初一数学培优之简单的不定方程、方程组
初一数学培优之简单的不定方程、方程组
阅读与思考
如果方程(组)中,未知数的个数多于方程的个数,那么解往往有无穷多个,不能唯一确定,这样的方程(组)称为不定方程(组).
对于不定方程(组),我们常常限定只求整数解,甚至只求正整数解.加上这类限制后,解可能唯一确定,或只有有限个,或无解.这类问题有以下两种基本类型: 1.判定不定方程(组)有无整数解或解的个数;
2.如果不定方程(组)有整数解,求出其全部整数解.
二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解.
解不定方程(组),没有固定的方法可循,需具体问题具体分析,经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法.根据方程(组)的特点进行适当变形,并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路.
例题与求解
【例1】满足222219981997m n +=+ (0<m <n <1 998)的整数对(m ,n )共有_______对. (全国初中数学联赛试题)
解题思路:由方程特点,联想到平方差公式,利用因数分解来解答.
【例2】电影票有10元,15元,20元三种票价,班长用500元买了30张电影票,其中票价为20元的比票价为10元的多( ).
A .20张
B .15张
C .10张
D .5张
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:设购买10元,15元,20元的电影票分别为x ,y ,z 张.根据题意列方程组,整体求出的z -x 值.
【例3】某人家中的电话号码是八位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14 405,将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16 970,求此人家中的电话号码.
(湖北省武汉市竞赛试题)
解题思路:探索可否将条件用一个式子表示,从问题转换入手.
【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子?
(重庆市竞赛试题)
解题思路:无论怎样取,盒子里的棋子数不变。恰当设未知数,把问题转化为求不定方程的正整数解. 【例5】 甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,丙组同学每 人有31个核桃,三组的核桃总数是365个.问:三个小组共有多少名同学?
(海峡两岸友谊赛试题)
解题思路:根据题意,列出三元一次不定方程,从运用放缩法求取值范围入手.
【例6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游,如果每辆车坐22人,就会余下1人;如果开走一辆空车,那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车.
问:原先租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于32人)
解题思路:设原先租客车x 辆,开走一辆空车后,每辆车乘坐k 人,根据题意列出方程求解,注意排除不符合题设条件的解.
能力训练
A 级
1.若225
4404
a b a b +-++
=,则ab =__________. 2.已知4360x y z --=,270x y z +-= (xyz ≠0),则222
222
23657x y z x y z ++++的值等于________.
3.1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和,那么他的年龄是_________岁.
(“希望杯”邀请赛试题) 4.已知a ,b ,c 为整数,且2006a b +=,2005c a -=.若a <b ,则a b c ++的最大值为_____.
(全国初中数学竞赛试题) 5.x ,y 都是质数,则方程1999x y +=共有( ). A .1组解 B .2组解 C .3组解 D .4组解
(北京市竞赛试题)
6.如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔 4千米设一个速度限制标志,而且从10千米处开 始.每隔9千米设一个测速照相标志,则刚好在 19千米处同时设置这两种标志,问下一个同时设 置这两种标志的地点的千米数 是( ).
A .32千米
B .37千米
C .55千米
D .90千米 7.给出下列判断:
①不定方程230x y +=的整数解可表示为32x t
y t =-??=?
(t 为整数).
②不定方程245x y +=无整数解. ③不定方程231x y +=无整数解.
其中正确的判断是( ).
A .①②
B .②③
C .①③
D .①②③
8.小英在邮局买了10元的邮票,其中面值0.10元的邮票不少于2枚,面值O.20元的邮票不少于5枚,面值0.50元的邮票不少于3枚,面值2元的邮票不少于1枚,则小英最少买了( )枚邮票. A .17 B .18 C .19 D .20
(“五羊杯”邀请赛试题)
9.小孩将玻璃弹子装进两种盒子,每个大盒子装12颗,每个小盒子装5颗,若弹子共有99颗,所用大小盒子多于10个,问这两种盒子各有多少个?
10.中国百鸡问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡.问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?
(出自中国数学家张丘建的著作《算经》)
11.已知长方形的长、宽都是整数,且周长与面积的数值相等,求长方形的面积.
(“希望杯”邀请赛试题)
12.已知k 是满足19102010k p p 的整数,并且使二元一次方程组547
45x y x y k -=??+=?
有整数解.问:这样
的整数k 有多少个?
(“华罗庚金杯”竞赛试题)
B 级
1.如果a ,b ,c 满足2222222690a b c ab bc c ++---+=,那么()2
a bc +=__________.
(“祖冲之杯”邀请试题)
2.已知x ,y 为正偶数,且2
2
96x y xy +=,则2
2
x y +=_________. 3.一个四位数与它的四个数字之和等于1 991.这个四位数是__________.
(重庆市竞赛试题)
4.城市数学邀请赛共设金、银、铜三种奖牌,组委会把这些奖牌分别装在五个盒中,每个盒中只装一种奖牌.每个盒中装奖牌枚数依次是3,6,9,14,18.现在知道其中银牌只有一盒,而且铜牌枚数是金牌枚数的2倍.则有金牌_____枚,银牌______枚,铜牌_____枚.
