2019-2020学年四川省成都市蓉城名校联盟高一上学期期中数学联考试题(含答案解析)

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四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题(pdf版)

蓉城名校联盟2019~2020学年度上期高中2019级期末联考数学考试时间共120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|15,}A x x x =-≤≤∈N ，{}|28xB x =≤，则A B ⋂=（） A ．{1,0,1,2,3}-B ．{0,1,2,3}C ．[1,3]-D ．[0,3]2.设向量(12,)b n =，(1,2)c =-，若b c ，则n =（）A ．6B ．6-C ．24D ．24-3.已知函数26()3(1)x f x a a -=+>的图象过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则tan θ的值为（） A ．43B ．34C ．45D ．354.设sin48a =︒，cos41b =︒，tan46c =︒，则下列结论成立的是（） A ．b a c << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b c a <<5.函数()2()ln 421f x x x =--的单调递减区间为（） A ．(,2)-∞B ．(,3)-∞-C ．(2,)+∞D ．(7,)+∞6.若12()(lg 1)m f x m x -=+为幂函数，则(3)f =（）A ．9B ．19C D ．37.已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则54f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．1 B ．12C ．0D．28.ABC △中，D 为BC 边上一点，且5BC BD =，若AD mAB nAC =+，则2n m -=（）A ．25B ．35-C ．25-D ．359.已知函数()f x 的定义域为(1,4)，则函数()12()log x g x f x -=+ ）A ．(1,3)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(2,3)10.已知函数()sin(5)(0)f x x ϕϕπ=+为偶函数，则函数1()2cos 23g x x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（） A．[-B ．[1,2]-C ．[2,2]- D．[11.函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（） A ．3B ．2C ．1D ．012.已知函数222,0()|ln |,0x kx k x f x x x ⎧++=⎨>⎩，若关于x 的不等式()f x k 的解集为[,][,]m n a b ⋃，且n a <，127232mn ab k +-<，则实数k 的取值范围为（） A ．54,167⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,87⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．15,88⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．14,27⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若向量(7,5)a =，b 为单位向量，a 与b 的夹角为3π，则a b ⋅=______. 14.已知一个扇形的面积为26cm π，弧长为2cm π，圆心角为θ，则函数()tan(2)f xx θ=+的单调递增区间为______.15.奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 时，()21xf x =-，则()2log 11f =______.16.函数251612()sin (0)236x x f x x x x ππ-+⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的最小值为_______. 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.求下列表达式的值. （1）202ln 2lg5lg (lg31)5e +++-；（2）已知：1sin 2α=，sin cos 0αα⋅<. 求：sin(2)cos()sin()sin 2cos 22παπαπαππαα-+--+⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.18.如图，平行四边形OABC 的一边OA 在x 轴上，点(4,0)A ，(1,2)C ，P 是CB 上一点，且CP CB λ=.（1）当12λ=时，求点P 的坐标；（2）连接AP ，当A 为何值时，OP AP ⊥.19.已知定义在R 上的函数1()(0)1x xa f x a a -=>+. （1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）当2a =时，判断函数()f x 的单调性并加以证明；并求()10f x m +-=在[1,2]-上有零点时，m 的取值范围.20.某同学学习习惯不好，把黑板上老师写的表达式忘了，记不清楚是()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=->> ⎪⎝⎭还是()cos()00,02f x Ax A πωϕωϕ⎛⎫=->> ⎪⎝⎭ .翻出草稿本发现在用五点作图法列表作图时曾算出过一些数据（如下表）.（1）请你帮助该同学补充完表格中的数据，写出该函数的表达式()f x ，并写出该函数的最小正周期；（2）若利用sin y x =的图象用图象变化法作()y f x =的图象，其步骤如下：（在空格内填上合适的变换方法）第一步：sin y x =的图象向右平移ϕ=_____得到1y =_____的图象；第二步：1y 的图象（纵坐标不变）______得到2y =_____的图象；第三步：2y 的图象（横坐标不变）_____得到()f x 的图象. 21.已知：向量(2,)a m m =，(sin cos ,2sin cos )b θθθθ=+. （1）当1m =，2πθ=时，求||a b -及a 与b 夹角的余弦值；（2）若给定sin cos [θθ+∈，0m ，函数()sin cos f a b θθθ=⋅++的最小值为()g m ，求()g m 的表达式.22.已知：函数()f x =()m ∈R .（1）若()f x 的定义域为R ，求m 的取值范围；（2）设函数()()g x f x x =-，若(ln )0g x ，对于任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦总成立.求m 的取值范围.蓉城名校联盟2019~2020学年度上期高中2019级期末联考数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.14.5,212212k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈ 15.511- 16.52三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）原式2ln 2lg5lg2lg51e =++-+2lg5lg21=+++4=（2）1sin 2α=，sin cos 0αα<，cos 0cos αα∴<⇒=原式sin()cos()sin()cos()2sin()ααααα---+=+2cos 3cos 2sin ααα⎛-- -===+ 18.解：设点(,)P x y ，(1,2)C ，(4,0)A又平行四边形OABC ，(4,0)OA CB == 由CP CB λ=，即(1,2)(4,0)x y λ--=14x λ∴=+，2y =（1）当12λ=时，即：3x =，2y = (3,2)P ∴（2）(14,2)OP λ=+，(43,2)AP λ=- 由OP AP ⊥，0OP AP ∴⋅=即(41)(43)40λλ+-+=，216810λλ-+=410λ-=，14λ=19.解：（1）当1a =时，()0f x =，()f x 既为奇函数又为偶函数②当1a ≠时，1()(0)1x x a f x a a -=>+为奇函数证明：1111()()01111x x x xx x x xa a a a f x f x a a a a------+-=+=+=++++ ()f x ∴为奇函数（2）当2a =时，21()21x x f x -=+为增函数证明：任取21x x >，则()()21212121212121x x x x f x f x ---=-++ ()()2121122121222122212121x x x x x x x x x x +++---+-+=++ ()()()21212222121x x x x -=++21x x >，21220x x >>()f x ∴在R 上为增函数21()21x x f x -∴=+在[1,2]-上的值域为：13,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦要使()10f x m +-=在[1,2]-上有零点，则28,35m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦20.解：（1）()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 最小正周期T π=（2）第一步：sin y x =的图象向右平移6πϕ=（个单位长度）得到1sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象. 第二步：1y 的图象（纵坐标不变）横坐标变为原来的12倍得到2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.第三步：2y 的图象（横坐标不变）纵坐标变为原来的3倍得到()f x 的图象 21.解：（1）当1m =，2πθ=时，(2,1)a =，(1,0)b =(1,1)a b -=，||2a b ∴-=2cos ,||||5a b a b a b ⋅<>===⋅（2）()sin cos f a b θθθ=⋅++2(sin cos )2sin cos sin cos m m θθθθθθ=++++令sin cost θθ+=，则22sin cos 1t θθ⋅=-，[t ∈设22()2(21)ht mt mt m t mt m t m =+-+=++-，[t ∈ ①当0m =时，()h t t =，min ()(h t h == ②当0m <时，函数()h t 的对称轴为112t m ⎛⎫=-+⎪⎝⎭（或212m t m+=-）当1102m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭（或2102m m +->），即102m >>-时， min ()((1h t h m ==-当1102m ⎛⎫-+⎪⎝⎭（或2102m m +-），即12m -时，min()1)h t hm ==+1(102()1(12m m g m m m ⎧---<⎪⎪∴=⎨⎪++-⎪⎩22.解：（1）函数()f x 的定义域为R ，即210mx mx -+在R 上恒成立当0m =时，10≥恒成立，符合题意当0m ≠时，必有0040m m >⎧⇒<⎨∆⎩综上：m 的取值范围是[0,4] （2）()()g x f x x x =-=(ln )0g x ∴，对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦总成立，等价于220(ln )ln 1(ln )m x m x x -+在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦总成立即：222(ln )ln 10(ln )ln 1(ln )m x m x m x m x x ⎧-+⎨-+⎩(*)在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立设：ln t x =，因为2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，所以[1,2]t ∈，不等式组(*)化为()()222101m t t m t t t⎧-+⎪⎨-+⎪⎩[1,2]t ∈时，20t t -（当且仅当1t =时取等号） 1t =时，不等式组显然成立当(1,2]t ∈时，()()22222211011m m t t t tt m t t t m t t ⎧⎧-⎪-+⎪⎪⎪-⇒⎨⎨--+⎪⎪⎪⎪-⎩⎩恒成立 2211121124t t t -=--⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，即12m -221111t t t t t t -+==+-在(1,2]上递减，所以11t+的最小值为32，32m 综上所述，m 的取值范围是13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.解析：12.易知当0k >，0x 时，22227()224k f x x kx k x k ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，()f x 的图象如图所示.当直线y k =在图中1l 的位置时，22724k k k <<，得1427k <<， ,m n 为方程2220x kx k k ++-=的两根，即2220x kx k k ++-=的两根，故22mn k k =-；而1ab =则2211327212122232mn ab k k k k k k +-=-+-=-+<，即2644850k k -+<，解得1588k <<，所以1427k <<；当直线y k =在图中2l 的位置时，22k k 且0k >，得102k<；此时0n = 则112712232mn ab k k +-=-<，得51162k <≤.所以，k 的取值范围是54,167⎛⎫⎪⎝⎭.16.2251616()533x x g x xx x -+==+-=+，当4x =时，()3g x =；因为121sin 2362x ππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，所以5()2f x ；而5(4)2f =，所以min 5()2f x =.。

蓉城名校联盟2020～2021学年度上期高一期中联考数学参考答案及评分标准

3
lg 2 lg 3
lg 2 lg 3
233 2
（2）原式
=
27 8
2 3
1 125
2 3
22 5
1
50 2
1
8 27
2
3
2
125 3
2
2 5
1
50 2
1
2 3
2
52
22 5
5
2 1 4 2 1 13
9
9
……5 分 ……10 分
18．（12 分）
（1） A {x x2 5x 4 0} {x 1 x 4} ，B {x 1 2 x 8} {x 1 x 3} ……2 分 2
2
①若
a 2

2 时，即 a
4 时，
f
(x)
在[2, 4]
上单调递增，
fmin
(x)=f
(2)
7
3a
……7 分
②若 a 2
4 ，即 a 8 时，
f
(x) 在[2, 4] 上单调递减，
fmin (x)
f
(4)
19 3a
1……9 分Fra bibliotek③若 2 a 4 ，即 8 a 4 时， f (x) 在 [2, a] 上单调递减，在[ a , 4] 上单调递增
13． 1
14． (, 2] [3, ) 15． (3, 0) (3, )
1 16．[ , 2]
2
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。
17．（10 分）
（1）原式 lg 52 2 lg 23 lg 27 lg 2 3 2(lg 5 lg 2) lg 33 lg 2 3

