初一数学培优之简单的不定方程、方程组
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲不定方程
第十二讲不定方程趣题引路】暑假里，《新民晚报》组织了“我们的小世界杯“足球邀请赛，勇士队在第一轮中负了两场，总积分为17 分•比赛规泄胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.试求该队在本轮比赛中胜的场次和平的场次.解析设胜x 场，平y 场，则有3x+y= 17, 即 3x=17-y.•••0W3xW17, •••0WxW5, 点评：问题中含有两个未知数，但只有一个等量关系得到一个方程，即未知数的个数多于方程的个数， 一般会有无数多个解，所以我们把这种方程叫做不左方程，但上面的问题中隐含了条件x,)€N,我们对其进 行分析，得出了 x, y 的有限解，也就说明了不泄方程虽然解不确定，但我们可以对其自然数解、整数解进行 研究.知识延伸】一、不定方程的整数解求不左方程的整数解、正整数解是竞赛中的热点考题，通常有以下几种思路：利用方程的特点确定未知 数的取值范围，再在这个范围中取值求解.1. 构造不等式缩小取值范围求解例1求21x4-15y=123的正整数解.解析原方程可以化为7.r4-5y=41,7x=41—5y,Vx, y^N',.・.7W7xW36,.•・1W X W5.V5 I 5y, A5 I (41-7x),.・.7x 的个位数必是1或6,.Jx = 3• • ' • y = 4点评：通常先确左系数较大的未知数的范用，本题求出1W X W5后，本可以使x 分别取1~5五个整数代入 求解，但充分利用整除的性质，可使问题简便.2. 利用通解定理求解.¥ = 0 y = 17 \ = 1 (x = 2x = 3 Jx = 4 >* = 8 * y = 5泄理：如果心"是互质的整数，c是整数，且方程ax+hy=c有一组解则此方程的一切整数解可表丿=>0示为|2勺+切,（其中『为整数）y =儿_（"例2 （198年“希望杯“试题）篮球、排球、足球放在一堆共25个，英中篮球个数是足球个数的7倍，那么排球的个数是__________ .解析设足球x个，排球y个，则篮球7x个.依题意有8x+y=25・\ = 3yWN',易知/ '是方程的解，l.v = 1Y — 3 + /•I其通解为Q （M）y = 1-8/又U1可解得一2W/W0当t=—2时，»一［;y = 17当『=一1时，彳jy = 9. x = 3当F=0时，所以，排球数为1个、9个或17个.点评：对于一些系数比较简单的不左式方程，我们可以先观察得出一组特解，再由泄理得出通解，然后根据题意求出/的取值范围，再代入求出未知数的值.3.分离整系数求解例3 （2002年新加坡数学竞赛题）正整数加、"满足8加+9“=加+6,则m的最大值为______________解析Sm—nin = — 9〃+6；即（8—n）m = — 9〃+6・当n=8时，原方程无解：心-9n + 6 = -％+ 72「66 “十亘— 71 + 8 — n + 8 n— 8当料一8 = 1,即”=9时，加有最大值9+66=75,满足题意.所以，加的最大值为75.二、不定方程组一般来说，求一个未知数需要一个关于它的方程，求”个未知数需要”个独立的关于它的方程.当未知 数的个数大于方程的个数时的方程组称之为不定方程组.例 4 已知 x 、y 、z 满足［严〉'；4「5 ，则 x+y+z= __________ .7x+y + 3z = 14 ②解析 要求岀x+y+z 的值就需要对①、②式通过加减法将它们的系数和(差)变成1 ： 1 ： 1.①><«得2也+5灯+4仗=15匕③③+②得(2£+7)x+(5k+l)y+(4k+3)z=15£+14・④依题意得 2k+7=5k+1 =4k+3,解之得k=2.将k=2代人④式得llx+lly+llz=44,••」+y+z=4.点评：两个未知数三个方程，一般不能求出唯一解，所以所求代数式一定能由两个方程通过变形而来， 否则是求不出来的.如本题求x+y+2z 是求不岀来的，因为由2k+7=5£+l 得出k=2,代入2(氓+3)不能等 于5£+1・已知、且如°’求普浄的值・7解析：①-②得女-2円，即「2.7将代人②得y=-- z ・点评：同例4 一样，本题也求不出八y 、x 的具体值，但方程组和求岀的代数式是关于儿八z 的齐次式, 所以只要将其中一个未知数看成常数，用它表示另两个未知数即可求出. 三、不定方程组的整数解不定方程的整数解问题一般利用消元的方法，将英化为不左方程求解.例6中国鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁.鸡母、 鸡雏各几何？解析：设鸡翁、鸡母.鸡雏的只数分别为八y 、z,则有x + y + z = 100① 5x + 3>- + | = 100 ②消去x 得7x+4y=100③再将尸寺代人所求代数式普殳 2 1 1(yZ )(--Z )+ 2(--Z )Z(討+(-討-F 6 —z 11S yWN•••os= 100—4応 100,•••0WU14,•••41(100—4y), A4 I 7x, A4lx, /•x =0, 4> 8> 12,代入③式得y=25, 18, 11, 4, 代人①式得z=75, 78, 81, 84 # € ■ 点评：本题转化成求7A -4-4V =100的非负整数问题后，也可以用通解方法求解，易知x=0, y=25是特解. 好题妙解】佳题新题品味例不定方程4A +7V =2001 W ____ 组正整数解.解析：4x+7y=3X667易知“二〕?是英一组特解’ y = 667.•.其通解为F 心 y = 667-4/-667 + 7曰667 - 4&1解之得96WfW166•••/可取整数值共71个•••4x+7y=2001有71组正整数解.点评：将常数项分解，结合未知数系数的特点，使找特解变得容易•像这类解的组数较多的问题，一般 用通解定理解决.中考真题欣赏例（广州市中考题）在车站开始检票时，有a （“>0）名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍 有旅客继续前来排队检票进站•设旅客按固左速度增加.检票口检票速度也是固左的，若开放一个检票口，则 需30min 方可将排队等候检票的旅客全部检票完毕：若开放两个检票口，则需lOmin 方可将排队等候检票的 旅客全部检票完毕；如果要在5min 内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客随到随检， 至少要同时开放几个检票口？解析：题中有几个未知量，不妨设旅客增加的速度为〃名/分钟，每个窗口检票的速度为c •人/分钟，需要 开x 个窗口•依据题意，有a + 30b = 30c ①< e/ + 10/?=20c② a + 5Z?W5cv»③ 则①、②式，得< ;1 /? = -C 2 ， “=15c代入③式得x$3・5,•: xwN 、•••心站=4,即最少需要开4个窗口 点评：检票进站涉及原有旅客、新增旅客、检票速度、需开检票口等多个未知量，依据题中的相等关系 和不等关系，综合运用方程（组）、不等式（组）、不左方程（组）的相关知识求解. X = 0 x = 4 A = 8\ = 12 < y = 25 , < v = 18 , < y = 11, «y = 4 z = 75 5 = 78 z = 81z = 84竞赛样题展示例（1999年湖南省竟赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，若每次2粒、3粒、4粒、6粒的取出，最终盒内都剩一粒棋子：若每次11粒取出，那么刚好取完•求盒子里共有多少粒棋子？解析：设盒子中有棋子y粒，则易知12 I （j-1）, 11 I y,不妨设pi2〃? + l （加，“丘”）.则有1“ y = 1 b? —\2m=l.■易知f0 = ",是其一组特解,故有門T+⑵（心）,叫=一1 ［加=一1 + 1”由加W16, nW 18,又m219>「1W-1+12/W18■"W16解之得f=l,= 11, = 10»y= 121.故盒子里共有121粒棋子.点评：由21©—1）, 31（〉一1）, 41©—1）, 61©—1）,可得121©—1）・过关检测】1 •求方程13.r+5y=8的整数解.2.求方程7.r+19y=213的所有正整数解.3.求方程5x-15.y=22的所有整数解.4•用2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同凑法?5•—个六位数，若将它们的前三位数字与后三位数字整体地互换位置，则所得的新六位数恰为原来的六位数的6倍•求此六位数.6•小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少套中了一次，共得61分，问小鸡至少被套中了几次？7•李林在银行兑换了一张面值100元以内的支票，兑换员不小心将支票上的元数与角、分数字看倒置了（如：把12. 34元看成了34.12元），并按看错的数字支付，李林将其款花去了 3.50元，发现其余数恰为支票面额的2倍，于是急忙到银行退钱，那么李林应退回多少元？B级1.求所有可使得19加+90+弘=1998的正整数对（皿⑵的对数.2•某校一学期举行了20次数学测试，共出题347道，每次出题16. 21或24道•问有多少次测试岀题21 道？3•求所有被29整除余7、被41整除余28的正整数中，能被7整除的最小正整数.4.求不圧方程x+2y+3z=18的非负整数解的组数.5•证明：存在无穷多组正整数（儿八X）使得八八z两两不等，且八儿2中任意两个数之积是列一个数的倍数，并且x+y—x=l・6•在。