5.若正整数x ,y 满足2
2
72x y -=,则这样的正整数对(x ,y )的个数是( ).
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
6.有甲、乙、丙3种商品,单价均为整数,某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元;若购甲4件、乙10件、丙l 件共需33元,则此人购甲、乙、丙各1件共需( )元.
A .6元
B .8元
C .9元
D .10元
7.在方程组333
36
x y z x y z ++=??++=-?中,x ,y ,z 是不相等的整数,那么此方程组的解的组数为( ). A .6 B .3 C .多于6 D .少于3
(“希望杯”邀请赛试题)
8.一个两位数中间插入一个一位数(包括0),就变成一个三位数,有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的9倍,这样的两位数有( )个. A .1 B .4 C .10 D .超过10
9.李林在银行兑换了一张面额为l00元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成了34.12元),并按着错的数字支付,李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回,问:李林应退回的款额是多少元?
(“五羊杯”邀请赛试题)
10.某人乘坐的车在公路上匀速行驶,从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起,一小时后他看到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数,再过一小时。他看到的里程碑上的数又恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数,问这三块里程碑上的数各是多少?
(“勤奋杯”竞赛试题)
11.已知四位数abcd 满足3333110a b c d c d ++++=+,求这样的四位数.
(“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题)
12.求方程
1115
6
x y z ++=的正整数解. (“希望杯”邀请赛试题)
二元一次方程组的解法培优训练
培优训练 一、填空题 1.已知(k -2)x |k |-1-2y =1,则k ______ 时,它是二元一次方程;k =______ 时, 它是一元一次方程. 2.若|x -2|+(3y +2x )2=0,则y x 的值是______ . 3.如果|21||25|0x y x y -++--=,则x y +的值为 4.已知???-==1 ,2y x 是二元一次方程mx +ny =-2的一个解,则2m -n -6的值等于_______. 5.已知二元一次方程组? ??=+=+②①8272,y x y x 那么x +y =______ ,x -y =______. 6.若2x -5y =0,且x ≠0,则 y x y x 5656+-的值是____ . 二、选择题 1.已知二元一次方程x +y =1,下列说法不正确的是( ). (A)它有无数多组解 (B)它有无数多组整数解 (C)它只有一组非负整数解 (D)它没有正整数解 2.若二元一次方程组? ??=---=-043,1y nx y mx 的解中,y =0,则m ∶n 等于( ). (A)3∶4 (B)-3∶4 (C)-1∶4 (D)-1∶12 3.已知x =3t +1,y =2t -1,用含x 的式子表示y ,其结果是( ). (A)31-=x y (B)21+=y x (C)352-=x y (D)3 12--=x y 4.若关于x ,y 的方程组???=+=-n my x m y x 2的解是???==1 2y x ,则n m -为( ) A .1 B .3 C .5 D .2 5.关于x ,y 的方程组?? ?=-=+1935,023by ax by ax 的解为???-==.1,1y x 则a ,b 的值分别为( ). (A)2和3 (B)2和-3 (C)-2和3 (D)-2和-3 6.与方程组???=+=-+0 2,032y x y x 有完全相同的解的是( ). (A)x +2y -3=0 (B)2x +y =0 (C)(x +2y -3)(2x +y )=0 (D)|x +2y -3|+(2x +y )2=0 7.小明在解关于x 、y 的二元一次方程组???=?-=?+133,y x y x 时得到了正确结果 ? ??=⊕=.1,y x 后来发现“?”“ ⊕”处被墨水污损了,请你帮他找出?、⊕ 处的值分别是( ) A .? = 1,⊕ = 1 B .? = 2,⊕ = 1 C .? = 1,⊕ = 2 D .? = 2,⊕ = 2 8.若关于x ,y 的二元一次方程组? ??=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解,则k 的值为 ( )
二元一次方程组的应用练习题
1、某中学组织初一学生春游,原计划租用45座汽车若干辆,但有15人没有座位:若租用同样数量的60座汽车,则多出一辆,且其余客车恰好坐满。已知45座客车每日租金每辆220元,60座客车每日租金为每辆300元。 (1)初一年级人数是多少?原计划租用45座汽车多少辆? (2)若租用同一种车,要使每个学生都有座位,怎样租用更合算? 2、某酒店的客房有三人间和两人间两种,三人间每人每天25元,两人间每人每天 35元,一个50人的旅游团到了该酒店住宿,租了若干间客房,且每间客房恰好住满,一天共花去1510元,求两种客房各租了多少间? 3、某中学新建了一栋4层的教学大楼,每层楼有8间教室,进出这栋大楼共有4道门,其中两道正门大小相同,两道侧门大小相同,安全检查中,对4道门进行了测试:当同时开启正门和两道侧门时,2分钟可以通过560名学生,当同时开启一道正门和一道侧门时,4分钟可以通过800名学生。 (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? (2)检查中发现,紧急情况下时因学生拥挤,出门的效率将降低20%,安全检查规定,在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离,假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生,问通过的这4道门是否符合安全规定?请说明理由。 4、现有190张铁皮做盒子,每张铁皮做8个盒身或做22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子,问用多少张铁皮制成盒身,多少张铁皮制成盒底,可以正好制成一批完整的盒子?