四川省蓉城名校联盟2020-2021学年第一学期高中2020级高一期中联考数学科解析版

蓉城名校联盟2020～2021学年度上期高中2020级期中联考数学科（学生版）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间为120分钟.2.请将各题答案写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：必修一全部内容.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2=--A ，{}Z 11=∈-≤≤B x x ，则=A B （）A.{}1,0,1-B.{}0,1C.{}1,1-D.{}0,1,22.下列函数与()f x x =是同一函数的是（）A ．2()x f x x=B．()f x =C ．22()log xf x = D ．2log ()2xf x =3.下列函数在(0,)+∞上为增函数的是（）A ．2()f x x =B ．2()f x x=C ．()lg(2)f x x =-D ．()24f x x =-+4.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ,则P 的坐标是（）A.)0,3(B.4,0（）C.(3,1)D.(4,1)5.已知函数3log 2,0,()1,0,3x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩则((2))f f -的值为（）A.4-B.2-C.0D. 26.已知函数)(x f y =的定义域为),1[+∞，则函数xx f x g -+-=41)32()(的定义域为( )A ．]4,1[-B ．)4,1[-C ．]4,2[D ．)4,2[7.已知关于x 的方程0822=+-ax x 的两个实根1x ，2x 满足221>>x x ，则实数a 的取值范围为 ( )A ．)3,22(B ．),2(∞+C ．),22(∞+D ．)3,22(-8.已知函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤满足对于任意的1x ，212()x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦9.已知函数)45(log )(221-+-=x x x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，则m 的取值范围 ( )A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--11.已知函数2(1)1()|4|1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，，，，则关于x 的方程2()()0(03)f x af x a -=<<的所有实数根的和为（）A.3B.6C.9D.1212.已知不等式2112x x --≤的解集为M ，关于x 的不等式210ax x -+>的解集为N ，且M N N ⊆，则实数a的取值范围为（）A ．()0,+∞B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把【答案】填在答题卡中的横线上.13.若{}21,a a ∈，则a = ． 14.不等式236212()2xxx --≥的解集为________． 15.设偶函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(3)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为 16.已知()221x x mf x +=+，若对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()1f x ，()2f x ，()3f x 为某个三角形的三边边长，则实数m 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：（1）2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+（2）()212323313(0.008)3850---⎛⎫⎛⎫+÷-π- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭18.已知集合{}2540A x x x =-+≤，1282x B x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，若R 为全体实数集合．（1）求()AB R；（2）若{}23C x m x m =<≤+，()C AB ⊆，求m 的取值范围．19.已知函数2()3f x x ax a =++-，[]2,4x ∈-. （1）当2a =时，写出函数()f x 的单调区间和值域；（2）求()f x 的最小值()g a 的表达式.20.节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中每立方米的污染物数量为04y mg =，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为1 3.94y mg =．设第n 次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为n y ，可由函数模型 1.5001()5(,*)n b n y y y y b n +=--⨯∈∈R N 给出，其中n 是指改良工艺的次数．（1）求b 的值；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．(参考数据：取lg20.3≈) 21.若函数4()221x f x =-+. （1）判断函数()f x 的单调性并且用定义法证明；（2）若关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解，求实数t 的取值范围. 22.已知函数()42+=x xbf x 为奇函数.（1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）设()()log 44-⎡⎤=+-⎣⎦x x m g x mf x （0>m ，且1≠m ），问是否存在实数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.蓉城名校联盟2020～2021学年度上期高中2020级期中联考数学科（解析版）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间为120分钟.2.请将各题答案写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：必修一全部内容.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2=--A ，{}Z 11=∈-≤≤B x x ，则=A B （）A.{}1,0,1-B.{}0,1C.{}1,1-D.{}0,1,2【答案】 A. 【解析】∵{}{}Z 111,0,1=∈-≤≤=-B x x ，则{}1,0,1=-AB ，故选A.2.下列函数与()f x x =是同一函数的是（）A ．2()x f x x=B ．()f x =C ．22()log xf x =D ．2log ()2xf x =【答案】 C ．【解析】由题意得，()f x x =的定义域为R ，A ：2()x f x x=的定义域为()()-00∞+∞，，，与()f x x =的定义域不一样，排除A ．B ：()f x =R ，但是()f x x =，排除B ，D ：2log ()2xf x =的定义域为()0+∞，，排除D ，所以正确答案选C . 3.下列函数在(0,)+∞上为增函数的是（）A ．2()f x x =B ．2()f x x=C ．()lg(2)f x x =-D ．()24f x x =-+【答案】 A ．【解析】2()f x x =在(0,)+∞上为增函数，A 正确；2()f x x=在(0,)+∞上为减函数，B 错误； ()lg(2)f x x =-为在(2,)+∞上为增函数，C 错误；()24f x x =-+在(0,)+∞上为减函数，D 错误；故选A ．4.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ,则P 的坐标是（）A.)0,3(B.4,0（）C.(3,1)D.(4,1)【答案】 D. 【解析】∵函数()log (0,a f x x a =>且1)a ≠的图像恒过点(1,0)，则令31,x -=得4x =，此时log (3)11a y x =-+=，∴函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)x ≠的图像恒过点P (4,1)，故选D. 5.已知函数3log 2,0,()1,0,3x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩则((2))f f -的值为（）A.4-B.2-C.0D. 2【答案】 C. 【解析】由题意知：21(2)93f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，3((2))(9)log 92220f f f -==-=-=.6.已知函数)(x f y =的定义域为),1[+∞，则函数xx f x g -+-=41)32()(的定义域为( )A ．]4,1[-B ．)4,1[-C ．]4,2[D ．)4,2[【答案】 D 【解析】由题意得⎩⎨⎧>-≥-04132x x ，解得42<≤x ；选D.7.已知关于x 的方程0822=+-ax x 的两个实根1x ，2x 满足221>>x x ，则实数a 的取值范围为 ( )A ．)3,22(B ．),2(∞+C ．),22(∞+D ．)3,22(-【答案】 A 【解析】因为方程有两个不等实根，所以0814)2(2>⨯⨯-=∆a ，解得22>a 或22-<a ；又221>>x x ，所以212x x a +=，所以22>a ，且2232)2(222>--=a a x ，解得3<a ，所以322<<x ，选A. 8.已知函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤满足对于任意的1x ，212()x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B ．【解析】根据题意，对于任意的1212,()x x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->- 成立则函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤在R 上是增函数∴1201(2)1462a a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯+-≤+⎩，解得52,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故选B ．9.已知函数)45(log )(221-+-=x x x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，则m 的取值范围 ( )A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】由0452>-+-x x 得函数)(x f 的定义域为)4,1(，根据复合函数的单调性得⎪⎩⎪⎨⎧≤<<2541x x ，解得251≤<x ，∵函数)(x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，∴]1,[+m m ⊆51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，⎪⎩⎪⎨⎧≤+>2511m m ，解得231≤<m ；选C. 10.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--【答案】A 【解析】∵)(x f 是定义域为R 的偶函数，∴)3(log )3log ()31(log 222f f f =-=，又x y 3=是R 上的增函数，∴3log 13324334<<<--，因为)(x f 在)0(∞+，单调递减，所以)31(log )3()3(24334f f f >>--；选A.11.已知函数2(1)1()|4|1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，，，，则关于x 的方程2()()0(03)f x af x a -=<<的所有实数根的和为（）A.3B.6C.9D.12【答案】C. 【解析】由题可知：函数()f x 为分段函数，则此题可分情况讨论方程根的问题.若1x ≤时，2()(1)f x x =+，代入方程2()()0(03)f x af x a -=<<有42(1)(1)0x a x +-+=. 当1x =-时，()0f x =，则方程恒成立，∴这是方程其中一个根，当1x ≠-时，2()(1)0f x x =+>，∴方程两边可同时除以2(1)x +，则方程变为2(1)0x a +-=，又知03a <<，则该方程有两根，∴方程展开有2210x x a ++-=，由韦达定理得122x x +=-；若1x >时，()|4|f x x =-，代入方程2()()0(03)f x af x a -=<<有2|4||4|0x a x ---=. 当4x =时，()0f x =，则方程恒成立，∴这是方程其中一个根，又|4|0x ->，方程两边可同时除以|4|x -，则方程变为|4|0x a --=，当4x >时，方程为40x a --=，∴=4x a +，∴这是方程其中一个根，当14x <<时，方程为40x a --=，∴=4x a -，∴这是方程其中一个根，综上所述：方程的实根有，1-，1x ，2x ，4，4a +，4a -，则所有实根之和为9，故选C. 12.已知不等式2112x x --≤的解集为M ，关于x 的不等式210ax x -+>的解集为N ，且M N N ⊆，则实数a的取值范围为（）A ．()0,+∞B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】 B ．【解析】()()()213031011221x x x x x x x --⇒⇒--≠--≤≤≤且，故(]1,3M = ∵MN N ⊆，∴M N ⊆，由题意可得：210ax x -+>在(]1,3x ∈上恒成立即21x a x ->在(]1,3x ∈上恒成立，故只需2max1x a x -⎛⎫> ⎪⎝⎭ 22211111124x x x x x -⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当112x =即2x =时，2max 114x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故14a >，故选B ．第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把【答案】填在答题卡中的横线上.13.若{}21,a a ∈，则a = ．【答案】1-．【解析】由题意可知：1a =或21a =，故1a =±.当1a =时，21a a ==不满足元素的互异性，故舍去；当1a =-时，{}{}2,1,1a a =-符合题意.14.不等式236212()2x xx --≥的解集为________．【答案】(][),23,-∞+∞．【解析】不等式236212()2xxx --≥⇔232622x x x --≥，再由函数2x y =在定义域内单调递增，从而可得： ()()(][)22326560230,23,x x x x x x x x -≥-⇒-+≥⇒--≥⇒∈-∞+∞．15.设偶函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(3)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为【答案】()()3,03,-+∞.【解析】由题可知：()f x 是偶函数，且在()0-∞，上为增函数，∴()()f x f x -=，易知()f x 的图象关于y 轴对称， ∴()f x 在()0+∞，上为减函数，又()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=，则有(3)(3)0f f -==， ∴()3,0x ∈-时，()0f x >，0x <，则()0x f x ⋅<， ∴()3,x ∈+∞时，()0f x <，0x >，则()0x f x ⋅<，综上所述：不等式()0x f x ⋅<的解集为()()3,03,-+∞.16.已知()221x x mf x +=+，若对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()1f x ，()2f x ，()3f x 为某个三角形的三边边长，则实数m 的取值范围是_______．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】由题意可得：对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()()()123f x f x f x +>恒成立，只需()()min max 2f x f x > ()2112121x x xm m f x +-==+++， ①当1m =时，()1f x =，满足题意；②当1m >时，()f x 在R 上单调递减，()1f x m <<，故需21m ⨯≥，即12m <≤；③当1m <时，()f x 在R 上单调递增，()1m f x <<，故只需21m ≥，即112m <≤，综上所述，m 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：（1）2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+（2）()212323313(0.008)3850---⎛⎫⎛⎫+÷-π- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）2 （2）139【解析】（1）原式232lg 27lg 23lg3lg 2lg5lg 232(lg5lg 2)323323lg 2lg3lg 2lg3=+-⨯+=+-⨯+=-+=（2）原式222213333227185011251812527--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-=+÷ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22241351213599⎛⎫=+⨯=+-= ⎪⎝⎭4219=+-139=18.已知集合{}2540A x x x =-+≤，1282x B x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，若R 为全体实数集合．（1）求()AB R；（2）若{}23C x m x m =<≤+，()C AB ⊆，求m 的取值范围．【答案】（1）[]3,4；（2）[)1,13,2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦．【解析】(1)由题得：()()254014014x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，即[]1,4A =；同理：131282222x x -≤<⇔≤<，由函数2x y =在定义域内单调递增，可得[)1,3x ∈-．即[)1,3B =-．从而有()[]3,4RAB =．(2)分类讨论集合C 是否为空集． ①当C =∅时，则233m m m ≥+⇒≥；②当C ≠∅时，由()C AB ⊆可得：231341221m m m m m <+⎧⎪⎪+≤⇒-≤≤⎨⎪≥-⎪⎩．综上所述：m 得取值范围为：[)1,13,2m ⎡⎤∈-+∞⎢⎥⎣⎦．19.已知函数2()3f x x ax a =++-，[]2,4x ∈-.（1）当2a =时，写出函数()f x 的单调区间和值域；（2）求()f x 的最小值()g a 的表达式.【答案】（1）[]0,25（2）273,4()3,844193,8a a a g a a a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪+≤⎪⎩. 【解析】（1）当2a =时，2()21f x x x =++，对称轴：1x =-，∴()f x 在[]2,1--上单调递减，在[]1,4-上单调递增.∴min ()(1)0f x f =-=，max ()(4)25f x f ==，故函数的值域为[]0,25.（2）∵2()3f x x ax a =++-的对称轴：2a x =-， ①若22a -≤-时，即4a ≥，()f x 在[]2,4-上单调增，∴min ()(2)73f x f a =-=-； ②若42a -≥时，即8a ≤-，()f x 在[]2,4-上单调减，∴min ()(4)193f x f a ==+； ③若242a -<-<-时，即84a -<<，()f x 在2,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调减，在,42a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调增， ∴2min ()()322a a f x f a =-=--+； ∴综上所述：273,4()3,844193,8a a a g a a a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪+≤⎪⎩．20.节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中每立方米的污染物数量为04y mg =，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为1 3.94y mg =．设第n 次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为n y ，可由函数模型 1.5001()5(,*)n b n y y y y b n +=--⨯∈∈R N 给出，其中n 是指改良工艺的次数．（1）求b 的值；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．(参考数据：取lg20.3≈)【答案】（1） 1.5-.（2）3.【解析】（1）由题意得04y =，1 3.94y =，所以当1n =时， 1.51001()5b y y y y +=--⨯，即 1.53.944(4 3.94)5b +=--⨯，解得 1.5b =-.（2）由（1）得排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为 1.5 1.540.065n n y -=-⨯；所以 1.5 1.540.065.208n n y -=≤-⨯，整理得， 1.5 1.5 1.9250.06n -，即 1.5 1.5532n -，两边同时取常用对数，得5lg32lg 25lg 21.5 1.5lg5lg51lg 2n -==-，将lg20.3=代入，得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-，又因为*n N ∈，所以 2.43n ，所以3n =.综上，至少进行3次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．21.若函数4()221x f x =-+. （1）判断函数()f x 的单调性并且用定义法证明；（2）若关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）减函数；（2）()1,3-.【解析】（1）判断：减函数，证明：任取1x ，2x ，假设12x x <，∴()()212144=222121x x f x f x ---+++()()()12124222121x x x x -=++， ∵12x x <，()()1221210x x ++>，()124220x x -<，∴()()210f x f x -<，∴函数()f x 在定义域上单调递减.（2）函数的定义域为R ，∵22224()22=()212121x x x x f x f x ---⨯⎛⎫-=-==--- ⎪+++⎝⎭， ∴()f x 是奇函数，∵(())(1)0f f x f t +-<，∴()(())1f f x f t <-，又∵()f x 在定义域上单调递减，∴()1f x t >-，所以，存在1()t f x >-，等价于()min 1()t f x >-，又∵()()2,2f x ∈-，()1()1,3f x -∈-∴ 1.t >-22.已知函数()42+=x x b f x 为奇函数. （1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）设()()log 44-⎡⎤=+-⎣⎦x x m g x mf x （0>m ，且1≠m ），问是否存在实数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）1=-b ；（2）32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,；（3）不存在m 满足条件，理由见解析. 【解析】（1）∵函数()42+=x xb f x 的定义域为R ，且为奇函数， ∴()010=+=f b ，解得1=-b .（2）∵()44112222+-===-x x x x x xb f x ， ∴()f x 在R 上单调递增，且()131222-=-=-f . ∵()23202--+<f x kx k ，则()()23212--<-=-f x kx k f ，又函数()f x 在R 上单调递增，则221--<-x kx k 在[]0,1∈x 上恒成立，∴()12141>++-+k x x 在[]0,1∈x 上恒成立，设()()12141=++-+g x x x ，则()()max 312==<g x g k ， ∴实数k 的取值范围为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,. （3）不存在，理由如下，设22-=-x x t ，38,23⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，()()2log 2=-+m h t t mt , ∴220-+>t mt 在38,23⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t 上恒成立， ∴min 2⎛⎫<+ ⎪⎝⎭m t t ，则176<m ，∵1≠m ，则()170,11,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m . 对于二次函数()22=-+d t t mt ，开口向上，对称轴为2=m t ，∴11170,,22212⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ∴对称轴一直位于38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦的左侧，则二次函数()22=-+d t t mt 在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()min 3317224⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭d t d m ，()max 8882329⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭d t d m ，假设存在满足条件的实数m ，则当()0,1∈m 时，由复合函数的单调性判断方法，可知()()2log 2=-+m h t t mt 为减函数， ∴()max 0=h t ，则()()2min min 21=-+=d t t mt ，∴33171224⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭d m ， ∴()160,13=∉m （舍），同理可知，当171,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m 时，73171,246⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭m （舍），综上所述，不存在实数m 满足条件成立.。