初中培优竞赛含详细解析 第9讲 特殊方程与不定方程
1 . (1) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)设[x]表示不小于x的最小整数，如[3.4]=4，[4]=4，[3.8]=4，[−3.8]=−3.则下列7个结论中，不成立的结论( )①x≤x;②x≤x+1;③x=x只有x为整数才成立；④x+2=[x]+2；⑤x−2=x−2;⑥2x=2x;⑦x2=x2A.不超过3个B.恰为4个C.刚好为5个D.至少有6个分析：易见①，②，③，④，⑤成立，但⑥，⑦不成立，其实令x=0.5便知⑥，⑦不成立. 详解：A2. (1、2) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)关于x的含有绝对值的方程|2x−1|−|x|=2的不同实数解共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个分析：|2x−1|−|x|=2.若x≥12，则方程为2x−1−x=2，x=3；若0≤x<12，则方程为1−2x−x=2，x=−1，不合题意；若x<0，则方程为1−2x+x = 2. X=−1，故题设方程的不同实数解共有2个.详解： B技巧：分别讨论绝对值的正负性，看结果是否符合题意.易错点：如果出现不合题意的结果，应该排除掉.3. (1、2) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)方程组|x|+y=12x+|y|=6的解的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4分析：若x≥0，则x+y=12x+|y|=6，于是|y|−y=−6，显然不可能；若x<0，则−x+y=12x+|y|=6，于是|y|+y=18，解得y=9，进而求得x=−3.所以原方程组的解为x=−3y=9，只有1个解.详解：A4. (1、2) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)方程组|x+y|+|x|=42|x+y|+3|x|=9的解共有________ 组.分析：令x+y=u，x=v，则u+v=42u+3v=9，解得v=1，u=3.于是x+y=±3，x=±1.(x，y)=(1，2)，(1，−4)，(−1，4)或(−1，−2).详解：4技巧：我们可以使用换元法，使题目更加简洁明了.易错点：讨论结果时，不要遗漏任何解.5. (2、3) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)设x，y都是正整数，且+=y，则y的最大值为________ .分析：假设x−116=m2，x+100=n2（m，n为正整数），所以n2−m2=216.即(n+m)(n−m)=216，显然n+m>n−m，n+m与n-m只能同时为偶数，故n+m的最大值为108.详解：108技巧：已知原式为a+b的形式，我们利用平方差公式，逆向思考可以化简原式，简单解题.6. (2、3) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)满足方程|||x−2006|−1|+8|=2006的所有x的和为________ .分析：因为x−2006−1+8＞0 ，所以x−2006−1+8=||x−2006|−1|+8；由||x−2006|−1|+8=2006得：||x−2006|−1|=1998⋯①因为x−2006−1≥−1＞−1998，所以由①得|x−2006|−1=1998.即|x−2006|=1999⋯②由②得x=2006+1999或2006−1999，即原方程有两个解，所有解的和是（2006+1999)+(2006−1999)=4012.详解：4012技巧：根据绝对值的意义，先化简，再解题.易错点：需要排除不符合题意的结果.7. (3、4) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)求方程组xz−2yt=3xt+yz=1的整数解.分析：我们观察，方程组的两个等式左右两边先平方再相加，会消去相同的项，化简再分别讨论.详解：（xz−2yt）2+2（xt+yz）2=32+12，化简合并同类项得：x2+2y2z2+2t2=11故x2+2y2=1或z2+2t2=1.①当 x2+2y2=1时，z2+2t2=11，得y=0，x=±1，t=±.1，z=±3；②当 z2+2t2=1时，x2+2y2=11，得t=0，z=±1，y=±1，x=±3.经检验，满足方程的4组解为(1，0，3，1)，(-1，0，-3，-1)，(3，1，1，0)，(-3，-1，-1，0).答：方程组xz−2yt=3xt+yz=1的整数解（x，y，z，t）为：(1，0，3，1)，(-1，0，-3，-1)，(3，1，1，0)，(-3，-1，-1，0).技巧：我们通过化简，合并同类项，再分情况讨论.易错点：我们得到结果后，根据题意需代入原方程组验证，排除多余的解.8. (2、3) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)已知实数x，y满足(2x+1)2+y2+(y−2x)2=13，求x+y的值.分析：原式是一个二元方程，但是只有一个等式，我们不妨先展开，移项，化简可以得到2个完全平方式，即可得解.详解：将原等式展开移项,得：24x2−12xy+6y2+12x+2=0分组可以化为两个完全平方式，得：3x+12+3y−x2=0，所以有：3x+1=0 y−x=0解得x=y=−13，因此x+y=−23⋅答：x+y的值为−23技巧：我们把有规律项数的分组组成完全平方式，可简便解题.9. (2、3) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)有甲、乙两种卡通玩具昆虫，每个甲种玩具昆虫有1只眼睛和40只脚，每个乙种玩具昆虫有3只眼睛，两种玩具昆虫共有26只眼睛和298 只脚，则每个乙种玩具昆虫有多少只脚？分析：我们把未知量都设成未知数，然后列方程.根据未知数的取值范围来谈论，即可解题. 详解：设甲种昆虫有x只，乙种昆虫有y只，每只乙种昆虫有k只脚.依题意有x+3y=26⋯①40x+ky=298⋯②由①可知x是被3除余2的自然数，即x可取2，5，8，11，14，…，由②可知40x<298，即x≤7.所以x=2或5.当x=2时，y=8，而8不能整除298−40×2=218，不合题意，舍去；当x=5时，y=7，而7k=298−40×5=98，所以k=14.答：每个乙种玩具昆虫有14只脚.技巧：根据题目中的未知数都是整数，来分析解题.。
初中七年级数学知识点专题讲解与练习18---简单的不定方程、方程组(培优版)
入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的 9 倍，这样的两位数有( )个．
A．1 B．4 C．10 D．超过 10
9．李林在银行兑换了一张面额为 l00 元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的 元与角、分数字看倒置了(例如，把 12．34 元看成了 34．12 元)，并按着错的数字支付，
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对．
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．
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【例 2】电影票有 10 元，15 元，20 元三种票价，班长用 500 元买了 30 张电影票，其 中票价为 20 元的比票价为 10 元的多( )．
A．20 张 B．15 张 C．10 张 D．5 张 (“希望杯”邀请赛试题)
A．32 千米 B．37 千米 C．55 千米 D．90 千米
7．给出下列判断：
x = −3t