5、为了保护生态环境,我省某山区县响应国家“退耕还林”号召,将该县某地一部分耕地改为林地,改变后,林地面积和耕地面积共有180平方千米,耕地面积是林地面积的25%,求改变后林地面积和耕地各为多少平方千米? 6、王大伯承包了25亩土地,今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,用去了44000元,其中种茄子每亩用去了1700元,获纯利2600元;种西红柿每亩用去了1800元,获纯利2600元,问王大伯一共获纯利多少元? 7、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,准备加工后上市销售,该公司的加工能力是:每天精加工6吨或者粗加工16吨,现计划用15天完成加工任务,该公司应安排几天粗加工,几天精加工,才能按期完成任务?如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元,精加工后为2000元,那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元? 8、在一次足球选拔赛中,有12支球队参加选拔,每一队都要与另外的球队比赛一次,记分规则为胜一场记3分,平一场记1分,负一场记0分。比赛结束时,某球队所胜场数是所负的场数的2倍,共得20分,问这支球队胜、负各几场? 9、某个体户向银行申请了甲、乙两种贷款,共计136万元,每一年需付利息16.84万元,甲种贷款的年利率是12%,乙种贷款的年利率是13%,问这两种贷款的数额各是多少?
二元一次方程组的概念及解法
二元一次方程组的概念及解法 知识点梳理 知识点一二元一次方程组的概念 含有两个未知数,并且含有未知数的相的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程。 把两个二元一次方程合在一起就组成了一个方程组,像这样的方程组叫做二元一次方程组。 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。 一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。 典例分析 例1、在方程组、、、、 、中,是二元一次方程组的有个; 例2、已知二元一次方程2x-y=1,若x=2,则y=;若y=0,则x=. 变式1:方程x+y=2的正整数解是__________. 变式2、在方程3x-ay=8中,如果是它的一个解,那 么a的值为? ? ? = = 1 3 y x
例3 方程组???=+=-5 21 y x y x 的解是( ) A 、 ???=-=21y x B 、???-==12 y x C 、???==21y x D 、???==12y x 例4、有一个两位数,它的两个数字之和为11,把这个两位数的个位数字与十位数字对调,所得的新数比原数大63,设原两位数的个位数字为,十位数字为,则用代数式表示原两位数为 ,根据题意得方程组 。 例5、我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十头,下有九十四足。问鸡兔各几何。”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗?使找出问题的解。 知识点二 解二元一次方程 消元解二元一次方程???代入消元法加减消元法 典例分析 例1、 把方程2x -y -5=0化成含y 的代数式表示x 的形式:x = . 化成含x 的代数式表示y 的形式:y = .
二元一次方程组培优训练题
二元一次方程组培优训练题
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二元一次方程组培优训练题 一、二元一次方程组的解 1、如果? ? ?=+=-423y x a y x 的解都是正数,那么a 的取值范围是( ) (A )a <2; ?(B )34- >a ;?(C )342<<-a ;?(D )34 - 二元一次方程组应用探索 二元一次方程组是最简单的方程组,其应用广泛,尤其是生活、生产实践中的许多问题,大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决,现将常见的几种题型归纳如下: 一、数字问题 例1 一个两位数,比它十位上的数与个位上的数的和大9;如果交换十位上的数与个位上的数,所得两位数比原两位数大27,求这个两位数. 分析:设这个两位数十位上的数为x,个位上的数为y,则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示: 解方程组 109 101027 x y x y y x x y +=++ ? ? +=++ ? ,得 1 4 x y = ? ? = ? ,因此,所求的两位数是14. 点评:由于受一元一次方程先入为主的影响,不少同学习惯于只设一元,然后列一元一次方程求解,虽然这种方法十有八九可以奏效,但对有些问题是无能为力的,象本题,如果直接设这个两位数为x,或只设十位上的数为x,那将很难或根本就想象不出关于x的方程.一般地,与数位上的数字有关的求数问题,一般应设各个数位上的数为“元”,然后列多元方程组解之. 二、利润问题 例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%;如果打八折出售可以盈利10元,问此商品的定价是多少? 分析:商品的利润涉及到进价、定价和卖出价,因此,设此商品的定价为x元,进价为y元,则打九折时的卖出价为0.9x元,获利(0.9x-y)元,因此得方程0.9x-y=20%y;打八折时的卖出价为0.8x元,获利(0.8x-y)元,可得方程0.8x-y=10. 解方程组 0.920% 0.810 x y y x y -= ? ? -= ? ,解得 200 150 x y = ? ? = ? ,二元一次方程组应用题 分类总结
二元一次方程组经典练习题+答案解析100道