2019-2020学年四川省成都市蓉城名校联盟高一上学期期末联考数学试题(解析版)

2019-2020学年四川省成都市蓉城名校联盟高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合{|15,}A x x x =-≤≤∈N ，{}|28xB x =≤，则A B =I （）A ．{1,0,1,2,3}-B ．{0,1,2,3}C ．[1,3]-D ．[0,3]【答案】B【解析】先化简集合A ，B ，再求A B I 即可【详解】由题可知{}{|15,}0,1,2,3,4,5A x x x =-≤≤∈=N {}{}|283xB x x x =≤=≤故A B =I {0,1,2,3} 故选：B 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题2．设向量(12,)b n =r ，(1,2)c =-r ，若//b c r r ，则n =r（）A ．6B ．6-C ．24D ．24-【答案】D【解析】由向量平行的坐标关系求解即可【详解】由()//122124b c n n ⇒⨯=⨯-⇒=-r r故选：D 【点睛】本题考查由向量平行的坐标运算求解参数，属于基础题 3．已知函数26()3(1)x f x a a -=+>的图象过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则tan θ的值为（） A ．43B ．34C ．45D ．35【答案】A【解析】采用整体法和函数图像平移法则即可求解【详解】26()3(1)x f x a a -=+>，令2603x x -=⇒=，则此时0(3)34f a =+=，则函数过定点A ()3,4，则4tan 3A = 故选：A 【点睛】本题考查函数过定点的判断，已知终边上的点求三角函数值，属于基础题 4．设sin 48a =︒，cos41b =︒，tan 46c =︒，则下列结论成立的是（） A ．b a c << B ．c a b << C ．a b c << D ．b c a <<【答案】C【解析】将cos41b =︒转化为sin 49︒，再结合正弦函数的增减性和函数值域，即可求解【详解】n cos41si 49b ︒==︒，因()0,90x ∈︒时，sin y x =为增函数，故1sin 49sin 48b a >=︒>=︒，又tan 46tan 451︒>︒=，故a b c << 故选：C 【点睛】本题考查由三角函数诱导公式和的增减性判断函数值的大小，属于基础题 5．函数()2()ln 421f x x x =--的单调递减区间为（） A ．(,2)-∞ B ．(,3)-∞- C ．(2,)+∞ D ．(7,)+∞【答案】B【解析】先求函数的定义域，再根据复合函数同增异减的性质即可求解【详解】由题可知，()()242107307x x x x x -->⇒-+>⇒>或3x <-，()2()ln 421f x x x =--可看作()2ln ,421f t t t x x ==--，则()f t 为增函数，2421t x x =--，当(),3x ∈-∞-时，t 单调递减，当()7,x ∈+∞时，t 单调递增，根据复合函数的增减性，当(),3x ∈-∞-时，()2()ln 421f x x x =--为减函数故选：B 【点睛】本题考查对数型复合函数的增减区间判断，属于基础题 6．若12()(lg 1)m f x m x -=+为幂函数，则(3)f =（） A ．9 B ．19C ．3D ．3 【答案】C【解析】由幂函数的性质可求参数m 和幂函数表达式，将3x =代入即可求解【详解】12()(lg 1)m f x m x-=+为幂函数，则lg 111m m +=⇒=，则()12f x x =，则(3)3f =，故选：C 【点睛】本题考查幂函数解析式和函数值的求解，属于基础题 7．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则54f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．12C ．0D ．32【答案】D【解析】由最小正周期求参数ω，再代值运算即可【详解】因函数的最小正周期为π，则22T ππωω==⇒=，5573()sin 2,sin 2sin sin 6446332f x x f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：D 【点睛】本题考查由函数的最小正周期求参数，函数具体值的求解，属于基础题8．ABC V 中，D 为BC 边上一点，且5BC BD =，若AD mAB nAC =+uuu r uu u r uuu r，则2n m -=（）A ．25B ．35-C ．25-D ．35【答案】C【解析】以AB u u u r 和AC u u ur 向量为基底向量，将AD u u u r 向量通过向量的加法和减法公式转化为基底向量，即可求解对应参数,m n 【详解】()11415555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，则41,55m n ==，则2422555n m -=-=-故选：C 【点睛】本题考查平面向量基本定理，属于中档题9．已知函数()f x 的定义域为(1,4)，则函数()12()log x g x f x -=+（） A ．(1,3) B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】D【解析】建立不等式组()2log 1,4x ∈且290->x 即可求解【详解】由题可知2291og 0l 4x x -<<>⎧⎨⎩，解得()2,3x ∈，故选：D 【点睛】本题考查具体函数的定义域求法，属于基础题10．已知函数()sin(5)(0)f x x ϕϕπ=+剟为偶函数，则函数1()2cos 23g x x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭在50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A．[- B ．[1,2]-C ．[2,2]-D．[2]【答案】B【解析】由函数为偶函数可得,2k k Z πϕπ=+∈，可求ϕ值，再采用整体法求出123x ϕ-在50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的范围，结合函数图像即可求解值域【详解】因为函数()sin(5)(0)f x x ϕϕπ=+剟为偶函数，故,2k k Z πϕπ=+∈又0ϕπ剟，故2ϕπ=，则()2cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令22,663t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，当23t π=时，函数取得最小值，min 2()2cos 13g x π==-，当0t =时，max ()2cos 02g x ==，故函数的值域为[1,2]- 故选：B 【点睛】本题考查由奇偶性求解参数，在给定区间求解函数值域，属于中档题 11．函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】可采用构造函数形式，令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，采用数形结合法即可求解【详解】由题可知，1x >-，当1x =时，()80f x =-≠，令358()(1)lg(1)350lg(1)311x f x x x x x x x +=-+--=⇒+==+--，令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，画出函数图像，如图：则两函数图像有两交点，故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个故选：B 【点睛】本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题12．已知函数222,0()ln ,0x kx k x f x x x ⎧++⎪=⎨>⎪⎩„，若关于x 的不等式()f x k „的解集为[,][,]m n a b ⋃，且n a <，127232mn ab k +-<，则实数k 的取值范围为（）A ．54,167⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,87⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．15,88⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．14,27⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】易知0k >，由表达式画出函数图像，再分类讨论y k =与函数图像的位置关系，结合不等关系即可求解【详解】易知当0k >，0x „时，22227()224k f x x kx k x k ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ()f x 的图象如图所示.当直线y k =在图中1l 的位置时，22724k k k <<，得1427k <<， ,m n 为方程2220x kx k k ++-=的两根，即2220x kx k k ++-=的两根，故22mn k k =-；而1ab =则2211327212122232mn ab k k k k k k +-=-+-=-+<，即2644850k k -+<，解得1588k <<，所以1427k <<；当直线y k =在图中2l 的位置时，22k k „且0k >，得102k <„；此时0n = 则112712232mn ab k k +-=-<，得51162k <≤. 所以，k 的取值范围是54,167⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题二、填空题13．若向量a =r ，b r 为单位向量，a r 与b r 的夹角为3π，则a b ⋅=r r ______.【解析】由a =r求出模长，再由向量的数量积公式求解即可【详解】由题可知，a ==r 1cos 132a b a b π⋅=⋅⋅=⨯=r r r r【点睛】本题考查向量数量积的计算，属于基础题14．已知一个扇形的面积为26cm π，弧长为2cm π，圆心角为θ，则函数()tan(2)f x x θ=+的单调递增区间为______.【答案】5,212212k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈ 【解析】由已知先求出圆心角，再采用整体代入法即可求解【详解】由1126622S l r r r ππ=⋅=⨯⨯=⇒=，则263l r ππθ===，则()tan(2)tan(2)3f x x x πθ=+=+，令2,,322x k k k Z πππππ⎛⎫+∈-++∈⎪⎝⎭，解得5,212212k k x ππππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈故答案为：5,212212k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈ 【点睛】本题考查扇形的弧长域面积公式的基本应用，整体法求解正切函数的单调区间，属于基础题15．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 剟时，()21x f x =-，则()2log 11f =______.【答案】511-【解析】易得函数周期为4，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数为奇函数可得222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由01x 剟时，()21x f x =-即可求解【详解】()()(2)()4(2)4f x f x f x f x f x T +=-⇒+=-+=⇒=，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又222111616log log log 161111f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，[]216log 0,111∈，则216log 112165log 211111f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：511- 【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题16．函数251612()sin (0)236x x f x x x x ππ-+⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的最小值为_______. 