①不定方程 2x + 3y = 0 的整数解可表示为
( t 为整数)．
y = 2t
②不定方程 2x + 4 y = 5 无整数解．
③不定方程 2x + 3y = 1无整数解．
其中正确的判断是( )．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．小英在邮局买了 10 元的邮票，其中面值 0.10 元的邮票不少于 2 枚，面值 O.20 元的
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邮票不少于 5 枚，面值 0.50 元的邮票不少于 3 枚，面值 2 元的邮票不少于 1 枚，则小
英最少买了(
)枚邮票．
A．17 B．18 C．19 D．20
(“五羊杯”邀请赛试题)
9．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装 12 颗，每个小盒子装 5 颗，若弹子
七年级奥数：简单的不定方程、方程组
七年级奥数：简单的不定方程、方程组阅读与思考如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能惟一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能惟一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型：1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式估值、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．例题与求解例1 满足1998的整数对(m ,n )共有_________对．(全国初中数学联赛试题)解题思路 由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解解．例2 以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式，a 、b 、c 、d 、e 、f 各代表一个数(不一定相同)，则以a +b +c +d = ( )．(“五羊杯”邀请赛试题)(A )27 (B )24 (C )30 (D )无法确定解题思路 视、为整体，将多元问题转化为解二元一次不定方程．a b c d e f× 4———————e f a b c d例3 求方程的正整数解． (“希望杯”数学邀请赛试题)解题思路 易知x 、y 、z 都大于1，不妨设1<x ≤y ≤z ，，将复杂三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出结果．22221997(01998)m n m n +=+<<<abcd ef 11156x y z ++=111x y z≥≥例4 某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费；如果超过24度，超出的部分按每度2角收费．已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9角6分(用电按整度计算)，问甲、乙两家各交了多少电费?(北京市“迎春杯”竞赛题)解题思路 甲、乙两家用电度数情况有多种可能，在分析甲、乙两家用电情况的基础上，将问题转化为解不定方程．例5 甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试题难题多还是容易题多?(多的比少的)多几道题?(第十二届江苏省竞赛题)解题思路 100道数学题有三类：难题、容易题、两人都解出的题，题中可供利用的等量关系只有两个，显然，将三元一次不定方程组转化为解二元一次不定方程是解本例的基本思路．能力训练A 级1．若，则ab ＝_________． 2．已知4x --3y --6z =0，x +2y -7z =0(xyz ≠0),则的值等于________． 3．某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是______岁.(第九届“希望杯”邀请赛试题)4．设方程的整数解为________．5．x ，y 都是质数，则方程x +y =1999共有( )．(北京市竞赛题)(A )1组解 (B )2组解 (C )3组解 (D )4组解6．方程1990x －1989y ＝1991的一组正整数解是( )．(A )x ＝12785，y ＝12768 (B )x ＝13827，y ＝12623(C )x ＝11936，y ＝11941 (D )x ＝12785，y ＝127707．一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的倍，则这样的两位数有( )．(A )1个 (B )2个 (C )4个 (D )无穷多个8．小英在邮局买了10元邮票，其中面值０.10元的邮票不少于2枚，面值0.20元的邮票不少于5枚，面值0.50元的邮票不少于3枚，面值2元的邮票不少于1枚，则小英最少买了( )枚邮票．(“五羊杯”邀请赛试题)(A )17 (B )18 (C )19 (D )209．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有2254404a b a b +-++=22222223657x y z x y z ++++221993x y -=,,||αβαβ=则7499颗所用大小盒子多于10个，问这两种盒子各有多少个?10．是否存在整数m ，n 满足m ，若存在，请求出全部整数对(ｍ，ｎ)值；若不存在，请说明理由．11．已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积．(“希望杯”邀请赛试题) B 级1．如果ａ、ｂ、c 满足ａ+2b +2c —2ab —2bc —6c ＋9＝0，那么(ａ＋bc )＝______．(“祖冲之杯”邀请试题)2．已知ｘ，ｙ为正偶数，且ｘy ＋ｘy ＝96，则ｘ＋y ＝______．3．一个四位数，用16除余13，用125除余122，则满足条件的最小的四位数是______．4．购买十种货物：A 、A 、A 、…Ａ，如果在这十种中购买的件数依次是1，3，4，5，6，7，8，9，10，11件，共需人民币1992元；如果购买的件数依次是1，5，7，9，11，13，15，17，19，21件，共需人民币3000元，那么在这十种货物中各买一件时，共需人民币______．(北京市“迎春杯”竞赛题)5．若正整数ｘ、ｙ满足ｘ—72＝y ，则这样的正整数对(ｘ，y )的个数是( )．(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个6．有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需( )元．(A )6元 (B )8元 (C )9元 (D )10元7．在方程组,x ,y ,z 是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为( )．(第九届“希望杯”邀请赛试题)(A )6 (B )3 (C )多于6 (D )少于38．一个两位数中间插人一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的9倍，这样的两位数有( )个．(A )1 (B )4 (C )10 (D )超过109．李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上元与角．分数字看倒置了(例如，把12．34元看成了34．12元)，并按着错的数字支付，李林将其款花去3．80元之后，发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问李林应退回的款额是多少元?(“五羊杯”邀请赛试题)10．某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起，一小时后他看到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时，他看到的里程碑上的数又恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数，问这三块里 程碑上的数各是多少?(“勤奋杯”竞赛杯)11．某新建储油罐装满油后发现底部匀速向外漏油，为完全并减少损失，需将油抽干后进行222003n =+222222*********⎩⎨⎧-=++=++360333z y x z y x维修．现有同样功率的小型抽油泵若干台，若5台一起抽需10小时抽干，7台一起抽需8小时抽干．要在3小时内将油罐抽干，至少需要多少台抽油泵一起抽?(“五羊杯”竞赛题)。
