阶方阵，如果TAA E =或TA A E =，则称A 为正交矩阵. 2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算 （1）矩阵的加法如a b c a b c a a b b c c d e f d e f d d e e f f ''''''+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪''''''+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭注：① 只有同型矩阵才能进行加减运算；② 矩阵相加减就是对应元素相加减. （2）数乘矩阵 如a b c ka kb kc k d e f kd ke kf ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.（3）矩阵的乘法：设ij m ij n s s A (a ),B (b )⨯⨯==，规定ij m n AB C (c ),⨯== 其中sij i11j i22j is sj ik kj k 1c a b a b a b a b ==+++=∑(i 1,2,,m,j 1,2,,n.)==注：①左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数；②左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积C 的元素ij c . ③左矩阵A 的行数为乘积C 的行数，右矩阵B 的列数为乘积C 的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵（即一个数），即()112111121s 111112211s s1s1b ba a a ab a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⎪ ⎪⎝⎭列矩阵乘行矩阵是s 阶方阵，即()1111111112111s 2121112112211s 11121s s1s111s112s11s a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3. 逆矩阵设n 阶方阵A 、B ，若AB=E 或BA=E ，则A ，B 都可逆，且11A B,B A --==.（1）二阶方阵求逆，设a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，则1*d b 11A A c a A ad bc --⎛⎫== ⎪--⎝⎭（两调一除法）. （2）对角矩阵的逆11111221n n a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111n 2121n1a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）分块对角阵的逆11111221s s A A A A ;A A ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111s 2121s1A A A A A A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （4）一般矩阵求逆，初等行变换的方法：()()ERT1A E EA -−−−→.4. 方阵的行列式由ｎ阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A 的行列式.记作A 或det （A ）. 5. 矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：（1）互换两行（列）；（2）数乘某行（列）；（3）某行（列）的倍数加到另一行（列）. 6. 初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.如001100100010,0k 0,010100001k 01⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都是初等矩阵. 7. 矩阵的秩矩阵A 的非零子式的最高阶数，称为矩阵A 的秩.记作R （A ）或r （A ）. 求矩阵的秩的方法：（1）定义法：找出A 中最高阶的非零子式， 它的阶数即为A 的秩.（2）初等行变换法：ERTA −−−→行阶梯形矩阵，R （A ）=R （行阶梯形矩阵）=非零行的行数. 8. 重要公式及结论（1）矩阵运算的公式及结论()()12121212k k k k k k k k k k k k kk 10A B B A,(A B )C A (B C ),(A B )A B (AB )C A(BC ),(A B )C AC BC ,(AB )(A )B A(B )A A A ,(A )A ,(A )A ,E EAB A BA B ,EA AE A,A Eλλλλλλλλ+-+=+++=+++=+=+=+==⋅========()()()()()()TTTT T T T T T TTT nT n n A A ,(A B )A B ,A A ,AB B A A A ,AB B A ,AA A A A EA A ,A A ,AB A B BA ,A A ,A B A Bλλλλ*******=+=+===========+≠+矩阵乘法不满足交换律，即一般地A B ≠AB;矩阵乘法不满足消去律，即一般地若AB=AC ，无B=C ；只有当A 可逆时，有B=C.一般地若AB=O ，则无A=O 或B=O.()222A B ?A 2AB B +++.（2）逆矩阵的公式及定理()()()()()()()()11111111n 11111k1k 1T11T 1A A,A A ,,A A 1A A ,A A,A A ,A A AB B A1A A A A AA A ,A λλ----------*-**--**-----===========A 可逆⇔|A |≠0⇔A ～E （即A 与单位矩阵E 等价） （3）矩阵秩的公式及结论()()()T m n R(O )0,R(A )min{m,n },R(A )R(A ),R(kA )R(A ),k 0A 0R(A )n ,R A B R A R B ⨯=≤==≠≠⇔=+≤+R ( AB ) ≤R ( A ), R ( AB ) ≤R ( B ).特别地，当A 可逆时，R(AB)=R(B)；当B 可逆时，R(AB)=R(A).()()ET A B A ~B R A R B −−→⇔⇒= 即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩.9. 矩阵方程（1）设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为n ×m 矩阵，则矩阵方程AX=B 的解为1X A B -=；解法：① 求出1A -，再计算1A B -； ② ()()ERTAB E X −−−→ .（2）设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为m ×n 矩阵，则矩阵方程XA=B 的解为1X BA -=；解法：① 求出1A -，再计算1BA -； ② ECT A E B X ⎛⎫⎛⎫−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 10. 矩阵间的关系（1）等价矩阵：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，那么称矩阵A 与B 等价.即存在可逆矩阵P ，Q ，使得PAQ=B.性质：等价矩阵的秩相等.（2）相似矩阵：如果存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -=,那么称A 与B 相似. 性质：相似矩阵有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式，相同的迹. （3）合同矩阵：如果存在可逆矩阵P ，使得T P AP B =，那么称A 与B 合同. 性质：合同矩阵的秩相等.向量空间1. 线性组合（1）若α＝k β，则称向量α与β成比例． （2）零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．（3）向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． 2. 线性相关与线性无关（1） 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量． （2） 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量． （3） 两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例. （4） 两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例. （5） 含有Ｏ向量的向量组一定线性相关． （6） 向量组12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++=有非零解.② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα的秩<向量的个数m.（7）n 个n 维向量12n ,,,ααα线性相关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα=0.（8） 向量组12m ,,,ααα线性无关的充分必要条件是① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++=只有零解.② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα的秩=向量的个数m.（9） n 个n 维向量12n ,,,ααα线性无关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα≠0.（10）当m>n 时，m 个n 维向量一定线性相关.定理1：向量组 a 1 , a 2 ,……, a m （m ≥2）线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示． 定理2：如果向量组A ：a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关，而向量组 a 1 , a 2 ,……, a r ，α线性相关，则α可由A 线性表示，且表示式唯一.定理3：设向量组2r 1A:,,,ααα，12r r 1m B :,,,,,,ααααα+若A 线性相关，则向量组B 也线性相关；反之，若向量组B 线性无关，则向量组A 也线性无关.（即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关）. 定理4：无关组的截短组无关，相关组的接长组相关. 3. 极大无关组与向量组的秩定义1 如果在向量组 T 中有 r 个向量 a 1 , a 2 ,……, a r ，满足条件： ⑴ 向量组 a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关， ⑵ T α∀∈，2r 1,,,,αααα线性相关.那么称向量 a 1 , a 2 ,……, a r 是向量组 T 的一个极大无关组.定义2 向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩.定义3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。
(完整)线性代数知识点总结汇总,推荐文档
线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
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行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.如a b ca b c 0a b c'''= 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．如a b ca b c 0ka kb kc'''= 性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．如111213212223313233a a a a a a a a a ，元素23a 的余子式为1112233132a a M a a =，元素23a 的代数余子式为11122323233132a a A (1)M a a +=-=-.3. 行列式按行（列）展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==如111213212223313233a a a a a a a a a 111112121313a A a A a A =++ 定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==4. 行列式的计算 （1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- （2）三阶行列式111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- （3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-（4）三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==111,n 11n1n n(n 1)212,n 12,n 12n 21n 2,n 1n1n1n1n2nna a a a a a a a (1)a a a a a a a -----==-（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.矩阵1. 常见矩阵1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵.记作Λ. 2）单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵.记作E.3）上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如11121n 222n nn a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ 4）下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如112122n1n2nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5）对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，若T A A =，即ij ji a a =，则称A 为对称矩阵. 6）反对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，若T A A =-，即ij ji a a =- ，则称A 为反对称矩阵. 7）正交矩阵：设A 为ｎ阶方阵，如果T AA E =或T A A E =，则称A 为正交矩阵. 2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算 （1）矩阵的加法如a b c a b c a a b b c c d e f d e f d d e e f f ''''''+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪''''''+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭注：① 只有同型矩阵才能进行加减运算；② 矩阵相加减就是对应元素相加减. （2）数乘矩阵 如a b c ka kb kc k d e f kd ke kf ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.（3）矩阵的乘法：设ij m ij n s s A (a ),B (b )⨯⨯==，规定ij m n AB C (c ),⨯== 其中sij i11j i22j is sj ik kj k 1c a b a b a b a b ==+++=∑(i 1,2,,m,j 1,2,,n.)==注：①左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数；②左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积C 的元素ij c . ③左矩阵A 的行数为乘积C 的行数，右矩阵B 的列数为乘积C 的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵（即一个数），即()112111121s 111112211s s1s1b ba a a ab a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⎪ ⎪⎝⎭列矩阵乘行矩阵是s 阶方阵，即()1111111112111s 2121112112211s 11121s s1s111s112s11s a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3. 逆矩阵设n 阶方阵A 、B ，若AB=E 或BA=E ，则A ，B 都可逆，且11A B,B A --==.