【答案】52【解析】可拆分理解，构造251616()5x x g x x x x -+==+-，由对勾函数可得4x =时取得最小值，又当4x =时，12sin 236x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭也取到最小值，即可求解【详解】令251616()5x x g x x x x-+==+-，由对勾函数性质可知当4x =时，min ()3g x =；因为121sin 2362x ππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭…，当4x =时，121sin 2362x ππ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，所以当4x =时，()f x 取到最小值，5(4)2f =，所以min 5()2f x =. 故答案为：52【点睛】本题考查函数最值的求解，拆分构造函数是解题关键，属于中档题三、解答题17．求下列表达式的值. （1）202ln 2lg5lg (lg31)5e +++-；（2）已知：1sin 2α=，sin cos 0αα⋅<. 求：sin(2)cos()sin()sin 2cos 22παπαπαππαα-+--+⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【答案】（1）4；（2）3【解析】（1）结合对数的运算性质求解即可；（2）由条件判断α为第二象限的角，再结合同角三角函数和诱导公式化简求值即可【详解】（1）原式2ln 2lg5lg2lg51e =++-+2lg5lg21=+++4=（2）1sin 2α=Q ，sin cos 0αα<，cos 0cos αα∴<⇒= 原式sin()cos sin cos 2sin ααααα--+=+2cos 3cos 2sin 22ααα⎛-- -===+ 【点睛】本题考查对数式的化简求值，同角三角函数的基本求法，诱导公式的应用，属于基础题18．如图，平行四边形OABC 的一边OA 在x 轴上，点(4,0)A ，(1,2)C ，P 是CB 上一点，且CP CB λ=u u u r u u u r.（1）当12λ=时，求点P 的坐标；（2）连接AP ，当λ为何值时，OP AP ⊥. 【答案】（1）(3,2)P ；（2）14【解析】利用平行四边形性质可得OA CB =u u u r u u u r ，结合CP CB λ=u u u r u u u r可得(1,2)(4,0)x y λ--=，（1）将12λ=代入即可求解；（2）利用0OP AP OP AP ⊥⇔⋅=u u u r u u u r，求解关于λ的一元二次方程即可；【详解】设点(,)P x y ，(1,2)C Q ，(4,0)A又平行四边形OABC ，(4,0)OA CB ==u u u r u u u r由CP CB λ=u u u r u u u r，即(1,2)(4,0)x y λ--=14x λ∴=+，2y =（1）当12λ=时，即：3x =，2y = (3,2)P ∴（2）(14,2)OP λ=+u u u r ，(43,2)AP λ=-u u u r由OP AP ⊥，0OP AP ∴⋅=u u u r u u u r即(41)(43)40λλ+-+=，216810λλ-+=410λ-=，14λ=【点睛】本题考查由向量的平行与垂直求解对应点坐标和参数问题，属于基础题19．已知定义在R 上的函数1()(0)1x x a f x a a -=>+.（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）当2a =时，判断函数()f x 的单调性并加以证明；并求()10f x m +-=在[1,2]-上有零点时，m 的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）增函数，证明见解析；28,35m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）需进行分类讨论，当1a =时和当1a ≠时两种情况，结合奇偶函数定义即可判断；（2）结合增函数定义即可求解【详解】解：（1）当1a =时，()0f x =，()f x 既为奇函数又为偶函数②当1a ≠时，1()(0)1x x a f x a a -=>+为奇函数证明：1111()()01111x x x xx x x xa a a a f x f x a a a a ------+-=+=+=++++ ()f x ∴为奇函数（2）当2a =时，21()21x x f x -=+为增函数证明：任取21x x >，则()()21212121212121x x x x f x f x ---=-++ ()()2121122121222122212121x x x x x x x x x x +++---+-+=++ ()()()21212222121x x x x -=++21x x >Q ，21220x x >> ()f x ∴在R 上为增函数21()21x xf x -∴=+在[1,2]-上的值域为：13,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦要使()10f x m +-=在[1,2]-上有零点，则28,35m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查函数奇偶性与增减性的判断与证明，属于中档题20．某同学学习习惯不好，把黑板上老师写的表达式忘了，记不清楚是()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=->> ⎪⎝⎭剟还是()cos()00,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=->> ⎪⎝⎭剟.翻出草稿本发现在用五点作图法列表作图时曾算出过一些数据（如下表）.（1）请你帮助该同学补充完表格中的数据，写出该函数的表达式()f x ，并写出该函数的最小正周期；（2）若利用sin y x =的图象用图象变化法作()y f x =的图象，其步骤如下：（在空格内填上合适的变换方法）第一步：sin y x =的图象向右平移ϕ=_____得到1y =_____的图象；第二步：1y 的图象（纵坐标不变）______得到2y =_____的图象；第三步：2y 的图象（横坐标不变）_____得到()f x 的图象. 【答案】（1）填表见解析；()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；T π=；（2）详见解析；【解析】（1）结合5点作图法原理即可快速求解，可判断函数周期为π，即2ω=，当0x ωϕ-=时，函数值为0，可判断为正弦函数，再将具体点坐标代入即可求出对应ϕ值；（2）由（1）知，()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合函数图像平移法则即可求解；【详解】 1）由对应关系可知，函数最小正周期为T π=，故2ω=，3A =，将12x π=代入()()3sin 2f x x ϕ=-可得sin 2012πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，又02πϕ剟，故6π=ϕ，故函数表达式为()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小正周期T π=（2）第一步：sin y x =的图象向右平移6π=ϕ（个单位长度）得到1sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.第二步：1y 的图象（纵坐标不变）横坐标变为原来的12倍得到2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.第三步：2y 的图象（横坐标不变）纵坐标变为原来的3倍得到()f x 的图象【点睛】本题考查五点代入法的具体应用，函数解析式的求法，函数图像平移法则的具体应用，属于中档题21．已知：向量(2,)a m m =r ，(sin cos ,2sin cos )b θθθθ=+r.（1）当1m =，2πθ=时，求||a b -r r 及a r 与b r夹角的余弦值；（2）若给定sin cos [θθ+∈，0m …，函数()sin cos f a b θθθ=⋅++r r的最小值为()g m ，求()g m 的表达式.【答案】（1）||a b -=r r；（2）1(102()1(12m m g m m m ⎧--<⎪⎪=⎨⎪++-⎪⎩„„【解析】（1）当1m =，2πθ=时，求得(2,1)a =r，(1,0)b =r ，结合模长和夹角公式即可求解；（2）先化简得()2(sin cos )2sin cos sin cos f m m θθθθθθθ=++++，采用换元法令sin cos t θθ+=，设2()(21)h t mt m t m =++-，再分类讨论0m =和0m <时对应表达式，再结合对称轴与定义域关系可进一步求解；【详解】（1）当1m =，2πθ=时，(2,1)a =r，(1,0)b =r(1,1)a b -=r r，||a b ∴-=r rcos ,||||a b a b a b ⋅<>===⋅r rr r r r （2）()sin cos f a b θθθ=⋅++r r2(sin cos )2sin cos sin cos m m θθθθθθ=++++令sin cos t θθ+=，则22sin cos 1t θθ⋅=-，[t ∈ 设22()2(21)h t mt mt m t mt m t m =+-+=++-，[t ∈ ①当0m =时，()h t t =，min ()(h t h == ②当0m <时，函数()h t 的对称轴为112t m ⎛⎫=-+⎪⎝⎭（或212m t m+=-）当1102m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭（或2102m m +->），即102m >>-时，min ()((1h t h m ==--当1102m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭„（或2102m m +-„），即12m -„时，min ()1)h t h m ==1(102()1(12m mg mm m⎧---<⎪⎪∴=⎨⎪++-⎪⎩„„【点睛】本题考查向量坐标的模长公式和角角公式求解，三角换元法在三角函数中的应用，含参二次函数在给定区间最值的求法，属于难题22．已知：函数()f x=，()m∈R.（1）若()f x的定义域为R，求m的取值范围；（2）设函数()()g x f x x=-，若(ln)0g x„，对于任意2,x e e⎡⎤∈⎣⎦总成立.求m的取值范围.【答案】（1）[0,4]；（2）13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）分类讨论，当参数0m=时，10≥恒成立，符合题意；当参数0m≠时，满足m>⎧⎨∆⎩„，解不等式组即可；（2）将不等式等价转化为222(ln)ln10(ln)ln1(ln)m x m xm x m x x⎧-+⎨-+⎩…„在2,x e e⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，令lnt x=，不等式组化为()()222101m t tm t t t⎧-+⎪⎨-+⎪⎩…„，[1,2]t∈，再采用分离参数法，通过求解关于t的函数最值，进而求解参数m范围【详解】（1）函数()f x的定义域为R，即210mx mx-+…在R上恒成立，当0m=时，10≥恒成立，符合题意当0m≠时，必有04mm>⎧⇒<⎨∆⎩„„综上：m的取值范围是[0,4]（2）()()g x f x x x=-=Q(ln)0g x∴„，对任意2,x e e⎡⎤∈⎣⎦总成立，等价于220(ln)ln1(ln)m x m x x-+剟在2,x e e⎡⎤∈⎣⎦总成立即：222(ln )ln 10(ln )ln 1(ln )m x m x m x m x x ⎧-+⎨-+⎩…„(*)在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立设：ln t x =，因为2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，所以[1,2]t ∈，不等式组(*)化为()()222101m t t m t t t⎧-+⎪⎨-+⎪⎩…„[1,2]t ∈时，20t t -…（当且仅当1t =时取等号）1t =时，不等式组显然成立当(1,2]t ∈时，()()22222211011m m t t t tt m t t t m t t ⎧⎧-⎪-+⎪⎪⎪-⇒⎨⎨--+⎪⎪⎪⎪-⎩⎩……„„恒成立 2211121124t t t -=--⎛⎫--+⎪⎝⎭„，即12m - (22)1111t t t t t t-+==+-在(1,2]上递减，所以11t +的最小值为32，32m „ 综上所述，m 的取值范围是13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查由具体函数定义域范围求解参数范围，由不等式恒成立求解参数取值范围，分离参数法的应用，转化与化归能力，计算能力，属于难题。