解不定方程
典型例题
例6、中国百鸡问题：鸡翁一，值钱5，鸡母 一，值钱3，鸡雏三，值钱1百钱买百鸡，问鸡 翁，鸡母，鸡雏各几何？
简单的不定方程是二元一次不定方程，它的一 般形式是ax by c(a, b, c为整数，且ab 0) ， 与之相关的性质有： 1.无整数解的判定方法
若(a, b) d，而d 不能被c整除， 则方程ax by c没有整数解.
2.全部整数解的表示
x x0 若方程ax by c有一组解（特解） y y0 则方程ax by c全部整数解（通解）可 x x0 bt 表示为： (t为整数） . y y放有若干盆甲乙丙三种 造型的盆景，甲种盆景由15朵红花、24朵黄 花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红 花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红 花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成。这些盆 景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄 花一共用了多少朵 ？
典型例题
初中数学七年级下
第八章
二元一次方程组
第7讲 不定方程（组）
杨 辉 北京市高级教师
【定义】 如果一个方程（组）中，未知数的个 数多于方程的个数，那么这种方程（组）叫做不 等方程（组）. 【不定方程（组）的解】 不定方程（组）的解是不确定的，一般不定 方程（组）总有无穷多个（组）解，但若加 上整数（或正整数）解的限制，则不定方程 （组）的有无数组，或有限组，或不存在．
典型例题
例1、某班级为筹备运动会，准备用365 元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套， 乙种运动服35元/套，在钱用尽的条件下，有 多少种购买方案？
初中培优竞赛 第9讲 特殊方程与不定方程
1 . (1) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)设[x]表示不小于x的最小整数，如[3.4]=4，[4]=4，[3.8]=4，[−3.8]=−3.则下列7个结论中，不成立的结论( )①x≤x;②x≤x+1;③x=x只有x为整数才成立；④x+2=[x]+2；⑤x−2=x−2;⑥2x=2x;⑦x2=x2A.不超过3个B.恰为4个C.刚好为5个D.至少有6个分析：易见①，②，③，④，⑤成立，但⑥，⑦不成立，其实令x=0.5便知⑥，⑦不成立.详解：A2. (1、2) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)关于x的含有绝对值的方程|2x−1|−|x|=2的不同实数解共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个分析：|2x−1|−|x|=2.若x≥12，则方程为2x−1−x=2，x=3；若0≤x<12，则方程为1−2x−x=2，x=−1，不合题意；若x<0，则方程为1−2x+x = 2. X=−1，故题设方程的不同实数解共有2个.详解： B技巧：分别讨论绝对值的正负性，看结果是否符合题意.易错点：如果出现不合题意的结果，应该排除掉.3. (1、2) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)方程组|x|+y=12x+|y|=6的解的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4分析：若x≥0，则x+y=12x+|y|=6，于是|y|−y=−6，显然不可能；若x<0，则−x+y=12x+|y|=6，于是|y|+y=18，解得y=9，进而求得x=−3.所以原方程组的解为x=−3y=9，只有1个解.详解：A4. (1、2) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)方程组|x+y|+|x|=42|x+y|+3|x|=9的解共有________ 组.分析：令x+y=u，x=v，则u+v=42u+3v=9，解得v=1，u=3.于是x+y=±3，x=±1.(x，y)=(1，2)，(1，−4)，(−1，4)或(−1，−2).详解：4技巧：我们可以使用换元法，使题目更加简洁明了.易错点：讨论结果时，不要遗漏任何解.5. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)设x，y都是正整数，且x−116+x+100=y，则y的最大值为________ .分析：假设x−116=m2，x+100=n2（m，n为正整数），所以n2−m2=216.即(n+m)(n−m)=216，显然n+m>n−m，n+m与n-m只能同时为偶数，故n+m 的最大值为108.详解：108技巧：已知原式为a+b的形式，我们利用平方差公式，逆向思考可以化简原式，简单解题,.6. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)满足方程|||x−2006|−1|+8|=2006的所有x的和为________ .分析：因为x−2006−1+8＞0 ，所以x−2006−1+8=||x−2006|−1|+8；由||x−2006|−1|+8=2006得：||x−2006|−1|=1998⋯①因为x−2006−1≥−1＞−1998，所以由①得|x−2006|−1=1998.即|x−2006|=1999⋯②由②得x=2006+1999或2006−1999，即原方程有两个解，所有解的和是（2006+1999)+(2006−1999)=4012.详解：4012技巧：根据绝对值的意义，先化简，再解题.易错点：需要排除不符合题意的结果.7. (3、4) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)求方程组xz−2yt=3xt+yz=1的整数解.分析：我们观察，方程组的两个等式左右两边先平方再相加，会消去相同的项，化简再分别讨论.详解：（xz−2yt）2+2（xt+yz）2=32+12，化简合并同类项得：x2+2y2z2+2t2=11故x2+2y2=1或z2+2t2=1.①当 x2+2y2=1时，z2+2t2=11，得y=0，x=±1，t=±.1，z=±3；②当 z2+2t2=1时，x2+2y2=11，得t=0，z=±1，y=±1，x=±3.经检验，满足方程的4组解为(1，0，3，1)，(-1，0，-3，-1)，(3，1，1，0)，(-3，-1，-1，0).答：方程组xz−2yt=3xt+yz=1的整数解（x，y，z，t）为：(1，0，3，1)，(-1，0，-3，-1)，(3，1，1，0)，(-3，-1，-1，0).技巧：我们通过化简，合并同类项，再分情况讨论.易错点：我们得到结果后，根据题意需代入原方程组验证，排除多余的解.8. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)已知实数x，y满足(2x+1)2+y2+(y−2x)2=13，求x+y的值.分析：原式是一个二元方程，但是只有一个等式，我们不妨先展开，移项，化简可以得到2个完全平方式，即可得解.详解：将原等式展开移项,得：24x2−12xy+6y2+12x+2=0分组可以化为两个完全平方式，得：3x+12+3y−x2=0，所以有：3x+1=0 y−x=0解得x=y=−13，因此x+y=−23⋅答：x+y的值为−23技巧：我们把有规律项数的分组组成完全平方式，可简便解题.9. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)有甲、乙两种卡通玩具昆虫，每个甲种玩具昆虫有1只眼睛和40只脚，每个乙种玩具昆虫有3只眼睛，两种玩具昆虫共有26只眼睛和298 只脚，则每个乙种玩具昆虫有多少只脚？分析：我们把未知量都设成未知数，然后列方程.根据未知数的取值范围来谈论，即可解题.详解：设甲种昆虫有x只，乙种昆虫有y只，每只乙种昆虫有k只脚.依题意有x+3y=26⋯①40x+ky=298⋯②由①可知x是被3除余2的自然数，即x可取2，5，8，11，14，…，由②可知40x<298，即x≤7.所以x=2或5.当x=2时，y=8，而8不能整除298−40×2=218，不合题意，舍去；当x=5时，y=7，而7k=298−40×5=98，所以k=14.答：每个乙种玩具昆虫有14只脚.技巧：根据题目中的未知数都是整数，来分析解题.虫有14只脚.（第18届五羊杯竞赛题）定义新运算△：aΔb=a+a+1+(a+2)+⋯+(a+ b−1)，其中6为正整数.如果(xΔ3)Δ(2x)=13，则x的值为A.1或138B.1或0 C.138D.16.（2007年“数学周报”杯全国数学竞赛题）7.