一次函数与反比例函数综合(含解析答案)

一次函数与反比例函数综合

1．(2016·襄阳)如图，直线y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝m

x (x ＞0)的图象交于A(1，4)，B(4，n)两点，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点．

(1)m ＝4，n ＝1；若M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是反比例函数图象上两点，且0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2(填“＜”“＝”或“＞”)；

(2)若线段C D 上的点P 到x 轴，y 轴的距离相等．求点P 的坐标．

解：∵直线y ＝ax ＋b 经过点A(1，4)，B(4，1)， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝4，4a ＋b ＝1.解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝5. ∴y ＝－x ＋5.

当x ＝y 时，x ＝－x ＋5，解得x ＝52. ∴P(52，52)．

2．(2016·威海)如图，反比例函数y ＝m

x 的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为(2，6)，点B 的坐标为(n ，1)． (1)求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝5，求点E 的坐标．

解：(1)把点A(2，6)代入y ＝m

x ，得m ＝12， 则y ＝12x .

把点B(n ，1)代入y ＝12

x ，得n ＝12， 则点B 的坐标为(12，1)．

由直线y ＝kx ＋b 过点A(2，6)，点B(12，1)得⎩⎨⎧2k ＋b ＝6，

12k ＋b ＝1.解得⎩⎪⎨

⎪⎧k ＝－12，b ＝7. 则所求一次函数的表达式为y ＝－1

2x ＋7.

(2)设直线AB 与y 轴的交点为P ，点E 的坐标为(0，t)，连接AE ，BE ，则点P 的坐标为(0，7)． ∴PE ＝|t －7|.

∵S △AEB ＝S △BEP －S △AEP ＝5， ∴1

2×|t －7|×(12－2)＝5. ∴|t －7|＝1. 解得t 1＝6，t 2＝8.

∴点E 的坐标为(0，6)或(0，8)．

3．(2016·安徽)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象分别与反比例函数y ＝a

x 的图象在第一象限交于点A(4，3)，与y 轴的负半轴交于点B ，且OA ＝OB. (1)求函数y ＝kx ＋b 和y ＝a

x 的表达式；

(2)已知点C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M ，使得MB ＝MC.求此时点M 的坐标．

解：(1)将A(4，3)代入y ＝a x ，得3＝a

4，∴a ＝12. OA ＝42＋32＝5.

∵OA ＝OB ，且点B 在y 轴负半轴上， ∴B(0，－5)．

将A(4，3)，B(0，－5)代入y ＝kx ＋b ，得 ⎩⎨⎧3＝4k ＋b ，－5＝b.解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝－5.

∴所求函数表达式分别为y ＝2x －5和y ＝12x . (2)∵MB ＝MC ，

∴点M 在线段BC 的中垂线上，即x 轴上． 又∵点M 在一次函数的图象上， ∴M 为一次函数图象与x 轴的交点．

令y ＝0，即2x －5＝0，解得x ＝5

2.

∴点M 的坐标为(5

2，0)．

4．(2016·自贡)如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 和反比例函数y ＝m

x 的图象的两个交点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)观察图象，直接写出方程kx ＋b －m

x ＝0的解； (3)求△AOB 的面积；

(4)观察图象，直接写出kx ＋b －m

x ＜0的解集．

解：(1)∵B(2，－4)在y ＝m

x 上，∴m ＝－8. ∴反比例函数的解析式为y ＝－8

x .

∵点A(－4，n)在y ＝－8

x 上，∴n ＝2.∴A(－4，2)． ∵y ＝kx ＋b 经过A(－4，2)，B(2，－4)， ∴⎩⎨⎧－4k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－4.解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝－2. ∴一次函数的解析式为y ＝－x －2. (2)x 1＝－4，x 2＝2.

(3)设一次函数图象与y 轴交点为C.

∵当x ＝0时，y ＝－2，∴点C(0，－2)．∴OC ＝2. ∴S △AOB ＝S △ACO ＋S △BCO ＝12×2×4＋1

2

×2×2＝6.

(4)－4＜x ＜0或x ＞2.

5．(2016·乐山)如图，反比例函数y ＝k

x 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A(2，2)，B(1

2，n)．

(1)求这两个函数的解析式；

(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位，使平移后的图象与反比例函数y ＝k

x 的图象有且只有一个交点，求m 的值．

解：(1)∵A(2，2)在反比例函数y ＝k

x 的图象上，∴k ＝4. ∴反比例函数的解析式为y ＝4

x .

又∵B(12，n)在反比例函数y ＝4

x 的图象上， ∴1

2n ＝4，解得n ＝8.

由A(2，2)，B(1

2，8)在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2a ＋b ，8＝12a ＋b.解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝10. ∴一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10.

(2)将直线y ＝－4x ＋10向下平移m 个单位得直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m.

∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4

x 有且只有一个交点，

令－4x ＋10－m ＝4

x ，得4x 2＋(m －10)x ＋4＝0. ∴Δ＝(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或18.