2019-2020学年四川省成都市高一上学期期中数学试题

2019-2020学年四川省成都市外国语学校高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．函数121()log 1f x x =+的图象大致是（） A. B. C. D.【答案】D【解析】根据函数定义域,可排除AB 选项,由复合函数单调性可排除C 选项,即可确定正确选项. 【详解】函数121()log 1f x x =+ 则定义域为101x >+,解得1x >-,所以排除A 、B 选项因为12()log f x x =为单调递减函数, 1()1f x x =+在1x >-时为单调递减函数由复合函数单调性可知121()log 1f x x =+为单调递增函数,所以排除C 选项综上可知,D 为正确选项故选:D本题考查了根据函数解析式判断函数图像,注意从定义域、单调性、奇偶性、特殊值等方面对比选项,即可得正确答案,属于基础题.3．函数1()ln23f x x x=+-的零点所在区间为（）A.(2,)eB.(3,4)C.(,3)e D.(1,2)【答案】C【解析】根据零点存在定理,即可判断零点所在的区间.【详解】函数1 ()ln23f x x x=+-则11()ln21033f e e e e=+-=-<1(3)ln332ln3103f=+⨯-=->根据零点存在定理可知,在(,3)e内必有零点.而函数1()ln23f x x x=+-单调递增且连续,仅有一个零点.所以零点只能在(,3)e内.故选:C【点睛】本题考查了函数零点的判断,零点存在定理的简单应用,属于基础题.4．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A.①B.①②C.①③D.①②③【解析】由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，结合丙图中直线的斜率解答．【详解】由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．【点睛】数形结合是解决此题的关键，本题关键是抓住斜率为解题的突破口． 5．已知123515,12,3x og y og z -===，则下列关系正确的是（）A.x y z >>B.y x z >>C.z y x >>D.x z y >>【答案】D【解析】根据对数函数及指数函数的单调性,选取中间值即可比较大小. 【详解】根据对数函数及指数函数的图像和性质可知:331513x og og =>,所以1x >50121y og og <=<所以102y << 11221131233z -⎛⎫<===< ⎪⎝⎭所以x z y >> 故选:D 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的性质,中间值法比较大小的应用,属于基础题. 6．函数23()()2xf x x =-的零点的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】画出函数图像,根据两个函数图像的交点个数即可判断零点个数. 【详解】函数23()()2xf x x =-的零点即为23()()02x f x x =-=,所以232xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭= 画出两个函数图像如下图所示:根据图像及指数函数的增长趋势，可知两个函数有3个交点,所以函数23()()2xf x x =-有3个零点故选:C 【点睛】本题考查了函数零点个数的判断,画出函数图像是常见的判断方法,属于基础题.7．方程()24250x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()0,2内，则m 的取值范围是（） A.5,53⎛⎫ ⎪⎝⎭B.7,53⎛⎫-⎪⎝⎭C.()5,5,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D.5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设()()2f 425x x m x m =+-+-，又方程()24250x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()0,2内，∴()()()100020f f f ⎧->⎪<⎨⎪>⎩即()()425050162250m m m m m ⎧--+->⎪-<⎨⎪+-+->⎩解得：7m 53-<<故选：B8．若数()2)3f x x =+，且(log 2019)5a f =，则1(log )2019a f =（）A.5-B.4C.3D.1【答案】D【解析】将函数变形为())3ln 2f x x -=,可知右端为奇函数,根据奇函数性质即可求得1(log )2019a f 的值. 【详解】将函数变形为())3ln2f x x -=令())ln 2g x x = 则())ln 2g x x -=所以()()))ln 2ln 2g x g x x x +-=+()22ln 144ln10x x =+-==即()()g x g x -=- 所以())ln2g x x =为奇函数因为()log 20195a f =,()1log log 20192019a a f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以由())3ln2f x x -=代入可得()()log 20193log 2019a a f g -= ()()log 20193log 2019a a f g --=-两式相加可得()()()()log 20193log 20193log 2019log 20190a a a a f f g g -+--=-+=所以()()log 20196log 2019651a a f f -=-=-= 即()1log log 201912019aa f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭本题考查了奇函数的性质及简单应用,对数式的化简技巧,属于基础题. 9．已知函数2()|l g |,(2)f x o x x =≤,若a b ，且()()f a f b =，则+a b 的取值范围是（） A.5(1,]2B.5(2,]2C.(2,)+∞D.[1,2]【答案】B【解析】画出函数的图像,根据图像分析出a b 、的取值范围,即可求得+a b 的范围. 【详解】因为函数()()2log ,2f x x x =≤ 画出函数图像如下图所示:因为()()f a f b =且a b ,不妨设a b <当()2log 1f x x ==时,2x =或12x = 所以1122a b ≤<<≤ 因为()()f a f b =即22log log a b =,去绝对值可得22log log a b -= 所以22log log 0a b +=,根据对数运算得2log 0ab = 即1ab = 所以1a b a a+=+因为1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,由对勾函数的图像与性质可知则52,2a b ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦本题考查了对数函数的图像与性质,对数求值的简单应用,属于基础题.10．已知max{,}a b 表示,a b 两数中的最大值，若|||2|()max{,}x x f x e e +=，则()f x 的最小值为（） A.e B.1C.2eD.2【答案】A【解析】根据题意画出两个函数图像,取得最大值的最小值即可. 【详解】根据函数|||2|()max{,}x x f x e e+=,画出2(),()x x f x e f x e +==图像如下图所示:取最大值后函数图像为:由图像可知,当1x =-时取得最小值,即112()f x e e e --+===故选:A 【点睛】本题考查了函数图像的画法,取大、取小函数的求值,利用图像法分析是常用方法,属于中档题.11．给出下列命题，其中正确的命题的个数（） ①函数()122log 23y x x =-+图象恒在x 轴的下方；②将2x y =的图像经过先关于y 轴对称，再向右平移1个单位的变化后为12x y -=的图像；③若函数()()22log 21f x x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是()1,1-；④函数()xf x e =的图像关于y x =对称的函数解析式为ln .y x =A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】对于①根据复合函数的单调性求得最值即可判断; 对于②根据函数图像的翻折、平移变化即可判断;对于③根据对数函数值域为R 时,判别式满足的条件,即可求得a 的取值范围; 对于④根据关于y x =对称的函数互为反函数,求得反函数即可判断. 【详解】对于①函数()()112222log 23log 12y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦,由复合函数的单调性判断方法可知,函数在1x <时单调递增,在1x >时单调递减.即在1x =处取得最大值. 所以1max 2log 21y ==-,所以函数图像恒在x 轴的下方,所以①正确;对于②2x y =的图像经过先关于y 轴对称,可得2xy -=;再向右平移1个单位可得()111222x x x y ---+-===,所以②正确;对于③函数()()22log 21f x x ax =-+的值域为R ,则满足()221g x x ax =-+能取到所有的正数.即满足()2240a ∆=--≥,解不等式可得1a ≥或1a ≤-,所以③错误.对于④函数()xf x e =的图像关于y x =对称的函数为()xf x e =的反函数,根据指数函数与对数函数互为反函数可知,其反函数为()ln f x x =,所以④正确.综上可知,正确的有①②④ 故选:C 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,函数图像的平移变换和反函数的概念,综合性强,属于中档题.12．若函数9()log (91)2xxf x =+-，则使不等式()0f x m -≤有解时，实数m 的最小值为（）A.0B.3log 2-C.3log 2D.3log 【答案】D【解析】根据对数运算,将函数解析式变形化简,结合打勾函数的图像与性质即可求得函数的最大值,进而求得实数m 的最小值. 【详解】函数()()9log 912xx f x =+-由对数运算化简可得()()299log 91log 9xxf x =+-()99log 91log 3x x =+-99911log log 333x x x x+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭由对勾函数的图像与性质可知9931log 3log 2log 3x x⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭因为不等式()0f x m -≤有解所以()min f x m ≤即3log m ≤所以实数m 的最小值为3log 故选:D 【点睛】本题考查了对数的运算化简,对勾函数的图像与性质的应用,不等式有解的解法,属于中档题.二、填空题13．函数log (25)1a y x =--恒过定点的坐标为__________. 【答案】()3,1-【解析】根据对数函数的图像与性质即可求得函数过定点的坐标. 【详解】函数log (25)1a y x =--当3x =时, log (235)11a y =⨯--=- 所以定点坐标为()3,1- 故答案为: ()3,1- 【点睛】本题考查了对数函数的图像与性质,对数函数过定点的求法,属于基础题. 14．若5(21)2x f x x -=+，则(3)f -=________. 【答案】12-【解析】根据函数解析式求法,先求得()f x 的解析式,再代入求值即可. 【详解】因为函数()5212xf x x -=+令21x t -= 则12t x +=所以()512122t t f t ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 即()512122x x f x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()53123111321222f -+-+⎛⎫-=+=-+=- ⎪⎝⎭故答案为:12- 【点睛】本题考查了函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.15．若函数12()2xx m f x n +-=+是奇函数．则实数m n +=_______. 【答案】3±【解析】根据奇函数()()f x f x -=-,即可求得mn 、的值,进而得m n +的值. 【详解】函数()122xx m f x n +-=+是奇函数所以满足()()f x f x -=-,即112222x xx x m m n n --++--=-++ 化简后可得()()()22222220xx n m mn n m -+-⋅+-=因为对于任意x 上式恒成立,所以满足2020n m mn -=⎧⎨-=⎩解方程可得12m n =⎧⎨=⎩或12m n =-⎧⎨=-⎩ 所以3m n +=± 故答案为: 3± 【点睛】本题考查了奇函数的性质及简单应用,注意方程恒成立的条件,不要漏解,属于中档题.16．已知函数3,()8log ,a x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩若存在实数12,,x x 且12x x ≠使得函数12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围为_________.【答案】()()0,12,⋃+∞【解析】讨论对数函数的底数a 的两种情况:01,1a a <<>.画出图像即可研究存在不相等实数12,,x x 使函数12()()f x f x =成立的情况. 【详解】当01a <<时,函数3,()8log ,a x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩的图像如下图所示:所以此时存在实数12x x ≠使得12()()f x f x =恒成立, 当1a >时,函数图像如下图所示:若存在实数12x x ≠使得12()()f x f x =恒成立, 则38log a a a >,解不等式可得2a >综上可知, 实数a 的取值范围为01a <<或2a > 故答案为: ()()0,12,⋃+∞ 【点睛】本题考查了分段函数图像的综合应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.三、解答题17．已知全集U =R ，集合{|20}A x x a =+>，集合B 是()log ()f x x 12=2+1义域.（1）当2a =时，求集合A B ；（2）若()U BC A B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,02⎛⎤-⎥⎝⎦（2）(],0-∞ 【解析】（1）代入a 的值,可得集合A,根据对数的图像与性质求得集合B,进而求得集合A B .