（1998年山东省竞赛题）方程|x|−4x =3|x|x的实根的个数为 ( )A. 1 B .2 C. 3 D. 48.（1999年重庆市竞赛题）某人计划使用不超过100元的资金购买单价分别为7元和9元的光盘x张和y张，每种光盘至少买3张，那么购买的方式共有，( )A.20种B.25种C.29种D.32种9.（第21届江苏省初中数学竞赛题）图9 -1为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数（假设单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的机动车辆数相等），则x1，x2，x3的大小关系为( )A.x1>x2>x3B.x1>x3>x1C.x2>x3>x1 B.x3>x2>x1二、填空题10. 11.（上海市竞赛题）12.（上海市竞赛题）已知方程x+y+z=a，其中a为正整数，当a=3时，它的正整数解组数记为S3，当a=5时，它的正整数解组数记为S5，则S1993=13.（2001年北京市竞赛题）若a，b都是正整数，且143a+500b=2001，则a+b=________14.（第3届杭州市求实杯竞赛题）有一个两位数ab（十位数字是a，个位数字是b），其中的a和b满足关系式a⋅b.ab=bbb（bbb表示三个数字都是b的3位数），这个两位数为________15.（第17届希望杯竞赛题）某种球形病毒的直径为0.01纳米，每个病毒每过1分钟就能繁殖出9个与自己相同的病毒.假如这种病毒在人体中聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不活，那么人从感染第一个病毒后，经过________ 分钟，就会感到不适（1米=109纳米）.16.（2005年湖州市竞赛题）李立、王望、钱谦三人去文具店买练习本、圆珠笔和橡皮，李立买了4本练习本、一枝圆珠笔和10块橡皮，共付了11元，王望买了3本练习本、一枝圆珠笔和7块橡皮，共付了8.9元，钱谦买了一本练习本、一枝圆珠笔和一块橡皮应该付________ 元.17.（第17届五羊杯竞赛题）以下算式中，相同的汉字代表相同的数字.已知“神舟” = 25，“号” =4，那么六位数“飞天神舟六号”=________.六号飞天神舟=神舟号×飞天神舟六号18.（第11届华杯赛试题）满足方程|||x−2006|−1|+8|=2006的所有x的和为________ .三、解答题20.（第2届香港华杯赛试题）求方程(3x+2).τ+5=1的所有可能解.21.（第11届希望杯竞赛题）某书店积存了画片若干张，按每张5角出售，无人购买；现决定按成本价出售，一下子全部售出，共卖了31元9角3分，则该书店积存了这种画片多少张？每张成本价是多少？22.（2006年国际城市竞赛题）23.（2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度为72km/h，在平地上的速度为63km/h，上坡的速度为56km/h.这辆汽车从A地到B地用了4个小时，而返程用了4小时40分钟，则AB两地距离多远？24.（第12届江苏省竞赛题）甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，问：难题多还是容易题多？（多的比少的）多几道题？25.（第2届香港华杯赛试题）已知方程组ax+by=−16cx+20y=−224的解应为x=8y=−10，小明解题时把c抄错了，因此得到的解是x=12y=−13，求a2+b2+c2的值.26.（2003年希望杯竞赛题）27.（第20届全俄中学生数学竞赛题）求使得方程x2+ax+a=0有整数根的所有整数 a.28.（第19届全俄中学生数学竞赛题）求方程19x+93y=4xy的所有自然数解.29.（第25届全俄数学奥林匹克试题）30.（1999年全国初中联赛题）某班参加一次智力竞赛，共a，b，c三题，每题或者得满分，或者得0分，其中题a满分为20分，题b、题c 满分分别为25分.竞赛结果：每位学生至少答对了一题，三题全对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，问：这个班的平均成绩是多少？31.（全国初中数学联赛题）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2kgA水果，4kgB水果；乙种搭配：3kgA水果，8kgB水果，lkgC水果；丙种搭配：2kgA水果，6kgB水果，lkgC水果.已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10 元，某天该商店销售这三种搭配水果共获利441.2元，其中A水果的销售额为116元，问：C水果的销售额为多少？答案与解析1.B 若x≥0，则|x|=3x+1⇒x=3x+1，解得x=−12，不符合.所以x<0，−x=3x+1，解得x=−14，从而(64x2+48x+9)2005=[(8x+3)2]2005=(−2+3)4010=1.2.C 当x=0时，y可取0，1，2，…，1999个值，相应可得出z，即有2000组解；当x=1时，y可取0，1，2，…，1998个值，即有1999组解；……；当x=1999时，仅有y=0，z=0，即有1组解.故所有解的组数为1+2+⋯+2000=2001000组.3.C 易见①，②，③，④，⑤成立，但⑥，⑦不成立，其实令x=0.5便知⑥，⑦不成立.4.B5.D由aΔb=ab+[1+2+⋯+(b−1)]=ab+(b−1)b2可知(xΔ3)Δ2x=(3x+3)Δ(2x)=(3x+3)(2x)+(2x−1)(2x)2=8x2+5x=13，(x−1)(8x+13)=0，解得x=1或−138.但x=−138使得2x不是正整数，与△运算的定义不符合，所以x=1.6.A 若x≥0，则x+y=12x+|y|=6，于是|y|−y=−6，显然不可能；若x<0，则−x+y=12x+|y|=6，于是|y|+y=18，解得y=9，进而求得x=−3.所以原方程组的解为x=−3y=9，只有1个解.7.A 当x>0时，原方程可化为x−4x=3，x1=4，x2=−1（舍）；当x<0时，原方程可化为−x−4x=−3，整理得x2−3x+4=0，Δ<0.8.C 依题意得7x+9y≤100，有x=100−9y7因为x≥3，y≥3，所以100−9y7≥3，得 3≤y≤8.当 y=3时，3≤x≤10；当 y=4时，3≤x≤9；当 y=5时，3≤x≤7;当y=6时，即3≤x≤6；当y=7时，3≤x≤5；当y=8时，3≤x≤4. 故购买方式共有8+7+5+4 +3+2=29（种）.9.C 设x1=50+a（其中a表示A处X3向B处分流出来的机动车辆数），则由图可知x2=(x1−20)+30=60+a，x3=(x2−35)+30=55+a.10. 11. 108 设x−116=m2，x+100=n2（m，n为正整数），所以n2−m2=216.即(n+m)(n−m)=216，显然n+m>n−m，n+m与n-m只能同时为偶数，故n+m 的最大值为108.12. 1983036 易知x，y，z≤1991，当x=1时，y+z=1992，这时共有1991个解；当x=2时，y+z=1991，这时共有1990个解，……，当x=1991时y+z=2，这时有1个解，所以1991+1990+⋯+1=1991×19922=1983036.13.9 由已知可得a=2001−500b143=13−3b+142−716143，观察可得b=2，a=7于是不定方程的解为a=7+500t，b=2−143t（t为整数）.因为a，b是正整数，所以7+500t>0，2−143t>0，得−7500<t<2143，可知t=0，a=7，b=2，a+b=9.14. 37 因为1≤a，b≤9，a，b为整数，且bbb=b⋅111=b×3×37.所以a⋅b.ab= b×3×37，所以a.ab⋅=3×37，故a=3，b=7，故所求两位数为37.15. 10 题意相当于每个病毒过1分钟就变成了10个病毒，过两分钟变成了102个病毒，……，如此过n分钟就变成了10n个病毒，则有10n×0.01=108，解得n=10.所以人从感染第一个病毒后，经过10分钟，就会感到不适.16.4.7 设练习本、圆珠笔、橡皮的单价分别为x元、y元和z元，依题意得4x+y+10z=113x+y+7z=8.9，可化为(x+y+z)+3(x+3z)=11 (x+y+z)+2(x+3z)=89.设x+y+z=a，x+32=b，则方程组即a+3b=11a+2b=8.9.解得a=4.7.所以钱谦应付4.7元.17. 102564 设“飞天” =x，“六号” =y，则题设算式可化为4×（10000y+ 100x+25）=25×(10000x+2500+y)，化简得4×(400y+4x+1)=10000x+2500+ y，1599y=9984x+2496，533y=3328x+832.