电力系统分析

高斯-赛德尔法求节点电压

1.设计目标

在已知的节点导纳矩阵下，告诉部分节点类型及数据，要通过高斯-赛德尔法求出未知的节点电压，通过分析，找到要掌握的问题有以下几点:高斯-赛德尔法到底是什么，通过手算还是软件。

在明白了这些问题后有了大致的方向，我打算通过上网、去图书馆查找相关书籍找相关知识、准备相关软件。

2．设计原理

2.1 高斯-赛德尔迭代法

要掌握著名德国数学家高斯和数学家赛德尔研究出的这种非线性代数方程组的迭代解法，还需要学习德国数学家雅可比研究出的雅可比迭代法，其推导过程如下；

设线性方程组 Ax b = (1) 的系数矩阵A 可逆且主对角线元素1122,,...,nn a a a 均不为零，令1122(,,...)nn D diag a a a =

并将A 分解成 ()A A D D =-+ （2）

从而（1）可写成 ()Dx D A x b =-+

令

11x B x f =+ 其中

111,B D A -=- 11f D b -= 以1B 为迭代矩阵的迭代法（公式） (1)()11k k x B x f +=+ （4） 称为雅可比迭代法，用向量的分量来表示，（4）为 (1)

()11n k k i i ij j j ii j i x b a x a +=≠⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 1,2...,i n =1,1,2...k =

其中

()(0)(0)(0)(0)(0)123,,,...T n x x x x x =为初始向量.

由雅可比迭代公式可知，在迭代的每一步计算过程中是用()k x

的全部分量来计算(1)k x +的所有分量，显然在计算第i 个分量(1)k i x +时，已经计算出的最新分量(1)1k x +,…, (1)1k i x +-没有被利用，从直观的角度看，最新的分量可能比旧的分量要好

些，因此，对这些最新计算出来的第K+1次近似(1)k x +的分量(1)k j x +加以利用，就

得到所谓解方程组的高斯赛德尔迭代法。具体如下:

把矩阵A 分解成 A D L U =-- （6）

其中1122(,,...)nn D diag a a a =，L -，U -分别为A 的主对角元除外的下三角和上三角部分，于是，方程组（1）便可写成 ()D L x Ux b -=+

即

22x B x f =+ 其中

12()B D L U -=-， 12()f D L b -=- （7） 以2B 为迭代矩阵构成的迭代法（公式） (1)()22

k k x B x f +=+ 称为高斯-赛德尔迭代法，用向量表示的形式为

1(1)

(1)()111i n k k k i ii ij j ij j j j i ii x b a x a x a -++==+⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∑∑ 1,2,...,i n = 0,1,2,....k =

收敛判据：

复数模型：错误!未找到引用源。

实数模型：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。

2.2 MTLAB 与MATPOWER

潮流计算经历了一个由手工利用交直流计算到应用数字电子计算机的发展过程，目前常见的潮流计算仿真软件主要有电科院的PASAP ，美国的BPA ，PSS/E 等，但源代码都不公开，所以最佳方案还是基于MATLAB 语言编写的电力潮流计算的软件MATPOWER 。MATPOWER 是一个用MATLAB 的M 文件编写的软件包，由康奈尔大学电力系统工程研究中心开发，最新版本是MATPOWER4.1，浙江大学的甘德强教授在康奈尔工作期间是主要研发人员。

首先在MATPOWER 主页下载相关的压缩文件，解压文件，将解压后文件放到MATLAB 的搜索路径下。实际操作中注意完成以上步骤后要在MATLAB 中的SET PATH 中将MATPOWER 添加到MATLAB 路径中，这步必不可少。

2.3 节点导纳矩阵与节点类型

2.3.1 节点导纳矩阵

节点导纳矩阵以导纳形式描述电力网络节点注入电流和节点电压关系的矩阵。它给出了电力网络连接关系和元件特性的全部信息。

根据基尔霍夫电流定律可写出电力网络中的n 个节点方程式：

....

11112211....21122222....11223......................n n n n n n n n n Y V Y V Y V I Y V Y V Y V I Y V Y V Y V I ⎫++=⎪

⎪++=⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪++=⎭

可用矩阵的形式表示I=YV 。其中，

.1.2....n I I I I ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ .1.2....n V V V V ⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111212122212.....................n n n n nn Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

对角元素ii Y 为节点 i 的自导纳，非对角线ij Y 为节点 i 与节点j 之间的互导纳。

节点导纳矩阵反映了网络的参数及接线情况，因此，节点导纳矩阵可以看成

是对电力网络电气特性的一种数学抽象。由导纳矩阵所联系的节点方程式是电力网络广泛应用的一种数学模型。

节点导纳矩阵的有以下特点：

(1）导纳矩阵是稀疏矩阵。它的对角线元素一般不为零，但在非对角线元素中则存在不少零元素。在电力系统的接线图中，一般每个节点与平均不超过3~4个其他节点有直接的支路连接。因此，在导纳矩阵的非对角线元素中每行仅有3~4个非零元素，其余的都是零元素，而且网络的规模越大，这种现象越显著。

(2) 导纳矩阵为对称矩阵。由网络的互易特性易知ij ji Y Y 。

导纳矩阵的对称性和稀疏性对于应用计算机求解电力系统问题有很大的影响。如果能充分地利用这两个特点，如在程序设计中储存导纳矩阵的对角元素和上三角元素（或下三角元素），排除零元素的储存和运算，就可以大大地节省储存单元和提高计算速度。

2.3.2 节点类型

（1）PQ 节点：PQ 节点指的是该节点的注入有功功率和无功功率是已知的，而该节点的电压幅值和相位是未知的。在电力系统中，各负荷节点、担任基本负荷的发电厂都属于PQ 节点，部分互联电力网的联络节点也可以定义为PQ 节点。

（2）PV 节点：PV 节点指的是节点的注入有功功率和无功功率是已知的，而该节点的无功功率和电压相位是未知的。在电力系统中，具备无功功率调节的节点都可以作为PV 节点，部分互联电力网的联络节点也可以定义为PV 节点。

（3）平衡节点：平衡节点的电压幅值和相位是给定的，而其注入有功功率和无功功率是待求量。平衡节点的A 相电压相位是系统的相位基准，最后计算结果中的所有相位值都是以平衡节点的A 相电压相位作为参考的，所以平衡节点在系统中只能有一个，且必须有一个，它对系统起到功率平衡的作用，可以向系统提供缺损的功率，也可以吸收系统中多余的功率。从理论上讲，平衡节点代表与系统相连的无穷大系统，实际应用中，一般选取系统中的主调频发电厂为平衡节点比较合理，最后计算结果中的平衡节点功率就是此发电厂必须向系统提供的功率。如果系统是与另一更大的电力系统S 相连，则也可以选取这个连接点作为平衡节点，最后计算结果中的平衡节点功率就是系统S 通过平衡节点向系统提