（2）根据集合关系可知U B C A ⊆,即B 为U C A 的子集,根据包含关系即可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为2a = 则{|1}A x x =>-根据对数图像与性质可知()f x =1{|0}2B x x =-<≤所以{}1|1|01,022x A B x x x ⎧⎫>--<≤=⎨⎛⎤=- ⎥⎝⎩⎭⎦⎬（2）解不等式可得|2a A x x -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭所以|2U a C A x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭,1{|0}2B x x =-<≤ 因为()U BC A B =所以U B C A ⊆ 所以02a-≥,即0a≤ 实数a 的取值范围为(],0-∞【点睛】本题考查了集合与集合的关系,集合的交集与补集运算,属于基础题. 18．求下列各式的值（1）2311log 222)22(21(2)3[(1]log 4-+-++；（2）已知11223a a-+=，求332222a a a a --++值.【答案】（1）53 （2）1847【解析】（1）由指数幂及对数的运算,化简即可求解. （2）根据完全平方公式及立方和公式,化简即可求值. 【详解】（1）根据指数幂与对数的运算,化简可得(()231122log 22221231log 4-+⎛⎫⎡⎤-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭)()233112229log 2222331log 2-⨯+⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦)(()31log 92222312log 33⨯=-+2323=--+ 53= （2）因为11223a a -+=两边同时平方可得129a a -++= 所以17a a -+=由立方和公式及完全平方公式化简可得332222a a a a --++ ()()111222112a a a a a a ---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=+- ()()2371184772⨯-==- 【点睛】本题考查了指数幂及对数的化简求值,完全平方公式及立方和公式的应用,对计算要求较高,属于基础题.19．设函数()3,()9x x g x h x ==（1）解关于x 的方程()11()2(1)0h x g x h -+=；（2）令()F x =求1220182019()()()()2020202020202020F F F F ++++的值. 【答案】（1）2x =或3log 2x =（2）20192【解析】（1）根据题意,将()()3,9xxg x h x ==代入原方程化简可得关于x 的方程,利用换元法令3x t =,转化为关于t 的一元二次方程,解方程即可求得x 的值. （2）根据解析式,分析并计算可知()()1F x F x +-为定值,即可求值. 【详解】（1）因为函数()()3,9xxg x h x ==代入()()()11210h x g x h -+=可得9113290x x -⨯+⨯= 令3x t =则211180t t -+= 解得2t =或9t = 即32x =或39x = 解得2x =或3log 2x =（2）根据题意()xg xF x ==则()11x F x --==所以()()11x F x F x +-== 且1212131223F ⎛⎫==⎪⎝⎭+ 所以1220182019()()()()2020202020202020F F F F ++++ 12019220181009101110102020202020202020202020202020F F F F F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112=+++++20192=【点睛】本题考查了根据函数解析式求值,函数性质的分析及应用,指数幂的化简求值,属于基础题.20．已知函数222()()mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(2)f f >.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）若()log [()5](0,a g x f x ax a =-+>且1a ≠）,是否存在实数a ，使得()g x 在区间[1,2]上为减函数.【答案】（1）2m =或0m =,()2f x x =（2）存在;()90,14,2a ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭【解析】（1）根据函数()f x 为偶函数,且(3)(2)f f >可知2220m m -++>且222m m -++为偶数,即可求得m 的值,进而确定()f x 的解析式.（2）将（1）所得函数()f x 的解析式代入即可得()g x 的解析式.根据复合函数单调性对底数a 分类讨论,即可求得()g x 在区间[1,2]上为减函数时实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为(3)(2)f f >则2220m m -++>,解不等式可得11m <<+ 因为m Z ∈则0m =或1m =或2m = 又因为函数()f x 为偶函数所以222m m -++为偶数当0m =时, 2222m m -++=,符合题意当1m =时, 2223m m -++=,不符合题意,舍去当2m =时, 2222m m -++=,符合题意综上可知, 0m =或2m = 此时()2f x x =（2）存在.理由如下:由（1）可得()2f x x =则()()2log 5a g x x ax =-+(0,a >且1)a ≠当01a <<时,根据对数函数的性质可知对数部分为减函数.根据复合函数单调性判断方法可知, ()25h x x ax =-+在[]1,2上为增函数且满足()0h x >在[]1,2上恒成立即()01121150a a h a <<⎧⎪-⎪-≤⎨⎪=-+>⎪⎩解不等式组得01a << 当1a <时,根据对数函数的性质可知对数部分为增函数.根据复合函数单调性判断方法可知, ()25h x x ax =-+在[]1,2上为减函数且满足()0h x >在[]1,2上恒成立即()12224250a ah a <⎧⎪-⎪-≥⎨⎪=-+>⎪⎩解不等式组得942a ≤<综上可知,当01a <<或942a ≤<时, ()g x 在[]1,2上为减函数所以存在实数()90,14,2a ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭,满足()g x 在[]1,2上为减函数【点睛】本题考查了幂函数的定义及性质,复合函数单调性的判断及应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.21．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若对于任意的,[1,1]a b ∈-且0,a b +≠有()()0f a f b a b+>+恒成立.（1）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并证明你的结论；（2）若函数()[24]1xxF x f a =⋅++有零点,求实数a 的取值范围.【答案】（1）增函数;证明见解析. （2）(],2-∞- 【解析】（1）在定义域内任取12,x x ,代入()f x 作差,结合()()0f a f b a b+>+即可证明单调性.（2）根据零点的定义, 结合奇函数性质即可转化为关于x 的方程,通过分离参数将方程转化为对勾函数,即可求得a 的取值范围.【详解】（1）函数()f x 在[]1,1-上单调递增. 证明:因为()f x 定义在[]1,1-上的奇函数则()()f x f x -=-任取[]12,1,1x x ∈-,且21x x > 则()()()()()21212121=f x f x f x f x x x x x ----()()()()212121+=+f x f x x x x x ---因为0a b +≠时有()()0f a f b a b+>+恒成立.210x x ->所以()()210f x f x ->,即()()21f x f x > 所以()f x 在[]1,1-上单调递增（2）因为()f x 定义在[]1,1-上的奇函数,且()11f = 所以()11f -=-若函数()()241xxF x f a =⋅++有零点即()241x xf a ⋅+=-有解所以241x x a ⋅+=-有解即可.则411222x x xx a +⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ 因为1222xx所以2a ≤- 即(],2a ∈-∞- 【点睛】本题考查了用定义证明函数的单调性,函数零点的综合应用,对勾函数求参数取值范围的方法,属于中档题.22．已知函数2()(0,1)x xa tf x a a a+=>≠是奇函数．（1）求实数t 的值；（2）若(1)0f <，对任意[0,1]x ∈有21(2)f x kx k a a-->-恒成立，求实数k 取值范围；（3）设22()log [()],(0,1)xx m g x aa mf x m m -=+->≠,若3(1)2f =，问是否存在实数m 使函数()g x 在2[1,log 3]上的最大值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）1t =- （2）3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（3）不存在,理由见解析. 【解析】（1）根据定义域为R 且为奇函数可知, (0)0f =代入即可求得实数t 的值. （2）由（1）可得函数()f x 的解析式,并判断出单调性.根据1(1)f a a-=-将不等式转化为关于x 的不等式,结合[0,1]x ∈时不等式恒成立,即可求得实数k 取值范围；（3）先用()f x 表示函数()g x .根据3(1)2f =求得()f x 的解析式,根据单调性利用换元法求得()f x 的值域.结合对数的定义域,即可求得m 的取值范围.根据对数型复合函数的单调性,即可判断在m 的取值范围内能否取到最大值0. 【详解】（1）函数2()(0,1)x xa tf x a a a+=>≠的定义域为R,且为奇函数所以(0)0f =,即10t += 解得1t =-（2）由（1）可知当1t =-时, 21()x x xxa f x a a a--==- 因为(1)0f <,即10a a-<(0)a > 解不等式可得01a << 所以()xxf x a a-=-在R 上单调递减,且1(1)f a a-=-所以不等式21(2)f x kx k a a-->-可转化为()2(2)1f x kx k f -->- 根据函数()xxf x a a -=-在R 上单调递减所不等式可化为221x kx k --<-即不等式221x kx k --<-在[0,1]x ∈恒成立所以2211x k x +<+[0,1]x ∈恒成立化简可得()322121x k x ⎛⎫⎪++-< ⎪+⎪⎝⎭由打勾函数的图像可知,当1x =时,()max33221212x x ⎛⎫⎪++-= ⎪+⎪⎝⎭ 所以32k >（3）不存在实数m .理由如下:22()log ()x xm g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦ 2log ()()2m f x mf x ⎡⎤=-+⎣⎦因为3(1)2f =(0)a > 代入可得132a a -=,解得2a =或12a =-(舍) 则()22xxf x -=-,令()22xxt f x -==-,易知()f x 在R 上为单调递增函数所以当[]21,log 3x ∈时, ()131222f -=-=,()22log 3log 328log 3223f -=-= 则38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦根据对数定义域的要求,所以()2()log 2m g t t mt =-+满足220t mt -+>在38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立即2min2t m t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭在38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立令()2h t t t =+,38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以min 33417()2236h x h ⎛⎫==+=⎪⎝⎭,即176m < 又因为0,1m m >≠所以()170,11,6m ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭对于二次函数()22d t t mt =-+,开口向上,对称轴为2m t =因为()170,11,6m ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭所以11170,,22212m ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以对称轴一直位于38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦的左侧,即二次函数()22d t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增所以()min 3317224d x d m ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭,()max 8882339d x d m ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭假设存在满足条件的实数m ,则:当()0,1m ∈时, 由复合函数单调性的判断方法，可知()2()log 2m g t t mt =-+为减函数,所以根据max ()0g x =可知()()2min min 21d t t mt =-+=,即33171224d m ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭解得()130,16m =∉,所以舍去当171,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, 复合函数单调性的判断方法可知()2()log 2m g t t mt =-+为增函数,所以根据max ()0g x =可知()()2max max 21d t t mt =-+=,即88821339d m ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭解得73171,246m ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭,所以舍去综上所述,不存在实数m满足条件成立.【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质及应用,不等式恒成立问题的解法,复合函数单调性的判断及最值求法,含参数的分类讨论思想的综合应用,综合性强,属于难题.。