两边约去13得41y=256x+64，41y=64(4x+1)，64与41互质，64整除y.故y=64，“号” =4⋅与题设符合，代入得41=4x+1，x=10.于是“飞天神舟六号” =102564.18. 4012 由||x−2006|−1|+8=2006得||x−2006|−1|=1998⋯①因为1−|x−2006|≤1<1998，所以由①得|x−2006|−1=1998.即|x−2006|=1999⋯②由②得x=2006+1999或2006−1999，即原方程有两个解，所有解的和是（2006+ 1999)+(2006−1999)=4012.19.6 因为0<a+130<a+230<⋯<a+2930<2，所以[a+130]，[a+230]，⋯，[a+2930]等于0或者 1.由题设可知，其中有18个等于1，所以[a+130]=[a+230]=⋯=[a+1130]=0，[a+1230]=[a+1330]=⋯=[a+2930]=1，所以0<a+1130<1，1≤a+1230<2.故18≤30a<19，于是6≤10a<193.所以[10a]=6.20.有三种可能：(1)x+5=0且3x+2≠0⇒x=−5；(2) 3x+2=1⇒x=−13;(3) 3x+2=−1且x+5为偶数⇒x=−1.21.设每张画片成本价为x元，书店积存了画片y张，依题意有xy=31.93.即y=31.93 x （y是整数，0<x<0.51)，y=103×0.31x⋅所以当x=0.31时，y=103.故书店积存画片103张，每张成本价为0. 31元.22. 23.分别用x，y，z表示下坡，平地，上坡距离，则x72+y63+z56=4，x56+y63+z72=143，解得7x+8y+9z=4⋅7⋅8⋅9，9x+8y+7z=14⋅7⋅8⋅3.丙式相加约去16得x+y+z=273.所以AB两地距离273km.24.难题比容易题多20道，设共有难题x道，容易题y道，其余为正好两人解出的题为z道，由题意得x+y+z=100⋯①x+3y+2z=60×3⋯②由①×2-②得x−y=20.故难比易的多20道.25.题示方程组的解为x=8y=−10，所以8a−10b=−168c−200=−224.解题时抄错c，因此得到x=12，y=−13，所以12a−13b=−16成立.由三式易得a=3，b=4，c=−3.所以a2+b2+c2=34.26.设甲种昆虫有x只，乙种昆虫有y只，每只乙种昆虫有k只脚.依题意有x+3y=26⋯①40x+ky=298⋯②由①可知x是被3除余2的自然数，即x可取2，5，8，11，14，…，由②可知40x<298，即x≤7.所以x=2或5.当x=2时，y=8，而8不能整除298−40×2=218，不合题意，舍去；当x=5时，y=7，而7k=298−40×5=98，所以k=14.故每只乙种昆虫有14只脚.27.设方程的2个整数根为则x1+x2=−a，x1x2=a，所以x1+x2+x1x2=0.即(x1+1)(x2+1)=1所以x1+1=1x2+1=1或x1+1=−1x2+1=−1.解得x1=0x2=0或x1=−2x2=−2所以a=0或a=4.28.原方程转化为(4y−19)(4x−93)=19×93=1×3×19×31，有因子±1，±3，±19，±31，±3×19，土3×31，±19×31，±3×19×31.若4y - 19，为上述各值之一，则4x-93也相应地被确定，原方程又转化为93y=(4y−19)x.由于x，y是自然数，易知y≤4时方程无解，y≥5时y及4y -19均为自然数，因此4y -19可取前面8个正因子之一，可以验证当4y−19=1，57，93，589时，相应的y=5，19，28，152，x= 465，31，28，24，共4组解.29.由原方程组可得 30.设x a ，x b ，x c 分别表示答对题a 、题b 、题c 的人数，则有 x a +x b =29x a +x c =25.x b +x c =20所以x a +x b +x c =37.解得x a =17，x b =12，x c =8.答对1题的人数为37−1×3−2×15= 4，全班人数为1+4+15=20，故平均成绩为120[17×20+(12+8)×25]=42.31.如下表所示，设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x ，y ，z 套.则 2(2x +3y +2z)=116，(2×2+4×1.2)x +(3×2+8×1.2+1×10)y +(2×2+6×1.2+1×10)z =441.2.即 2x +3y +2z =58⋯①22x +64y +53z =1103⋯②由②一①×11得31(y +z)=465，.故y +z =15.所以共卖出C 水果15千克，C 水果的销售额为15 × 10= 150(元).，则。
七数培优竞赛讲座第27讲 不定方程、方程组
第二十七讲 不定方程、方程组不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定．对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：设d c b a 、、、为整数，则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题： (1)若(a ，b)=d ，且d 卜c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；(2)若00y x ，是方程c by ax =+且(a ，b)=1的一组整数解(称特解)，则为整数）t aty y btx x (00⎩⎨⎧-=+=是方程的全部整数解(称通解)． 解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。
配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等．举例【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6，则m 的最大值为 ．(新加坡数学竞赛题)思路点拔 把m 用含n 的代数式表示，并分离其整数部分(简称分离整系数法)．再结合整除的知识，求出m 的最大值．注：求整系数不定方程c by ax =+的整数解。
通常有以下几个步骤：（1）判断有无整数解；(2)求一个特解；(3)写出通解；(4)由整数t 同时要满足的条件(不等式组)，代入(2)中的表达式，写出不定方程的正整数解．分离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论．【例2】 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( )． A ．32千米 B ．37千米 C ．55千米 D ．90千米(河南省竞赛题)思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x 、10十9y(x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程3+4x=0+9y 的正整数解． 【例3】 (1)求方程15x+52y=6的所有整数解． (2)求方程x+y ＝x 2一xy+y 2的整数解．(莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程65111=++z y x 的正整数解． (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 对于(1)通过观察或辗转相除法，先求出特解．对于(2)易想到完全平方公式，从配方人手，对于(2)易知x 、y 、z 都大于1，不妨设l<x ≤y ≤z ，则zy x 111≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结果．注：方程和不等式的相关性质，寻求井缩小某个字母的取值范围，通过验算获得全部解答．【例4】 一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终粒盒内都剩1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？ （2002年重庆市竞赛题） 思路点拨 无论怎么取，盒子里的棋子数不变，恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解．【例5】中国百鸡问题：一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?(出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为z y x 、、，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++100335100zy x z y x 通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解．