（1）二阶方阵求逆，设a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，则1*d b 11A A c a A ad bc --⎛⎫== ⎪--⎝⎭（两调一除法）. （2）对角矩阵的逆11111221n n a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111n 2121n1a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）分块对角阵的逆11111221s s A A A A ;A A ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111s 2121s1A A A A A A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （4）一般矩阵求逆，初等行变换的方法：()()ERT1A E E A -−−−→.4. 方阵的行列式由ｎ阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A 的行列式.记作A 或det （A ）. 5. 矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：（1）互换两行（列）；（2）数乘某行（列）；（3）某行（列）的倍数加到另一行（列）. 6. 初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.如001100100010,0k 0,010100001k 01⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都是初等矩阵. 7. 矩阵的秩矩阵A 的非零子式的最高阶数，称为矩阵A 的秩.记作R （A ）或r （A ）. 求矩阵的秩的方法：（1）定义法：找出A 中最高阶的非零子式， 它的阶数即为A 的秩.（2）初等行变换法：ERTA −−−→行阶梯形矩阵，R （A ）=R （行阶梯形矩阵）=非零行的行数. 8. 重要公式及结论（1）矩阵运算的公式及结论()()12121212k k k k k k k k k k k k kk 10A B B A,(A B )C A (B C ),(A B )A B (AB )C A(BC ),(A B )C AC BC ,(AB )(A )B A(B )A A A ,(A )A ,(A )A ,E EAB A BA B ,EA AE A,A Eλλλλλλλλ+-+=+++=+++=+=+=+==⋅========()()()()()()T TTT T T T T T TTT nT n n A A,(A B )A B ,A A ,AB B A A A ,AB B A ,AA A A A EA A ,A A ,AB A B BA ,A A ,A B A Bλλλλ*******=+=+===========+≠+矩阵乘法不满足交换律，即一般地A B ≠AB;矩阵乘法不满足消去律，即一般地若AB=AC ，无B=C ；只有当A 可逆时，有B=C.一般地若AB=O ，则无A=O 或B=O.()222A B ?A 2AB B +++.（2）逆矩阵的公式及定理()()()()()()()()11111111n 11111k1k1T11T 1A A ,A A ,,A A 1A A,A A,A A ,A A AB B A1A A A AAA A ,Aλλ----------*-**--**-----===========A 可逆⇔|A |≠0⇔A ～E （即A 与单位矩阵E 等价） （3）矩阵秩的公式及结论()()()T m n R(O )0,R(A )min{m,n },R(A )R(A ),R(kA )R(A ),k 0A 0R(A )n ,R A B R A R B ⨯=≤==≠≠⇔=+≤+R ( AB ) ≤R ( A ), R ( AB ) ≤R ( B ).特别地，当A 可逆时，R(AB)=R(B)；当B 可逆时，R(AB)=R(A).()()ET A B A ~B R A R B −−→⇔⇒= 即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩.9. 矩阵方程（1）设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为n ×m 矩阵，则矩阵方程AX=B 的解为1X A B -=；解法：① 求出1A -，再计算1A B -； ② ()()ERTAB E X −−−→ .（2）设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为m ×n 矩阵，则矩阵方程XA=B 的解为1X BA -=；解法：① 求出1A -，再计算1BA -； ② ECT A E B X ⎛⎫⎛⎫−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 10. 矩阵间的关系（1）等价矩阵：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，那么称矩阵A 与B 等价.即存在可逆矩阵P ，Q ，使得PAQ=B.性质：等价矩阵的秩相等.（2）相似矩阵：如果存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -=,那么称A 与B 相似. 性质：相似矩阵有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式，相同的迹. （3）合同矩阵：如果存在可逆矩阵P ，使得TP AP B =，那么称A 与B 合同. 性质：合同矩阵的秩相等.向量空间1. 线性组合（1）若α＝k β，则称向量α与β成比例． （2）零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．（3）向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． 2. 线性相关与线性无关（1） 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量． （2） 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量． （3） 两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例. （4） 两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例. （5） 含有Ｏ向量的向量组一定线性相关． （6） 向量组12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++=有非零解.② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα的秩<向量的个数m.（7）n 个n 维向量12n ,,,ααα线性相关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα=0.（8） 向量组12m ,,,ααα线性无关的充分必要条件是① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++=只有零解.② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα的秩=向量的个数m.（9） n 个n 维向量12n ,,,ααα线性无关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα≠0.（10）当m>n 时，m 个n 维向量一定线性相关.定理1：向量组 a 1 , a 2 ,……, a m （m ≥2）线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示． 定理2：如果向量组A ：a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关，而向量组 a 1 , a 2 ,……, a r ，α线性相关，则α可由A 线性表示，且表示式唯一.定理3：设向量组2r 1A :,,,ααα，12r r 1m B :,,,,,,ααααα+若A 线性相关，则向量组B 也线性相关；反之，若向量组B 线性无关，则向量组A 也线性无关.（即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关）. 定理4：无关组的截短组无关，相关组的接长组相关. 3. 极大无关组与向量组的秩定义1 如果在向量组 T 中有 r 个向量 a 1 , a 2 ,……, a r ，满足条件： ⑴ 向量组 a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关， ⑵ T α∀∈，2r 1,,,,αααα线性相关.那么称向量 a 1 , a 2 ,……, a r 是向量组 T 的一个极大无关组.定义2 向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩.定义3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。