2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高一上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高一上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x∈R|y=lg(4−x2)}，则M∩N∗=()A. (−1,1]B. {1}C. (0,2)D. {0,1}2.函数的定义域为，若对任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则()A. B. C. D.3.函数的单调递减区间为()A. (−∞,−3)B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (−3,−1)4.已知a=log20.3，b=0.31.3，c=21.3，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. b<a<c5.已知函数f(x)=1−√2−3x,g(x)=2lnx，对任意x1∈(−∞,23]，都存在x2∈(0,+∞)，使得f(x1)−g(x2)=14，则x1−x2的最大值为()A. −2548B. −2348C. −13−ln2 D. −12−ln36.函数的定义域为()A. [π4,+∞) B. [π4,5π4]C. D.7.若关于x不等式kx2−kx+1>0的解集为R，则实数k的取值范围是()A. (0,4)B. [0,+∞)C. (0,+∞)D. [0,4)8.定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度.用表示不超过的最大整数，记，其中.设，，若用分别表示不等式，方程，不等式解集区间的长度，则当时，有( )A. B. C.D.9.函数f(x)=log 12(−x 2−2x +3)的单调减区间为( ) A. (−∞,−1] B. (−3,−1] C. [−1,1) D. [−1,+∞)10. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，若对于x ≥0，都有f(x +2)=f(x)，且当x ∈[0,2]时，f(x)=e x −1，则f(2 013)+f(−2 014)=( )．A. 1−eB. e −1C. −1−eD. e +111. 已知函数f (x )=则函数f (x )的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知函数f(x)(x ∈R)满足f(1)=1，且f′(x)<12，则f(x)<x2+12的解集为( )A. {x|−1<x <1}B. {x|x >−1}C. {x|x <−1或x >1}D. {x|x >1}二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 下列关系式中，正确的关系式有______个①√2∈Q ②0∉N ③2∈{1,2} ④⌀={0} ⑤{a}⊆{a}．14. 光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a ，则通过3块玻璃板后的强度变为______ ． 15. 已知f(x)=(x+1)2x 2+1+sinx ，若f(m)=2，则f(−m)的值是______ ．16. 函数f(x)=|x −2|−lnx 的零点个数为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 化简下列式子：(1)sin(α−5π2)⋅cos(3π2−α)⋅tan(π+α)⋅cos(π2−α)sin(2π−α)⋅tan(α−π)⋅sin(−α−π)(2)2lg3+log 0.114cos0+12lg0.36(3)已知tana=23，求1sinαcosα．18.已知全集U=R，集合A={x|−1<x<1}，B={x|1≤4x≤8}，C={x|−4<x≤2a−7}．(1)A∩(∁U B)；(2)若A∩C=A，求实数a的取值范围．19.已知关于x的二次函数f(x)=ax2−4bx+1，(1)设集合P={−1,1，2，3，4，5}和Q={−2,−1,1，2，3，4}，分别从集合P和集合Q中任取一个数作为a和b的值，求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率；(2)若a是从区间[1,3]任取的一个数，b是从区间[1,3]任取的一个数，求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率．20.飞机每飞行1小时的费用由两部分组成，固定部分为4900元，变动部分P(元)与飞机飞行速度v(千米∕小时)的函数关系式是P=0.01v2，已知甲乙两地的距离为a(千米)．(1)试写出飞机从甲地飞到乙地的总费用y(元)关于速度v(千米∕小时)的函数关系式；(2)当飞机飞行速度为多少时，所需费用最少？21.已知函数f(x)是定义在(−4,4)上的奇函数，且f(2)=1，当−4<x≤0时，有f(x)=ax+bx+4．(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在区间(0,4)上的表达式，并利用定义判断其在该区间上的单调性．22.(本小题满分8分)已知函数(1)若函数的图象经过点，求的值；(2)判断并证明函数的奇偶性；(3)比较与的大小，并写出必要的理由．【答案与解析】1.答案：B解析：解：集合M={x∈R|y=lg(4−x2)}={x|4−x2>0}={x|−2<x<2}，M∩N∗={1}．故选：B．化简集合M，根据交集的定义写出M∩N∗．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.答案：D解析：试题分析：由，得，，由得，，，，故，选D．考点：抽象函数．3.答案：A解析：本题考查求复合函数单调区间，解答时需注意定义域，属于中档题．解：由x2+2x−3>0，得x<−3或x>1，的定义域为(−∞,−3)∪(1,+∞)．可看作由和u=x2+2x−3复合而成的，u=x2+2x−3=(x+1)2−4在(−∞,−3)上递减，在(1,+∞)上递增，又在定义域内单调递增，在(−∞,−3)上递减，在(1,+∞)上递增，所以的单调递减区间是(−∞,−3)，故选A．4.答案：A解析：解：∵log20.3<log21=0，0<0.31.3<0.30=1，21.3>2，∴a<b<c．故选：A．由log 20.3<0,0<0．31.3<1,21.3>2，即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：函数f(x)=1−√2−3x,g(x)=2lnx ，对任意x 1∈(−∞,23]，都存在x 2∈(0,+∞)，使得f(x 1)−g(x 2)=14，可得1−√2−3x 1−2lnx 2=14，即34−√2−3x 1=2lnx 2，可令34−√2−3x 1=2lnx 2=t(t ≤34)，即有x 1=2−(t−34)23，x 2=e t2，x 1−x 2=−13t 2+12t +2348−e t 2，t ≤34，令ℎ(t)=−13t 2+12t +2348−e t2，t ≤34，ℎ′(t)=−23t +12−12e t 2，t ≤34， ℎ″(t)=−23−14e t2<0，t ≤34， ℎ′(t)递减，可得ℎ′(t)≥ℎ′(34)， ℎ′(34)<0，ℎ′(0)=0，即t =0为极值点，且为最值点，当0<t <34时，ℎ(t)递减；当t <0时，ℎ(t)递增，可得t =0为最大值点，求得ℎ(0)=−2548．故选：A ．由题意即34−√2−3x 1=2lnx 2，可令34−√2−3x 1=2lnx 2=t(t ≤34)，解得x 1，x 2，令ℎ(t)=−13t 2+12t +2348−e t 2，t ≤34，求得导数和单调性、可得极值和最值，即可得到所求最大值．本题考查函数的最值的求法，注意转化思想和构造函数法，考查导数的运用：求单调性和极值，属于难题．6.答案：C解析：解：由题意得：sin(x−π4)≥0，解得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4，，故选C．根据二次根式以及三角函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查三角函数以及二次根式的性质，属于基础题．7.答案：D解析：解：当k=0，有1>0恒成立；当k≠0，令y=kx2−kx+1，∵y>0恒成立，>∴抛物线y=kx2−kx−1开口向上，且与x轴没公共点，∴k>0，且△=k2−4k<0，解得0<k<4；综上所述，k的取值范围为[0,4)．故选：D．先分类讨论：当k=0，有1>0恒成立；当k≠0，利用二次函数的性质求解，令y=kx2−kx+1，要y>0恒成立，则开口向上，抛物线与x轴没公共点，即k>0，且△<0，解不等式即可得到k的取值范围；最后取两者之并即可．本题考查了函数恒成立问题，着重考查二次函数的图象与性质，同时考查了分类讨论思想的运用和转化思想，易错点在于忽略当k=0的情形，属于中档题．8.答案：B解析：，，当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；所以在上的解集为，故；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；所以在上的解集为，故；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；所以在上的解集为，故；故答案选．考点：1.抽象函数及其应用；2.推理证明．9.答案：B解析：解：由−x2−2x+3>0，解得−3<x<1，(−x2−2x+3)的定义域为(−3,1)，∴函数f(x)=log12t为单调递减函数，令t=−x2−2x+3，则g(t)=log12由复合函数的单调性可知，f(x)的单调递减区间为t=−x2−2x+3在(−3,1)上的单调增区间．t=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，对称轴为x=−1，开口向下，∴t=−x2−2x+3的单调增区间为(−3,−1]．故选：B．(−x2−2x+3)的单调减区间为t=−x2−2x+3在定义域根据复合函数的单调性可知，f(x)=log12上的单调增区间，再根据一元二次函数的单调性求单调增区间即可．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．10.答案：B解析：由f(x+2)=f(x)可知函数的周期是2，所以f(2013)=f(1)=e−1，f(−2014)=−f(2014)=−f(0)=0，所以f(2013)+f(−2014)=e−1．11.答案：C解析：解决的关键是对于分段函数的各段的零点分别讨论求解得到结论，属于基础题。