【例6】 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题) 思路点拨 设甲组学生a 人，乙组学生b 人，丙组学生c 人，由题意得28a+30b+31c=365，怎样解三元一次不定方程?运用放缩法，从求出a+b+c 的取值范围入手． 注： 解不定方程组基本方法有：(1)视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示； (2)通过消元，将问题转化为不定方程求解；(3)运用整体思想方法求解．【例7】 不定方程4x+7y=2001有 组正整数解． 思路点拨 49十7y=3×667 易知⎩⎨⎧=-=667667y x 是其一组特解，∴其通解为⎩⎨⎧-=+-=t y t x 46677667，z t ∈，∵⎩⎨⎧≥-≥+-1466717667t t ，解之得96≤t ≤166 ∴ t 可取整数值共71个．∴ 4x+7y=2001有71组正整数解．学力训练1．已知z y x 、、满足x+y=5及z 2=xy+y —9，则x+2y+3z= ．(2002年山东省竞赛题)2．已知4x 一3y 一6z=0，x+2y 一7c=0(xyz ≠0)，那么22222275632zy x z y x ++++的值为 ． 3．用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有 种不同的买法．、A 、A 、A 、A 的件数和用钱总数列成下表：则5种数学用品各买一件共需 元．(北京市竞赛题)5．希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价值为330元，这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有 个． (温州市中考题) 6．方程(x+1)2+(y-2)2＝1的整数解有( )．A ．1组B ．2组C ．4组D ．无数组7．二元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( )．A ．20001999个B ．19992000个C ．2001000个D ．2001999个( “希望杯”邀请赛试题)8．以下是一个六位数乘上一个—位数的竖式，各代表一个数(不一定相同)，则a+b+c+d+e+f=( )．A ．27B ．24C ．30D ．无法确定(“五羊杯”邀请赛试题) 9．求下列方程的整数解：(1)1lx+5y=7；(2)4x+y=3xy ．10．在车站开始检票时，有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等侯检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口? (广州市中考题)11．下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”． 现在我们约定：“布”赢“锤子”得9分，“锤子”赢“剪子”得5分，“剪子”赢“布” 得2分．(1)小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪子”赢“布”7次．聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次?(2)如果小明与某同学玩了若干次，得了30分，请你探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填人下表．赢法一：赢法二：赢法三：12．满足1998十m ＝1997+n (0<rn<n<1998)的整数对(m ，n)共有 对．13．有理数x ，y ，z 满足⎩⎨⎧=+-+-=0223362z xy y x y x ，则22y+z 的值为 ． 14．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是 岁． 15．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机 台．16．有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元，若购甲4件、乙l0件、丙l 件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需 元．17．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过 个． 18．(1)求满足y 4+2x 4+1=4x 2y 的所有整数对(x ，y)； (2)求出所有满足5(xy+yz+zx)＝4xyz 的正整数解．(新加坡奥林匹克试题)19．兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取l0元，弟弟再取10元；这样依次反复进行，最后，哥哥先取10元，弟弟再取不足10元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等．问这顶草帽值多少钱?(北京市竞赛题)20．某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家的电话号码． (武汉市选拔赛试题)所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面3个数码7．28，但前面的3个数码看不清楚了，请你帮助查清这笔账．(上海市”金桥杯”数学知识应用竞赛试题) 22．一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区．他们出发后以每天17km的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，试问：科学考察队在生态区考察了多少天? (四川省竞赛题)参考答案。
2020七年级数学下册 培优新帮手 专题18 简单的不定方程、方程组试题 (新版)新人教版
18 简单的不定方程、方程组阅读与思考如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型： 1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数； 2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．例题与求解【例1】满足222219981997m n +=+ (0＜m ＜n ＜1 998)的整数对(m ，n )共有_______对．(全国初中数学联赛试题)解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多( )．A ．20张B ．15张C ．10张D ．5张(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为x ，y ，z 张．根据题意列方程组，整体求出的z －x 值．【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14 405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16 970，求此人家中的电话号码．(湖北省武汉市竞赛试题)解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手．【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?(重庆市竞赛试题)解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。
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初一数学培优之简单的不定方程、方程组
阅读与思考
如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．
对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型： 1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；
2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．
二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．