蓉城名校联盟2020年秋高一数学上学期期中联考试卷附答案解析

A． (4,1)
B． (3,1)
C． (4, 0)
D． (3, 0)
【答案】A
【分析】令对数的真数等于1,求得 x、y 的值,可得它的图像恒过定点 P 的坐标,即可求得答案. 【详解】函数 y loga (x 3) 1 ,( a 0 且 a 1).
令 x 3 1,解得 x 4
当x4, y 1
(1,
4)
，根据复合函数的单调性得
1 x
x
5 2
4
，解得
1 x 5 ， 2
所以 f (x) 在 (1, 5]上递减， 2
∵函数 f (x) 在区间 [m, m 1] 上是减函数，
∴[m, m
≤
1 2
的解集为
M
，关于
x 的不等式 ax2
x
1
0 的解集为
N
，且
M
N
N
，则
实数 a 的取值范围为（）
A． 0,
B．
1 4
,
二、填空题
13．若1{x, x2 ，则 x ___________.
C．
2 9
,
D．
1 2
,
14．不等式 2x2 3x (1)62x 的解集为________． 2
,
3 2
B．
5 2
,
C．
1,
3 2
D．
5 2
,
3
【答案】C
【分析】先求出函数的定义域，再求出函数的减区间 (1, 5]，而 f (x) 在区间 [m, m 1] 上是减函数，从而有 2
[m, m
1]
1,
5 2
，进而可求出
m
的取值范围

2019学年四川成都市六校高一上学期期中联考数学试卷【含答案及解析】

2019学年四川成都市六校高一上学期期中联考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，则 = （）A ．___________________________________B ．________________________ C ．____________________ D ．2. 设集合，则f:A →B 是映射的是（） A．B ．C．D ．3. 下列四组函数中，表示同一函数的是（_________ ）A．B ．C．_________________________________D ．4. 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．B ．C． ________D ．5. 已知幂函数的图象过点，则的值是（）A ． ________________________B ．____________________________C ．____________________________D ．6. 已知函数，则（________ ）A ．B ．________________________C ．______________________________ D ．7. 已知，则的大小关系是（）A ．B ．_________C ．D ．8. 函数的图象是（）9. 已知函数在区间[2，+ ）上是增函数，则的取值范围是（）A ．___________B ．____________________C ．______________ D ．10. 已知函数的定义域为，则的定义域为（）A．___________B ．C．D ．11. 对于函数的定义域中任意的、，有如下结论：① ；② ；③ ；④ ．当时，上述结论中正确的有（）个A ．___________________________________B ． ________________________C ． ___________________________________D ．12. 已知符号函数，若函数在 R 上单调递增，，则（_________ ）A．B ．C．D ．二、填空题13. 函数的定义域是_________ ．14. 设，若，则 = ．15. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当，________ ___________ ．16. 给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：① 函数的定义域是，值域是；② 函数的图像关于轴对称；③ 函数的图像关于坐标原点对称；④ 函数在上是增函数；则其中正确命题是______________ （填序号）．三、解答题17. （本小题满分 11 分）已知全集为，集合，,（1）求；（2）求；（3）若，求的取值范围．18. （本小题满分 11 分）（1）计算（ 2 ）计算19. （本小题满分 12 分）设函数，若（1）求函数的解析式；（2）画出函数的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间．20. （本小题满分 12 分）甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为万元，并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元（总成本固定成本 + 生产成本），销售收入，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题（ 1 ）写出利润函数的解析式（利润销售收入—总成本）；（2）甲厂生产多少台新产品时，可使盈利最多？21. （本小题满分12分）设函数y= 是定义在上的减函数，并且满足 = + ，（ 1 ）求的值；（ 2 ）若存在实数，使得，求的值；（ 3 ）若，求的取值范围．22. （本小题满分 12 分）已知函数（）是偶函数．（ 1 ）求 k 的值；（ 2 ）若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围；（ 3 ）若函数，，是否存在实数使得最小值为，若存在，求出的值 ; 若不存在，请说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

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【答案】A
【解析】首先求出函数解析式，再代入计算即可.
【详解】
f x x
解：设幂函数的解析式为
f
则
2
2 4 ，解得 4
f x x4
f 2 24 16
故选： A
【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式，及函数值的计算，属于基础题.
5．已知
a
log3
1 3
,
1
b 33 ,
c
1 3
3
故参加了活动的人数有 4 3 6 13 人.故两种活动都没参加的有15 13 2 人.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了集合中元素的计算,属于基础题.
3m
15．若
4n
m, n
0，则 log4
3
______.（用 m，n
表示）
n 【答案】 m
【解析】利用换底公式化简即可.
【详解】
设 3m 4n a m, n 0,则 m log3 a, n log4 a ,
对任意两个不相等的正数 x1, x2 都有
x1 x2
,即
f
x1
x1 x1
f x2
x2 x2
0
g x1
x1
g x2
x2
0
,故
g(x)
在 0, 上为减函数.
又
f
2 0 g(2) ,故
f
2 0
2
.
综上, g(x) 为偶函数,且在 , 0上单调递增,在 0, 上单调递减.
f x
g 2 g 2 0
18．己知全集U R ，集合 A x 2„ x„ 0 , B x x 2x a 0 ，且 a 1 .
g
x
2x 3 的定义域为 R ，
定义域不相同，故不是相等函数；
对于 B ：函数 f t t 的定义域为 R ，函数 g x
x2 的定义域为 R ，但 g x
x2 x
，两函
数的解析式不相同，故不是相等函数；
对于 C ：
f
x
x
x, x x,
0 x
0
，
g
x
x, x 0 x, x 0 两函数的定义域都为 R ，且解析式也相同，故
1
log4 3
loga 3 loga 4
lo
n m
故
log4 a
.
n 故答案为： m
【点睛】
本题主要考查了指对数的互化以及换底公式的运用,属于中档题.
16．设函数
f
x是定义在 R
上的奇函数，
f
2
0
，若对任意两个不相等的正数
x1, x2
都有
x2
f
x1 x1 f
为（）
A．
1 3
,
2
log
2
3
B．
2 3
,
3
log
2
3
2, 3
C．
1, 2
D．
【答案】B
【解析】根据
f
x
log2
mx 与
g
x
log2
x
的平移关系与等腰直角三角形
ABC
边长为
2
可求得
m ,再设 B 的坐标利用 BC 2 求解即可.
【详解】
因为
f
x
log2
mx
log2
x
log2
9．已知对任意
x , 均有
f
x
f
x ，且对任意
x1,
x2
R
x1
x2
都满足
f
x1
x1
f x2
x2
0
，若方程
f
x2 m f 1 x 0 只有一个实数根，则实数 m 的取值为（
）
3 A． 4
7 B． 8
1 C． 4
1 D． 8
【答案】A
f x f x
【解析】根据
可得函数为奇函数,
f x1 f x2 0
解：
，
，
P Q 3
ðU P Q 1, 2,5
故选： D
【点睛】
本题考查集合的运算，属于基础题.
0，
2．下列函数在
上是增函数的是（）
A． f x 2x 1
f x 1
B．
x
f x lg x 1
C．
f x x2
D．
【答案】D
【解析】根据基本初等函数的性质对选项一一分析即可判断.
【详解】
解：对于 A ： f x 2x 1在定义域上单调递减，不符合题意；
f x
2
2x 3
g x 2x 3
A．
，
C．
f
x
x
，
g
x
x, x x,
0 x
0
）
f t t g x x2
B．
，
D．
f
x
x
，
g
x
x2 x
【答案】C
【解析】判断函数相等，需要满足定义域相同且解析式相同.
【详解】
解：对于 A ：函数 f x
2x 3
2
的定义域为
3 2
,
，而函数
的定义如下：
x
0
1
2
3
h x
0
1
3
2
R x
0
2
3
1
若方程 R h x a 1 有解，则 a 满足的集合是（）
0,1, 2,3, 4
A．
1, 2,3, 4
B．
0,1, 2,3
C．
D．
【答案】B
【解析】根据函数的一一对应关系直接枚举即可.
【详解】
因为 R h0 R 0 0 , R h1 R 1 2 , R h2 R 3 1,
本题主要考查了函数值的大小比较,属于基础题.
6．已知函数
f
x是
R
上的奇函数，当
x
0
时，
f
x
2 x
x 2
，则
f
1
（
）
A． 1
B．0
【答案】A
【解析】根据函数的奇偶性计算可得.
【详解】
C．1
3 D． 2
解：因为函数
f
x 是
R
上的奇函数，当
x
0
时，
f
x
2 x
x 2
所以
f
1
f
1
21
1 2
，则（
）
A． a c b
B． a c b
C． a b c
D． c a b
【答案】B
【解析】根据指对幂函数的单调性将 a, b, c 与 0,1 的关系再比较即可.
【详解】
a
因为
log3
1 3
log3 1
0
,b
1
33
30
0 1,
1 3 3
1 0 3
1
.
故acb.
故选：B
【点睛】
A．
B．
C．
D．
【答案】B
f x1 1
【解析】将函数解析式变形为
x 1 ，根据函数的平移规则即可判断.
【详解】
f x 2 x
解：
x 1
f x1 1
x 1
函数
f
x 1
1 x 1
是由函数
y
1 x
向左移
1
个单位，向上移
1
个单位得到，
故满足条件的为 B 故选： B
【点睛】
本题考查函数图象的识别，函数的平移变换，属于基础题.
6
3
lg
1 2
log
4
3
log9
16
．
11 【答案】（1） 2 （2）2
【解析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得. （2）根据对数的运算法则及对数的性质计算可得. 【详解】
解：（1）原式
2 3
4
1 4
3 22
3
1 2 3 2
32
2 3
1
1
32
2
4
2
3
3 2 3 4 2 3 11
2
2
lg
（2）原式
5 32
2 lg 2 3 3lg 21 log22 3 log32 24
lg 5 2 lg 3 2 lg 2 2 lg 3 3lg 2 1
lg 5 lg 2 1 lg10 1 2
【点睛】
本题考查分数指数幂的运算，对数的运算及对数的性质的应用，属于基础题.
R
h
3
R
2
3
.故
a
1
0,1,
2,
3
,则
a
满足的集合是
1,
2,
3,
4 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数的定义应用,属于基础题.
0,
11．已知定义在
上的减函数
f
x 满足条件：
f
x1 x2
f
x1
f
x2 1 ，则关于 x 的不
f x 1 1
等式
的解集为（）
0, 2
A．
B． 1,
1, 2
当
有
只有一个实数根,
由 f x在 x , 上为单调递减的奇函数.有 x2 m x 1只有一个实数根,
即
x2
x
1
m
0