解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．
例题与求解
【例1】满足222219981997m n +=+ (0＜m ＜n ＜1 998)的整数对(m ，n )共有_______对． (全国初中数学联赛试题)
解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．
【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多( )．
A ．20张
B ．15张
C ．10张
D ．5张
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为x ，y ，z 张．根据题意列方程组，整体求出的z －x 值．
【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14 405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16 970，求此人家中的电话号码．
(湖北省武汉市竞赛试题)
解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手．
【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?
(重庆市竞赛试题)
解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。
恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解． 【例5】 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每 人有31个核桃，三组的核桃总数是365个．问：三个小组共有多少名同学?
(海峡两岸友谊赛试题)
解题思路：根据题意，列出三元一次不定方程，从运用放缩法求取值范围入手．
【例6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，就会余下1人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车．
问：原先租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于32人)
解题思路：设原先租客车x 辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐k 人，根据题意列出方程求解，注意排除不符合题设条件的解．
能力训练
A 级
1．若225
4404
a b a b +-++
=，则ab ＝__________． 2．已知4360x y z --=，270x y z +-= (xyz ≠0)，则222
222
23657x y z x y z ++++的值等于________．
3．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是_________岁．
(“希望杯”邀请赛试题) 4．已知a ，b ，c 为整数，且2006a b +=，2005c a -=．若a ＜b ，则a b c ++的最大值为_____．
(全国初中数学竞赛试题) 5．x ，y 都是质数，则方程1999x y +=共有( )． A ．1组解 B ．2组解 C ．3组解 D ．4组解
(北京市竞赛试题)
6．如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔 4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开 始．每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在 19千米处同时设置这两种标志，问下一个同时设 置这两种标志的地点的千米数 是( )．
A ．32千米
B ．37千米
C ．55千米
D ．90千米 7．给出下列判断：
①不定方程230x y +=的整数解可表示为32x t
y t =-⎧⎨=⎩
(t 为整数)．
②不定方程245x y +=无整数解． ③不定方程231x y +=无整数解．
其中正确的判断是( )．
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
8．小英在邮局买了10元的邮票，其中面值0.10元的邮票不少于2枚，面值O.20元的邮票不少于5枚，面值0.50元的邮票不少于3枚，面值2元的邮票不少于1枚，则小英最少买了( )枚邮票． A ．17 B ．18 C ．19 D ．20
(“五羊杯”邀请赛试题)
9．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有99颗，所用大小盒子多于10个，问这两种盒子各有多少个?
10．中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?
(出自中国数学家张丘建的著作《算经》)
11．已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积．
(“希望杯”邀请赛试题)
12．已知k 是满足19102010k p p 的整数，并且使二元一次方程组547
45x y x y k -=⎧⎨+=⎩
有整数解．问：这样
的整数k 有多少个？
（“华罗庚金杯”竞赛试题）
B 级
1．如果a ，b ，c 满足2222222690a b c ab bc c ++---+=，那么()2
a bc +＝__________．
(“祖冲之杯”邀请试题)
2．已知x ，y 为正偶数，且2
2
96x y xy +=，则2
2
x y +＝_________． 3．一个四位数与它的四个数字之和等于1 991．这个四位数是__________．
(重庆市竞赛试题)
4．城市数学邀请赛共设金、银、铜三种奖牌，组委会把这些奖牌分别装在五个盒中，每个盒中只装一种奖牌．每个盒中装奖牌枚数依次是3，6，9，14，18．现在知道其中银牌只有一盒，而且铜牌枚数是金牌枚数的2倍．则有金牌_____枚，银牌______枚，铜牌_____枚．
5．若正整数x ，y 满足2
2
72x y -=，则这样的正整数对(x ，y )的个数是( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．有甲、乙、丙3种商品，单价均为整数，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙l 件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需( )元．
A ．6元
B ．8元
C ．9元
D ．10元
7．在方程组333
36
x y z x y z ++=⎧⎨++=-⎩中，x ，y ，z 是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为( )． A ．6 B ．3 C ．多于6 D ．少于3
(“希望杯”邀请赛试题)
8．一个两位数中间插入一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的9倍，这样的两位数有( )个． A ．1 B ．4 C ．10 D ．超过10
9．李林在银行兑换了一张面额为l00元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如，把12．34元看成了34．12元)，并按着错的数字支付，李林将其款花去3．50元之后，发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问：李林应退回的款额是多少元?
(“五羊杯”邀请赛试题)
10．某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起，一小时后他看到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时。
他看到的里程碑上的数又恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数，问这三块里程碑上的数各是多少?
(“勤奋杯”竞赛试题)
11．已知四位数abcd 满足3333110a b c d c d ++++=+，求这样的四位数．
(“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题)
12．求方程
1115
6
x y z ++=的正整数解． (“希望杯”邀请赛试题)。